本科毕业论文-混沌理论初步及其数值求解.doc

编号 本科生毕业论文混沌理论初步及其数值求解Basic Chaos Theory And Its Numerical Solutions学 生 姓 名 专 业信息与计算科学学 号指 导 教 师学 院理学院二一三年六月 - 1 -长春理工大学本科毕业论文毕业设计（论文）原创承诺书1本人承诺：所呈交的毕业设计（论文）混沌理论初步及其数值求解，是认真学习理解学校的长春理工大学本科毕业设计（论文）工作条例后，在教师的指导下，保质保量独立地完成了任务书中规定的内容，不弄虚作假，不抄袭别人的工作内容2本人在毕业设计（论文）中引用他人的观点和研究成果，均在文中加以注释或以参考文献形式列出，对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体均已在文中注明3在毕业设计（论文）中对侵犯任何方面知识产权的行为，由本人承担相应的法律责任4本人完全了解学校关于保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交论文和相关材料的印刷本和电子版本；同意学校保留毕业设计（论文）的复印件和电子版本，允许被查阅和借阅；学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存毕业设计（论文），可以公布其中的全部或部分内容以上承诺的法律结果将完全由本人承担！作 者 签 名： 年 月 日III摘要混沌理论被称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系.混沌学的研究是现代科学发展的新篇章本文主要讲述混沌学的起源和发展，以及在数学领域上的应用，并且列举出洛伦茨模型以及虫口模型两个重要的数学模型的范例，主要以Matlab模拟和C语言编程来展现.关键词：混沌理论 洛伦茨模型 虫口模型Abstract Chaos theory is called one of the most influenced theory in the 20 century with quantum mechanics and the theory of relativity. Chaos, according to early discover a major breakthrough in the study after that to the 70 this century form worldwide research boom, its involved in areas such as mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and many other disciplines, the results of that research, not only added a new branch of modern science, and almost penetrate and influence the whole subject system of modern science. Chaos science research is a new chapter in modern science development. This article mainly tells the origin and development of chaos, as well as the application in the field of mathematics, and enumerate lorenz model and two important examples of mathematical model of the pest model, mainly in the matlab model. Many scholars have called chaos theory after the quantum mechanics and relativity in the 20th centurys most influential one of scientific theory. Key words: Chaos；Lorenz Model；Population Model目 录摘要IAbstractII第一章绪论11.1混沌的定义11.2混沌理论产生的背景11.3混沌在现实生活中的应用21.3.1 混沌的具体应用21.3.2 混沌理论的现实意义31.4本文的写作安排4第二章混沌的理论初步52.1混沌的数学定义52.2 混沌的特征52.2.1 对初始条件的敏感依赖性52.2.2极为有限的可预测性62.2.3混沌的内部存在着超载的有序62.3混沌在数学中的具体应用62.3.1 漏水的自来水龙头62.3.2 差分方程62.4李雅普诺夫指数7第三章洛伦兹模型93.1洛伦兹模型的提出93.2洛伦兹模型计算机模拟求解93.3 洛伦兹吸引子和倍周期123.3.1 洛伦兹吸引子123.3.2 倍周期12第四章 虫口模型的计算机数值模拟实验154.1虫口模型154.2虫口模型的混沌特性154.3虫口模型混沌现象的计算机模拟174.4 程序运行结果以及分析18第五章 总结23参考文献25致谢27附录29第一章 绪论1.1 混沌的定义混沌的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律.混沌学理论的研究目的在于寻求混沌现象的规律，加以处理和应用 60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象牛顿确定性理论能够充美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌无处不在 1.2 混沌理论产生的背景不断的去探索大自然的规律是科学家的天职，无数的科学家在探索着这些规律，他们一生在挑战着人类未知的领域物理学家要弄清楚物质的基本粒子，化学家则研究物质的构成、探索新的化学元素，天文学家探索宇宙的奥秘，生物学家则研究生物的演变与进化他们的努力解决了一个个人类所遇到的难题，也创造出了人类发展史上的一个又一个奇迹然而，还是会有很多复杂的问题在困扰着人们人们总是思考，为什么天气变化存在着不可预测性，气体和流体在从平稳向湍流变化的过程中存在着哪些中间步骤等等各种所有在确定性系统中出现的貌似随机的不规则运动的问题，也慢慢的有人预感到，这些深奥的问题极可能揭示了大自然更深一层的规律早在公元前560年，我国的老子提出了宇宙起源于混沌的哲学思想；公元前450年左右，中国的古哲学家庄子也说过这样一句话：南海之地为倏，北海之帝为忽，中央天帝为浑沌这里庄子最早把混沌理论引入到政治学的研究中他的“中央之帝为混沌”则是对人类行为的混沌性态最早的哲学观点；1903年，美国数学家J.H.Poincare在科学与方法一书中提到Poincare猜想，他把动力系统和拓扑学两大领域结合起来指出了混沌存在的可能性又从上世纪60年代开始，人们开始探索科学上的各种未解之谜，使混沌科学得到了飞速的发展，气象学、生理学、经济学中都发现了一种关于混沌的有序性到了70年代，混沌科学发展到了一个光辉灿烂的年代1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开，混沌科学正式诞生1.3 混沌在现实生活中的应用1.3.1 混沌的具体应用混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富理论上研究混沌的目的是多方面的：揭示混沌的本质（内在随机性）、刻画它的基本特征、了解它的动力性态，并力求对它加以控制，使之为人类服务在过去20年中，混沌在工程系统中逐渐由被认为仅仅是一种有害的现象转变到被认为是具有实际应用价值的现象来加以探讨近年来的大量研究工作表明，混沌与工程技术联系愈来愈密切，它在生物医药工程、动力学工程、化学反应工程、电子信息工程、计算机工程、应用数学和实验物理等领域中都有着广泛的应用前景在应用方面，主要包括混沌信号同步化和保密通信，混沌预测，混沌神经网络的信息处理、混沌与分形图像处理，基于混沌的优化方法、混沌生物工程、天气系统、生态系统、混沌经济等此外，控制混沌的技术还被应用到神经网络、激光、化学反应过程、流体力学、非线性机械故障诊断系统、非线性电路、天体力学、医疗以及分布参数的物理系统的研究工作中去当前，在一些混沌显得非常重要而且有用的领域，有目的地产生或强化混沌现象已经成为一个关键性的研究课题混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子由于教育的对象是人，人是随时变动起伏的个体，而教育的过程基本上依循一定的准则，并历经长期的互动，因此，相当符合混沌理论的架构也因此，依据混沌理论，教育系统容易产生无法预期的结果此一结果可能是正面的，也有可能是负面的不论是正面或是负面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的观察之外，更应该累积长期数据，从中分析出可能的脉络出来，以增加教育效果的可预测性，并运用其扩大教育效果混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨过去决策基础的三个主要假定和三个新的现实根据混沌理论，格拉斯提出，过去作为决策基础的三个主要假定已经不再成立最早建立混沌反控制理论，国际权威L.O. Chua评价“陈关荣是国际上混沌控制的早期开拓者之一和混沌反控制理论的创始人”；发现Lorenz系统的对偶系统和它们之间的临界系统，国际权威J.C. Sprott等称为“Chen系统”、“Lu系统”；提出单参数统一系统，国际权威D.J. Hill称为“基准系统”；提出广义Lorenz系统族并建立其理论框架研究成果在工程技术等领域具有良好的应用前景美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称美国气象学家洛伦茨在20世纪60年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数这就引起了数学物理界的广泛关注与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇 异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究20世纪70年代后期 科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象作为一门学科的混沌学目前正处在研讨之中，未形成一个完整的成熟理论但有的科学家对混沌理论评价很高，认为“混沌学是物理学发生的第二次革命”但有的人认为这似乎有些夸张对于它的应用前景有待进一步揭示但混沌理论研究同协同学、耗散结构理论紧密相关它们在从无序向有序和由有序向无序转化这一研究主题有共同任务，因而混沌理论也是自组织系统理论的一个组成部分近几年来，科学家们在研究混沌控制方面已取得重要进展，实现了第一类混沌，即时间序列混沌的控制实验英、日科学家还在试验用混沌信号隐藏机密信息的信号传输方法 1.3.2 混沌理论的现实意义混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接着否定了包括宏观世界拉普拉斯（Laplace）式的决定型因果律 混沌不等同于混乱，它是一种确定论系统中出现的貌似不规则的有序运动 这种有序不同于我们所熟悉的有序寻常有序、简单有序、线性有序现在说的有序是乱中有序，是有序与无序的结合，是非线性序混沌序就是说到混乱它也是一种确定性的混乱，形式的混乱 混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间即原因与结果之间关系的一个基本性的错误认识我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们 可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为 这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉迪托 (William Ditto)、艾伦加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆约克 (Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实。始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案这个方法已取得若干成功混沌控制的最早成就之一，是仅用卫星上遗留的极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞美国国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈，每一圈 用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现碰撞混沌理论的特征在证券市场中也存在周K线图看上去与日K线图、小时K线图、5分钟K线图的形状十分相似，这就是证券市场价格的分形特征，我们可以应用5分钟K线图或者小时K线图来推断日K线图或周K线图的形状，为投资决策服务混沌的发现和混沌学的建立，同相对论和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破，为人类观察物质世界打开了一个新的窗口所以，许多科学家认为，20世纪物理学永放光芒的三件事是：相对论、量子论和混沌学的创立1.4本文的写作安排本文主要分为五个部分，具体如下：第一章，绪论简要介绍了混沌理论和混沌理论的现实意义第二章，混沌在数学中的应用本章主要介绍混沌理论的数学定义、数学特征和数学中的具体应用第三章，洛伦兹模型本章着重介绍了洛伦兹模型对其进行了计算机模拟第四章，虫口模型本章中，实现虫口模型的计算机模拟第五章，结论总结全文并展望下一步的工作方向第二章 混沌的理论初步2.1 混沌的数学定义 定义2.1称为是拓扑传递的，如对任何一对开集U,，存在k0,使 直观上，拓扑传递映射有这样的一些特点，它们在迭代下从一个任意小的邻域最终移动到其他任何邻域因此，动力系统不能被分解为两个在映射下不变的，非交的开集注意，如一映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的反过来也正确 设V为一集合称为在V上是混沌的，如果： 1.f有对初始条件的敏感依赖性； 2.f是拓扑连续的； 3.周期点在V中稠密 扼要的说，混沌的映射具有三个要素：不可预测性，不可分解性，还有一种规律性的成分因为对初始条件的敏感依赖性，所以混沌的系统是不可预测的因为拓扑传递性，它不能被细分或者不能被分解为两个在f下互不影响的子系统（两个不变的开子集合）然而，在这混乱性态中，毕竟有规律性的成份，即稠密的周期点2.2 混沌的特征2.2.1 对初始条件的敏感依赖性这种敏感的依赖性是混沌系统的典型特征意思是说，初始条件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别，或者说，起初小的误差引起灾难性后果洛伦兹在他的天气模型中发现了这一特性 定义2.2有对初始条件的敏感依赖性，如果存在0，对任何一个和x的任何邻域N，存在和n0，使得在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会放大，例如，人行道上摆满自行车，导致行人走上车行道，又导致一次车祸，又导致交通中断几小时，又导致一连串的误事然而混沌意味着这种临界点比比皆是它们无孔不入，无时不在在天气这样的系统中，对初始条件的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败信息从小尺度传向大尺度，把初始的随机性放大在社会经济活动中，某些因素可促使成千上万个业主一夜之间改变策略，从而导致经济形势的巨变，我们至少从1997年东南亚金融危机中感到了这一点 2.2.2极为有限的可预测性 当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预知或表现为局部的不可预知 混沌是对事物不确定性的一种量度当我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的预测就会更准确但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息的机器，成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义那么信息是从哪里来的呢？以湍流为例，物理学家认为，来自微观尺度的热库，来自几十亿在随机热力学舞动中的分子再以城市经济运动为例，信息来自成千上万个有决策权的业主的生产行为，来自千百万个消费者的消费行为，来自系统之外的环境的变化 2.2.3混沌的内部存在着超载的有序 混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似性，即所谓的自相似性 混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普适性费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=r ;Xt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代计算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出，再将前次的输出作输入，如此反复迭代计算当r值较小时，结果趋向一个定数，当r超过某值时，其轨迹出现分岔值得注意的是前一个函数是生物种群变化的逻辑斯蒂方程，r值加大表示非线性程度加大，当非线性加大到一定程度后，来年的种群数变得无法预测2.3 混沌在数学中的具体应用2.3.1 漏水的自来水龙头 一只水龙头如果将闭未闭之际，水滴积累重力超过了表面张力，水滴即将落下，新的一滴水又开始积累，当此将闭未闭的漏水口很小，而水压恒定的时候，那么，每次形成一滴而落下的时间是一个常数滴水是一个周期的性态试将漏水口放大一点点，周期即将缩短；若再缩小漏水口一点点，周期即将延长然而，漏水口是怎样与这周期联系的呢？加大到一个临界值，这周期就发生忽长忽短的不规则性态了一长一短，这是倍周期，再加大漏水口，可见四周期，再加大，再加大，出现完全不恒定的周期，这就是混沌态2.3.2 差分方程 许多生物学现象用差分方程描写比用微分方程描写容易理解例如在群体生物学中，有最简单的“无世代重叠”群体：每一年的个数仅依赖于去年的个体数： （2-1）t是离散的代时间，x是一代中的个体数差分时间的混沌最容易理解：它是非线性动力系统最容易的表达式 研究差分方程就是研究这种反复迭代可取追踪走向何方，一般地它都是收敛到一个吸引子里面去，这个吸引子可以是一个点；也可以是一个环，也可以既非环也非点由一次一次迭代所得的数值序列叫做迭代值序简称迭代值迭代，映射，变换常常用作为同义语当迭代值有界，限制在单位区间之内可叫做区间的一个映射2.4 李雅普诺夫指数 对初始值的敏感性是一切表现混沌性态的系统的必备性质，这个性质可以定量化，用以测量本系统混沌到什么程度，这个值就是 （2-2）其中，J定义如下： （2-3） 李雅普诺夫数其实是映射 （2-4）在迭代点处斜率绝对值的几何平均数当迭代值在一个不动点上收敛，或在一个环上收敛之时，这时候李雅普诺夫数小于1.图2-1 李氏数 当李雅普诺夫数大于1，不会存在稳定的周期；即使对相距很近的初始值，迭代值也要指数式的发散 第三章 洛伦兹模型3.1 洛伦兹模型的提出美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）于1963年在大气科学杂志上提出第一个表现奇异吸引子的动力学系统该混沌系统模型可以用下列微分方程组描述： （3-1）3.2 洛伦兹模型计算机模拟求解 程序附于附录，实验图像如下所示固定参数b和c，设置初始值f0 和计算时间t0，通过改变参数a 可以发现系统逐步进入混沌状态的过程图3-1 当a=10时，t逐渐为一条平滑的曲线，而x，y为环绕的曲线图3-2当a=15时，lorenz模型的状态变量依旧演变为平滑的曲线，而模型相图则变得较密集图3-3 当a=23时，lorenz模型的状态变量中x，y，z的曲线呈模糊状，越来越不规则，而模型相图则变为由密集的点组成的圆图3-4 当a=24时，lorenz模型的状态变量趋向于震动的曲线，而模型相图则成为蝴蝶的翅膀形状图3-5 当a=28时，lorenz模型的状态变量图震动的愈发强烈，而模型相图依旧为蝴蝶的翅膀行，但是翅膀较上图更密集 3.3 洛伦兹吸引子和倍周期3.3.1 洛伦兹吸引子当a28时，系统已经完全进入混沌状态，此时出现双涡旋吸引子，如图所示：图3-6 吸引子 3.3.2 倍周期通过系数的调试可以得到Lorenz混沌的一个单倍周期和两个多倍周期，如图：图3-7 倍周期（一）图3-8 倍周期（二）图3-9 倍周期（三）保持初值x0和y0不变，即x0y01，改变z0为1.001，千分之一的变化会引起系统行为的显著改变，如图3-10所示：图3-10 平面相图第四章 虫口模型的计算机数值模拟实验4.1 虫口模型1976 年，美国数学家梅（May. R）在美国自然杂志上发表的题为“具有复杂的动力学的简单模型”文章中指出，在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为，如虫口模型虫口模型是在生态领域最早期混沌探索的最突出成果，是无世代交叠单一生物种群系统简化的典型模型假定在一个岛屿上只有一种昆虫（既不考虑昆虫的天敌的多物种竞争问题），每年夏季产卵后全部死亡，第二年春季每一个虫卵孵化出一只虫子，设第年时的虫子数目为，则显然第年的虫子数目要受外界因素制约首先是虫子自身的繁殖而导致自然生长，设为增殖系数，则增殖数为；其次由于生存空间及食物的有限导致同物种虫子间的互相竞争，导致虫子数目的负增长，设与成正比，为系数，故减少，因此，第年的虫子数目可用方程表示为：， (4-1)为简单起见，令，方程化为：， （4-2）这就是大家熟悉的logistic著名方程，也称以为logistic映射4.2虫口模型的混沌特性固定参量之后，取一个初值代入，然后反复迭代得： ， （4-3） ， （4-4） ， （4-5）其中每个（）是一个轨道点，这样就得出一条轨道. 选择不同的参数，当迭代次数超过某个足够大的数N 后，轨道会表现出一些奇特的行为，显示了虫口数随着时间推移的奇特变化情况由此一维迭代方程可以得到一定环境和食物条件下，若干年后虫子繁殖的数目即值一定时，（4-6），（4-7）称为方程的不动点或零解由（4-8）式可得不动点，（4-8），（4-9）其中显然是平凡解为判断不动点的稳定性，在不动点附近做小扰动，令，由离散映像的稳定性条件，（4-10）得出方程的不动点为稳定不动点的条件，（4-11）将（4-11）式带入（4-12）式得，（4-12），（4-13），（4-14）即在区间取值时，为方程（4-6）的稳定不动点当取值为时，方程的解成为负数而失去意义，当时，（4-15）此时系统开始进入倍周期分岔区，由处发生第一次倍周期分岔，由周期变为周期周期轨道满足，（4-16），（4-17）由（4-16），（4-17）两式可得，（4-18）解此一元四次方程可得个根，即有个不动点显然和是两个平凡解，应予以排除（4-18）式消除以上两个平凡解以后得，（4-19）解（4-19）式得，（4-20），（4-21）将此两解带入周期轨道的稳定性条件，（4-22）可知在稳定区间两端取值和，其中后者对应由周期到周期分岔的临界点类似地分析下去，发现大于时，系统开始倍周期分岔，其周期为，（4-23）直至某个值，系统开始表现随机行为，即进入了混沌状态4.3虫口模型混沌现象的计算机模拟这里，我采用matlab对这个模型进行简单的数值模拟程序流程图如图4-1所示： 开 始1 模型对初始值敏感性模拟2同一初值对应不同参数3同一参数对应不同初值4 任意参数和数值输入参数和确认（y/n) 开始迭代 绘图输出 结束图4-1 程序流程图4.4 程序运行结果以及分析由程序的运行结果可以看到虫口模型在由倍周期分岔进入混沌运动的过程：（1）如果取= 0. 8，= 0. 795 713，迭代的轨道如图4-2所示：图4-2 周期1轨道对应于周期1 轨道，此时0，即种群趋于消灭；如果取 = 2. 8，= 0. 900 0，迭代后的轨道如图4-3所示：图4-3 虫口数趋于一个稳定值此时趋于一个稳定的值，即虫口数最终会稳定在一个确定的数量；如果取三个不同的初始值= 0. 900 0，= 0. 231 2， = 0. 451 2（对应于同一个参数= 2. 8）其结果也趋于同一个稳定的值如图4-4所示，即虫口数最终趋于同一个状态图4-4虫口数趋于同一个稳定值（2）随着参数的继续增大，例如= 3. 25 时系统状态就会进入周期2 轨道，系统出现两个值和的交替状态，如图4-5所示，即虫口数在两种状态之间交替变化图4-5周期2轨道（3）如果进一步继续增加值，当3. 499 3. 545，此时在四个值上依次跳动. 例如= 3. 53 时，依次趋向于0. 517 060. 881 470.368 810. 821 750. 517 06 进入周期4 轨道,如图4-6所示，虫口数在上面的四个值间周期变动图4-6周期4轨道（4）继续增大参数的值，系统状态倍周期演化最终进入混沌轨道，如图4-7所示 图4-7 混沌轨道例如取= 3. 7，初值分别为= 0. 600 1 和 = 0. 600 2与只有很小的差别，但我们可以明显的看到，迭代后的两条轨道最终表现出显著的差异，如图4-8所示图4-8两条混沌轨道比较在牛顿力学中，只要初始条件和受力状态确定，以后的运动就确定了，如果初始条件的变化很小，那么随着系统的演化，轨道的改变也不会很大上面（图4-8中）两条轨道显著的差异在牛顿力学中显得有点不可思议，但这也正是混沌现象的神奇之处造成这种初值敏感性的主要机制在于伸长和折叠伸长的特性就是把相邻点的距离拉开，最终导致相邻点指数分离折叠的特性就是把很远的点凑到一起，使得序列最终保持有界，而且还会引起映射的不可逆这种伸长折叠过程不断地进行，从而导致了混沌计算机的发展实现了大量快速的数值计算，为非线性系统的研究提供了有力武器. 本文通过对虫口模型的计算机模拟，展现了其中的奇异规律，在教学中取得了良好的效果，可以为同行提供有益的参考和教学补充. 也会引起更多人的兴趣和研究，促进非线性科学的发展 第5章 总结本文主要要介绍了混沌理论的基本概念，并且通过计算机软件模拟了混沌理论中的洛伦兹模型和虫口模型 混沌现象只能出现在非线性系统而不能出现在线性系统中 在虫口方程中没有外加随机变量，即不存在产生随机性的外部原因这种随机性又是本身固有的，是内在随机性而牛顿力学等的“内在随机性”的根源就在于其动力学方程中有非线性项存在，这与分子无规运动的随机性不同混沌是过程的科学、演化的科学，而不是状态的科学，变是混沌的本性 随着时间的推移，系统运动状态在不断变化当控制参量由小到大变化时，系统由稳定有序逐渐失稳，开始分岔，随着分岔按几何级数的不断增长，系统由有序到无序当控制参量达到一个临界值时系统进入混沌区当再增大时又会遇到一个个的周期窗口，一个个混沌区，当不断减少时系统又会由混沌逐渐向有序演化在今后的研究中，将着重对具体现象的数学建模和计算机模拟，以便观察到更具体的现象 参考文献1 G. Nicolis, C.Nicolis, John S. Nicolis.Chaotic dynamics Markov titions and Zipfs lawJ . Journal of Statistical Physics. 2005,642:25-33.2 P. Gaspard , G. Nicolis.What can we learn from homoclinic orbits in chaotic dynamicsJ . Journal of Statistical Physics.2005,187:73-90.3 吴彤.非线性动力学混沌理论方法及其意义J.清华大学学报.2000,154:45-49.4 王德金,郑永爱.分数阶混沌系统的延迟同步J. 动力学与控制学报. 2010, 32:102-134.5 孙庆华,包芳勋.从线性到非线性和混沌谈数学的发展历程J. 西安电子科技大学学报(社会科学版). 2006,165:233-239.6 陈向炜,傅景礼,罗绍凯,梅凤翔. Birkhoff系统动力学研究进展J. 商丘师范学院学报. 2004,156:145-156.7 江富泉,李后强. 分形、混沌理论与系统辩证论J. 哲学动态.1994, 218: 30-59.8 侯威,封国林,董文杰. 基于复杂度分析logistic映射和Lorenz模型的研究J.2010,420:122-134.9 王亥,胡健栋.LogisticMaP混沌扩频序列J. 电子学报.1997,187:44-60.10 王杰智,陈增强,袁著祉.一个新的混沌系统及其性质研究J. 物理学报.2006,264:14-18.11 傅新楚,周焕文,许凯华.分叉-混沌-符号动力学M. 武汉：武汉大学出版社,1993.12Hao Bai-lin. 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