如何教学抽屉问题

1 / 6 如何教学抽屉问题 如何教学抽屉问题 抽屉原理是人教版六年级下册数学广角中的内容，它原来是小学奥数及至高中数学竞赛范畴，如今走上了全体学生学习的大众课堂，这对我们教师来说是一个挑战，我们决不可因为自己的不熟悉而对学生敷衍了事 .个人认为，教材中抽屉问题的教学需要老师自己完全吃透这类问题，吃透教材例题。 首先，教师自己要吃透抽屉原理。抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，它最先由德国数学家狄利克雷明确提出来的，因此，也叫狄利克雷原理。它实际是由浅入深的三条原理。 原理 1： m个物体，按任意方式放入 n个抽屉中，（ mn，m、 n 是非 0 的自然数），则至少有一个抽屉中含有至少两个物体。 原理 2： m 个物体，按任意方式放入 n 个抽屉中，且mn=kp （ m、 n、 k、 p 都是非 0 自然数）则至少有一个抽屉中含有至少 k+1个物件。 原理 3：无穷多个物体放入 n 个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷多个元素。 现行教材中只编排了抽屉原理 1、 2 的教学。作为教师，2 / 6 先学为师，自己必须有满桶水，首先不可不知抽屉原理 1 与抽屉原理 2 的关系：两种类型的抽屉原理是一致的，第一种类型不过是第二种类型的特例（当 k=1 时），第二种类型则是抽屉原理的一般形式。当然若知道有抽屉原理 3 则更有助于自己的透彻理解。 然后，我们必须理解抽屉原理中的关键词。抽屉原理只能用来解决存在性问题。 “ 至少有一个抽屉 ” 的意思是 “ 存在有一个抽屉 ” ，并要知道满足要求的抽屉其实可能有多个。 “ 至少有 2 个物体 ” 的意思是 “ 含有 2 个或 2 个以上的物体 ” 。 “ 任意放 ” 的意思是不限制把物体放进抽屉的方法，也不限制每个抽屉放物体的个数，即允许放物体时有的抽屉可以是空的。 理解了抽屉原理的关键词后，就必经了解抽屉原理 的解决办法及各办法的优劣。 方法一：枚举法。优点是利于接受，缺点是受数量多少的局限，具体说就是当物体个数多时，你把问题答案一一列举，会感觉到效率低下，浪费了宝贵的时间。 方法二：假设法。它能够解决一般的问题，缺点是学生难于用简练、严谨的数学语言来表达。 方法三：反证法。方法本身的合理性难于让小学生接受。 方法四：发现规律，渗透平均分的思想，得出列式的方法：至少数 =商加上 1（有非 0 余数时）。 3 / 6 当教师自己理解了抽屉原理，明白了抽屉原理的一般解法后，就可以基本上走 向课堂教学了。为什么说 “ 基本上 ”呢？因为还必经吃透教材的例题及习题。 教材受内容的限制，所选例题及习题并不能让所有方法都容纳其中。且只有例 2 是以列式的形式解答了。而且学生对假设法及反证法这种需要以严谨的数学语言表达数学思维的过程及结果的方法停留在接受的基础上，难于自己独立解答。 其实这三个例题都是可借助算式思考的。（例 1：把 4枝铅笔放入 3 个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进 2 枝铅笔。可这样例式： 43=111+1=2 。例 3：盒子里有同样大小的红球与蓝球各 4 个。要想摸出 的求一定有 2 个同色的，最少要摸出几个球？本题是求物体个数，根据抽屉原理 2 进行逆推，可这样列式： 2 -1=1（至少数 -1=商）， 12+1=3 ，（商 抽屉数 +1=物体个数）。 在列算式的基础上，再用假设法表达思维过程及结果，学生会觉得抽屉问题也不是太深奥的。 教材例题还有一个问题要注意，那就是例 1、 2 中余数刚好都是 1，教学时要强调 “ 至少数 =商加 1” 不能理解成商加余数，并要结合余数不是 1 的情况，在对比、辨析中帮助学生更好的理解 “ 商加 1” 中 “1” 的含义。 再就是教材中竟没有涉及到余数为 0 的情况，注意，这4 / 6 时至少数等于商。其实还可完善抽屉原理的另一种情况：物体个数比抽屉个数少的时候，总有一个抽屉至少有 1个物体。 作为教者，要明白的是，解决抽屉问题时，只要求指明存在。个人认为，简单数字可先用枚举法得出结果，再组织学生探讨归纳出列式解决问题的方法，再学习用假设法、反证法来思考解决问题，以发展学生的抽象思维能力，这样的顺序可让学生逐步理解解决抽屉原理的办法。 在教会学生理解抽屉原理后，运用抽屉原理解决问题时，还会遇到困难，那就是不知道谁是抽屉，抽屉 个数也不知道。这要靠多练习，一般来说， “ 制造抽屉 ” 的基本思路是分类，而确定抽屉的个数则需要运用计数的基本方法与原理。举例说明一下： 例 1：任意给出 4 个不同的自然数（不能为 0）其中必有两个数的差是 3 的倍数，请说说理由。（湖南少年儿童出版社出版的义务教育课程标准基础训练之数学练习册第 12册第 32页第 9 题） 分析讲解：应用抽屉原理解题，先要找到抽屉数。因为任意一个非 0 自然数除以 3 的余数有三种情况：余数是 0（即整除）、 1、 2，把这 3 中情况看作 3 个抽屉，任意 4 个不同的自然数放入这 3 个抽屉，根据抽屉 原理 1，必有一个抽屉中至少有两个数。这时，放在同一个抽屉中的两个数，它们除以 3 的余数相同的，所以它们的差可知一定是 3 的倍数。 5 / 6 例 2：某班共有 50名学生，他们都订阅了 A小学生数学报、 B小学生导刊、 c小学生语文报这三种报刊中的一种、两种或三种。则其中至少有（ ）位同学订阅的报刊相同。 分析讲解：学生订报刊共分三类。第一类只订一种报刊的分三种情况：订 A、订 B、订 c；第二类订两种报刊的也分三种情况：订 AB，订 Ac，订 Bc；第三类订三种报刊的分一种情况：订 ABc。一共 3+3+1=7 种情 况，把这 7 种情况看作7 个抽屉。利用抽屉原理 2，因为 507 71 ， 7+1=8。所以其中至少有 8 位同学订阅的报刊相同，答案是 8。 例 3:（ 1947 年，匈牙利数学家首先把抽屉原理引进数学竞赛中，题如下。）证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。 这个问题乍看起来，似乎令人匪夷所思。而运用抽屉原理解答则不难：我们用 A、 B、 c、 D、 E、 F 代表留个人，从中随便找一个，例如 A 吧，把其余五个人放到 “ 与 A 认识 ”和 “ 与 A 不认识 ” 两个 “ 抽屉 ” 里去，利用抽屉原理，因为52 =21 ， 2+1=3，所以一定存在有一个抽屉中有三个人。不妨假定在 “ 与 A 认识 ” 的抽屉里有三个人，他们分别是 B、c、 D。如果 B、 c、 D 互不认识，那么我们找到了三个互不认识的人；如果 B、 c、 D 中有两个互相认识，例如 B 与 c 认识，那么 A、 B、 c 成为三个互相认识的人，不管哪种情况，本题6 / 6 结论都成立。 生活中也有运用抽屉原理分析问题的例子。古人宋代费衮把一个人的出生的年、月、日、时（八字）作为算命的根据，把 “ 八字 ” 作为 “ 抽屉 ” ，那么 “ 抽屉 ” 数是：1236060=259200( 个 )。天下这么多人，必然有千千 万万的人进同一个抽屉，这些人 “ 八字