垂直于弦的直径_1

1 / 9 垂直于弦的直径 垂直于弦的直径 -垂径定理 【教学内容】垂径定理 【教学目标】 1知识目标： 通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； 掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； 掌握辅助线的作法 过圆心作一条与弦垂直的线段。 2能力目标： 通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； 向学生渗透 “ 由特殊到一般，再由一般到特殊 ” 的基本思想方法。 3情感目标： 结合本 课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； 激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 2 / 9 【教学设计】 一复习提问 1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？ 2 那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流 3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径 4 板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 二、实例导入，激疑引趣 1实例：同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三册第一课 茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有 1400 多年历史，被誉为 “ 华北四宝之一 ” ，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图 1），它的跨度（弧所对的弦长）为米拱高（弧的中点到弦 AB 的距离， 也叫弓高）为米。请问：桥拱的半径（即弧 AB 所在圆3 / 9 的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1 幻灯片放映） 三、尝试诱导，发现定理 （一）学生活动 1 让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。 如图， AB 是 o 的一条弦，做直径 cD，使 cDAB ，垂足为 E 2 教师用电脑演示重叠的过程。 提问：（ 1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （ 2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由 （老师点评）（ 1）是轴对称图形，其对称轴是 cD （ 2） AE=BE， AD=BDAc=Bc 4 / 9 （二）引导探究，证明定理 1引导证明： 引导学生从以下两方 面寻找证明思路。 证明 “AE=BE” ，可通过连结 oA、 oB来实现，利用等腰三角形性质证明。 证明 “ 弧相等 ” ，就是要证明它们 “ 能够完全重合 ” ，可利用圆的对称性证明。 2归纳定理： 根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为 “ 垂径定理 ” 。 （板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3巩固定理： A D 在下列图形能否利用 “ 垂径定理 ” 得到相等的线段和相等的弧？若不能，说明理由；。 A B c c E 5 / 9 A B o E B c o c c E E A B E 6 / 9 B A B A D D D 向学生强调： (1)定理中的两个条件缺一不可； (2)定理的变式图形。 四、例题示范，变式练习 1运用定理解决赵州桥的问题。 例 1导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图 1），它的跨度（弧所对的弦长）为米拱高（弧的中点到弦 AB 的距离， 也叫弓高）为米。请问：桥拱的半径（即弧 AB 所在圆的半径）是多少 ？ 7 / 9 o D A c R 分析：如图，用 AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为 o，半径为 R经过圆心 o 作弦 AB 的垂线 oc， D 为垂足， oc 与AB 相交于点 D，根据前面的结论， D 是 AB 的中点， c 是 AB的中点， cD就是拱高 在图中 AB=， cD= B AD=1/2AB=1/2= oD=oc-cD= 在 RtoAD 中，由勾股定理，得 oA2=AD2+oD2 即 R2=2+（ R） 2 解得： R27 9（ m） 答：赵州桥的主桥拱半径约为 E B A 8 / 9 例 2 如图，在 o 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 o 到 AB 的距离为 3cm，求 o 的半径 解 答： o 的半径为 5cm. 五小结 请大家围绕以下两个问题小结本节课 学习了一个与圆有关的重要定理，定理的内容是什么？ 在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？ 归纳： 1.垂径定理相当于说一条直线如果具备 （ 1）过圆心； （ 2）垂直于弦 则它有以下性质 （ 1）平分弦； （ 2）平分弦所对的劣弧；平分