均值不等式教案

1 / 24 均值不等式教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 教学设计 3 2 均值不等式 整体设计 教学分析 均值不等式也称基本不等式本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解教材用作差配方法证明均值不等式作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法在解 题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能一般说来， “ 见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值 ” 本节的新课标要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大 (小 )问题从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，2 / 24 涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐 ，因而成为历届高考中的热点几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影书中练习 A、 B 和习题都是基本题，要求全做 鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为 2 课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式 a2 b22ab 的联系 三维目标 1通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何 意义，掌握定理中的不等号 “”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 2通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透 “ 转化 ”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德 3通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯 重点难点 教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角3 / 24 度探索不等式 a b2ab 的 证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题 教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式 a b2ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(直接引入 )像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然 思路 2.(情境导入 )教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候 玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个 360 的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题 推进新课 新知探究 提出问题 4 / 24 1均值定理的内容是什么？怎样进行证明？ 2你能证明 a2 b22ab 吗？3你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？ 4均值不等式有哪些变形式？ 活动：教师引导学生 阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式其中，任意两个正实数 a、 b 的 a b2 叫做数 a、 b 的算术平均值，数 ab 叫做 a、b 的几何平均值均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件， a、 b 必须是正数，等号成立当且仅当a b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的 “ 一正二定三相等 ” 打下基础 利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2 b22ab. 这是一个很重要的结论一般地，如果 a、 bR ，那么 a2 b22ab( 当且仅当 a b时取 “ ”) 也可让学生重新证明这个结论： a2 b2 2ab (a b)2， 当 ab 时，有 (a b)2 0. 5 / 24 当 a b 时，有 (a b)2 0，所以 (a b)20 ，即 a2 b22ab. 这个不等式对任意实数 a， b 恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛请同学 们注意公式的结构形式，成立的条件是 a、 b 为实数，等号成立的条件是当且仅当 a b 时成立 “ 当且仅当 ” 即指充要条件 下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究 如图 1， AB 是圆的直径，点 c 是 AB 上一点， Ac a， Bc b.过点 c 作垂直于 AB 的弦 DD ，连结 AD、 BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？ 图 1 (本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础 ) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一 个重要图形容易证明AcDDcB. 所以可得 cD ab.或由射影定理也可得到 cD ab.从图中我们可直观地看到 ab 表示的是半弦长， a b2表示的是半径长由于半弦长不大于半径，即 cD 小于或等于圆的半径，用不等式表示为： a b2ab. 显然，上述不等式当且仅当点 c 与圆心重合，即当 a b 时，等号成立 6 / 24 还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式如若 a、 bR ，则 aba b2，当且仅当 a b 时，式中等号成立好多书上就把它称为基本不等式在同样条件下还可写成： a b2ab或 2aba b 等 讨 论结果： (1)(2)略 (3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长 (4)若 a、 bR ，则 aba b2，当且仅当 a b 时，式中等号成立； 若 a、 bR ，则 a b2ab ，当且仅当 a b 时，式中等号成立； 若 a、 bR ，则 a2 b22ab ，当且仅当 a b 时，式中等号成立 应用示例 例 1(教材本节例 1) 活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的 ba 和 ab 相当于均值不等式中的 a、 b.因此必须有 ba， abR 点评：初用均值不等式，学生 往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯 . 变式训练 7 / 24 已知 a、 b、 c 都是正实数，求证： (a b)(b c)(ca)8abc. 证明： a 0， b 0， c 0， a b2ab 0， b c2bc 0， c a2ca 0. (a b)(b c)(c a)2ab2bc2ac 8abc， 即 (a b)(b c)(c a)8abc. 例 2 已知 (a b)(x y) 2(ay bx)，求证 ： x ya b a bx y2. 活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论本题结论中，注意 x ya b 与 a bx y 互为倒数，它们的积为 1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明 x ya b 与 a bx y 为正数开始证题 证明： (a b)(x y) 2(ay bx)， ax ay bx by 2ay 2bx. ax ay by bx 0. (ax bx) (ay by) 0. (a b)(x y) 0， 即 a b 与 x y 同号 x ya b 与 a bx y 均为正数 x ya b a bx y2x ya ba bx y8 / 24 2(当且仅当 x ya b a bx y 时取 “ ”) x ya b a bx y2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断 x ya b 与 a bx y 是正还是负，是我们今后解题中常用的方法 例 3 若 a b 1， P lgalgb， Q 12(lga lgb)， R lga b2，则 ( ) A R P QB P Q R c Q P RD P R Q 活动：这是均值不等式及其变形式的典型应 用根据 P、 Q、R 三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数 y lgx 的单调性 答案： B 解析： a b 1， lga lgb 0. 12(lga lgb) 122lgalgb，即 Q P. 又 a b2 ab， lga b2 lgab 12(lga lgb) R Q.故 P Q R. 点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式 例 4(教材本节例 2) 9 / 24 活动：这是一个实际问题教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与 宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在 (2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型 点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握 “ 一正、二定、三相等 ” 正是正数，定是定 值，相等是能取到等号 知能训练 1 “a 18” 是 “ 对任意的正数 x,2x ax1” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 c充要条件 D既不充分又不必要条件 2若正数 a、 b 满足 ab a b 3，则 ab 的取值范围是_ 答案： 1 A 解析：一方面，当 a 18 时，对任意的正数 x，有 2x ax 2x 18x1 ；另一方面，对任意正数 x，都有 2xax1 ，只要 2x ax22a1 ，即得 a18. 10 / 24 2 9， ) 解法一：令 ab t(t 0)， 由 ab a b 32ab 3，得 t22t 3， 解得 t3 ，即 ab3 ，故 ab9. 解法二：由已知得 ab b a 3， b(a 1) a 3， b a 3a 1(a 1) ab aa 3a 1 (a 1) 1a 3a 1 a 3a 3a 1 a 1 4 a 1 4a 1 a 1 4a 1 52a 14a 1 5 9. 当且仅当 a 1 4a 1 时取等号，即 a b 3 时， ab 的最小值为 9. ab 的取值范围是 9， ) 点评： 此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力通过思考 a b 与 ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域 由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法 课堂小结 1由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？ 2教师强调，本节课，我们学习了重要不等式 a2 b22ab ；两正数 a、 b 的算术平均数 (a b2)，几何平均数 (ab)及它们的关系 (a b2ab) 两关系式成立的条件不同，前者只要11 / 24 求 a、 b 都是实数，而后者要求 a、 b 都是正数它们既是不等 式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具 作业 习题 3 2A 组， 4,5,6.习题 3 2B 组， 1,2. 设计感想 1本节设计突出重点均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住但使用均值不等式求函数最值时要注意： x ， y 都是正数； 积 xy(或和 x y)为定值；x 与 y 必须能够相等 2本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的 ，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善 (设计者：郑吉星 ) 第 2 课时 导入新课 思路 1.(复习导入 )让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果 a， bR ，那么 a2 b22ab( 当且仅当 a b 时取“ ”) ；二是均值不等式：如果 a， b 是正数，那么 ab2ab( 当且仅当 a b 时取 “ ”) 在这个不等式中， a12 / 24 b2 为 a， b 的算术平均数， ab 为 a， b 的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径 a2b22ab 与 a b2ab 成立的条件是不同的，前者只要求 a，b 都是实数，而后者要求 a， b 都是正数本节课我们进一步探究均值不等式的应用由此展开新课 思路 2.(直接导入 )通过上节课 a2 b22ab(a 、 bR) 与 a b2ab(a 0， b 0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路教师打开多媒体课件，从而展开新课 推进新课 新知探究 提出问题 1回忆上节课探究的均值不等式，怎样 理 解 均 值 不 等 式 的 意 义 ？ 都 有 哪 些 变 形 ？2均值不等式都有哪些方面的应用？3在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？ 活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与 a2 b22ab 的联系给出了均值不等式的一个几何直观解释均值不等式与 a2 b22ab 都有着广泛的应用对这两个重要不等式，要明确它们成立的条13 / 24 件是不同的后者成立的条件是 a 与 b 都为实数，并且 a 与b 都为实数是不等式成立的充分必 要条件；而前者成立的条件是 a 与 b 都为正实数，并且 a 与 b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如 a 0， b 0，仍然能使 a b2ab 成立 两个不等式中等号成立的条件都是 a b，故 a b 是不等式中等号成立的充要条件 在使用 “ 和为常数，积有最大值 ” 和 “ 积为常数，和有最小值 ” 这两个结论时，应把握 “ 一正、二定、三相等 ” 当条件不完全具备时，应创造条件 本节课我们将进一步探究均值不等式的应用 讨论结果： (1)(2)略 (3)应注意不等式成立的条件，即把握好 “ 一正，二定，三相等 ” 应用示例 例 1(教材本节例 3) 活动：本例是求函数的最值教师引导学生将 f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨 点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能 . 14 / 24 变式训练 函数 y loga(x 3) 1(a 0且 a1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上，其中 mn 0，则 1m 2n 的最小值为 _ 答案： 8 解析： y loga(x 3) 1 恒过点 ( 2， 1)， A( 2， 1) 又 A 在直线上， 2m n 1 0，即 2m n 1. 又 mn 0， m 0， n 0. 而 1m 2n 2m nm 4m 2nn 2 nm 2 4mn4 22 8， 当 n 12， m 14 时取 “ ” 1m 2n 的最小值为 8. 例 2(1)已知 x 54，求函数 y 4x 2 14x 5 的最大值； (2)已知 a、 b 为实数，求函数 y (x a)2 (x b)2 的最小值 活动： (1)因为 4x 5 0，所以首先要 “ 调整 ” 符号又 (4x 2)14x 5 不是常数，所以应对 4x 2 进行拆 (添 )项 “ 配凑 ” (2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于 x15 / 24 的二次函数，再通过配方法求其最小值但若注意到 (x a) (b x)为定值，则用变形不等式 m2 n22(m n2)2 更简捷 解： (1)x 54， 5 4x 0. y 4x 2 14x 5 (5 4x 15 4x) 3 2 3 1. 当且仅当 5 4x 15 4x，即 x 1 时，上式等号成立 当 x 1 时， ymax 1. (2)y (x a)2 (x b)2 (x a)2 (b x)2 2x a b x22a b22， 当且仅当 x a b x，即 x a b2 时，上式等号成立 当 x a b2 时， ymin a b22. 点评：若 x、 yR ， x y s， xy p.若 p 为定值，则当且仅当 x y 时， s 的值最小；如果 s 为定值，则当且仅当 x y 时， p 的值最大简称 “ 和定积最大，积定和最小 ” 从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆 (添 )项，其目的是创设应 用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“ 一正，二定，三相等 ” 的要求 . 变式训练 已知在 ABc 中， AcB 90 ， Bc 3， Ac 4， P 是 AB上的点，则点 P 到 Ac、 Bc 的距离乘积的最大值是 _ 答案： 3 16 / 24 解析：方法一：以 cA、 cB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线 AB 方程为 x4 y3 1，设 P(a， b)，则 a4 b3 1(a 0， b 0) ab 12a4b312(a4 b32)2 3， 当且仅当 “a 4b3” 时等号成立 方法二：设 P 到 Bc 的距离为 a，到 Ac 的距离为 b. 由相似三角形易得 a4 PB5， b3 PA5， a4 b3 PB PA5 1.以下解法同一 例 3 当 x 1 时，求函数 f(x) x2 3x 1x 1 的值域 活动：教师引导学生观察函数 f(x)的分子、分母特点，可作 如 下 变 形 ： f(x) x2 3x 1x 1 x 12 5x 1 5x 1 x 1 5x 1 5. 这样就可以应用均值不等式了 解： x 1， x 1 0. f(x) x2 3x 1x 1 x 125x 1 5x 1 x 1 5x 1 52x 15x 1 517 / 24 25 5，当且仅当 (x 1)2 5 时，即 x 5 1 时取 “ ” 另一解 x 5 1 1(舍去 )，故函数值域为 25 5，) 点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思这种求值域的题目，在 “ 函数 ” 一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图 象法，还有判别式法利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件： 各项均为正数； 和或积有一个为定值； 等号一定取到，这三个条件缺一不可 . 变式训练 已知 x1x2x3xXX 1，且 x1、 x2、 x3、 、 xXX 都是正数，则 (1 x1)(1 x2)(1 xXX)的最小值是 _ 答案： 2XX 解析： x1 0，则 1 x12x1 ， 同理， 1 x22x2 ， 1 xXX2xXX ， 各式相乘，得 (1 x1)(1 x2)(1 xXX)2XXx1x2x3󈵚 / 24 ;xXX 2XX. 取 “ ” 的条件为 x1 x2 x3 xXX 1， 所求最小值为 2XX. 例 4 设 0 x 2，求函数 f(x) 3x83x的最大值，并求相应的 x 值试问 0 x 43 时，原函数 f(x)有没有最大值？ 0 x1 时， f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由 活动：对本例中的函数可变形为 f(x) 24x 9x2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨 解： 0 x 2， 8 3x 0. f(x) 3x8 3x3x 8 3x22 4， 当且仅当 3x 8 3x，即 x 43 时取 “ ” 函数 f(x)的最大值为 4，此时 x 43. 又 f(x) 9x2 24x 3x 42 16， 当 0 x 43 时， f(x)递增；当 x 43 时， f(x)递减 当 0 x 43 时，原函数 f(x)没有最大值 当 0 x1 时，有最大值 f(1)，即 f(1) 15 点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解体会不19 / 24 等式的功能在于 “ 和与积 ” 的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆 (添 )项或配凑因式 知能训练 1函数 f(x) xx 1 的最大值为 ( ) 1 2求函数 y x 1x(x 0)的最小 值，以及此时 x 的值 3已知 x、 yR ，且 2x 8y xy 0，求 x y 的最小值 答案： 1 B 解析：当 x 0 时， f(x) 0；当 x 0 时， f(x) xx 1 1x 1x12 ，当且仅当 x 1x，即 x 1 时取等号 2解： x 0， x 1x2x1x 2， 当且仅当 x 1x，即 x 1 时取等号 当 x 1 时， x 1x 的值最小，最小值是 2. 3解：由 2x 8y xy 0 得 y(x 8) 2x. x 0， y 0， x 8 0. x y 2xx 8 x x 8 16x 8 102x 816x 8 10 18， 当且仅当 x 8 16x 8，即 x 12 时， x y 取最小值 18. 课堂小结 1由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？ 2教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些20 / 24 最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件： (1)函数的解析式中，各项均为正数； (2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； (3)函数的解析式中 ，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构 作业 习题 3 2A 组 2、 3、 7、 8、 9；习题 3 2B 组 3、 4. 设计感想 1本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练 2本节设计关注了教学进程的和谐发展整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能 力得到很大的提高 3本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方 备课资料 一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法 (局部调21 / 24 整法 ) (1)设 a1， a2， a3， ， an 为正实数，这 n 个数的算术平均值记为 A，几何平均值记为 G，即 A a1 a2 ann， G na1a2an ，即 AG ，当且仅当 a1 a2 an 时， AG.特别地，当 n 2 时， a b2ab ；当 n 3 时， a bc33abc. (2)用局部调整法证明均值不等式 AG. 设这 n 个正数不全相等不失一般性，设 0 a1a2an ，易证 a1 Aan，且 a1 G an.在这 n 个数中去掉一个最小数 a1，将 a1换成 A，再去掉一个最大数 an，将 an 换成 a1 an A，其余各数不变，于是得到第二组正数： A， a2， a3， ， an 1，a1 an A.这一代换具有下列性质： 两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为 A1，那么 A1 A a2 a3 an 1 a1 an An A， 第二组数的几何平均值最大设第二组数的几 何平均值为 G1，则 G1 nAa2a3an 1a1 an A， A(a1 an A) a1an (A a1)(an A)，由 a1 A an，得 (A a1)(an A) 0 ，则 A(a1 an A) a1an.Aa2a3an 1(a1 an A) a1a2an 1an，即 G1 G. 二、备用习题 1已知 a0 ， b0 ，且 a b 2，则 ( ) 22 / 24 A ab12B ab12c a2 b22D a2 b23 2若 a、 b、 c、 d、 x、 y 是正实数， 且 P ab cd， Q ax cybx dy，则 ( ) A P QB P Qc PQD PQ 3若函数 y f(x)的值域是 12， 3，则函数 F(x) f(x) 1fx的值域是 ( ) A 12