数值分析总结

1 / 46 数值分析总结 数值分析学习感想 摘要 :数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合。随着科学技术迅速发展，运用数学方法解决工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。 作为这学期的考试课，在我最初接触这门课时，我感到了很困难，因为无论是高数还是线性代数我都放下了很久，而我感觉数值分析是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，但是在老师不断地引导和讲授下，我逐渐对其产生了兴趣。在老师的反复讲解下，我发现我被它吸引了，因为它不仅是单纯的学科，还教会了我许多做人生活的道理。 首先，数值分析这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近2 / 46 实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中， 也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就会有很大的差别，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小， 这无疑是好的。 数值分析中， “ 以点带面 ” 的思想也深深影响了我。这里的“ 点 ” 是根本，是主线。在第二章学习插值法的时候是以拉格朗日插值、牛顿插值为主线，然后逐渐展开介绍艾尔米特插值、分段低次插值和三次样条插值。在学习中只要将研究拉格朗日插值和牛顿插值的基本原理、基本方法理解透彻，其他的插值方法就基本掌握了。第四章处理数值积分和数值微分的基本方法是逼近法，只要将函数逼近的基本思想理解3 / 46 好，掌握起来就会得心应手；第六第七章是以迭代法为主线来求解线性方程组和非线性方程组的。在学习过程组只要将迭代法的相关原理掌 握好，便能掌握第六第七章。总的来数，数值分析所涉及到数学中很多学科的知识，内容比较复杂，因此在学习过程中一定要将基本原理、基本算法理解透，然后再逐步推广。同样在生活中每件事情都有它的主线，只要抓住这条主线再难的事情也会迎刃而解。 还比如 “ 等价转化 ” 的思想，这里的 “ 等价 ” 不是完全意义上的 “ 等价 ” ，是指在转化前后转化的主体主要特征值没有变。插值法的思想就是抓住已知函数或者已知点的几个主要特征，用另一个具备主要特征的简单函数来代替原函数或拟合已知数据点。实际生活中也有很多类似情况，已知事件或者面临的情况往往是复杂的，常常不能直接用数学方法直接研究，我们可以做的就是抓住已经事件的主要特征转化为数学模型来建立。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的耐心讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自4 / 46 己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 希望在将来，通过反复的实践能加深我的理解， 在明年的这个时候我能有更多的感悟。同时，因为十五周的学习时间太短加上我的基础薄弱，我决定明年继续来旁听老师的课程，达到进一步学习，加深理解的目的。 数值分析课程论文： 数值分析学习心得感悟 姓名：崔俊毅 学号： 2016210211 专业：防灾减灾专硕 院系：土木工程学院 数值分析复习总结 5 / 46 第二章 数值分析基本概念 教学内容： 1. 误差与有效数字 误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系； 误差的来源和误差的基本特性； 误差的计算的基本方法。 2. 算法的适定性问题 数值分析中的病态和不稳定性问题介绍； 病态问题和不稳定算法的实例分析。 3. 数值计算的几个注意问题 避免相近二数相减； 避免小分母； 避免大数吃小数； 选用稳定的算法。 1.数值分析简介 数值分析的任务 数值分析是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科 数值分析的过程 6 / 46 构造算法、使用算法、分析算法 2. 数值计算的基本概念 ? 误差概念和分析 误差的定义： 设 x 是精确值， p 是近似值，则定义两者之差是绝对误差 : ?a ?x?p 由于精确值一般是未知的 ,因而 不能求出来 ,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限 |x-p|? ?称为绝对误差限。 相对误差定义为绝对误差与精确值之比 7 / 46 ?r? ?ax ?r? ?a ?x 称为相对误差限 误差的来源： 舍入误差 将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法。带来舍人误差。 8 / 46 有效数字 对于 a=a0 a1 am . am+1 am+n(a00) 的近似数， 若| ， 则称 a为具有 m+n+1 位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做 a 的有效数字。有效数和可靠数的最末位数字称为可疑数字 有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小。 推论 1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。 x?an?10m 1 ?x?x?10m?n 2x?an?10m 9 / 46 5 ?r(x)?10?n a1 推论 2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下： 例 :计算 y = ln x。若 x ? 20，则取 x的几位有效数字可保证 y 的相对误差 截断误差 用数值法求解数学模型时， 往往用简单代替复杂 ,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。 ? 数值计算的算法问题 “ 良态 ” 问题和 “ 病态 ” 问题 在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化 X ，对应的参数误差 y 也很小，则称该数学问题是良态问题；若 y10 / 46 很大，则称为病态问题。 病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化。 数学问题的性态完全取决 于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。 稳定算法和不稳定算法 如果用数值方法计算时 ,舍入误差对结果影响小的算法称为稳定算法。否则称为不稳定算法。 ? 数值计算应注意的问题 第三章 线性方程组求解的数值方法 教学内容： 1. 11 / 46 高斯消元法 消元法的实现过程； 主元问题。 2. 矩阵分解 矩阵 LU 分解的一般计算公式； 利用 LU 分解的线性方程组求解方法； Cholesky 分解； Matlab 的 Cholesky 分解函数。 3. 向量范数与矩阵范数 向量范数及其性质； 矩阵函数及其性质； 常用范数形式。 4. 线性方程组的迭代法求解 迭代求解的思路； Jacobi 迭代法； 高斯 _赛德尔迭代法； 松弛法； 迭代法的收敛性。 5. 方程组的病态问题与误差分析 线性方程组解的误差分析； 条件数和方程组的病态性。 消元法： 问题： 12 / 46 消去法是按照系数矩阵的主对角线上的元素进行消元。从而可能出现： 某个主元为零，导致消元过程无法进行。 当某个主元的绝对值很小时，计算结果误差很大。 定理： 若 A 的所有顺序主子式 均不为 0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。 全主元消去法 每一步选绝对值最大的元素为主元素。 |aikjk|?max|aij|?0; k?i,j?n 列主元消去法 省去换列的 步骤，每次仅选一列中最大的元。 |aik,k|?max|aik|?0 13 / 46 k?i?n 矩阵三角分解法 由： 由 Gauss 消去法加上列主元 ( 或全主元）有 LU 分解： A?LU ?1? ?l211L? l31l321 ? ? ? ?ln1ln2 ?u11? ? U? ? ?ln(n?1)1? 14 / 46 u u 1222 ?2n? ? unn? ? 1n uu ?a11?a21?a31?a41 ?u11 15 / 46 ? ?l21u11 ?l31u11? ?l41u11? a aaa 21 12223242 aaaa 1212 13233343 16 / 46 aaaa 222222 14 ?1?24?l21?l3134 ? ?l4144? 1 ll 3242 001 l 17 / 46 43 0?u11 ?0?00?0?1?0 u u 1222 00 uuu 132333 uuuu 14 18 / 46 14 ?44?34?44? ? ?44? u lu?ulu?lulu?lu 31 12 32 41 12 19 / 46 42ulu?ulu?lu?ulu?lu?lu 13 21 13 23 31 13 32 23 41 13 20 / 46 42 23 43 3333 ulu?ulu?lu?ulu?lu?lu?u 14 21 24 31 14 32 21 / 46 24 34 41 14 42 24 43 34 得到计算公式： 算法： 对 k?2, 3, ?, n 计算 k-1m?1k-1 22 / 46 u?a , j?1, ?,n l?a , i?2, ?, n 1j 1j i1 i1 11 ukj?akj?lkmumj j?k , ? , n lik?(aik?limumk )/ukk i?k?1 , ? , n m?1 (1) 解 Y： y?b 23 / 46 1 1 y i ?bi?lijy , i?2, 3, ?, n j?1 jn i-1 (2) 解 x： x ? yn 24 / 46 nn i?1? xi?y?uijxj? i j?n? i?n?1, ?, 1 ii , Cholesky分解： 回顾对称正定矩阵的定义和性质。 由对称性推出： 定理： 设矩阵 A 对称正定，则存在非奇异下三角阵 L 使得 Matlab中的 Cholesky 分解函数： 25 / 46 chol 向量和矩阵的范数 为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，引进向量的范数的概念。 向量范数 定义： ?TA?LL A?LLT 。若限定 L 对角元为正，则分解唯一。 ,y?R Rn 空间的向量范数 | | 对任意 x 满足下列条件： ? (1)|x|?0;|x|?0?x?0 ? n 26 / 46 方法： 输入 =c + bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 Answer P=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+a2x2+a1x+a0 ? 2 注： p为近似值 27 / 46 P 绝对误差： ?|Ep?|p?p ?|p?p Rp? |p| 相对误差： ?|101?d|p?p Rp? |p|2 有效数字 : 3 Big Oh(精度的计算 )： O(h?)+O(h?)=O(h?); O(hm)+O(hn)=O(hr) r=minp,q; O(hp)O(hq)=O(hs) 28 / 46 s=q+p; 第二章 求解 x=g(x)的迭代法 用迭代规则 ，可得到序 列值。 设函数 g 满足 y 定义在得 。如果对于所有 x ， 则函数 g 在 ，映射 y=g(x)的范围 内有一个不动点 ; 29 / 46 此外，设 ，存在正常数 K 内，且对于所有 x，则函数 g 在 内有唯一的不动点 P。 ， K是一个正常数， 。如果对于所有 定理 设有 g， g 如果对于所有 x在 30 / 46 这种情况下， P成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散 性。波理 尔 查 . 诺 二 分 法 ( 二 分 31 / 46 法 定 ) 试值法： 应注意 越来越 小，但可能不趋近于 0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法 . f(pk?1) 其中 k=1,2, 证明：用 32 / 46 f(pk?1) 牛顿 拉夫森迭代函数： pk?g(pk?1)?pk?1? 泰勒多项式证明 第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组 Ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一 Gauss Elimination a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2? ） Back 33 / 46 初始值 0,x0,?,x0x1n2 四 Jacobi Method 1.选择初始 值 2.迭代方程为 0,x0,?,x0x1n2 k?1? x1k?1 ? x2 k? ? ? axk)b1?(a12x1nn a11 k? ? ? axk)b2?(a21x2nn a22 34 / 46 k ? axk ? ? ? ak)bn?(an1xxn2nn?1? k?1 xn ? ann 五 Gauss Seidel Method 1.迭代方程为 kk b?(ax? ? ? axk?111221nn)x1? a11k?1k b?(ax? ? ? axk?122112nn)x2 ? a22 35 / 46 ? k?1 k?1 k?1 2.选择初始值 判断是否能用 0,x0,?,x0x1n2 Jacobi Method 或者 Gauss Seidel Method 的充分条件 第四章 插值与多项式逼近 第一节 泰勒级数和函数计算 一些常用函数的泰勒级数展开： 36 / 46 for all x for all x for all x -1 -1 for 数值分析复习总结 任课教师 王建国 第二章 数值分析基本概念 教学内容： 1. 误差与有效数字 误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系； 37 / 46 误差的来源和误差的基本特性； 误差的计算的基本方法。 2. 算法的适定性问题 数值分析中的病态和不稳定性问题； 病态问题和不稳定算法的实例分析。 3. 数值计算的几个注意问题 数值计算的基本概念 ? 误差概念和分析 误差的定义： 设 x 是精确值， p 是近似值，则定义两者之差是绝对误差 : ?a?x?p 38 / 46 由于精确值一 般是未知的 ,因而 不能求出来 ,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限 |x-p|? ?称为绝对误差限。 相对误差定义为绝对误差与精确值之比 ?r?a x ?a?r?x ? 误差的来源： 称为相对误差限 舍入误差 将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法。带来舍人误差。 截断误差 用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂 ,或者用有39 / 46 限过程代替无限过程所引起的误差。 ? 有效数字 对于 a=a0 a1 am . am+1 am+n(a 00) 的近似数， 若 | ， 则称 a为具有 m+n+1 位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做 a 的有效数字。有效数和可靠数的最末位数字称为可疑数字 有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小。 推论 1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。 推论 2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下： x?an?10m1?x?x?10m?n2? 40 / 46 x?an?10 m5?r(x)?10?na1 例 :计算 y = ln x。若 x ? 20，则取 x的几位有效数字可保证 y 的相对误差 ? 数值计算的算法问题 “ 良态 ” 问题和 “ 病态 ” 问题 在适定的情况下， 若对于原始数据很小的变化 X ，对应的参数误差 y 也很小，则称该数学问题是良态问题；若 y很大，则称为病态问题。 病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化。 数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方 法无关。 稳定算法和不稳定算法 如果用数值方法计算时 ,误差在计算过程中不扩散的算法称41 / 46 为稳定算法。否则称为不稳定算法。 ? 数值计算应注意的问题 避免相近二数相减； 避免小分母； 避免大数吃小数； 选用稳定的算法。 绝对误差的运算： ?(x1?x2)?(x1)?(x2) ?(x1x2)?x1?(x2)?x2?(x1) x?(x?)?x?(x?)x?()? ?x?x? ?(f(x)?f?(x)?(x) 课程内容 42 / 46 1 误差 了解误差的来源与分类及误差的基本概念与性质； 熟悉绝对误差及绝对误差限、相对误差及相对误差限和有效数字之间的关系； 掌握一元和二元函数的误差估计式并会应用； 熟悉减小误差的积累和 传播应注意的几大原则和通常做法。 2 插值法 掌握 Lagrange 插值、 Newton 插值； 理解 Hermite 插值的构造和计算； 掌握这些插值函数的余项表达式的求法、形式、作用及估计； 了解用插值基函数思想求任何插值条件的插值函数问题； 了解分段插值及三次样条函数插值的构造思想、特点和计算43 / 46 方法； 了解差商和差分、等距结点插值的基本性质。