正弦函数图象案例反思.doc

正弦函数的图象案例反思威海市第二中学陈 梅 2010-6-7正弦函数的图象案例反思 威海二中 陈 梅背景：为了更好地促进教师的专业发展，构建高效课堂.市教研中心制定了专题推进策略，“普通高中新课程有效教学研究”课题已经完成了“无效教学环节查找反思”和“有效备课”专题的研究，目前已经进入“有效上课”专题的实践研究阶段.通过不断的学习，我对“归结问题深化研究巩固提高”的教学模式有了更深的认识，对教学本质也有了更深刻的理解.前一段时间我和另三位老师有幸参加了一次实践性的尝试，讲了一节正弦函数的图象的公开课.课后听了专家和老师们的点评，我深受启发，并针对我的教学实践以及本节课的得失与收获做了深入的反思. 一.设计初衷1.课题：正弦函数的图象-人教B版必修4第一章第三节的第一课时.2.教材分析：本小节所研究的正弦函数的图象既是对前面所学知识的深化，也为后面正弦函数性质的学习打下基础.本节重点是“五点法”作正弦函数的简图.难点是“几何法”作图即利用正弦线画出正弦函数的图象.本节课通过有层次性的设置问题来引发学生思考，同时利用多媒体、实物教具等手段辅助教学.3学情分析：通过对一次二次函数及指对函数的学习，学生能够初步掌握利用列表描点法画图的技巧，但对利用正弦线作出正弦函数的图象掌握起来有一定难度，特别是对这种作图方式的深刻理解需要教师的步步引导.4.教学设计构思：本节课我在作教学设计时抓住了一个突出的特点:即通过有层次性的设置问题来引发学生的思考，培养学生发现问题，提出问题的能力.我有意识地把本节课作为一个很好的提出问题的载体，去培养学生的问题意识，训练学生的数学思维，提高学生自主探索和合作学习的能力.二教学过程及反思（一）创设情景引入课题1.创设情景：教师课前准备好一张4开的稍硬的白纸和一把壁纸刀.课堂上当着学生的面把白纸卷起来，然后问学生：“我如果用壁纸刀把纸卷倾斜着削掉一截，同学们猜一猜白纸展开后截面是什么形状？”下面同学们窃窃私语、一脸兴奋，有同学说可能是圆，也有同学说可能是椭圆师：那么到底是什么形状呢？我来给大家演示一下.教师拿壁纸刀把纸卷倾斜着削成两截，展开.一条规则的漂亮的波浪线出现在同学们的眼前.然后教师把展开后的白纸稍微错开放在黑板上，在白纸中间立刻出现了一条醒目的波浪线.学生惊呼：居然是这样的形状一脸兴奋.师：这种波浪线的形状就是这节课我们要研究的正弦函数的图象（板书：正弦函数的图象），从而引出课题.问题情景的设置我认为达到了预期的效果，新颖的引入让人眼前一亮，引发学生去积极思考，激起了学生强烈的好奇心和学习兴趣.同时通过裁纸展示，让学生在第一时间对本节学习的内容有了一个形象的了解，有利于进一步展开课题.2复习旧知师：通过对前面部分的学习，我们知道：实数集和角的集合之间可以建立一一对应的关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦值.这样，在实数范围内任意给定一个，都有唯一确定的函数值与之对应，由这个对应法则所确定的函数叫做正弦函数，其定义域为.师：那么正弦函数的图象我们应该怎么画呢？用什么方法来画？生：列表描点.师：请同学们四人一组利用列表描点法尝试作出正弦函数的图象.学生开始动手，边讨论边作图.设计意图：从学生的认知规律出发，利用作图通法-列表描点法求作正弦函数的图象,培养学生积极动手动脑的习惯，提高合作学习的能力.同时通过在投影仪上对学生所作图象的展示，让学生了解这种作图方法的缺点.展示图象1：问题1：建立坐标系时，x轴表示角的大小，y轴表示函数值，那么角的表示方法我们学习了两种：角度制和弧度制.在这里，我们用弧度制来表示角还是用角度制来表示角更好一些？为什么？生：用弧度制好.因为采用弧度制后，三角函数的自变量和函数值都选用十进制的实数，使横坐标和纵坐标的单位取得了一致.而在角度制下是办不到的，角度制是六十进制，三角函数是十进制，两者不统一，很难在直角坐标系下作出准确的图形，所以选用弧度制表示角.展示图象2：问题2：除了不可避免的误差外，还有哪些原因导致了这位同学的图象作得不准确？学生查找原因：点找的太少，点找的没有规律，没有画完整师：根本原因在于我们所找的点都是孤立的点，且这些点不一定具有代表性，不一定关键，点与点之间图象的变化趋势我们难以把握.那么怎样解决这个问题呢？有没有其它的方法来比较准确的做出正弦函数的图象？生：可以用单位圆中的正弦线来刻画正弦函数.反思：让学生自查作图中出现的问题，互帮互助，做到自己发现问题自己解决.教学中更注重学生的探索过程，展示知识的发生发展过程，培养学生的学习能力.实际教学过程中，学生通过实例展示能够发现列表描点法作正弦函数图象的缺点，但为了避免这些缺点而采用几何法作图学生一时难以想到.如何让学生能够自然而然地联想到正弦线，教师需要作怎样的铺垫,才能既自然流畅又不花费过多时间？我觉得在这个环节的处理上我做得还嫌不足，今后需加以改进和提高.（二）探索新知，形成方法1.几何法作图师：接下来给大家十分钟的时间请同学们在练习本上试着画出正弦函数的图象，可以考虑用自己的方法，也可以参照课本上的画法.巡视教室，找两位同学合作板演，帮学生提前准备好单位圆和直尺以方便学生在黑板上作图.教师对个别学生进行指导.然后请同学详细叙述作图方法，同时配合学生的叙述电脑演示.师：在刚才在作图过程中，我们有没有产生什么疑问？如果有的话，请同学们提出来，我们一起讨论解决.生若有所思,沉默设计这一环节的目的:培养学生的问题意识,要让学生自觉养成不但要知其然,更要知其所以然的习惯.对问题的处理不能只停留在表面,而是要抓住本质.师:那么我有问题想请教同学们:为什么我们要采用这种方法画正弦函数的图象呢?这个问题我分解成几个小问题,请同学们思考:问题3：在对x取角时，为什么取值都集中在0，2这个区间上？即要先研究它在0，2这个区间上的图象？生：因为正弦函数的图象每隔2个单位就重复出现一次，区间长度为2.师:理论依据是什么?生:理论依据是诱导公式：,表明在形成角的过程中，每当角的终边所在射线绕原点旋转一周，终边都会重合，正弦值就会相等.问题4：怎样得到正弦函数在实数集上的图象？生:可以通过左右平移函数在0，2这个区间上的图象得到.(师结合学生的描述,在多媒体上演示,以加深学生的印象.) 问题5：若我首先画出函数在-,上的图象，然后再平移可以吗？生:可以，因为角的终边也是旋转了一周，区间长度为2，只是我们更习惯0，2这个区间，所以才选用它. 问题6：在对x进行选点时，为什么我们要对0，2这个区间进行十二等分，不等分可以吗？生1:不等分也可以，但是等分取点更简单易行，方便操作.生2:若图象是对称的，则等分选取能更好的体现出图象的对称性.问题7：不十二等分可以吗？比如四等分，六等分，八等分或者二十四等分？生1:不十二等分也可以，但在我们对图象没有整体的了解之前，若分点太少，则我们难以准确的描述它的图象；若分点太多，图象固然更准确，但我们也要兼顾作图的繁简程度.我们希望能用较少的时间作出相对准确的图象，因此选用十二等分.生2：另外还有一个很重要的原因：十二等分之后，各分点所对应的角都是我们熟悉的特殊角，其正弦值不用查表就可求出，因此要进行十二等分.问题8：那为什么要用正弦线来表示正弦值呢？直接根据角的大小查表求出正弦值，不行吗？生:也行，但有些角的正弦值是无理数，我们只能求其近似值，这样就不易描出对应点的准确位置，不利于精确作图.而单位圆上的正弦线是正弦值的几何表示，函数值y就是正弦线的数量，因此准确的函数值可以通过平移正弦线得到.师补充：除了能准确求值以外，更重要的原因是：和列表描出孤立的点相比，通过单位圆中正弦线的变化规律即随着的不断增大,正弦值也在连续不断地增大然后又减小，正弦线能很好地体现出正弦函数图象的连续性和渐变性.师:刚才我们通过8个分问题解决了一个大问题:就是为什么我们要通过这种办法来画出正弦函数的图象.问题9：我们知道列表描点法是画出函数图象的一种最常用最基础的方法，那么刚才我们的画图过程与列表描点法作图相比较其本质是否相同？区别在哪里？生：本质上也是描点法作图，只不过是把列表找对应关系这一步用平移角的正弦线找点替代了.2.五点法作图师：通过刚才的分析，我们对如何准确的作出正弦曲线的图象以及为什么要这么做已经有所了解了.大家比划一下正弦曲线是什么样的？生形象地比划师:既然大家对正弦曲线的图象已经很清楚了，以后我们再作正弦函数的图象，在精度要求不高的情况下，就可以不采用上面这种比较麻烦的方法了，而是先找出决定图象形状的几个关键点，然后用光滑的曲线连接起来,作出正弦曲线的简图.那么接下来的问题是：问题10：哪些点对图象起着关键性作用呢？生观察后大声回答:问题11：为什么要选取这五个点作为关键点呢？生1:因为图象每隔2个单位就重复出现一次，区间长度为2，我们习惯上选取0，2这一段，所以x=0,x=2是所选区间的始末端点.另外,从图象上看，正弦曲线具有有界性，图象夹在y=1和y=-1这两条平行直线之间，而x= 是这个区间上的最大值点， x= 是这个区间上的最小值点，所以选取这5个点作为关键点.生2:同时x= 和x= 也是函数单调区间的分界点，所以要选取.另外还选取x=这一特殊点.因为,即与一样都是使的点，因此这三个点也是使函数值符号正负变换的分界点.基于以上原因，我们把这五个点作为正弦曲线的关键点.师:先描出这五个关键点，然后再用平滑的曲线连接起来作正弦曲线的简图的方法叫做“五点作图法”.在精度要求不高的情况下，我们常用五点法作图.问题12：“五点法作图”属于列表描点法作图吗？生:属于.师:因此在用五点法作图时，需要先列表，然后再画图.师:另外，“五点法”作图，根据分点的取值，相当于把圆周进行四等分，所以相邻的两个角之间都相差.反思：学生在数学学科的学习上面临的最大问题是:没有问题意识,对知识的掌握只停留在问题的表面，抓不住问题的本质.为了培养学生的问题意识，在这一部分知识的处理上我着重突出了怎样提出问题，通过层层设问，抽丝剥茧，不但让学生明白了利用几何法画图的过程中每一步的理论依据，同时让学生清楚列表描点法、几何描点法和“五点”作图法之间存在的联系.帮助学生抓住问题的本质,帮助学生建立问题意识,帮助学生找到提出问题的切入点,从而能更好地提出问题.(三)学习成效检测：师：现在就请同学们在练习本上用“五点法”作出正弦函数在0，2上的图象.生作图.意图:规范作图步骤,让学生体会五个特殊点的作用,在连点的时候注意体会曲线在有些地方比较陡一些，有些地方比较平缓.对所学知识进行检测:练习1:用五点法作出函数在0，2上的图象。练习2：用五点法作出函数在0，2上的图象。思考：用五点法作出函数的图象。成效分析:通过检测发现学生的学习效果很好,因此我认为这种通过层层设置问题即利用问题串,来帮助学生抓住本质的方法比较好,也有利于学生能力的培养和提高.三.教学评价:1.教学亮点: 我认为本节课有以下几个教学亮点:创设情境环节中通过一个裁纸实验引入课题，在引发学生求知兴趣的同时让学生直观感知本节要研究的图象，开门见山，有利于下面环节的展开.通过层层设问来展开课题，揭示本质.培养学生的问题意识,让学生自觉养成不但要知其然,更要知其所以然的习惯.使学生对问题的处理不仅仅停留在表面,而是抓住问题本质.2教学困惑:学生的理解能力及基础不同,影响了学生对于问题提出后的参与程度，使学习效果不均衡。如何改进?如何更自然流畅的引出几何法作图?如果不做任何铺垫让学生去想办法,可能绝大多数学生想不到.若作铺垫,感觉目的性又太强,我一直会问自己这样一个问题:我为什么要问学生这样的一个问题?我是想给学生一种启示还是想牵着学生的鼻子走,让学生顺着我的思路来?我这样做有利于学生思维的发展吗? 因为学生对于三角函数线这一新知识点的陌生,如何更自然流畅地引出几何法作图,一直困扰我.怎样更好的解决?3.教学反思:要把培养学生的问题意识作为长远的目标来实现.教给学生为什么要这样做远比教给学生怎样做更重要,在日常教学过程中要时时处处注意培养学生的问题意识.比如我让学生自己参照课本利用正弦线画出正弦函数的图象之后,我问学生:在刚才在作图过程中，我们有没有产生什么疑问？全班同学都沉默,提不出问题,我认为之所以这样,最根本的原因在于学生没有问题意识,不往深层里挖掘,浮在表面,人云亦云.要想改变这种状况,老师就要首先起到表率作用,设置问题,帮助学生找到提出问题的切入点.尝试改变教学模式,让学生发挥更大的积极性.本节课我采用的是较传统的教学模式,虽然也有分组讨论,分工合作,但总体来讲,课堂开放的力度不大.这节课我们也可以考虑采用这样的教学模式:在探讨如何作出正弦函数图象环节,把学生分成几个大组,给以充分的时间进行讨论,让学生想出各种办法作图,充分发挥学生的积极性和创造性.预计结果可能是这样的:有的组利用列表描点法作图,有的组利用几何法作图,有的组可能直接利用五点法作图,还有的组可能会利用正弦函数的性质进行作图.可以让学生分别汇报成果,然后老师点评,发挥主导作用.我觉得这种模式也很好,值得进一步探讨.教师要有扎实的专业知识,乐于钻研,乐于学习.现在我们更提倡开放性的课堂,这就意味着学生的思维也会更开阔,提出的问题更不受老师的限制.这就需要老师有扎实的专业功底,想到所有学生可能要问的问题,切切实实的备足课.比如在这节课中,有的老师就忽略掉了一些细节,出现了一些小错误.举例说明:有的老师讲到:正弦函数的图象的做法有三种:一种是列表描点法,一种是几何描点法,一种是五点作图法.把这三种方法并列给出.我认为在这里就没有理清这三者之间的关系,在这里应让学生清楚这三种方法都属于一种方法,即描点法作图.只是在实际描点过程中有所不同.在讲到问什么要引进正弦线作图时,有的老师强调说可以不用求近