旋转知识点总结

1 / 38 旋转知识点总结 旋转知识点归纳 知识点 1:旋转的定义及其有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向转动一个 角度，这样的图形运动称为旋转，定点 O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角 ;如果图形上的点 P经过旋转到点 P?,那么这两个点叫做这个旋转的对应点 . 如图 1,线段 AB 绕点 O 顺时 针转动 90得到 A?B?,这就是旋转 ,点 O 就是旋转中 ? 图 1 心 ,?BOB?,?AOA?都是旋转角 . 2 / 38 说明 : 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此 “ 在平面内 ” 这一条件不可忽略 .决定旋转的因素有三个 :一是旋转中心 ;二是旋转角 ;三是旋转方向 . 知识点 2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的 .由此得到如下性质： 经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同 . 任意 一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 . 对应点到旋转中心的距离相等 . 对应线段相等，对应角相等 . 例 1 、如图 2， D 是等腰 RtABC 内一点， BC是斜边，如果将 ADB 绕点 A逆时针方向旋转到 AD?C 的位置，则 ?的度数是 ?ADD 25 3 / 38 ? D? 30 35 ? 图 2 45? 分析 :抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质，本题就很容易解决 . 由 AD?C 是由 ADB 旋转所得 ,可知 ADBAD?C,AD=AD?,D AB=D?AC,DAB+DAC=900, 4 / 38 D?AC+DAC=900,ADD?450, 故选 评注 :旋转不改变图形的大小与形状 ,旋转前后的两个图形是全等的 ,紧紧抓住旋转前后图形之间的全等关系 ,是解决与旋转有关问题的关键 . 知识点 3:旋转作图 1.明确作图的条件 :(1)已知旋转中心 ;(2)已知旋转方向与旋转角 . 2.理解作图的依据 :(1)旋转的定义 : 在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转 ;(2)旋转的性质 :经过旋转 ,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度 ,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角 ,对应点到旋转中心的距离相等 . 3.掌握作图的步骤 :(1)分析题目要求 ,找 出旋转中心、旋转角；分析图形，找出构成图形的关键点；沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；连接作出的各个关键点，并标上字母；写出结论 . 例 2 如图 3，小明将 ABC 绕 O点旋转得到 A?B?C? ，其中5 / 38 点 A?、 B?、 C?分别是 A、 B、 C 的对应点 .随即又将 ABC 的边 AC、 BC及旋转中心 O擦去 (不留痕迹 ),他说他还能把旋转中心 O及 ABC 的位置找到 ,你认为可以吗 ?若可以 ,试 确定旋转中心及的位置 ;如不可以 ,请说明理由 . 分析 :本题的关键是要学生先确定旋转中心的位置 .根据“ 对应点到旋转中心的距离相等 ” 这一特征，可推断出旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点 .这样旋转中心就可以确定了，从而 ABC 的位置也就可以确定了 . 解：连接 AA?， BB?,分别作 AA?， BB?的垂直平分线，相交于O 点，则 O 点即为旋转中心 .再作 C?关于点的对应点 ,连接 ,则的位置就确定了 .如图 4所示 . 评注 :旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键 . 考点 4:钟表的旋转问题 钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动 ,其中时针 12小时旋转一周 , 6 / 38 ? 图 3 A 36000 则每小时旋转 ?300,这样时针每分钟旋转 ;分针每小时旋转一周 ,则每分钟旋转 123600 ?60. 60 例 3 从 1点到 1点 25分 ,分针转了多少度角 ?时针转了多少度角 ?1点 25分时时针与分针的夹角是多少度 ? 分析 :从 1 点到 1 点 25 分 ,分针与时针都转了 25 分钟 ,所以分针旋转的角度为 60?25?1500,时针旋转的角度为 ?25?;1点7 / 38 整的时候，分针与时针的夹角为 300,分针与时针分别同时旋转 1500与后 ,分针与时针的夹角为 1500?300? 解 :分针旋转的角度为 60?25?1500;时针旋转的角度为 ?25?; 分针与时针的夹角为 1500?300? 评注 :(1)时针每分钟旋转 ;(2)分针每分钟旋转 6.这两个条件是旋转问题中的隐含条件 ,也是解决此类问题的突破口 解读生活中的旋转 一 . 旋转及其基本性质 1.旋转的概念 在平面内 ,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度 ,这样的图形运动称为旋转 ,这个定点称为旋转中心 ,转动的角称为旋转角 . 2.旋转的基本性质 (1) (2) 旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等 ; 对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等 . 3.理解旋转中的不变量 图形旋转的主要因素是旋转的方向和旋转的角度 ,图形在旋8 / 38 转过程中 ,图形中的每一点都按同样的方向旋转了相同的角度 .图形在旋转后点的位置改变 ,但线段的长度不变 ,对应点到旋转中心的距离不变 ,每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等 . 总结 :旋转过程中 ,每一个点都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度 ,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 ,对应点到旋转中心的距离相等 . 二 . 旋转前后两个图形的比较 图形是由点组成的 ,图形中的主要元素有线段和角 ,也有一些其他可度量的元素 ,所以从这两个方面加以分析 .旋转的特点有以下几个方面 : (1) (2) (3) 旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变 ,位置发生了改变 ; 对应线段相等，对应角相等 ; 每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是旋转角 . 三 . 旋转作图 9 / 38 1.旋转作图的依据是 :图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度 ,对应点到旋转中心的距离相等 . 2.旋转作图的条件 (1) 图形原来所在的位置 ;(2)旋转中心 ;(3)图形旋转的方向 ;(4)图形的旋转角度 . 3.旋转作图的具体步骤为 : (1) (2) (3) 分析题目的要求 ,找出旋转中心、旋转角； 分析所作的图形，找出构造图形的关键点； 沿一定的方向，按一定的角度，通过攫取线段的方法，旋转各个关键点。 连：即连图形中的每一个关键点与旋转中心； 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度； 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；为了避免作图时的混乱，每个点独立完成后，再进行下一个点的旋转； (4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母； (5)写出结论 . 四 .旋转作图的考查形10 / 38 式 (1)已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形； (2)已知原图、旋转中心和一对对应线段，求作旋转后的图形； (3)已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形 . 五 .典例剖析 例 1 如图 1， D 是等腰 RtABC 内一点， BC 是斜边，如果将ABD 绕点 A逆时针方向旋转到 ACD? 的位置，则 ?ADD?的度数是 25? 35 ? 30? 45 ? 解析：根据旋转性质可知 ABDACD? ， BAD=CAD? ，AD=AD? ， BAD+CAD =90 ， CAD?+CAD=90 ， ?ADD?= 11 / 38 00 D 图 1 1 1800?900?450，故应选 2 ? 评注：本题应用旋转性质得到两三角形全等，然后根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可 . 例 2 如图 2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是 72? 108? 144? 216? 12 / 38 图 2 解析：整个图 形可以看作是图形的五分之一绕中心位置，按照同一方向连续旋转 72?、 144?、 216?、 2880、 3600 和原来图形共同组成的，所以本题应选。 评注：解决本题的关键是通过动手操作和动脑分析，找到“ 基本图案 ” ，并分析得到旋转角，对本题来说，只要找到了 “ 基本图案 ” ，所有的旋转角一定都是 72的倍数 . 例 3 在如图 3的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形， ABC 的三个顶点 都在格点上 画出 ABC 向平移 4个单位后的 A1B1C1 ； 画出 ABC 绕点 O 顺时针旋转 90后的 A2B2C2 ，并求点 A 旋转到 A2所经过的路线长 分析 :在作图的时候要找到关键点的位置 ,本题有两步作图 ,第一步是平移 ,第二步是旋转 ,按照平移和旋转的作图步骤13 / 38 容易得到最后的图 图 3 图 4 ? ? 第二十三章 旋转知识点总结，经典例题，单元测试 ： 14 / 38 1.旋转：把一 个平面图形绕着平面内某一点 0转动一个角度，就叫做图形的旋转。点 0 叫做旋转中心，旋动的角叫做旋转角。 旋转方向：顺时针和逆时针。 2.旋转的特征： 对应点到旋转中心的距离相等。 对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 旋转前、后的图形全等。 3.旋转对称图形：一个图形绕着某一动点转动一定的角度后能与自身完全重合，这种图形称为旋转对称图形，绕着转动的这一点，称为旋转中心。 注：结合旋转对称图形的定义知：正三角形绕其中心旋转1200后能与自身完全重合，故正三角形是旋转对称图形；正方形绕其对角线的交点旋转 900后能与自身完全重合，故正方形是旋转对称图形。 一般的正 n 变形是旋转对称图形，那么最少旋转时，能与自身完全重合。 4.设计旋转对称图形： 确定旋转中心、旋转角度和旋转 方向；这是旋转的三要素。 确定图形中的关键点； 将这些关键点绕旋转中心绕指定方向旋转指定的角度。 顺15 / 38 次连接新关键点，得到所求图形。 旋转的定义： 【例 1】如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB，它绕 O点按顺时针方向旋转 得到 OEF ， 在 这 个 旋 转 过 程 中 ： 1.旋转中心是什么？旋转角是什么？ 2.经过旋转，点 A、 B分别移动到什么位置？ 【例 2】如图所示， ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形， ACB和 AED 都是直角，点 C 在 AD上，如果 ABC 经旋转后能与ADE 重合，那么哪一点是旋转中心？旋转角度是多少？并指出对应点。 D E 练一练：如图所示， ABC 是等腰三角形， ACB=90 ， D 是16 / 38 AB 边上一点， CBD 经逆时针旋转后到达 CAE 的位置，则旋转中心是 ，旋转角度是 ，点 B 的对应点是 ，点 D 的对应点是 ，线段 CB 的对应线段是 ，线段 CD 的对应线段是 ， CBD 的对应角是 ，如果点 M 是线段 BC 的中点，点 N 是线段 AC 的中点，那么经过上述旋转之后，点 M 旋转到了 。如果连接 DE，则 ECD 是什么三角形？ 【例 3】 根据图回答下面问题。 1线段 OA 与 OA ， OB 与 OB ， OC 与 OC 有什么关系？ 2 AOA ， BOB ， COC 有什么关系？ 3 ABC与 A BC 形状和大小有什么关系？ 综合以上得出： 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前、后的图形全等 E 17 / 38 CMB 旋转对称图形： 【例 1】如图所示，它由哪个 “ 基本图形 ” 旋转得到的？旋转中心是哪里？旋转了多少度？ 【例 2】如图，四边形 ABCD、四边形 EFGH 都是边长为 1 的正方形 1.这个图案可以看做是哪个 “ 基本图案 ” 通过旋转得到的？ 2.请画出旋转中心和旋转角 3.指出，经过旋转，点 A、 B、 C、 D 分别移到什么位置？ D 旋转作图： 【例 1】请画出 ABC 绕点 0顺时针旋转 450,后的图形。 18 / 38 C A B C B 练一练：请画出四边形 ABCD 绕点 0 逆时针旋转 600 后的图形。请画出 ABC 绕点 0顺时针旋转 900,后的图形。 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究 1旋转中心不变，改变旋转角 下图所示的四边形 ABCD以 O 点为中心，旋转角分别为 30 、19 / 38 60 的旋转图形 2旋转角不变，改变旋转中心 以下所示图形，四边形 ABCD 分别为 O、 O为中心，旋转角都为 30? 的旋转图形 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计 出美丽的图案 【例 2】如图，正方形网格中， ABC 为格点三角形，将 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 90 得到 AB1C1 在正方形网格中，作出 AB1C1 ； 【例 3】如 图所示，每个小方格都是边长为 1 的正方形，以O 点为坐标原点建立平面直角 坐标系 . 1.画出四边形 OABC 关于 y轴对称的四边形 OA1B1C1，并写出20 / 38 点 B1的坐标是 . 2.画出四边形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90 后得到的四边形 OA2B2C2。 1 练一练：如图，四边形 ABCD 是边长为 1的正方形，且 DE=， ABF是 ADE 4 的旋转图形 1.旋转中心是哪一点？ 2.旋转了多少度？ 的长度是多少？ 4.如果连结 EF，那么 AEF 是怎样的三角形？ 1在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (1， 4)，将线段 OA绕点 O顺时针旋转 90得到线段 OA，则点 A的坐标是 21 / 38 2.如图所示，图沿逆时针方向旋转 90可得到图_；图按顺时针方向至少旋转 _度可得图 3如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， F 是 BA 延长线上的一点，若，则可通过 变换，使三角形 ABE 变换到三角形 ADF 的位置；且线段 BE、 DF 的数量关系是 4如图，以点 为为旋转中心，将 1 按顺时针方向旋转 100，得到 2若 1 40， 则 2 度 5如图，将左边的矩形绕点 B 旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则 ABC= 6. 如图，一块等边三角形木板 ABC的边长为 1，现将木板沿水平线翻转， 那么 A 点从开始到结束所走的路径长度为 7. 如图，在 ABC 中， AB AC，若将 ABC 绕点 C 顺时针旋22 / 38 转 180得到 FEC则 AE 与 BF 的关系是 _；若 ABC 的面积为 3cm2，则四边形 ABFE 的面积是 _；当 ACB为 _度时，四边形 ABFE为矩形。 8如图，四边形 EFGH是由四边形 ABCD经过旋转得到的如果用有序数对表示 方格纸上 A 点的位置，用表示 B 点的位置，那么四边形 ABCD旋转得到四边形 EFGH 时的旋转中心用有序数对表示是 9.如图，四边形 ABCD是正方形， ADE旋转后能与 ABF重合则旋转中心是，旋转角 等于度，如果连接 EF，那么 AEF 是 ， 10如图， P是等边三角形 ABC内的一点，且 PA?6，PB?8若将 PAC 绕 PC?10 点 A 逆时针旋转后，得到 P?AB，则点 P 与点 P?之间的距离为 . 23 / 38 【人教版】初中数学九年级知识点总结： 23旋转 【编者按】本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。 一 .知识框架 二知识概念 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。 3中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中 心，两个图24 / 38 形关于点的对称也叫做中心对称成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上如果将中心对称的两个图形看成一个整体，那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称 4.中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 中心对称：如果把一个 图形绕着某一点旋转 180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 5.把一个图形绕着某一点旋转 180，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 25 / 38 6.中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行且相等。 旋转 【知识脉络】 【基础知识】 . 旋转 1定义 把一个图形绕某一点 O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中 O叫做旋转中心，转动的 角叫做旋转角。 26 / 38 2性质 对应点到旋转中心的距离相等。 对应点与旋转中心 所连线段的夹角等于旋转角。 . 中心对称 1定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和另外一个图形重合， 那么这两个图形关于这个中心对称，这个点就是它们的对称中心。 2性质 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行且相等。 3判定 27 / 38 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一 点对称。 4中心对称图形 把一个图形绕某一 个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么 这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 . 坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 P 关于原点的对称点为 P 2、关 于 x轴对称的点的特征 两个点关于 x 轴对称时，它们的坐标中， x 相等， y 的符号相反，即点 P关于 x 轴 的对称点为 P 28 / 38 3、关于 y轴对称的点的特征 两个点关于 y 轴对称时，它 们的坐标中， y 相等， x 的符号相反，即点 P关于 y 轴 的对称点为 P 旋转知识点总结与练习 知识点 1 旋转的定义 _把一个平面图形绕着 平面内某一点 O转动一个角度的图形变换叫做 _，点 O叫做旋转中心， 叫做旋转角 . 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度 . 1. 如图 ,将正方形图案绕 中心 O旋转 180后 ,得到的图案是 2. 如图 2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转 后，不能与其自 身重合的是 29 / 38 72 108 144 216 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离 _； (2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于 _； (3)旋转前后的两个图形 _. 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转 . 3. 如图，将 ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20， B点落在 B位置， A 点落在 A 位置，若 AC A B，则 BAC的度数是 30 / 38 A 50 B 60 C 70 D 80 4 x?4与 x轴、 y轴分别交于 A、 B两点，把 AOB绕点 A 顺 3 时针旋转 90后得到 AO?B?，则点 B?的坐标是 4.如图，直线 y? A. B. C. D. 旋转的作图 : 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键，沿指定的方 1 向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形 1 31 / 38 5在下图 4 4 的正方形网格中， MNP 绕某点旋转一定的角度，得到 M1N1P1，则其 旋转中心可能是 A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D 知识点 2 第 5 题图 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转 _，如果它能够与另一个图形 _，那么就说这两个图形关于这个点对称或 _，这个点叫做 _，旋转后能够重合的对应点叫 做关于对称中心的 _. 要点诠释：有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； 位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的 ) 6.如图所示，在下列四组图形中，右边图形与左边 图形成中心对称的有 _. 32 / 38 中心对称的性质： 中心对称的两个图形，对称点所连线段经过 _，并且被对称中心所 _.中心对称的两个图形是 _. 7.如图，已知 ABC和点 O.在图中画出 A B C，使 A B C与 ABC关于 O点成中心对称 . 知识点 3 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形 _，那么这个图形叫做 _，这个点叫它的 _. 要点诠释：中心 对称图形指的是一个图形； 线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形 . 8. 9.如图，直线 EF经过平行四边形 ABCD的对角线的交点，若33 / 38 AE=3 cm，四边形 AEFB 的 面积为 15 cm2，则 CF=_，四边形 EDCF 的面积为 _. 知识点 4 求关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 _，即点 P(x ， y) 关于原点的对称点为 P _. 10.在平面直角坐标中，点 (4， -5)关于原点的对称点坐标是 ( ) A.(4， 5) B.(4， -5) C.(-4，5) D.(-4， -5) 11.点 A(a-1， -3)与点 B(-2， 1-b)关于原点对称，则 a+b 的值为 _. 12. ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， A， B， C三点在格点上 . (1)作出 ABC关于轴对称的 A1B1C1，并写出点 C1的坐标； 34 / 38 (2)作出 ABC 关于原点 O 对称的 A2B2C2，并写出点 C2 的坐标 . 13、四边形 ABCD是正方形， ADF旋转一定角度后得到 ABE，如图所示，如果