中考反比例函数考点总结

1 / 54 中考反比例函数考点总结 反比例函数 一、基础知识 1.定义：一般地，形如 y?写成 y?kx ?1 kk 的函数称为反比例函数。 y?还可以 xx ， xy=k(k 为常数， k?o) 2.反比例函数的图像是双曲线， y?k 为常数， k?0）中自变量x?0，函数值 y?0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标 2 / 54 轴相交。 3.反比例函数的图像即是中心对称图形，也是轴对称图形 4.反比例函数 y? k x kk 中比例系数 k的几何意义是：过双曲线 y? 上 xx 任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k。 5反比例函数性质如下表： 6. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法 7 “ 反比例关系 ” 与 “ 反比例函数 ” ：成反比例的关系式不一定是反比例函数 ,但是反比例函 数 y? 3 / 54 k 中的两个变量必成反比例关系。 x 反比例函数常考题型 8. 反比例函数的应用 一、反比例函数的概念 例 1 下面函数中，哪些是反比例函数？ y? x?81x?1y?y?4x?5y?5xxy?.y? 3x85 2531 xy 21 y?y?y?3 xx?22xx y? y x 4 y? 4 / 54 1 x2 变式 1：若 y与 2x成反比例函数关系， x 与 3 成正比例，则 y与 z 的关系 z A成正比例函数 B成反比例函数 C成一次函数 D不能确定 变式 2：若梯形的下底长为 x，上底长为下底长的数关系是 _ 变式 3：当 m取什么值时，函数 y?(m? 2)x 3?m2 1 5 / 54 ，高为 y，面积为 60，则 y 与 x 的函 3 是反比例函数？ 3 变式 4： 函数 y= 的自变量 x的取值范围是 _；当 x 0时， y 随 x 的增大而 x 二、反比例函数的图像与性质 例 1:如图所示正比例函数 y?kx(k?0）与反比例函数 y? 1 的 x 图像相交于 A、 C两点，过 A作 x轴的垂线交 x轴于 B，连结BC.若 ?ABC 的面积为 S，则 A S?1 B S?2 C S?3 D S的值不确定 变式 1:反比例函数 y? 6 / 54 k 的图像上有一点 P(m,n)，其坐标是关于 t 的一元二次方程 x t2?3t?k?0 的两根，且 P 到原点的距离为，则该反比例函数的解析式为 _. 变式 2:如图， A、 C 是函数 y? 1 的图象上的任意两点，过 A作 x轴 x 的垂线，垂足为 B；过 C 作 y轴的垂线，垂足为 D.记 Rt?AOB的面积为 S1， Rt?COD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是 . S1S2 (B)S1 变式 3:一次函数 y?x?1 与反比例函数 y?的 3 在同一坐标系中的图像大致是如图中 x 7 / 54 一次函数 y?kx?k?1 与反比例函数 y?是图中的 2 k 在同一直角坐标系内的图像的大致位置 x 三、反比例函数应用 例 1、某地上年度电价为元，年用电量为 1 亿度。本年度计划将电价调至元之间，经测算， 若电价调至 x元，则本年度新增用电量 y与元成反比例。有又当 x?元时， y?亿度。 求 y 与 x 之间的函数关系式 若每度电的成本价为元，则电价调至多少时，本年度的电力部门的收益将比上年度增加 20 ？ 收益 =用电量 四、综合题目 8 / 54 例 1、 已知一次函数 y?2x?k 的图象与反比例函数 y? k?5 的图象相交，其中有一个交 x 点的纵坐标为 -4，求这两个函数的解析式 注意：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决 例 2、已知 y=y1+y2， y1与 x+1成正比例， y2与 x成反比例，并且 x=-1时， y=1 ； x? 2 9 / 54 y?1.求 x? 1 时 y 的值 . 3 注意： 解本题的关键是正确理解什么叫 y1与 x+1成正比例，y2与 x 成反比例，即把 x+1与 2 x 看成两个新的变量 例 3、如图，直线 y? 2 1 x?2分别交 x、 y轴于点 A、 C， P是该直线上在第一象限内的10 / 54 2 一点， PB?x轴， B 为垂足， S?ABP?9 求点 P的坐标；设点 R与点 P在同一个反比例函数的图象上，且点 R在直线 PB的右侧作 RT?x轴， T为垂足，当 ?BRT与 ?AOC相似时，求点 R的坐标 例 4 如图，双曲线 y? k 与直线 y?x?k相交于 A，过 A作 x 轴的垂线 AB，垂足为 如果 S?ABO?2：求两个函数的解析式； 若直线 y?x?k交 x 轴于 C，求 S?A 例 5、已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象 交于 A、 B两点，与 y轴交于点 C，与 x 轴交于点 ?,tan?DOB? 11 / 54 求反比例函数的解析式： 设点 A的横坐标为 m， ABO 的面积为 S，求 S 与 m的函数关系式，并写出自变量 m的 取值范围； 当 OCD 的面积等于 1. 3 S 时，试判 断过 A、 B 两点的抛 2 物线在 x 轴上截得的线段长能否等于 3.如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由 12 / 54 . 例 6 已知函数 y?(m?5m?6)x 小，求 m 的值 例 7、已知 ? ABC是边长 为的等边三角形，点分别在 CB 和 BC的延长线上，且 2 m2?m?7 是反比例函数，且当 x 0时， y随 x 的增大而减 ?EAF?120?.设 BE=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求自变量 x的取值范围。 2 例 8、已知：关于 x 的方程 x-3x+2k-1=0 的两个实数根的平13 / 54 方和不 象限内 y 随 x的 增大而减小求满足上述条件的 k 的整数值 说明：要记清楚反比例函数图象的特点，分成一、三象限和二、四象限有两大类图象 ，要会区分不同情况另外对反比例函数只能说两个分支在各自的象限内 y随 x的增大而增大(或减小 )，不能说在自变量取值范围内 y 随 x的增大而增大(或减小 )。 例 9 已知一次函数的图象与双曲线 y? 2 交于点 ?1,m?，且过点 x ?0,1?求该一次函数的解析式 例 10 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的 2 14 / 54 .如果如下图所示 3 放在桌上，对桌面的压强是 200Pa，翻过来放，对桌面的压强是多少？ 说明：本题与物理知 识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的。 环球雅思辅导讲义 反比例函数中考考点分析 学生 签字： 授课时间： 反比例函数 一、基础知识 kk 1. 定义：一般地，形如 y?k 为常数，的函数称为反比例函数。 y?还可以写成 y?kx?1 k?o） xx 15 / 54 2. 反比例函数解析式的特征： 等号左边是函数 y，等号右边 是一个分式。分子是不为零的常数 k，分母中含有自变量 x，且指数为 1. 比例系数k?0 自变量 x 的取值为一切非零实数。 函数 y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 图像的画法：描点法 列表 描点 连线 k 反比例函数的图像是双曲线， y?中自变量 x?0，函数值 y?0，所以 x 双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近16 / 54 坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 反比例函数的图像是是轴对称图形。 kk 反比例函数 y?中比例系数 k 的几何意义是：过双曲线 y? 上任意引 x xx 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k。 4 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法 k 6 “ 反比例关系 ” 与 “ 反比例函数 ” ：成反比例的关系式不一定是反比 例函数 ,但是反比例函数 y? x 中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用 17 / 54 题型总结： 一反比例函数的图象与性质 2 【例 1】对与反比例函数 y?，下列说法不正确的是 xA点在它的图像上 B它的图像在第一、三象限 C当x?0时， y 随 x的增大而增大 D当 x?0时， y随 x的增大而减小 k ，则这个函数的图象一定经过 ?k?0?的图象经过点 x A、 B、 C、 D、 k 18 / 54 【例 3】在同一直角坐标平面内，如果直线 y?k1x 与双曲线y?2没有交点，那么 k1和 k2的关系 x 【例 2】已知反比例函数 y? 一定是 A. k1+k2=0 【例 4 】已知 b?3,且反比例函数 y?在双曲线上 y? 【例 5】两个反比例函数 y= x 轴于点 C，交 y= k1k 和 y=在第一象限内的图像如图 3所示， ?点 P在 y=的图像上，PCxxx 1?b 19 / 54 的图象在每个象限内， y 随 x的增大而增大 ,如果点 ?a,3?x B. k1k20 =k2 1?b ，求 a是多少？ x 11k 的图像于点 A， PDy 轴于 点 D，交 y=的图像于点 B， ?当点 P 在 y=的 xxx 图像上运动时，以下结论： ODB 与 OCA 的面积相等； 四边形 PAOB 的面积不会发生变化； PA 与 PB始终相等 当点 A 是 PC的中点时，点 B一定是 PD的中点 其中一定正确的是 _ 二反比例函数的判定 20 / 54 【例 1】若 y 与 x成反比例， x 与 z成正比例，则 y是 z 的 A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 【例 2】如果矩形的面积为 6cm2，那么它的长 ycm 与宽 xcm之间的函数图象大致为 A B C D x 的指数， k值与 图像分布关系）三反比例函数的解析式特征 2 A 、 ?1 B、 0 C 、 1 D、 1 四 .比较反比例函数图象上点的横纵坐标大小关系： 1 【例 1】在反比例函数 y?的图像上有三点 ?x1， y1?， ?x2，y2?， ?x3， y3? 。若 x1?x2?0?x3 21 / 54 x 则下列各式正确的是 A y3?y1?y2 B y3?y2?y1 C y1?y2?y3 D y1?y3?y2 【例 2】已知反比例函数 y? 1?2m 的图象上两点 A?x1,y1?,B?x2,y2?，当 x1?0?x2时，有 y1?y2，x 则 m 的取值范围是？ 五一次函数与反比例的综合类运用 题： 【例 1】如果一次函数 y?mx?n?m?0?与反比例函数 y?线与双曲线的另一个交点为 【例 2】 13n?m 22 / 54 ，那么该直 2）的图像相交于点 . x 求：一次函数和反比例函数的解析式； 两函数图象的另一个交点 B 的坐标； AOB 的面积 关于 x的一次函数 y=-2x+m和反比例函数 y= k 【例 3】如图所示，一次函数 y ax b 的图象与反比例函数y A、 B两点，与 x 轴交 x1 于点 C已知点 A 的坐 标为，点 B 的坐标为 2 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x的取23 / 54 值范围 【例 4】如图，在直角坐标系 xOy中，一次函数 y kx b的图象与反比例函数 y?A(-2， 1)、 B(1， n)两点。 (1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求 AOB 的面积。 六反比例函数上点与坐标轴围成的三角形面积求法： m 的图象交于 x 【例 1】 如图，在 Rt?AOB 中，点 A 是直线 y?x?m 与双曲线y? 则 m 的值是 _. m 24 / 54 在第一象限的交点，且 S?AOB?2， x 1 的图象上的任意两点，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，过 C作 yx 轴的垂线，垂足为 D，记 RtAOB 的面积为 S1， RtC OD 的面积为 S2则 【例 2】如图 ， A、 C是函数 y? A S1 S2 B S1 C S1=S2 D S1与 S2的大小关系不能确定 七反比例函数的实际应用 【例 1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于 120 kPa25 / 54 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应 A、不小于 【例 2】矩形面积为 4，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用图象大致可表示为 535m B、小于 m3 44 C、不小于 43 m 5 D、小于 43 m5 【例 3】某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量 y是日销售价 x元的反比例函数，且当售价定为 100元 /件时，每日可售出 30件 . 26 / 54 第十七章 反比例函数 一、基础知识 kk 1. 定义：一般地，形如 y?的函数称为反比例函数。 y? xx 还可以 写成 y?kx ?1 2. 反比例函数解析式的特征： 等号左边是函数 y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k，分母中含有自变量 x，且指数为 1. 比例系数 k?0 27 / 54 自变量 x 的取值为一切非零实数。 函数 y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 图像的画法：描点法 列表 描点 连线 k 反比例函数的图像是双曲线， y?中自变量 x?0，函 x 数值 y?0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 反比例函数的图像是是轴对称图形。 反比例函数 y? kk 28 / 54 中比例系数 k的几何意义是：过双曲线 y? xx 上任意引 x轴 y轴的垂线，所得矩形面积为 k。 4 5. 点的坐标即可求出 k） 6 “ 反比例关系 ” 与 “ 反比例函数 ” ：成反比例的关系式不一定是反比例函数 , k 但是反比例函数 y?中的两个变量必成反比例关系。 x 7. 反比例函数的应用 二、例题 【例 1】如果函数 y?kx2k是多少？ 【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y? k，即 y?kxx 29 / 54 ?1 2 ?k?2 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 又在第二，四象限内，则 k?0 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得： 1?2k2?k?2?1?k?1 或 k? 解得 ? ?2k?0?k?0? ?k?1 21 ?k?1 时函数 y?kx2k?k?2 为 y? 30 / 54 x 1 【例 2】在反比例函数 y?的图像上有三点 ?x1， y1?， ?x2，y2?， ?x3， y3? 。 x 若 x1?x2?0?x3 则下列各式正确的是 A y3?y1?y2 B y3?y2?y1 C y1?y2?y3 D y1?y3?y2 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得 y1? 111， y2?， y3? x1x2x3 ?x1?x2?0?x3， ?y3?y1?y2 所以选 A 1 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 y?的图像 x 31 / 54 描出三个点，满足 x1?x2?0?x3 观察图像直接得到 y3?y1?y2选 A 解法三：用特殊值法 1 ?x1?x2?0?x3,? 令x1?2,x2?1,x3?1?y1?,y2?1,y3?1,?y3?y1?y2 2 3n?m 的图像相交于点【例 3】如果一次函数 y?mx?n?m?0?与反比例函数 y?x 1 2） 2 【解析】 32 / 54 ?1?m?23n?m?1?m?n?2 ?直线 y?mx?n 与双曲线 y?x 相交于 ?， 2?， ?2 解得 ?n?1x2?3n?m?1? y?2x?1?1? 1?直线为 y?2x?1,双曲线为 y?解方程组 ? y?x?x? ?x?1 得 ?1 y?1?1 1?x2?2?y2?2 ?1， ?另一个点为 ?1? 【例 4】 如图，在 Rt?AOB 中，点 A 是直线 y?x?m 与双曲线y? 33 / 54 的交点，且 S?AOB?2，则 m的值是 _. m 在第一象限 x 图 解 :因为直线 y?x?m 与双曲线 y? 则有 yA?xA?m,yA? m 过点 A,设 A点的坐标为 ?xA,yA?. x m .所以 m?xAyA. xA 又点 A在第一象限 ,所以 OB?xA?xA,AB?yA?yA. 34 / 54 111 OB?AB?xAyA?m.而已知 S?AOB?2. 222 所以 m?4. 所以 S?AOB? 2016年中考数学常见题考点讲解与测试 第六讲 反比例函数 考点综述： 反比例函数也是中考重点考查的内容之一，它要求考生能结合具体情境体会反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数的关系式；会画反比例函数的图象，并能根据图象和关系式探索其性质；能用反比例函数解决实际问题 . 典型例题： 例 1：对于反比例函数 y? 35 / 54 2 ，下列说法不正确的是 x B它的图象在第一、三象限 D当 x?0时， y 随 x 的增大而减小 ?1)在它的图象上 A点 (?2， C当 x?0时， y随 x 的增大而增大 例 2：已知甲、乙两地相距 s，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行 驶的时间 t与行驶速度 v 的函数关系图象大致是 B C D A 例 3：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道木板 36 / 54 2 对地面的压强 p?Pa?是木板面积 Sm 的反比例函数，其图象如下图所示 ? 请直接写出这一函数表达式和自变量取值 范围； 当木板面积为时，压强是多少？ 如果要求压强不超过 6000Pa，木板的面积至少要多大？ p/Pa 600 A?， 400? 400 200 2 37 / 54 实战演练： ， ?1)的反比例函数解析式是 1.下列函数中，图象经过点 (1 A y? 1 x B y? ?1 x C y? 2 x D y? 38 / 54 ?2 x 4 2.反比例函数 y的图象在 x A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二象限 D第三、四象限 3.在反比例函数 y?的取值范围是 A k 3 B k 0 C k 3 D k 0 k?3 图象的每一支曲线上， y都随 x的增大而减小，则 kx k 4如图，正方形 ABOC的边长为 2，反比例函数 y?过点 A 39 / 54 x 则 k 的值是 A 2 B ?2 C 4 D ?4 1?2m 5.在反比例函数 y?的图象上有两点 A?x1 ,y1?， B?x2,y2?，当 x x1?0?x2时，有 y1?y2，则 m的取值范围是 A m?0 ?0 ? 11 ? 22 6.如果点在反比例函数 y?图象上的是 40 / 54 k 的图象上，那么下列各点中，在此 x A. B. C. D.如图 ,一次函数 1= 1 与反比例函数2= 2 的图 x 像交于点 A(2,1),B( 1, 2),则使 1 2 的的取值范围是反比例函数 y? a ， 2)，则 a 的图象经过点 (?1 x 9.点 P(2m?31) 41 / 54 1 的图象上，则 mx 反比例函数知识点总结 知识点 1 反比例函数的定义 k 一 般地，形如 y?的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方 x 面来理解： x 是自变量， y是 x 的反比例函数； 自变量 x的取值范围是 x?0的一切实数，函数值的取值范围是 y?0； 比例系数 k?0是反比例函数定义的一个重要组成部分； 反比例函数有三种表达式： 42 / 54 k y? ， xy?kx?1 ， x?y?k ； 函数 y? kk 与 x?是等价的，所以当 y 是 x的反比例函数时， x yx 也是 y的反比例函数。 是反比例函数的一部分，当 k=0时， y?了，由于反比例函数y? k ，就不是反比例函数 x 43 / 54 k 中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就 x 可以求出 k的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式 k 由于反比例函数 y?中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就 x 可以求出 k的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点 3 反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、 第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量 x?0，函数值 y?0，44 / 54 所以它的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但 永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤： 列表； 描点； 连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： 列表时选取的数值宜对称选取； 列表时选取的数值越多，画的图像越精确； 连线时，必须根据自变量大小从左至右用光滑的曲线连接，切忌画成折线； 画图像时，它的两个分支应全 部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点 4 反比例函数的性质 关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 45 / 54 注意：描述函数值的增减情况时，必须指出 “ 在每个象限内 ?” 否则，笼统地说，当 k?0时， y随 x 的增大而减小 “ ，就会与事实不符的矛盾。 反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数 k 的符号决定的，反过来， k 由反比例函数图像的位置和函数的增减性，也可以推断出 k的符号。如 y?在 x 第一、第三象限，则可知 k?0。 k 反比例函数 y?中比例系数 k的 绝对值 k 的几何意义。 x 46 / 54 如图所示，过双曲线上任一点 P分别作 x 轴、 y轴的垂线， E、F 分别为垂足， 则 k?xy?x?y?PF?PE?S 矩形 OEPF 反比例函数 y? 线 y? kk 中， k越大，双曲线 y?越远离坐标原点； k 越小，双曲 xx k 越靠近坐标原点。 x 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x和直线 y= x。 初三反比例函数测练习题 一、选择题 1、下列函数中，反比例函数是 A、 y=x+1 B、 47 / 54 y= C、 =1 D、 3xy=2 2、函数 y1=kx和 y2=的图象如图，自变量 x 的取值范围相同的是 3、函数 与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是。 4、反比例函数 y= (k0) 的图象的两个分支分别位于象限。 48 / 54 A、一、二 B、一、三 C、二、四 D、一、四 5、当三角形的面积一定时，三角形的底和底边上的高成关系。 A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、二次函数 6、若点 A(x1,1)、 B(x2,2)、 C(x3,