圆和圆的位置关系_4

1 / 10 圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点 :两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质 .它们是本节的主要内容 ,是圆的重要概念性知识 ,也是今后研究圆与圆问题的基础知识 . 难点 :两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用 .由于两圆位置关系有 5种类型 ,非凡是相离有外离和内含 ,相切有外切和内切 ,学生轻易遗漏 ;而在相交圆的性质应用中 ,学生轻易把 “ 相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线 .” 看成是真命题 . 2、教法建议 本节内容需要两个课时 .第一课时主要研究圆和圆的位置关系 ;第二课时相交两圆的性质 . (1)把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体 ,让学生观察、分析、归纳概括 ,主动获得知识 ; (2)要重视圆的对称美的教学 ,组织学生欣赏 ,在激发学生的学习爱好中 ,获得知识 ,提高能力 ; (3)在教学中 ,以分类思想为指导 ,以数形结合为方法 ,贯串整个教学过程 . 第一课时圆和圆的位置关系 2 / 10 教学目标 : 1.把握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法 ;两圆连心线的性质 ; 2.通过两圆的位置关系 ,培养学生的分类能力和数形结合能力 ; 3.通过 演示两圆的位置关系 ,培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力 . 教学重点 : 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系 . 教学难点 : 两圆位置关系及判定 . (一 )复习、引出问题 1.复习 :直线和圆有几种位置关系 ?各是怎样定义的 ? (教师主导 ,学生回忆、回答 )直线和圆有三种位置关系 ,即直线和圆相离、相切、相交 .各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2.引出问题 :平面内两个圆 ,它们作相对运动 ,将会产生什么样的位置关系呢 ? (二 )观察、分类 ,得出概念 1、让学生观察、 分析、比较 ,分别得出两圆 :外离、外切、相交、内切、内含 (包括同心圆 )这五种位置关系 ,准确给出描述性定义 : 3 / 10 (1)外离 :两个圆没有公共点 ,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时 ,叫做这两个圆外离 .(图 (1) (2)外切 :两个圆有唯一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,每个圆上的点都在另一个圆的外部时 ,叫做这两个圆外切 .这个唯一的公共点叫做切点 .(图 (2) (3)相交 :两个圆有两个公共点 ,此时叫做这两个圆相交 .(图(3) (4)内切 :两个圆有唯一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 ,一个圆上的点都在另一个 圆的内部时 ,叫做这两个圆内切 .这个唯一的公共点叫做切点 .(图 (4) (5)内含 :两个圆没有公共点 ,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内含 (图 (5).两圆同心是两圆内含的一个特例 .(图 (6) 2、归纳 : (1)两圆外离与内含时 ,两圆都无公共点 . (2)两圆外切和内切统称两圆相切 ,即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类 :相离 (外离和内含 );相交 ;相切 (外切和内切 ). 教师组织学生归纳 ,并进一步考虑 :从两圆的公共点的个数考虑 ,无公共点则相 离 ;有一个公共点则相切 ;有两个公共点则相交 .除以上关系外 ,还有其它关系吗 ?可能不可能有三个4 / 10 公共点 ? 结论 :在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系 . (三 )分析、研究 1、相切两圆的性质 . 让学生观察连心线与切点的关系 ,分析、研究 ,得到相切两圆的连心线的性质 : 假如两个圆相切 ,那么切点一定在连心线上 . 这个性质由圆的轴对称性得到 ,有爱好的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证实 2、两圆位置关系的数量特征 . 设两圆半径分别为 R 和 r.圆心距为 d,组织学生研究两圆的五种位置关系 ,r 和 d 之间有何数 量关系 .(图形略 ) 两圆外切 d=Rr; 两圆内切 d=Rr(Rr); 两圆外离 dRr; 两圆内含 dr); 两圆相交 RrdRr. 说明 :注重 “ 数形结合 ” 思想的教学 . (四 )应用、练习 例 1:如图 ,o 的半径为 5 厘米 ,点 P 是 o 外一点 ,oP=8 厘米 求 :(1)以 P为圆心作 P 与 o 外切 ,小圆 P 的半径是多少 ? 5 / 10 (2)以 P 为圆心作 P 与 o 内切 ,大圆 P 的半径是多少 ? 解 :(1)设 P 与 o 外切与点 A,则 PA=PooA PA=3c m. (2)设 P 与 o 内切与点 B,则 PB=PooB PB=13cm. 例 2:已知 :如图 ,ABc 中 ,c=90,Ac=12,Bc=8, 以 Ac为直径作 o, 以 B 为圆心 ,4为半径作 . 求证 :o 与 B 相外切 . 证实 :连结 Bo,Ac 为 o 的直径 ,Ac=12, o 的半径 ,且 o 是 Ac的中点 ,c=90 且 Bc=8, , o 的半径 ,B 的半径 , Bo=,o 与 B 相外切 . 练习 (P138) (五 )小结 知识 : 两圆的五种位置关系 :外离、外切、相交、内切、内含 ; 以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系 ; 两圆相切时切点在连心线上的性质 . 6 / 10 能力 :观察、分析、分类、数形结合等能力 . 思想方法 :分类思想、数形结合思想 . (六 )作业 教材 P151中习题 A 组 2,3,4题 . 第二课时相交两圆的性质 教学目标 1、把握相交两圆的性质定理 ; 2、把握相交两圆问题中常添的辅助线的作法 ; 3、通过例题的分析 ,培养学生分析问题、解决问题的能力 ; 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美 . 教学重点 相交两圆的性质及应用 . 教学难点 应用轴对称来证实相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线 . 教学活动设计 (一 )图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形 .相交两圆具有什么性质呢 ? (二 )观察、猜想、证实 1、观察 :同样相交两圆 ,也构成对称图形 ,它是以连心线为对7 / 10 称轴的轴对称图形 . 2、猜想 :“ 相交两圆的连心线垂直平分公共弦 ”. 3、证实 : 对 A 层学生让学生写出已知、求证、证实 ,教师组织 ;对 B、c 层在教师引导下完成 . 已知 :o1 和 o2 相交于 A,B. 求证 :Q1o2是 AB的垂直平分线 . 分析 :要证实 o1o2 是 AB 的垂直平分线 ,只要证实 o1o2 上的点和线段 AB两个端点的距离相等 ,于是想到连结 o1A、 o2A、o1B、 o2B. 证实 :连结 o1A、 o1B、 o2A、 o2B,o1A=o1B, o1 点在 AB的垂直平分线上 . 又 o2A=o2B, 点 o2在 AB的垂直平分线上 . 因此 o1o2是 AB的垂直平分线 . 也可考虑利用圆的轴对称性加以证实 : ol 和 o2, 是轴对称图形 , 直线 o1o2 是 ol 和 o2的对称轴 . ol 和 o2 的公共点 A关于直线 o1o2的对称点即在 ol上又在 o2 上 . A 点关于直 线 o1o2的对称点只能是 B 点 , 连心线 o1o2是 AB的垂直平分线 . 定理 :相交两圆的连心线垂直平分公共弦 . 8 / 10 注重 :相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦 ,而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线 . (三 )应用、反思 例 1、已知两个等圆 ol 和 o2 相交于 A,B 两点 ,ol 经o2。 求 olAB 的度数 . 分析 :由所学定理可知 ,o1o2是 AB的垂直平分线 , 又 o1 与 o2 是 两 个 等 圆 , 因此连结 o1o2 和Ao2,Ao1,o1Ao2 构成等边三角形 ,同时可以推证 ol 和o2 构成的图形不仅是以 o1o2为对称轴的轴对称图形 ,同时还是以 AB为对称轴的轴对称图形 .从而可由 olAo2=60, 推得 olAB=30. 解 :o1 经过 o2,o1 与 o2 是两个等圆 olA=o1o2=Ao2 o1Ao2=60, 又 ABo1o2 olAB=30. 例 2、已知 ,如图 ,A 是 ol 、 o2 的一个交点 ,点 P 是 o1o2的中点。过点 A 的直线 mN垂直于 PA,交 ol 、 o2 于 m、 N。 求证 :Am=AN. 证实 :过点 ol、 o2 分别作 olcmN 、 o2DmN, 垂足为 c、 D,则 olcPAo2 D,且 Ac=Am,AD=AN. 9 / 10 olP=o2P,AD=Am,Am=AN. 例 3、已知 :如图 ,ol 与 o2 相交于 A、 B 两点 ,c 为 ol上一点 ,Ac 交 o2 于 D,过 B 作直线 EF 交 ol 、 o2 于 E、F. 求证 :EcDF 证实 :连结 AB 在 o2 中 F=cAB, 在 ol 中 cAB=E, F=E,EcDF. 反思 :在解有关相交两圆的问题时 ,常作出连心线、公共弦 ,或连结交点与圆心 ,从而把两圆半径 ,公共弦长的一半 ,圆心距集中到一个三角形中 ,运用三角形有关知识来解 ,或者结合相交 弦定理 ,圆周角定理综合分析求解 . (四 )小结 知识 :相交两圆的性质 :相交两圆的连心线垂直平分公共弦 .该定理可以作为证实两线垂直或证实线段相等的依据 . 能力与方法 : 在解决两圆相交的问题中经常需要作出两圆的公共弦作为辅助线 ,使两圆中的角或线段建立联系 ,为证题创造条件 ,起到了 “ 桥梁 ” 作用 ; 圆的对称性的应用 . (五 )作业教材 P152 习题 A 组 7、 8、 9 题 ;B组 1 题 . 探究活动 问题 1:已知 AB 是 o 的直径 ,点 o1、 o2、 、 on在线段 AB10 / 10 上 ,分别以 o1、 o2、 、 on 为圆心作圆 ,使 o1 与 o 内切 , o2与 o1 外切 ,o3 与 o2 外切 ,on 与 on1 外切且与 o 内切 .设 o 的周长等于 c,o1 、 o2 、 、 on的周长分别为 c1、 c2、 、 cn. (1)当 n=2时 ,判定 clc2与 c 的大小关系 ; (2)当 n=3时 ,判定 clc2c3与 c 的大小关系 ; (3)当 n 取大于 3 的任一自然数时 ,cl 十 c2 十 十 cn 与 c的大小关系怎样 ?证实你的结论 . 提示 :假设 o 、 o1 、 o2 、 、 on 的半径分别为 r、 rl、r2 、 、 rn, 通 过 周 长 计 算 , 比较可得(1)clc2=c;(2)clc2c3=c;(3)cl 十 c2十 十 cn=c. 问题 2:有八个同等大小的圆形 ,