韦达定理总结

1 / 36 韦达定理总结 韦达定理应用 一 教材分析 本节教学内容为 “ 韦达定理的应用 ” ，此内容是学生学习“ 一元二次方的根与系数的关系 ” 中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标 : 二 教学目标 1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。 2、提高学生综合应用能力 三 教学重难点 2 / 36 重点 :运用韦达定理解决方程中的问题 难点 :如何运用韦达定理 四 教学过程 (一 ) 回顾旧知，探索新知 上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理 ? 2 如果 ax?bx?c?0(a?0)的两个根是 x1,x2 那么 x1?x2?bc,x1?x2? aa 老师 :由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢 ?今天我们将来探讨这个问题。 ) (二 ) 举例分析 例 已知方程 5x?kx?6?0 的一根是 2，求它的另一根及 k 的3 / 36 值。 请同学们分析解题方法 : 思路 :应用解方程的方法，带入法 解法一 :把 X=2代入方程求的 K=-7 把 K=-7 代入方程 :5x?7x?6?0 运用求根公式公式解得 ?x1?2,x2?223 5 提问 :同学们还有没有其它方法呢 ? 启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理 建立一个关系，求解方程。 解法二 :设方程的两根为 x1,x2，则 x1?2,x2是未知数 用韦达定理建立关系式 632x2?,?x2? 55 k?x2?2?,?k?75 3?x1?2,x2?,k?75 对比分析，第二种方法更加简单 4 / 36 总结 :在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某 些代数式的值 例 2 不解方程，求一元二次方程 2x2 3x 1 0 两根的 平方和；倒数和 方法小结 : (1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用 x1?x2,x1?x2 的代数式表示。 (2)格式、步骤要求规范 : 将方程的两根设为。 求出 x1?x2,x1?x2 的值 。 将所求代数式用 x1?x2,x1?x2的代数式表示 。 将 x1?x2,x1?x2 的值代人并求值。 三 综合运用 巩固新知 1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是 5 / 36 解 ： 2、设 x1,x22 (1)?x1?1?x2?1? (2)?x1?x2? 2 (3)x2x1 ?x1x2 2 17，求 M 的值 板书设计 中考数学解题方法专题【韦达定理及应用】归纳与提升 6 / 36 韦达， 1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为 “ 代数学之父 ” 。 历史上流传着一 个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的 22个正数解。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。 你能利用韦达定理解决下面的问题吗？ 一 真题链接 【例 1】 .若 x1、 x2 是关于一元二次方程 ax2+bx+c的两个根，7 / 36 则方程 bc 的两个根 x1、 x2和系数 a、 b、 c有如下关系： x1+x2=-a x1?x2=a 把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点为 A， B利用根与系数关系定理可以得到 A、 B连个交点间的距离为： 参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点 A， B，抛物线的顶点为 C，显然 ABC 为等腰三角形 当 ABC 为直角三角形时，求 b2-4ac 的值； 当 ABC 为等边三角形时，求 b2-4ac 的值 【例 2】 .阅读材料： 若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个实数根为 x1， x2，则两根与方程系数之间有如下关系： 8 / 36 根据上述材料填空： 1 已知 x1， x2是方程 x2+4x+2=0的两个实数根，则 【例 3】 .已知关于 x 的方程 x2+2x+a2-7a-b+12=0 有两个相等的实数根，且满足 2a-b=0 利用根与系数的关系判断这两根的正负情况 若将 y=x2+2x+a2-7a-b+12 图象沿对称轴向下移动 3 个单位，写出顶点坐标和对称轴方程 【例 4】 .设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1， x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系： 根据该材料填空：若关于 x 的一元二次方程 x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是 x1， x2，且满足 x1+x2=x1?x2则 k的9 / 36 值为 二 名词释义 一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别， =b2 -4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程 (组 )，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 根系关系的三大用处 计算对称式的值 例 若 x1,x2 是方程 x?2x?XX?0 的两个根，试求下列各式的值： (1) x12?x22； (2) 10 / 36 2 11?； x1x2 (3) (x1?5)(x2?5)； (4) |x1?x2| 解 ：由题意，根据根与系数的关系得： x1?x2?2,x1x2?XX (1) x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?(?2)?2(?XX)?4018 (2) 2 2 2 2 11x1?x2?22 ? 11 / 36 x1x2x1x2?XXXX (3) (x1?5)(x2?5)?x1x2?5(x1?x2)?25?XX?5(?2)?25?1972 2 (4) |x1?x2|? ?说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2， 11x1?x2 ， (x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2， ? 12 / 36 x1x2x1x2 |x1?x2|?x1x22?x12x2?x1x2(x1?x2)， x13?x23?(x1?x2)3?3x1x2(x1?x2)等等韦达定理体现了整体思想 构造新方程 理论：以两个数 为根的一元二次方程是 。 例 解方程组 x+y=5 Xy=6 解：显然， x， y 是方程 z-5z+6 0 的两根 由方程 解得 z1=2,z2=3 原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 定性判断字母系数的取值范围 13 / 36 2 例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为 2，求 k的取值范围。 解：设此三角形的三边长分别为 a、 b、 c，且 a、 b 为由题意知 k-4220 ， k4 或 k -4 2 的两根，则 c=2 3 为所求。 三 典题示例 14 / 36 例 1 已知关于 x的方程 x?(k?1)x? 2 12 k?1?0，根据下列条件，分别求出 k 的值 4 (1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 x1,x2 满足|x1|?x2 分析： (1) 由韦达定理即可求之； (2) 有两种可能，一是x1?x2?0，二是 ?x1?x2，所以要分类讨论 解： (1) 方程两实根的积为 5 12?2 ?(k?1)?4(k?1)?0?3?4 ?k?,k?4 ? 15 / 36 2?xx?1k2?1?5 12?4 所以，当 k?4时，方程两实根的积为 5 (2) 由 |x1|?x2 得知： 当 x1?0时， x1?x2，所以方程有两相等实数根，故 ?0?k? 3 ； 2 当 x1?0时， ?x1?x2?x1?x2?0?k?1?0?k?1，由于 ?0?k 3 ，故 k?1 不合题意，舍去 2 综上可得， k? 3 16 / 36 时，方程的两实根 x1,x2 满足 |x1|?x2 2 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 ?0 例 2 已知 x1,x2是一元二次方程 4kx?4kx?k?1?0的两个实数根 2 4 (1) 是否存在实数 k，使 (2x1?x2)(x1?2x2)?请您说明理由 (2) 求使 3 成立？若存在，求出 k的值；若不存在， 2 x1x2 17 / 36 ?2的值为整数的实数 k的整数值 x2x1 3 成立 2 解： (1) 假设存在实数 k，使 (2x1?x2)(x1?2x2)? 2 一元二次方程 4kx?4kx?k?1?0 的两个实数根 ? ?4k?0 ?(?4k)?4?4k(k?1)?16k?0 2 2 ?k?0， 18 / 36 又 x1,x2 是一元二次方程 4kx?4kx?k?1?0 的两个实数根 ?x1?x2?1? ?k?1 x1x2?4k? (2x1?x2)(x1?2x2)?2(x12?x22)?5x1x2?2(x1?x2)2?9x1x2 ? k?93 ?k4k29 ，但 k?0 5 3 成立 2 19 / 36 不存在实数 k，使 (2x1?x2)(x1?2x2)? x1x2x12?x22(x1?x2)24k4 (2) ?2?2?4?4? x2x1x1x2x1x2k?1k?1 要使其值是整数，只需 k?1能被 4整除，故 k?1?1,?2,?4，注意到 k?0， 要使 x1x2 ?2的值为整数的实数 k的整数值为 ?2,?3,?5 x2x1 说明： (1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在 (2) 本题综合性较强，要学会对 20 / 36 4 为整数的分析方法 k?1 5 根与系数的关系 2 教学目标： 1、 会利用韦达定理求出与根有关的代数式的值 2、 学会灵活多变的代数式变形 3、 会求作新方程 一、知识回顾 1、设、 代数式是方程 = 。 的两根，则两根之和为 两根之积为 则 21 / 36 学生讲出做题依据，复习根与系数的关系。 2、如果关于 x的一元二次方程 x+px+q=0的两根分别为 x1=2，x2=1，那么 p= ， q= 2 本题可能有学生 用代人法，联立方程组，引导用韦达定理。 二、自主探究 1| 3、设 x1.、 x2是方程的两根， 求 ： 2x1?2x2 2x1?2x2 1111 ? ?x1x2x1x2 重点训练利用韦达定理求出与根有关的代数式的值，和学生一起总结解题步骤。 韦达定理 代数式变形 变式训练 22 / 36 4、方程 x2-2x-1=0 的两个实数根分别为 x1， x2， 求： x1+x2 22x2x1? (x1?x2)2 x1x2 三、合作探究 25、如果关于 x 的一元二次方程 x+px+q=0 的两根分别为x1=2， x2=1，则方程为 6、如果关于 x 的一元二次方程 x+px+q=0 的两根分别为 ?23?2，则方程为 2 如果第 5 题用代人法，联立方程组还可以解决的话，那么的第 6 题用此法则太繁琐，引导学生善于思考，善于比较，选择最简单的方法。 7、如果关于 x的一元二次方程 x+px+q=0 的两根分别为 x1、x2，那么 p= ， q= 则方程为 2 23 / 36 8、设 x1.、 x2是方程 程 引导学生总结求作新方程的解题步骤 求出原方程的两根和与积 写出新方程的两根 求出新方程的两根和与积 写出新方程 四、反思总结： 五、课堂小测： 的两根，求作一个新方程，使它的两根是方的两根的倒数。 9、已知 x1， x2是方程 x2 6x 3 0的两实数根，则 x2x1?的值为 _ x1x2 24 / 36 10、方程 x2-2x-1=0 的两个实数根分别为 x1， x2，求作一个新方程，使它的两根分别是 2x1和 2x2 。 韦达定理在平面在几何中的应用 姓名：莫 学号： 201640432018 班级： 10数学本科班 院系：兴义民族师范学院 1 引言 韦达 (Viete， Francois， seigneurdeLa Bigot iere) 是法国十六世纪最有影响的数学家之一 .韦达是第一个有意识地、系统地使 用字母的人，他把符号系统引入代数 学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类 的认识产生了飞跃 .人们为了纪念他在 代数学上的功绩，称他为 “ 代数学之父 ”.他最 早发现代数方程的根与系数之间有 这种关系 , 因此 , 人们把这种关系称之为韦达 定理 (Viete s Theorem).它的25 / 36 主要 内容是：一元二次方程 且 中，设两个根为 和 ，则： ， . 一元二次方程根与 系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容 之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学 的始终 . 对韦达定理 (Viete s Theorem)在中学数学中 的应用的研究，国内外很多教育 学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方 程、代数、三角、解析几何，平面几何等多方面 . 摘要 韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系，它在中学数学中占有很重要的位置，根据这个定理欲证 U+V=Q 或 =Q，只需证 U 和 V是方程 ax2?bx?c?0 的两个根。在平面几何中，常常会遇到求证两个几何量 的和或积等某值的问题，运用韦达定理可以给求解这类问题打开一条思路，解题的关键是建立所 考察的两个几何量为根的一元二次方程，而建立这样的方程可借助余弦定理等工具来实现。下面列举说明韦达定理在求解这类问题中的应用。 韦达定：韦达定理 平面几何 一元二次方程。 26 / 36 Abstract Wada theorem reveals a yuan quadratic equation root and coefficient of relationship, it occupies very important position in the middle school mathematics, according to the theorem to U + V=Qor = Q, just U and V is equation (indicates a 0) the two root. In plane geometry, often will encounter two geometric verification and/or the amount of product such as a value problem, using the wada theorem can open an idea for solving this kind of problem, the problem solving is the key to establish examined two geometric quantity for a yuan quadratic equation root, and such an equation can be achieved with the aid of tools such as cosine theorem to. Below list illustrates ouida theorem application in solving such problems. Keywords ： wada theorem plane geometry a yuan quadratic equation 27 / 36 1、韦达定理概述 根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个 45 次方程各国数学家挑战 各国数学家挑战。法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了 23个正根，消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。 韦达定理：在一元二次方程 ax2?bx?c?0，当 ?b2?4ac，则原 bc ， ? aa bc 韦达定理得逆定理：如果 x1， x2满足 x1?x2?， ?，那么 x1，x2是一 aa 28 / 36 方程的两个根满足以下规律： x1?x2? 元二次方程 ax2?bx?c?0 的两个根。 2、韦达定理证明 求根公式：根据将 ax?bx?c?0 配方得到的 x1,2? 2 ?2bb ? 可得 x1?x2? 2aa ?b?bb2?(b2?4ac)c x1?x2?(? 2 29 / 36 2a2a4aa 同解方程法：若 ax2?bx?c?0 的两个根 x1， x2， 那么知道ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2) 左边 ?ax2?ax?x1?ax?x2?ax1x2?ax2?a(x1?x2)x?ax1x2 bc 比较系数知： ?a(x1?x2)?b ax1x2?c?x1?x2?， x1?x2? aa与韦达定理有关推论； x1?x2? 韦达定理 【知识要点】 1若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两根分别为 x1, x2，则： x1+x2=-b/a； =c/a 2若 x1, x2是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：30 / 36 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 【经典例题】 【例 1】求下列方程的两根之积与两根之和 3x?5x?1 2x?x?1?0 2x?mx?m?3 x?2x?0 222 【例 2】已知 x1,x2 为方程 x2+px+q=0 的两根，且 x1+x2=6, x12+x22=20，求 p 和 q 的值 . 【例 3】已知：方程 12x?2x?1 的两根为 x1， x2，不解方程求下列各式的值： 2 233(1)?x1?x2?； (2) x1x2?x1x2 【例 4】已知：关于 x 的方程 x2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且 1+2k0,求满足上述条件的k 的整数值 . 31 / 36 1?2?kx?x?y?0【例 5】 已知方程组 ? (x,y 为未知数 )，有两个不同的实数解 2?y?k(2x?1) (1) 求 实 数 k 的 取 值 范 围 ； (2) 若y1y2?x?x1?x?x2,? ?y?yy?y1?2?11?3,求实数 k 的值 . x1x2 【例 6】 已知，关于 x 的方程 (n-1)x2+mx+1=0 有两个相等的实数根 . (1)求证：关于 y的方程 m2y2-2my-m2-2n2+3=0 必有两个不相等的实数根； (2)若方程 的一根的相反数恰好是方程 的一个根，求代数式 m2n+12n的值 . 【方法总结】 1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积 . (1)容易忘记除以二次项系数； 32 / 36 (2)求两根之和时易弄错符号 . 2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号 . 3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件 . 【经典练习】 一、选择题 1.下列说法中不正确的是 ( ) A.方程 x2+2x-7=0 的两实数根之和为 2 B.方程 x2-3x-5=0 的两实数根之积为 -5 C.方程 x2-2x-7=0 的两实数根的平方和为 18 D.方程 x2-3x-5=0 的两实数根的倒数和为 3/5 33 / 36 2.若 x1,x2是一元二次方程 2x2-3x+1=0 的两个根，则 x1?x2的值是 ( ) /4 /4 /4 22 3.已知关于 x的一元二次方程 x-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为 7，那么 m 的值是 ( ) B.-1 或 -1 D.-5或 1 4.方程 x2-3x-6=0 与方程 x2-6x+3=0 的所有根的乘积为 ( ) A.-18 C.-3 5.已知： a、 b、 c 是 ABC 的三条边长，那么方程cx2+(a+b)x+c/4=0 的根的情况