八上实数比较大小的方法总结

1 / 35 八上实数比较大小的方法总结 比较实数大小的八种方法 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转 化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例 1 比较 析解：由于与的大小。 ，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 2 / 35 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数 a、 b有： 例 2 比较 析解：由于与的大小。 ，而，所以。 。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号 内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点 表示的数总比左边的点表示的数大。 例 3 若有理数 a、 b、 c 对应的点在数轴上的位置如图 1 所示，试比较 a、 a、 b、 b、 c、 c的大小。 析解：如图 2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数 a、 a、 b、 b、 c、 c表示的点画出来，容易得到结论： 四、估算法 3 / 35 用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、 b，先估算出 a、 b两数的取值范围，再进行比较。 例 4 比较与的大小。 析解：由于，故 ，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数 a、 b有： 例 5 比较与的大小 析解：因为， 又因为 ， 所以 4 / 35 所以 说明 ：对于两个形如来比较它们的大小。 的实数，常采用倒数法 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数 a、 b 有： 例 6 比较 析解：设与的大小。 ， 则 所以 七、作商法 用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数 a、 b 5 / 35 有： 例 7 比较与的大小。 析解：设 ，则， 即 八、放缩法 用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。 例 8 比较与 198 的大小。 析解：由于 所以 6 / 35 取 n 2， 3， 410000 代入上式，并将所得的不等式相加得： 即 所以 两个实数大小的比较，方法多种多样，在实际操作时，根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较，才能方便快捷地取得准确的结果。 实数大小比较的常用方法【初二数学】 添加时 间： 2016年 11月 23日 浏览： 53次 顿悟教育数学培优训练营 来自：顿悟教育网 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。 “ 实数 ” 是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。 一【差值比较法】 差值比较法的基本思路是设 a， b 为任意7 / 35 两个实数，先求出 a 与 b 的差，再根据当 a b 0 时，得到a b。当 a b 0 时，得到 a b。当 a b 0，得到 a=b。 例1：比较与的大小。 比较 1与 1的大小。 解 0 ， 。 解 = 0 ， 1 1。 二【商值比较法】 商值比较法的基本思路是设 a， b 为任意两个正实数，先求出 a 与 b 得商。当 1 时， a b；当 1时， a b；当 =1时， a=b。来比较 a 与 b 的大小。 例 2：比较与的大小。 解： = 1 三【倒数法】 倒数法的基本思路是设 a， b为任意两个正实数，先分别求出 a 与 b 的倒数，再根据当时， a b。来比较 a 与 b 的大小。 例 3：比较与的大小。 解 =+ ， =+ 又 + + 8 / 35 四【平方法 】 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据 a 0， b 0时，可由得到 a b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例 5：比较与的大小 解：， =8+2。 又 8+2 8+2 。 五【估算法】 估算法的基本是思路是设 a， b 为任意两个正实数，先估算出 a， b两数或两数中某部分的取 值范围，再进行比较。 例 4 ：比较与的大小 解： 3 4 3 1 六【移动因式法】 移动因式法的基本是思路是，当 a 0， b 0，若要比较形如9 / 35 a 的大小，可先把根号外的因数 a 与 c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。 例 6：比较 2与 3 的大小 解： 2= ， 3=。 又 28 27， 2 3。 七【取特值验证法】 比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 例 7：当时，的大小顺序是 _。 解：取 =，则： =， =2。 2， 。 例设 a 2， b ( 3)， c 序排列正确的是 02， d，则 a、 b、 c、 d按由小到大的顺 a d b d a c c d b c a d 分析 可以分别求出 a、 b、 c、 d 的具体值，从而可以比较大小 . 10 / 35 解 因为 a 2 1， b ( 3) 9， c所以 c a d b.故应选 A. 02， d 2，而 1 2 9， 除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。 比较实数大小的八种方法 张德军 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，11 / 35 两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例 1 比较 ?与 ?5的大小。 析解：由于 |?|?,|?5|?，且 ?5，所以 ?5。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法 ，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 22用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数 a、 b有：a?b?a?b。 例 2 比较 37与 73 的大小。 析解：由于 (37)?63,(73)?147，而 63?147，所以 3?7。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 12 / 35 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例 3 若有理数 a、 b、 c对应的点在数轴 上的位置如图 1 所示，试比较 a、 a、 b、 b、 c、 c的大小。 22 析解：如图 2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数 a、 a、 b、 b、 c、 c表示的点画出来，容易得到结论： ? c?b?a?a?b?c. 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、 b，先估算出 a、 b两数的取值范围，再进行比较。 12?535 例 4 比较与 3 的大小。 12?533?,?析解：由于 3?，故，所以 13 / 35 12?53?.53 五、倒数法 11?a?b.用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、 b有： ab 例 5 比较 XX?XX与 XX?的大小 1?XX?XXXX?XX 析解：因为， 1?XX?XX,XX?XX 又因为 XX?XX?XX?XX， 11?,XX?XX 所以 XX?XX 所以 XX?XX?XX?XX. 说明：对于两个形如 n?k?n的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数 a、 b有： 14 / 35 a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. XX?XX?111?1 XXXX?111?1? XX的大小。 例 6 比较 XX与 XX? 析解：设 a?XX,b?XX,c?111?1， XX?XX?111?1XXa?ca?XX?111?1XXb?cb? XX则 ?ab?bc?ab?acc(b?a)?0,b(b?c)b(b?c) XX?XX?111?1XX?.XX?111?1XX?XX 所以 七、作商法 15 / 35 用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数 a、 b有： aaa?1?a?b;?1?a?b;?1?a? 比较实数大小的八种方法 张德军 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例 1 比较 ?与 ?5 的大小。 析解：由于 |?|?,|?|?5，且 ?5，所以 ?5。 16 / 35 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 22用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数 a、 b有：a?b?a?b。 例 2 比较 37与 73的大小。 22 析解：由于 (37)?63,(7)?147，而 63?147，所以 3?73。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 17 / 35 例 3 若有理数 a、 b、 c 对应的点在数轴上的位置如图 1 所示，试比较 a、 a、 b、 b、 c、 c的大小。 析解：如图 2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数 a、 a、 b、 b、 c、 c表示的点画出来，容易得到结论： ? c?b?a?a?b?c. 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、 b，先估算出 a、 b两数的取值范围，再进行比较。 12?533 5 例 4 比较与 3的大小。 12?53?3?,? 析解：由于 ?，故，所以 12?53?.53 五、倒数法 18 / 35 11?a?b.用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、 b有： ab 例 5 比较 XX?XX 与 ?XX的大小 1?XX?XXXX?XX 析解：因为， 1?XX?XX, XX?XX 又因为 XX?XX?XX?XX， 11?,XX?XX 所以 XX?XX 所以 XX?XX?XX?XX. 说明：对于两个形如 n?k?n的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 19 / 35 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数 a、 b有： a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. XX?XX?111?1 XXXX?111?1? XX的大小。 例 6 比较 XX与 XX? 析解：设 a?XX,b?XX,c?111?1， XX?XX?111?1XXa?ca?XX?111?1XXb?cb? XX 则 ? ab?bc?ab?acc(b?a)?0,b(b?c)b(b?c) 20 / 35 XX?XX?111?1XX?.XX?111?1XX? XX 所以 七、作商法 用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数 a、 b有： aaa?1?a?b;?1?a?b;?1?a? XX111?1XX222?1 222333 例 7 比较 XX?1与 XX?1的大小。 XX111?1XX222?1m?,n?222XX?1XX333?1， 析解：设 22223333111 a?XX，则 a?XX,a?XX, a?1a2?1?m?2,n?3,a?1a?1 ma?1a3?1a4?a3?a?1?2?4,na?1a2?1a?2a2?1 21 / 35 ?a3?a?2a2?a(a?1)2?0, ?a3?a?2a2, ?a4?a3?a?1?a4?2a?1, ma4?a3?a?1?4?1,2na?2a?1 ?m?n, XX?1XX?1?.222333XX?1XX?1 即 八、放缩法 用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是 ：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。 1111?23 与 198 的大小。 例 8 比较 11n?1?n?,n?1?n2n 析解：由于 22 / 35 1?2(n?1?n). 所以 n 取 n 2， 3， 410000 代入上式，并将所得的不等式相加得： 111?2(3?2?4?3?),3 2 111?2(?2)?2(100?)?197, 即 2 1111? 所以 两个实数大小的比较，方法多种多样，在实际操作时，根据要比较的数的特 点来选择适当的方法进行比较，才能方便快捷地取得准确的结果。 111222 【学习课题】 第 12课时 实数比较大小 【学习 目标】 1.掌握估算的方法，能估算一个无理数的大致23 / 35 范围比较两个数的大小。 2.尝试掌握各种不同的方法来比较两个无理数的大小。 【候课朗读】 【学习过程】 一估算法 1.估算求值： 2 3 5 = ？ 解： ?16?20?25 ?4?20?5 (误差小于 1) ?20? ?20? (误差小于 ) 通过本例你学到了什么？ 2、利用估算法比较下列各数的大小 例 1： ?1与 1 与 ?12 与 33 24 / 35 解： ?1 = 1 ?1 1 2 二 .平方法：一般地，如果 a?0,且 a 例 2: (1)解 ?b2, 那么 a?b 2512?6?37 42 1?45?37?22?9?5? 、 28 与 与 25 扩展：还可寻找其根指数的最小公倍数，将两边 同时 n次方。 例 3： 25 / 35 解： ()6?153?3375 ， (25)6?252?625 25 又 3375 625 三把根号外的非负数移到根号内 例 4： ?解 ? ? ?150?180 ?第 1 页 共 2 页 四倒数法：应用公式 n?1?n?1 26 / 35 n?1?n 例 5：【达标检测】比较下列各组数的大小 、 3 2 与 2 11 322 的大小 先在数轴上找到表示 把找 . 2 个单位，此时 B，那么点 B 表示的数就是 22 A，所以 A 27 / 35 表示的数就是 2. 在数轴上点 B在点 A 的左边，所以 22. 第 2 页 共 2 页 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 负有理数 正无理数 28 / 35 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住 “ 无限不循环 ” 这一时之，归纳起来有四类： 开方开不尽的数，如 7,2 等； 有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如 +8等； 3 有特定结构的数，如 ?等； 29 / 35 某些三角函数，如 sin60o等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b互为相反数，则有 a+b=0， a= b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0 。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0 ；若 |a|=-a，则 a0 。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果 a 与 b互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和 -1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平30 / 35 方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a的平方根。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数 a的平方根记做 “?a” 。 2、算术平方根 正数 a的正的平方根叫做 a的算术平方根，记作 “a” 。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a a2?a? ；注意 aa?0 -a a?0 31 / 35 3、立方根 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意： ?a?a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做 ?a?10n 的形式，其中 1?a?10， n是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 32 / 35 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法 数轴比