对数函数图像及其性质总结

1 / 34 对数函数图像及其性质总结 对数函数及其性质 人教 A版第二章 第节 学校：广西师范大学 院系：数学科学学院 作者： 学号： 对数函数及其性质 一、教学设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，体现新课标要求和“ 学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织2 / 34 者、帮助者 ” 的教学理念。首先，基于 “ 人人有份 ” 的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课 堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的 “ 双主 ” 地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计： 第一、 在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、 在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 3 / 34 学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。 学习的经验起点 大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数 a的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通 过数形结合，让学生感受对数函数中底数 a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。 三、教材分析 4 / 34 教材的地位与作用 对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质 ,掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一 ,对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技 巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作用，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 重难点及突破方法 教学重点：理解并掌握对数函数的定义、图像与性质。 突破方法：结合前面指数函数的学习方法，数形结合，通过让学生动手画图、观察、猜想、归纳与概括、举证与评价等方法，建立对数函数模形，并将对数函数与指数函数联系起来从而得出其定义。运用数形结合与特殊到一般、分类讨论的数学研究方法以及变式练习，让学生掌握其图像和性质拓5 / 34 展与应用，达到熟练对数函数图像与性质的运用。 教学难点：底数 a 对图象的影响及对数函数性质的探究。 突破方法：对于不同底数的对数函数，教师引导学生用 “ 对比联系 ” 、 “ 数形结合 ” 及 “ 分类讨论 ” 等思想方法来探究，让学生动手画图、观察图象，启发学生思考、实验、分析、归纳，从而深刻掌握底数 a对图象的影响及对数函数的性质。 四、目标设计 知识与技能： 1、理解对数函数的定义；掌握对数函数的图象和性质及其简单应用。 2、通过具体实例，直观感受对数函数模型所刻画的数量关系；通过具体的函数图像的画法以及类比法逐步认识对数函数的特征； 过程与方法： 6 / 34 1、学导法：通过实例创设问题情境，引导学生对对数函数解析式的理解；引导学生类比指数函数的研究思路，从图像特征分析对数函数的性质。 2、师生共同讨论法：指在调动学生参与的积极性，突出学生主体地位，通过教师必要指导，调动学生思维的积极性； 情感态度与价值观： 1、渗透由特殊到一般的思想，培养学生探索研究数学问题的素养，渗透数形结合、分类讨论的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的 能力、数形结合的能力。 2、通过学习对数函数与指数函数的图像特征和性质，让学生欣赏它们各具特点的位置关系，感悟数学世界的奇异美，培养学生的美学意识。 3、通过本节内容学习，培养学生不断探索发现新知的精神，渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。 五、教法学法分析 7 / 34 教法分析 新课标的建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。 高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟 . 在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用 “ 探究发现式 ” 教学方法。让学生动手操作、发现规律、自行总结等几个环节，学生经历知识的形成过程，从而在心中形成概念。然而老师的 辅佐提示、系统归纳似的知识在学生的脑中清晰起来，并为学生所掌握。整个课堂教法充分地体现了 “ 学生为主体，教师为主导 ” 的 “ 两为主 ” 的教学思想。 学法分析 新课程强调 “ 以学生发展为核心 ” ，强调培养学生的自主探8 / 34 索能力与合作学习能力。引导学生运用类比指数函数学习的方法来探究对数函数，因此本节 课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历复习引入 获得新知 作图察质 问题探究 归纳性质 学以致用 自我提升的过程，这一过程将激发学生积极 参与到教学活动中来。 六、教学 过程设计 教学流程设计： 复习引入，形成概念 尝试画图、形成感知 理性认识、发现性质 趁热打铁，拓展深化 自我提升的过程， 复习引入，形成概念 引例 1：一尺之棰，日取其半 ，万世不竭。 取 5 次，还有多长？ 取多少次，还有尺 ? 9 / 34 分析 : 1?(1)为同学们熟悉的指数函数的模型 ,易得 ?2?5?1 32 ?1?(2)可设取 x次 ,则有 ? ?2?x ?1? 抽象出 : ?2?xx? 引例 2：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数 y是分裂次数 x的函数，这个函数可以用指数函数 y=2x表示。 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到 1 万个， 10 万个 ?细胞，那么，分裂次数 x就是要得到的细胞个数 y的函数。根据节指数函数与对数函数的关系 这个函数可以写成对数的形式就是 x?log2y。如果用xab?N?logaN?b， 表示自变量， y表示函数，这个函数就是 y?log2x。 10 / 34 引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数 y?logax(a?0，且 a?1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是。 提问：在函数的定义中，为什么要限定 a 0 且 a1 ？ 对数函数练习题 3?1，则实数 a的取值范围是 ( ) 4 3333A 01 44441、 若 a0且 a1 ，且 loga 2、若 1 A a 3、函数 f(x)?log2(x2?2x?1)的定义域是 ( ) A R B ( ， 1)(1 ， ) C (0， 1) D 1， 4、若函数 f(x)?2x，它的反函数是 f?1(x)， a?f?1(3)，b?f?1(4)， c?f?1(?)，则下面关系式中正确的是 ( ) A a 5、 f(x)?log5(x2?2x?2)，使 f(x)是 单调增函数的11 / 34 x 值的区间是 ( ) A R B ( ， 1) C 1， D ( ， 1)(1 ， ) 6、命题甲： a1 且 xy0 命题乙： logax?logay 那么甲是乙的 ( ) A充分而非必要条件 B必要而非充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7、如果 0 1 A (1?a)31?(1?a)2 B (1?a)1?a?1 C log(1?a)(1?a)?0 D log(1?a)(1?a)?0 8、函数 f(x)?log3(2?x)在定义域区间上是 ( ) A增函数 C有时是增函数有时是减函数 B减函数 D无法确定其12 / 34 单调性 9、 f(x)?log2x，若 f?1(a)?2?14，则实数 a的值是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 10、在区间 (0， ) 上是增函数的函数是 ( ) A f(x)?()x?12 3 B f(x)?log2(x2?1) C f(x)?lg(x2?x) 3D f(x)?101?x 11、函数 y?log5x?2(x1) 的值域是 ( ) A R B 2， C 3， D ( ， 2) 12、如果 f(x)?loga(2?x)是增函数，则实数 a的取值范围是( ) A (1， ) B (2， ) C (0， 1) D (0，13 / 34 2) 13、函数 y?log3(x2?2x?3)是单调增函数的区间是 ( ) A (1， ) B (3， ) C ( ， 1) D ( ， 1) 14、如果 loga2?logb2?0，那么下面不等关系式中正确的是( ) A 0b1 D ba1 15、 A 0 a 1 C a 2 或 a 2 16、 B a 1D a 1或 1 a 2 14 / 34 15、 A a b c B b a c C a c b D c ab 16、 A a 1， b 1 B 0 a 1， b 1 C a 1 且 0 b 1 D 0 a 1， 0 b 1 17、若 m n 1，且 0 a 1，则下面四个结论中不正确的是 ?aaA m-a n-a B am a-n C m n 2D log2 am logan 18、 2A ， 2 15 / 34 1C ， 22B 1， 1D (?， 2?(2， ?)2 19、设 f(x)=|lgx|，则其递减区间是 A (0， 1 B (1， ) C (0， ) D 不存在 20、 是 的大小关系 A f(log18) f( ) 2B f(log18)=f( )2 C f(log18) f() 2 D不能确定 21、 A ( ， 1) B (2， )C ( ， ) 3 16 / 34 23 D (， ) 2 22、如图 2 8 11 所示，已知 0 a 1，则在同一坐标系中，函数 y=a-x，和 y loga( x)的图像只可能是 23、 (1)y?log3(x?1) 的定义域为 _值域为_. (2)y?log2x2 的 定 义 域 为 _ 值 域 为_ 24、函数 f(x)的定义域是 1， 2，则函数 f(log2x)的定义域是 _ 25、若 f(x)?log3(x?1)使 f(a) 2，那么 a _ 26、函数 f(x)?log3(x2?ax?a)的定义域是 R(即 ( ，) ，则实数 a的取值范 围是 _ 27、函数 y?()x 的图象与函数 y?log3x 的图象 关于直线_对称 17 / 34 28、函数 f(x)?log4(x2?1)，若 f(a)2，则实数 a的取值范围是 _ 13 3x?1129、已知 f(x)?x，则 f?1() _ 23?1 f(x)?log1x， 30、当 x?a， a2时，函数的最大值比最小值大 3，则实数 a _ 2 31、已知函数 f(x)=1 lg(x 2)，则 f-1(1) _ 32、 33函数 y log2(2 x2)的值域是 _ 34、 有最大值 _当 x=_时， f(x)有最小值_ _时， f(x) 35函数 f(x)的定义域是 ( ， 1，则 f(log2(x2 1)的18 / 34 定义域是 _ 36 y lg(x2 ax 1)的值域是 R，则实数 a 的取值范围是_ 1ln(x 1)， (x 1)的反函数是 3 238如果 loga 1，则 a的取值范围是 537函数 y= 39、 40、 (是增还是减 ) 25?x2 41 、 求 下 列 函 数 的 定 义 域 ： (1)y? ；(2)y?log(2x?1)(x2?6x?8)； loga(3x?2) x) (3)y=log2(log12 42、已知函数 y1?log3(2x?4)， y2?log3(5?3x) (1)分别 求这两个函数的定义域； (2)求使 y1?y2 的 x 的值； (3)求使19 / 34 y1?y2的 x 值的集合 43、 已知函数 f(x)?lg(x2?1?x)(1)求函数的定义域； (2)证明 f(x)是减函数 44、 (1)求 a的取值范围 (2)判断 f(x)的增减性 45、求函数 y=log21x+log1x 的单调递减区间。 346、已知函数 y logax 在区间 2， 上恒有 |y| 1，求 a 的取值范围 22(lgx)与 lgx48、试比较的大小 48、已知 f(x)?loga(ax?1)(a1) 求 f(x)的定义域； (2)求使 f(2x)?f?1(x)的 x的值 49、实数 x满足方程 x?log2(2x?31)?5，求 x 值的集合 20 / 34 对数函数及其性质 教学设计 执教者 冯彩 教学目标 1.会根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究他们的有关性 质 2.掌握对数函数的单调性，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对数函数和指数函数的性质的理解。 教学重点 1.对数函数的图象及性质。 2.对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小。 教学难点 底数 a对对数函数性质的影响。 教学过程设计 一复习提问，引入新课 师：在新课开始前，我们先复习一些有关知识。指数式和对数式的等价关系是什么？ 21 / 34 生： ax?N?x?logaN。 师：各个字母的取值范围呢？ 生： a 0 且 a1 ； N 0； xR 。 师：什么是指数函数？ 生：函数 y?ax叫做指数函数。 师：指数函数的定义域和值域是什么？ 生：定义域是 R，值域 (0,?) 师：对数函数的概念？ 生：一般 地，函数 y?logax， (a0 且 a1) 叫做对数函数，其中定义域是 二 . 新课讲授 对数函数的图象和性质： 同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象。在同一坐标系内画出函数 y?log2x和 y?log1x的图象。 2 师：画函数都有哪些步骤呢？ 生：列表、描点、连线。 师：对。我们学习一种新的基本初等函数时，都是采用描点法画出其函数图象，在画图时，首先要列出 x、 y 的对应值表，然后用描点法画出函数图象。 22 / 34 对数函数图象也分 a 1 和 0 a 1 两类。现在我们观察对数函数的图象，并对照指数 函数的图象特征，分析对数函数的图象特征，从而得到对数函数的性质。请同学们先观察这两个对数函数的图象有哪些共同的特征。 提问学生 回答 师生共同总结 我们通过观察图象的特征，归结如下： 师：我们知道底数互为倒数 的两个指数函数的图象关于 y 轴对称 ,观察对数函数 y?log2x 和 y?log1x 的图象，我们有什么发现？ 2 学生思考，提问并总结 对数函数的其他性质： 1 对数函数 y?logax和对数函数 y?log1x的图象关于 x 轴对称； 23 / 34 a 2对数函数是非奇非偶函数。 例 1：比较下列各组中两个数的大小： y?,y? y?,y? y?,y?(a?0,a?1) 师：请同学们观察这三组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小？ 生：因为函数 y?在上是减函数，又因为，所以 ? 师：对。题中的底数和、题有什么不同呢？ 生：底数不是一个确定的实数。 师：这时候能不能直接进行比较呢？ 生：a 1 和 0 a 1两种情况讨论。 上述方法仍是采用 “ 函数法 ” 比较两个数的大小。当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数对于 a 1 的对数函数在定义域内是增函数；对于 0 a 1的对数函数在定义域内是减函数。只要 比较真数的大小，即可得到函数值的大24 / 34 小。 例 2：求下列函数的定义域 y?logax2 y?loga(4?x) 师：求函数的定义域要注意那些问题？ 生：分母不能为 0；偶次根号下，被开方数非负； 0 的 0 次幂没有意 义。 师：还有没有其他限制？ 生：对数的真数大于 0。 师：好，我们现在来看这题，其实是考查对数函数的定义域，与底数无关，只要满足 真数大于 0 就可以了。 思考题：比较下列两个数的大小： y?log76,y?log45 总结：比较两个对数式的大小，若底数相同，直接利用对数函数的单调性进行比较；若底数和真数都不同，借助中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小。通常引入中间变量 1 或 0。 25 / 34 三课堂练习 p81 # 3 (简要讲解 ) 四课堂小结 1. 正确理解对数函数的定义； 2. 掌握对数函数的图象和性质； 3. 能利用对数函数的性质解决有关问题。 题型： 1求定义域； 2比较两个对数式的大小关系。 注意： 1 类比记忆指数函数和对数函数； 2看见函数式想图象，结合图象记性质。 五布置作业 1 p82 # 7； 2 p83 # 8。 六补充题 在 同 一 坐 标 系 内 画 出 下 列 对 数 函 数 的 图 象 ：y?log2x,y?log3x,y?log10x，观察它们的图象，你能发现底数的变化是如何影响对数函数的 图象的吗？ 26 / 34 对数函数的图像与性质知识点与习题 一、知识回顾： 1、指数函数 y?ax(a?0,a?1)与对数函数 y?logax (a?0,a?1)的图象与性质 2、指数函数 y?a(a?0,a?1)与对数函数 y?logax 图象关于直线 y?x对称 x (a?0,a?1)互为反函数，其 二、例题与习题 ?x?lg(5?3x)的定义域为 _； 2. 已知函数 f(x)?lg 21x?2 27 / 34 1?x1 ,若 f(a)?,则 f(?a)? 1?x2 1 ?0，则 x?_ 4 4.函数 f(x)?logax(2?x?)的最大值比最小值大 1，则a?_ 1 5.若函数 y?2?x?1?m 的图象不经过第一象限，则 m 的取值范围是 m?2 m?2 m?1 m?1 6函数 f(x)?log(a2?1)x 是减函数，则实数 a 的取值范围是 28 / 34 7若 loga 2 ?1，则 a的取值范围是 3 8.已知函数 y?f(x)是奇函数，则当 x?0 时， f(x)?3x?1，设f(x)的反函数是 y?g(x)，则 g(?8)? 9方程 lgx?x 1 0的实数解有 _个 ?lg(?x2?2x)的递增区间为 _，值域为 11.求 y?loga(a?ax)(a?0,a?1)的定义域。 12.已知 f(x)?1?logx3， g(x)?2logx2，试比较 f(x)与 g(x)的大小关系。 13已知函数 f(x)?loga(1?x)?loga(1?x)(a?0且 a?1)， 讨论 f(x)的奇偶性与单调性； 若不等式 |f(x)|?2 的解集为x|?求 f(x)的反函数 f 29 / 34 2 ?1 11 ?x?求 a的值； 2