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文档简介

第九章矩阵特征对的数值解法,幂法、反幂法：求极端特征对,本章考虑全部特征对解法！,9.1求特征方程根,求三对角矩阵（Jacobi矩阵）的特征对,特征多项式为,按最后一列展开，得,可以证明，,和,的根都是实单根，满足,序列,的变号数,定义为在,的变号数。遇到,时，,去掉。例如，,则,定理9.1,的变号数,就是三对角矩阵,在,上的特征值个数。进而，若,在区间,则,上的特征值个数为,线性代数中如下结果可用于估计特征值所在区间：,1）矩阵,的迹,=,的特征值之和,2）,3）圆盘定理：,的特征值均位于以下,个圆盘的并集中：,特别地，,个圆盘的相交部分中必有,个特征根，,孤立的圆盘中必有一个特征根。,求Jacobi矩阵,之特征对的攻略：,1）综合利用变号数、圆盘定理等确定有根区间。,2）在有根区间上用二分法或Newton法求,的根。,3）用反幂法求,的特征向量,例1.求在（0，3.5）中的全部特征值：,解.先计算变号数。由,得,从而,即在0,3.5上有两个根。进一步，可以算出,因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一个根。可以用二,分法求出：,上有单根。,上有单根。,上有单根。,上有单根。,9.1.2对称矩阵化为Jacobi矩阵,定义.次对角线以下元素都为零的准上三角矩阵称为,Hessenberg矩阵（H阵）。若次对角元素皆非零，则称为,不可约Hessenberg矩阵。,对方阵,可以通过Household变换化成H阵：,选取,其中,使得,于是，,如此进行步之后，得到Hessenberg矩阵,特别地，当,是对称矩阵时，,成为Jacobi阵。,可以用变号数方法以及二分法等等求解。,例.求对称矩阵特征值,解.先计算Househould矩阵：,?算错了？作用到,得,算出,由,知,在（0，5）间至少有,一个根。类似可以看出在（5，8）和（14，20）间各有,一个根。,再用二分法或Newton法即可求出特征值。,9.3,方法,9.3.1基本公式,已知，任意矩阵,可以分解为正交矩阵和上三角,矩阵的乘积,。可惜的是,不相似于,，不能,直接用来求特征值。但是，毕竟,是上三角矩阵。,相似变换,也许
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