对数指数函数总结

1 / 63 对数指数函数总结 指数函数与对数函数知识点总结 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 xn?a，那么 x叫做 a 的 n 次 * 方根，其中 n1，且 nN 当 n 是奇数时， 二、对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果 ax?N(a?0,a?1)，那么数 x叫做以记作： x?logaN 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 / 63 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： lnN 指数式与对数式的互化 幂值 真数 a?am(a?0,m,n?N*,n?1) a ? mn ? 3 / 63 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) 3实数指数幂的运算性质 rrr?s aa?a (a?0,r,s?R)； 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 loga(MN)?logaM logaN； 4 / 63 rsrs (a)?a (a?0,r,s?R)； (ab)?aa 指数函数及其性质 rrs (a?0,r,s?R) x 1、指数函数的概念：一般 地，函数 y?a(a?0,且 a?1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 R M ?logaM logaN； N 5 / 63 3 logaMn?nlogaM (n?R) 2 loga 注意：换底公式 logab? logcb logab? logab； mlogba b?0） 利用换底公式推导下面的结论 logambn?对数函数 1、对数函数的概念：函数 y?logax(a?0，且 a?1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 注意： 1 对数6 / 63 函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意辨别。如： y?2log2x， y?log5x 都不是对数函 5 x ? 13 1 ? 2x4?1?15 8 3 数，而只能称其为对数型函数 2 对数函数对底数的限制： (a?0，且 a?1) 7 / 63 指数函数 1、函数 y?a 2x?1 (a?0,a?1)的图象必过定点 。 x 2、如果指数函数 f(x)?(a?1)是 R 上的单调减函数，那么 a取值范围是 A、 a?2 B、 a?2 C、 1?a?2 D、0?a?1 3、下列关系中，正确的是 1?13151? ?2 D、 ()5?()3 A、 ()?() B、 2?2 C、 2 8 / 63 2222 11 1、用根式的形式表示下列各式 (a?0) a a 15 ?32 4、比较下列各组数大小： ?2? ? ?3? ? 9 / 63 ?2? ? ?3? ? ? ? 5、函数 f(x)?10 在区间 ?1， 2上的最大值为最小值为。 函数 f(x)?在区间 ?1， 2上的最大值为最小值为 x x 2、用分数指数幂的形 式表示下列各式： xy 3、求下列各10 / 63 式的值 4 3 m2m ?(m?0) ?1?1? 6、函数 y?的图象与 y?的图象关于 对称。 ?3?3? 7、已知函数 y?a(a?0,a?1)在 ?1,2?上的最大值比最小值多 2，求 a 的 x x?x 11 / 63 值 。 3 ?2 ?25? 25? ?4? 4、解下列方程 32 2x?a 8、已知函数 f(x)=x 是奇函数，求 a 的值 。 2?1 12 / 63 对数 1、将下列指数式改写成对数式 24?16 5a?20 答案为： 2、将 下列对数式改写成指数式 log5125?3 log10a?2 答案为： 2、已知 lg2?a,lg3?b，试用 a,b 表示下列各对数。 lg108 =_ lg 18 =_ 25 3、求 log89?log332 的值 _； 3、求下列各式的值 13 / 63 log264= log927 = = lg1= log39= log19= log328= 3 4、已知 a?0，且 a?1， loga2?m， log?na3?n，求 a2m 的值。 5、若 log3(1?a)有意义，则 a的范围是 6、已知 2logx8?4，求 x 的值 对数 1、求下列各式的值 log3 5 2(2?4)=_log5125=_ 1 14 / 63 2 lg25?lg2?lg?lg()?1=_ 2log32 32?log39 ?log38?3log55 =_ lg5?lg20?lg2?lg50?lg25=_ lg14?2lg 76?1 2 lg49?lg72?8lg1=_ (lg5)2 ?lg2?lg50=_ (lg2)3 ?(lg5)3 ?3lg2?lg5=_ 15 / 63 log23?log34?log45?log56?log67?log78=_ 4、设 3x?4y ?36，求 2x?1 y 的值 _。 5、若 lg2?m,log1 310?n ，则 log56 等于 。 6、已知函 数 y?lo(ga?1)x 在 (0,?)上为增函数，则 a 的取值范围是 。 7、设函数 y?log2(x?1)，若 y?1,2?，则 x?8、函数y?loga(x?3)?3(a?0 且 a?1)恒过定点 。 16 / 63 9、已知函数 y?logax(a?0,a?1)在 x?2,4上的最大值比最小值多 1，求实数 a 的值 。 幂函数 1、下列函数中，是幂函数的是 1A、 y?2x B、 y?x2 C、 y?log?2x D、 y?x 2 2、若一个幂函数 f(x)的图象过点 (2,14 )，则 f(x)的解析式为 3、已知函数 y?x 17 / 63 2m?1 在区间 ?0,?上是增函数，求实数 m 的取值范围 据此数据，可 得方程 3x?x?4?0的一个近似解为 为 。 函数与零点 1、证明：函数 y?x?6x?4有两个不同的零点；函数 f(x)?x?3x?1在区间上有零点 2 2、若方程方程 5x?7x?a?0 的一个根在区间内，另一个在区间内，求实数 a的取值范围 二分法 1、设 x0是方程 lnx?2x?6?0 的近似解，且 x0?(a,b)， b?a?1，18 / 63 a,b?z，则 a,b的值分别为 、 2、函数 y?lnx?6?2x 的零点一定位于如下哪个区间 A、 ?1,2? B、 ?2,3? C、 ?3,4? D、 ?5,6? 3、已知函数 f(x)?3?x?5 的零点 x0?a,b?，且 b?a?1， a，b?N，则 x ? a?b? 4、函数 f(x)? lgx?x?的 3零点在区间 (m,m?1()m?Z)内，则 m? 5、用二分法求函数 f(x)?3x?x?4 的一个零点，其参考数据如下： 19 / 63 指数函数与对数函数知识点总结 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 xn?a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN* 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作 0?0。 ?a(a?0)当 n 当 n an?|a|?an?a， ?a(a?0) 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a ?mn 20 / 63 mn ? 1 mn ? 1 a 0 的正分数指数幂等于 0， 0的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 rrr?s a a?a (a?0,r,s?R)； rsrs(a)?a (a?0,r,s?R)； 21 / 63 am (a?0,m,n?N*,n?1) (a?0,r,s?R) (ab)?aa 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 y?ax(a?0,且 a?1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 rrs 注意：利用函数的单调性，结合图象 还可以看出： 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 f(a),f(b)或f(b),f(a)； 22 / 63 若 x?0，则 f(x)?1； f(x)取遍所有正数当且仅当 x?R； 对于指数函数 f(x)?ax(a?0 且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果 ax?N(a?0,a?1)，那么数 x叫做以 a为底 N 的对数，记作： x?logaN 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 ax?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 1 常 用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 lnN 指数式与对数式的互化 23 / 63 幂值 真数 对数 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 loga(M N)?logaM logaN； M 2 loga?logaM logaN； N 3 logaMn?nlogaM (n?R) 注意：换底公式 logcb logab? 24 / 63 logca 利用换底公式推导下面的结论 1n logabn?logab； logab? mlogba 对数函数 1、对数函数的概念：函数 y?logax(a?0，且 a?1)叫做对 m 数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是 注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： y?2log2x， y?log5x 都不是对数函数， 5 25 / 63 而只能称其为对数型函数 2 对数函数对底数的限制： (a?0，且 a?1) 指数函数与对数函数总结 一、 知识要点 ： 1. 指数函数 y ax与对数函数 y logax的比较： 2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系 1 3. 几个注意点 26 / 63 函数 y ax 与对数函数 y logax 互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与 1 比较分出大于 1还是小于 1，然后在各类中间两两相比较；在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。 【典型例题】 例 1. 下图是指数函数 y ax， y bx， y cx， y dx的图象，则 a、 b、 c、 d与 1 的大小关系是 (1) y A. a b 1 c d B. b a 1 d c C. 1 a b c d D. a b 1 d c 剖析：可先分两类，即的底数一定大于 1，的底数小于 1，然后再从中比较 c、 d 的大小，从中比较 a、 b的大小。 27 / 63 解法一：当指数函数底数大于 1时，图象上升，且底数越大，图象 向上越靠近于 y 轴；当底数大于 0小于 1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于 x轴 .得 b a 1 d c。故选B。 解法二：令 x 1，由图知 c1 d1 a1 b1， b a 1 d c。 例 2. 已知 2x 解： 2x?x2 2， x2 x4 2x， 22 1 ?x x 2，求函数 y 2x 2 x的值域。 2 即 x2 3x 40 ，得 4x1 。 28 / 63 又 y 2x 2 x 是 4， 1上的增函数， 2 424y2 2 1。 2553 故所求函数 y 的值域是 16， 2。 例 3. 要使函数 y 1 2x 4xa 在 x 上 y 0 恒成立，求 a的取值范围。 解：由题意，得 1 2x 4xa 0 在 x 上恒成立， 1?2x 即 a 4x 在 x 上恒成立。 1?2x 11 29 / 63 又 4x 2x x 111 x 2 2 4， 3 当 x 时值域为， 3a 4。 评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法。 例 4. 已知 f log13 30 / 63 3 2， 求 f的值域及单调区间。 解： 真数 3 23 ， log1 3 log13 2 3 3 1， 即 f 的值域是 1， 。 又 3 2 0，得 1 3 x 1， x 时， 3 2单调递增，从而 f 单调递减； x 1， 1 时， f单调递增。 本章涉及的主要数学思想方法 1、能根据指数函数 与对数函数的图象和性质进行值的大小31 / 63 比较，培养数形结合的意识，用联系的观点分析问题。 3 2、用类比的方法从指数函数的性质，归纳出对数函数的性质，理解指数函数与对数函数的简单应用模型。 3、 要注意分类讨论思想的应用。 4 指数函数，对数函数和幂函数基础练习题 一 .基础知识 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 xn?a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN* 负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作 0?0。 当na?a，当 na n 32 / 63 n n (a?0)?a ?|a|? ?a(a?0)? 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： m a a n 33 / 63 ? mn n a(a?0,m,n?N,n?1) 1 m m* ? ? 1 a 34 / 63 n a m (a?0,m,n?N,n?1) * 0 的正分数指数幂等于 0， 0的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 rr?sr a a?a (a?0,r,s?R)； rsrs (a)?a (a?0,r,s?R)； (ab)?aa rrs 35 / 63 (a?0,r,s?R) 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 y?ax(a?0,且 a?1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数 函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 f(a),f(b)或f(b),f(a)； 若 x?0，则 f(x)?1； f(x)取遍所有正数当且仅当 x?R； 对于指数函数 f(x)?ax(a?0 且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果 ax?N(a?0,a?1)，那么数 x叫36 / 63 做以 a为底 N 的对数，记作： x?logaN 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 ax?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 lnN 指数式与对数式的互化 幂值 真数 对数 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 loga(M N)?logaM37 / 63 logaN； 2 log M a N ?log a M log a N； 3 logaMn?nlogaM (n?R) 注意：换底公式 38 / 63 log a b? loglog cc ba 利用换底公式推导下面的结论 loga m b? n 39 / 63 nm logab ； logab? 1log b a 对数函数 1、对数函数的概念：函数 y?logax(a?0，且 a?1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意辨别。如： y 40 / 63 ?2log 2 x ， y ?log x 5 都不是对数函数， 5 而只能称其为对数型函数 2 对数函数对底数的限制： (a?0，且 a?1) 41 / 63 1.定义：形如 y=xa 的函数，叫幂函数 2幂函数的性质： n0 时 ,(1)图象都通过点 (0,0),(1,1) (2)在 (0,+) ，函数随的增大而增大 n (2)在 (0,+) ，函数随 x 的增加而减小 (3)在第一象限内，图象向上与 y 轴无限地接近 ，向右与 x轴无限地接近。 注意事项： 判断幂函数的定义域的方法可概括为 “ 先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负 ” 3.根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。 函数位于第一象限的图象在 “n1” 时，往上翘； 0 二 .练习题 1 64的 6 次方根是 ( ) A 2 B 2 C 2 D 以上都不对 2下42 / 63 列各式正确的是 ( ) 4 A.( 3) 3 a 2 D a0 1 5 3.(a b) (a b)的值是 ( ) A 0 B 2(a b) C 0 或 2(a b) D a b 4 4若 a 2 (a 4)0有意 义，则实数 a 的取值范围是 ( ) A a2 B a2 且 a4 C a2 D a4 5 若xy0 ，那么等式 4xy 2xyy 成立的条件是 ( ) A x0， y0 B x0， y0 D x 32 6化简 (m4n 3)6(m， n 0) _. 7根式 a a 化成分数指数幂是 _ 43 / 63 1741 8计算 () 3 ( 80 ( 2)3316 | |2_. 9化简求值： 11031 (1) 3 ( 8 164 a 1 b 1(2)a， b0) (ab) 10若 (x 5)0有意义，则 x的取值范围是 ( ) A x5 B x 5 C x 11对于 a0， b0 ， m、 nN* ，以下运算中正确的是 ( ) b A aman amn B (am)n am n C ambn (ab)m n D (a)m a mbm 111 12设 3 A aa 13函数 y a 1的定义域是 ( ，44 / 63 0，则实数 a的取值范围为 ( ) A a0 B a 1 14已知集合 M 1,1， N x2x 1 A 1,1 B 0 C 1 D 1,0 15.若函数 f(x)， g(x)分别是定义在 R上的函数，且 f(x)g(x) ex，则有 ( ) A f(0) g(0) B f(0)g(0) C f(0) 1 16函数 y (2)1x 的单调增区间为 ( ) A ( ， ) B (0， ) C (1， ) D (0,1) 11 17已知实数 a， b 满足等式 (2a (3b，则下列五个关系式：0 18 当 x 1,1时， f(x) 3x 2 的值域 为_ 19方程 4x 2x 2 0 的解是 _ 20满45 / 63 足 f(x1)f(x2) f(x1 x2)的一个函数 f(x) _. 21求适合 a2x 70，且 a1) 的实数 x 的取值范围 11 22已知 2x(4)x 3，求函数 y (2)x 的值域 23已知函数 f(x) 2x 2 x. (1)判断函数的奇偶性； (2)求函数的单调增区间，并证明 1 24设 y1， y2， y3 (2)，则 ( ) A y3y1y2 B y2y1y3 C y1y2y3 D y1y3y2 指数函数 一般地，函数 y?ax 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R. 46 / 63 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ y?2x?2 y?(?2)x y?2x y?x y?x2 y?4x2 y?xx y?(a?1)x 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为 a 0， x 是任意一个实数时， ax 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集 R. x 只有满足 y?a的形式才能称为指数函数， (a?0 且 ,a?1 x5 a 为常数 ,象 y=2-,3y?,xxy,=?y2?3,?yx3?1 等等 , x y?a(a?0 且 a?的形式 1),所以不是指数函数 . 指数函数 y?ax，当底数越大时，函数图象间有什么样的关系 . 47 / 63 在 a,b上 ,f(x)=ax 值域是 f(a),f(b)或 f(b),f(a); 若x?0,则 f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当 x?R; 对于指数函数 f(x)?ax，总有 f(1)?a; 当 a 1时，若 x1 x2，则 f(x1) f(x2)； 例题： 例 1：已知指数函数 f(x)?ax的图象过点，求 f(0),f(1),f(?3)的值 . 1 1、函数 f(x)?()x 的定义域和值域分别是多少 ? 2 2、当 x?1,1时 ,函数 f(x)?3x?2 的值域是多少 ? 例 1：比较下列各题中的个值的大小 x 1 48 / 63 x 与 ( 2 )?与 ? ( 3 ) 与 解法：由函数的单调性考虑 因为指数函数 y?在 R 上是增函数，且 3，所以， ? 由于 =不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到 1，把这两数值分别与 1 比较大小，进而比较与的大小 . 思考： 1、已知 a?,b?,c?,按大小顺序排列 a,b,c. 2. 比较 a 与 a的大小 . 1、求下列函数的定义域和值域 y? 13 12 49 / 63 112x2?2 y?() x 2?13 y? y? ?1?2? 1x ?1?2? ?x2?x?2 ?1? y? ?2? 50 / 63 x?1x?1 2x y? x 1?2 2、下列函数中，值域为 ?0,?的函数是 ?1? ?3 ?2x?1 ?2x?1 ? ?2? 11 3、已知 x?3,2?，求 f(x)?x?x?1 的最小值与最大值。 42 51 / 63 4、如果函数 y?a2x?2ax?1(a?0 且 a?1)在 ?1,1?上的最大值为 14，求实数 a的值。 5、设 0?a?1，解关于 x的不等式 a2x 2 2x 2?x ?3x?2 ?a2x 2 ?2x?3 。 52 / 63 对数的概念 一般地，若 ax?N(a?0,且 a?1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N的对数，记作 x?logaN a 叫做对数的底数， N叫做真数 . 举例：如： 42?16,则 2?log416，读作 2 是以 4 为底， 16 的对数 . 11 ?log42，读作是以 4为底 2 的对数 . 22 2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中，要注意： 底数的限制 a 0，且 a1 53 / 63 4?2，则 12 ax?N?logaN?x 指数式 ?对数式 幂底数 a 对数底数 指 数 x 对数 幂 N 真数 例题： 例 1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 . 11 54=645 2?6? ()m? 643 log116?4 ?2 loge10? 2 两类对数 54 / 63 以 10为底的对数称为常用对数， log10N常记为 lgN. 以无理数 e=?为底的对数称为自然对数， logeN 常记为lnN. 以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如 100 的对数等于 2，即 lg100?2. 求下列各式中 x的值 2 log64x? logx8?6 lg100?x ?lne2?x 3 分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 222?3?(?)13 55 / 63 解： x?(64)3?(4)3?43?4?2? 16x?8,所以 (x)?(8)?(2)?2? 10x?100?102,于是 x?2 由 ?lne2?x,得 ?x?lne2,即 e-x?e2 所以 x?2 对数的定义及对数恒等式 ， logaN?b?ab?N 指数的运算性质 . am?an?am?n;am?an? am?n 6 1 66 56 / 63 16 136 12 (a)?a;?a 如： am?an?am?n,设 M?am,N?an。于是 MN?am?n, 由对数的定义得到 M?am?m?logaM,N?an?n?logaN mnmn nm MN?am?n?m?n?logaMN ?l