小学数奥思维训练 整除

1 / 10 小学数奥思维训练 整除 莲山课 件 k 一、引例老师买了 72 本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗？（ 元， 中为看不清的数字）。二、基础知识 1、整除的定义：当两个整数 a 和 b（ b0 ）， a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或 b 整除 a，也把 a 叫做 b 的倍数， b 叫 a的约数，记作 b|a，如果 a 被 b 除所得的余数不为零，则称a 不能被 b 整除，或 b 不整除 a，记作、数的整除的特征：（ 1）1 与 0 的特性： 1 是任何整数的约数，即 对于任何整数 a，总有 1|是任何非零整数的倍数， a0,a 为整数，则 a|0.（ 2）奇数，偶数偶数都是 2 的倍数，表示为 2k（ k 为整数），其末尾数字为 0、 2、 4、 6、 8；奇数是被 2 除余 1 的数，表示为 2k+1（ k 为整数），其末尾数字为 1、 3、 5、 7、 9。（ 3）末尾数字为 0 的整数必被 10整除，表示为 10k（ k 为整数）（ 4）末尾数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，表示为 5k（ k 为整数）（ 5）末两位数字组成的两位数能被 4（ 25）整除的整数必被4（ 25）整除，能被 4 整除的整数，末两位数只可能是 00，04， 08， 12， 16， 20， 24， 28， 32， 36， 40， 96 ；能被 25整除的整数，末两位数只可能是 00， 25， 50， 75。（ 6）末三2 / 10 位数字组成的三位数能被 8（ 125）整除的整数必被 8（ 125）整除，能被 8 整除的整数，末三位数只可能是 000， 008，016， ， 992；能被 125整除的整数，末三位数只可能是 000，125， 250， 375， 500， 625， 750， 875。（ 7）各个数位上数字之和能被 3 或 9 整除的整数必能被 3 或 9 整除，实际上，一个整数被 3或 9除所得余数就是这个整数各个数位上数字之和被 3 或 9 除所得余数。（ 8）一个整数的奇数 位数字之和与偶数位数字之和的差如果是 11 的倍数，则这个数也能被11 整除。实际上，一个整数被 11 除所得的余数，即是这个整数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差被 11 除所得的余数。（ 9）一个三位以上的整数能否被 7（ 11 或 13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被 7（ 11 或 13）整除。3、整除的几条性质：（ 1）自反性： a|a(a0) （ 2）对称性：a|b,b|a,则 a=b（ 3）传递性：若 a|b,b|c,则 a|c（ 4）若 a|b,a|c,则 a|(bc)（ 5）若 a|b,m0, 则 am|bm（ 6）若 am|bm,m0,则 a|b（ 7）若 a|b,c|b,(a,c)=1,则 ac|b三、例题选讲例 1：（ 1）判断 47382能否被 3或 9整除？（ 2）判断 42559， 7295871能否被 11整除？解：（ 1） 4+7+3+8+2=243|24， 9243|47382 ，947382（ 2）（ 9+5+4） （ 5+2） =187=1111|42559（ 1+8+9+7） （ 7+5+2） =2514=1111|7295871 启示：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，3 / 10 这样有利于我们去 判断。例 2：求一个首位数字为 5 的最小六位数，使这个数能被 9 整除，且各位数字均不相同。分析：由于要求被 9 整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为 9 的倍数。解：一个以 5 为首位数的六位数 5 ，要想使它最小，只可能是 501234（各位数字均不相同）。但是 501234的数字和 5+0+1+2+3+4=15，并不是 9的倍数，故只能将末位数字改为 7，这时， 5+0+1+2+3+7=18是 9 的倍数，故 501237 是 9 的倍数。即 501237是以 5 为首位， 且是 9 的倍数的最小六位数。例 3：引例分析：首先将 元化成分，这样总钱数就是 137 （整数分）。由于每本书价格相同，所以 72|137 。但 72=89 ，所以 8 和 9都应整除 137 。解： 72=89 ， 元 =137 分8|137 ， 9|137 由于 8 整除 137 ，所以 8|37由此可知，当 37=376 时才有 8|376，故原数为 1376 。又由于 9 整除 1376 ，所以其数字和 +1+3+7+6 ，必是 9 的倍数。即 9|（ +17 ），而 只能是 1 到 9 中的某个数，所以 只能且 1。因此，原数为 11376 分，即元。启示：此处用到了整除的一条重要性质：如果 a|b,c|b,且 a、 c 没有除 1 以外的公共约数（即 a,c互质），那么 bc|a,这里 72=89 ，（ 8，9） =1，因为 8|137 ， 9|137 ，所以 72|137 ，因此同理可得能被 6 整除的数要求能同时被 2、 3 整除，因为4 / 10 6=23 ，（ 2， 3） =1，能被 12 整除的数要求能同时被 3， 4整除，因为 12=34 ，（ 3， 4） =1。例 4：四位数能被 2， 3，5 整除，这样的四位数有几个？分别是多少？解：要使能同时被 2， 3， 5 整除，则 b 为零；又要使能被 3 整除， a 必须满足各 位数字的和 7+2+0+a能被 3 整除，又知 a 只能取 0 至9 这十个数字，所以 a 只可取 0， 3， 6， 9。故满足条件的四位数有 4 个，即 7020， 7320， 7620， 7920。启示：在做有关整除的题目时，应充分考虑一些常见整数的整除特征。例 5：三个数的和是 555，这三个数分别能被 3， 5， 7 整除，而且商都相同，求这三个数。分析：因为所求三数分别被 3， 5，7 整除，而且商相同，此时这三数可分别设为 3m,5m,7m(m 为它们的商 )，这样就可利用条件三个数的和是 555。解：根据题 意 ， 设 所 求 三 数 分 别 为3m,5m,7m.3m+5m+ 7m=55515m=555m=373m=337=1115m=537=1857m=737=259 所求三数分别为 111， 185，259。例 6：在 568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别被 3， 4， 5 整除，且使这个数尽可能的小。解：不妨设补上三个数字后的六位数为。由于这个六位数分别被 3， 4，5 整除，故它应满足如下三个条件：（ 1）数字和（ 5+6+8+a+b+c）是 3 的倍数；（ 2）末两位数字组成的两位数是 4 的倍数；（ 3）末位 c 为 0 或 5。由于 4|，故 c 不能是 5，而只能是 0，且 b只可能是 2， 4， 6， 8， 0。又因为 3|（ 5+6+8+a+b+c）即 3|5 / 10 （ 5+6+8+a+b+0），所以当 b=2 时， 3|（ 5+6+8+a+2） ,a 可为0， 3， 6， 9 当 b=4 时， 3|（ 5+6+8+a+4） a 可为 1， 4， 7 当b=6 时， 3|（ 5+6+8+a+6） ,a 可为 2， 5， 8 当 b=8 时， 3|（ 5+6+8+a+8）， a 可为 0， 3， 6， 9 当 b=0时， 3|（ 5+6+8+a+0），a 可为 2， 5， 8 要使六位数尽可能小，则 a 应取 0， b 应取 2，c 应取 0。故被 3， 4， 5 整除的最小六位数应为 568020。例7：试证明由同一数字组成的三位数都是 37的倍 数。证明：设 这 三 位 数 为 则=a100+a10+a1=100a+10a+a=111a37|111,37|111a37| 启示：此题关键在于如何表示三位数，可类似：245=2100+410+5 ，故 =100a+10a+a 例 8：已知 A 是一个自然数，它是 15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有 0和 8 两种，问 A 最小是几？分析：因为 15|A，而 15=53 ，（ 5， 3） =1 所以 5|A， 3|A 故 A 的末位数字只能是零，从而打开解题的缺口。解：当 A 为两位数时， A 只能为 80， 88，而 5|A，所以 88 不合题意，又 3|A， 故 80 不合题意。当 A为三位数时，因为 5|A，故 A 的末位是 0， A 只可能为 880，800，而 3|A，故 880， 800均不符合题意。当 A 为四位数时，因 5|A，故末位数字为 0，又首位数字只能为 8，则 A=，因为 3|A，所以 3|（ 8+a+b）当 a,b中一个为 8，一个为 0 时，3A；当 a,b 均为 8 时， 3|（ 8+a+b），故 a=b=8,此时 A=8880符合题意。故 A=8880例 9：已知四位数的个位与千位数字之6 / 10 和为 10，个位数字既是偶数又是质数，百位数字与十位数字组成的两位数是个质数，又知这个四位数能被 36 整除，求所有满足条件的四位数中的最大者。解：因为个位数字既是偶数又是质数，所以个位数字为 2，又个位与千位数字之和为 10，故千位数字为 8。故设这个四位数为 36=49 ，（ 4，9 ） =14| ， 9|9| （ 8+a+b+2 ）即9|(10+a+b)4|b=9,7,5,3,1 当 a=9时，因 9|（ 10+a+b）b=8 ，不符合 4|当 a=8 时，因 9|（ 10+a+b） b=9 ，符合4| 这个四位数为 8892 启示：寻找满足题意的数，应充分利用数的整除的特征及整除的性质。例 10：求能被 26 整除的六位数 1993 解：由于 26=213 ，所以所求六位数1993 应分别被 2和 13整除，被 2整除的数个位只能是 0，2， 4， 6， 8；所求六位数被 13整除，必有 19 与 93 的差（ 93 -19 ）是 13的倍数。（ 1）当原数个位数字为 0 时，930=7113+7 ，故 19 ， 也 应 满 足 被 13 除余 7 。|9=100+13+6=713+9+13+6=13 （ 7+1 ）+9+6 即 9+6=13k+79 -1 应是 13的倍数，故 只能是 3，即六位数为 319930。（ 2）当原数个位数字为 2 时，932=7113+9 ，故 |9 也应满 足被 13 除余 9 由于 |9=（ 7+1 ） 13+9+69+6=13k+9 ，故 9 -3 的倍数， 只能是 9，即六位数为 919932。（ 3）当原数个位数字为 4 时， 934=7113+11 ，故 |9 也应被 13 除余 11。由7 / 10 于 |9= （ 7+1 ） 13+9+69+6=13k+11 ，即9 -5 应是 13 的倍数，故 只能是 2，即六位数为 219934。（ 4）当原数个位数字为 6 时， 936=7213 ，所以 |9 也应被 13 整 除 。 由 于 |9= （ 7+1 ）13+9+69+6=13k ， 9 -7+13=13k，故 9 -7应是 13 的倍数， 只能是 8，即六位数为 819936。（ 5）当原数个位数字为 8 时， 938=7213+2 ，故 |9 也应被 13 除余 2。由于 |9= （ 7+1 ） 13+9+69+6=13k+2 ，即 9+4 应是 13的倍数， 只能是 1，即六位数为 119938。综合以上情况，满足条件的六位数有： 319930， 919932，219934， 819936， 119938，共五个。例 11：个位数字为 6，且能被 3 整除的五位数共有多少个？分析：此题如果把个位数字为 6 且被 3 整除的五位数找出来实属 不易，因此应想简便方法求解，由此想到被 3 整除的数的特征是其各数位数字之和能被 3 整除，因此将其转化为各位数字之和除以 3 的倍数有多少个。解：设所求五位数为 3|3| （ a+b+c+d+6）3| （ a+b+c+d） 3| 故所求的五位数只需求被 3 整除的四位数有多少个即可又 1 1000 能被 3 整除的数有 333 个 110000能被 3整除的数有 3333个故 1000 10000能被 3整除的数有 3333-333=3000（个） 所求符合题意的数有 3000个。启示：两次运用被 3 整除的数的特征，先将 3|转化为 3|（ a+b+c+d+6） ,得 3|（ a+b+c+d），然后再将其转化为 3|。8 / 10 四、练习 1、各位数字为 7，并能被 63整除的最小自然数是几？ 2、使得能被 72整除的最大五位数是几？ 3、能被 11整除，首位数字是 4，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 5、个位数字为 9，且能被 3 整除的四位数有多少个？ 6、把一个三位数的百位和个位上的数字互换，得到一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被 4 整除。这样的三位数共有多少个？ 7、小马虎买了 72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字不全，只能认出： 元（ 表示不明数字） 。你能帮助小马虎找出不明数字吗？ 8、从 0， 3， 5， 7 四个数字中任选三个数，排成同时能被 2， 3， 5 整除的三位数，这样的三位数共有几个？9、将 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 这九个数字编排成三个三位数（九个数字全都用上；每个数字用一次且只用一次），要求每个三位数都能被 36 整除，是否能够办到？如果能办到，请你编出这样的三个三位数；如果办不到，请你说明理由。五、参考答案 1、 63=79 ，（ 7， 9） =1，所以要使一个整数能被 63整除，只要此数同时能被 7， 9 整除即可，又 这个数中各位数字都是 7，所以只要它能被 9 整除 即可。 该数为 7777777772、 72=89 ，（ 8， 9） =1 所以要使能被 72整除，只要同时能被 8， 9 整除即可。先使能被 8 整除，则 b=1， 5， 9 现在要寻找最大的五位数，还要满足 9|（ a+1+4+b+6）当 b=1时， a=6当 b=5 时， a=2当 b=9 时， a=79 / 10 根据数的大小比较原则，此五位数为 714963、要使首位数字是 4，且被 11整除，这样的最大六位数，还要满足其余各位数字均不相同，所以，只能先猜想是 498765，然后，再考虑能被 11 整除，这时，只需调整个位数字，就能找到满足条件的最大六位数 498762，同 理，可求出最小六位数为 401236。4、能对于较大的数，采用试验的方法，不难发现： 7|331331，即两个 331 连续被 7 整除。 100 个连续的 331 是 7 的整数倍， 7|5 、 300个（解答可参考例 11） 6、当十位数字是 1，3， 5， 7， 9 时，个位和百位数字可以是 2 或 6，共有 522=20（个）；当十位数字为 0， 2， 4， 6