高中函数总结

1 / 42 高中函数总结 一次函数 一、定义与定义式： 自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y是 x的一次函数。 特别地，当 b=0时， y是 x 的正比例函数。 即： y=kx 二、一次函数的性质： 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即： y=kx+b 2 / 42 2.当 x=0 时， b为函数在 y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下 3个步骤 列表； 描点； 连线，可以作出一次函数的图 像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。 2性质：在一次函数上的任意一点 P，都满足等式： y=kx+b。一次函数与 y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总是过原点。 3 k， b与函数图像所在象限： 当 k 0时，直线必通过一、三象限， y随 x 的增大而增大； 3 / 42 当 k 0时，直线必通过二、四象限， y随 x 的增大而减小。 当 b 0时，直线必通过一、二象限； 当 b=0时，直线通过原点 当 b 0时，直线必通过三、四象 限。 特别地，当 b=O时，直线通过原点 O 表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k 0时，直线只通过一、三象限；当 k 0 时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点 A； B，请确定过点 A、 B的一次函数的表达式。 设一次函数的表达式为 y=kx+b。 因为在一次函数上的任意一点 P，都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b 4 / 42 解这个二元一次方程，得到 k， b的值。 最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间 t一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽 水时间 t的一次函数。设水池中原有水量 S。 g=S-ft。 六、常用公式： 1.求函数图像的 k 值： 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y之间存在如下关系： 5 / 42 y=ax +bx+c 则称 y 为 x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式： y=ax +bx+c 顶点式： y=a(x-h) +k 抛物线的顶点 P 交点式： y=a(x-x?)(x-x ?) 仅限于与 x轴有交点 A 和 B的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系 : h=-b/2a k=(4ac-b )/4a x?,x?=(-bb -4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x 的图像， 6 / 42 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0时，抛物线的对 称轴是 y 轴 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ， (4ac-b )/4a ) 当 -b/2a=0 时， P在 y 轴上；当 = b -4ac=0 时， P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小。 7 / 42 当 a 0时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y轴右。 5.常数项 c决定抛物线与 y轴交点。 抛物线与 y轴交于 6.抛物线与 x轴交点个数 = b -4ac 0时，抛物线与 x轴有 2个交点。 = b -4ac=0时，抛物线与 x轴有 1个交点。 函 数 8 / 42 一 二 、重要知识点及典型例题 1. 设 f:A?B A 中所有元素都有象，并且象是唯一的； B 中的元素未必有原象，允许 B 中的元素有剩余 . 函数的概念 : 函数的三要素 : 对应关系 ,定义域 ,值域是函数的三要素 ,缺一不可 . 第 1 页 共 6页 复合函数的定义域求法：若 y?f(x)的定义域为 a,b,则 y?fg(x)的定义域即为 a?g(x)?b的解集 .若 y?fg(x)的定义域为 a,b，则 y?f(x)的定义域即为 g(x)在 9 / 42 a,b的值域 . (2.求函数解析式的方法 : (1)代入法 :已知一个函数的解析式 ,求另外的解析式 ,直接代入 .已知 f(x)?x2?1,求 f(x?x2). (2) 待定系数法 :已知函数的类型 ,要求函数解析式时 ,可根据类型设其解析式 ,从而确定系数即可 . 如 :已知 f(x)是一次函数 ,且 ff(x)?4x?3,求 f(x). (3)拼凑法 :已知 y =?g (x)的解析式 ,要求 y =?(x)时 ,可从 y =?g (x)的解析式中拼凑出 “g (x)”, 即用 g (x)来表示 ,再将两边的 g (x)用 x 代替即可 . 如 :已知 :f(x?1)?x?2x,求 f (x). (4) 换元法 :象上面的题目 ,也可以令 t?g(x),再求出 f(t)的解析式 ,然后用 x代替所有的 t即可得到所求函数的解析式 . (5)方程组法 :根据题目中的条件 ,列出所求的 y =?(x)所满足的方程组 ,通过解方程组得到问题的解答 ,在这里要注意的是函数的可变化性 . 如 :已知 f(x)?2f()?3x?2,求 ?(x). 10 / 42 1x 3.函数的图象作法 (1)描点法 : 列表 ; 描点 ; 用光滑的曲线连线 . (2)变换作图法 : 一个函数图象经过适当的变换 ,得到另一个与之有关的函数图象平移、 ,对称、翻折、伸缩是图象的四种基本变换 : 1)平移变换 ,主要有 第 2 页 共 6页 水平平移 :y?f(x?a)(a?0)的图象 ,可由 y?f(x)的图象向左 (?a)或者向右 (?a)平移 a个单位得到 ; 水平平移不改变函数的值域 . 上下平移 :y?f(x)?b(b?0)的图象 ,可由 y?f(x)的图象向上 (?b)或者向下 (?b)b个单位得到 . 竖直平移不改变函数的定义域 . 11 / 42 2)对称变换主要有 y?f(?x) 与 y?f(x)的图象关于 y 轴对称 ; y?f(x) 与 y?f(x)的图象关于 x 轴对称 ; y?f(?x) 与 y?f(x)的图象关于原点对称 ; y?fy?f ?1 (x)与 y?f(x)的图象关于直线 y?x 对称 ; ?1 (?x)与 y?f(x)的图象关于直线 y?x 对称 ; y?f(2a?x) 与 y?f(x)的图象关于直线 x?a对称 ; 若 f(x)?f(2a?x)(或者 f(a?x)?f(a?x)则 y?f(x)的图象关于12 / 42 直线 x?a 对称 ; y?2b?f(x) 与 y?f(x)的图象关于 y?b对称 ; y?2b?f(2a?x) 与 y?f(x)的图象关于点 (a,b)对称 ; 若存在常数 a,b,使得对于函数 f(x)的定义域内的每一个x,x?a,b?x 仍在定义域内 ,且 f(a?x)?f(b?x),则 f(x)的图象关于直线 x? a?b 对称 . 2 第 3 页 共 6页 3) 翻折变换 ,主要有 y?f(|x|) 的图象在 y 轴的右侧 (x?0)的部分与 y?f(x)的图象相同 ,在 y 轴左侧部分与其右侧部分关于 y轴对称 ; y?|f(x)| 的图象在 x 轴的上方部分与 y?f(x)的图象相同 ,13 / 42 其他部分图象为 y?f(x)图象在 x轴下方部分关于 x轴的对称图形 . 4) 伸缩变换 ,主要有 y ?af(x)(a?0)的图象 ,可将 y?f(x)的图象上每点的纵坐标伸长 (a?1)或缩短 (0?a?1)为原来的 a 倍 (横坐标不变 )而得到 ; y?f(ax)(a?0) 的图象 ,可将 y?f(x)的图象上每点的横坐标伸长 (0?a?1)或缩短 (a?1)为原来的倍 (纵坐标不变 )而得到 . 1a 4. 函数值域的求法 : (1)观察法 :直接根据函数表达式得到函数的值域 . 如 :求函数 y?(2)不等式法 (部分分式法 ):根据不等式的性质直接推导得到值域 . 4?x2的值域 . 14 / 42 如 :求函数 y? 2x?1 (1?x?2)的值域 . x?1 (3) 反表示法 (反函数法 ):将函数表示成另一种形式求值域 . 如 :求函数 y? x?1 (x?4)的值域 . x?2 (4) 中间变量法 :借助于中间变量来解决问题 .(中间变量的范围已知 ). 第 4 页 共 6页 x2?4ax?1 15 / 42 (a?0且 a?1)的值域 . 如 :求函数 y?2、 f(x)?x x?1a?1 (5)配方法 :通过配成完全平方来求解 .如 :求函数 y?x?2x?3的值域 . (6) 图象法 :根据函数的图象得到函数值域的求解 . 如：求 y?|x?3|?|x?1|;钩形函数 y?x? 2 (1?x?2)函数的值域 x (7) 换元法 :通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解 .(注意变元的取值范围不能改变 ) 如 :求函数y?2x?x?1、 y?4 x?12 ?3?2x?5,x?0,2的值域 . 16 / 42 22x?2x?5 的值 (8)判别式法 :借助于二次函数的判别式来求函数的值域 . 如 :求函数 y? x2?x?1 域 . 5 函数的单调性 : 函数的单调性是一个局部概念 :单调区间在变换的时候 ,不能交 ,也不能并 ,在写法上一定要注意规范性 . 判断函数的单调性 求复合函数的单调区间先求定义域 2 x?3x?2 如：求函数 y?x2?2|x|?3， y?log0， y?sin(?.7 3? x?)的单调区 24 17 / 42 间 利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等 6 函数的奇偶性： f(x) 是偶函数 ?对于任意的 x?D,f(?x)?f(x)恒成立 ?f(x)的图像关于 y轴对称 第 5 页 共 6页 变量与函数 变量和常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。 函数 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量， y是 x的函数。如果当 x?a时 y?b，那么 b叫做当自变量的值为 a时的函数值。 18 / 42 自变量取值范围的确定方法 1、 自变量的取值范围必须使解析式有意义。 当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为 0 的所 有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于 0 的所有实数。 2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。 函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表； 第二步：描点； 19 / 42 第三步：连线。 函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整 个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 正比例函数 一般地， ?形如 y=?kx?的函数， ?叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数也就是说，形如 y=?kx+b，且 b0 的函数是正比例函数。 正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数 y=kx 的图象是一条经过原点和的直20 / 42 线我们称它为直线 y=kx.?当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x的增大 y 也增大；当 k 解析式： y=kx 必过点：、 (3) (4) (5) 走向： k0 时，图像经过一、三象限； k0， y 随 x 的增大而增大； k 正比例函数解析式的确定 待定系数法 1. 设出含有待定系数的函数解析式 y=kx 2. 把已知条件代入解析式，得到关于 k的一元一次方程 3. 解方程，求出系数 k 4. 将 k的值代回解析式 一次函数 一次函数 一般地，形如 y=kx+b(k、 b是常数， k?0)函数，叫做一次函数 . 当 b=0时， y=kx b 即 y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数的图象及性 质 21 / 42 一次函数 y=kx+b 的图象是经过和两点的一条直线，我们称它为直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移 |b|个单位长度得到 . 解析式： y=kx+b(k、 b是常数， k?0) 必过点：和 走向： k0，图象经过第一、三象限； k b k bk b0，图象经过第一、二象限； b ?k?0 ?直线经过第一、二、三象限 ?b?0? ?k?0 ?直线经过第一、三、四象限 ?b?0? ?k?0 ?直线经过第一、二、四象限 ? 22 / 42 ?b?0 ?k?0 ?直线经过第二、三、四象限 ?b?0? 增减性： k0， y 随 x 的增大而增大； k0 时，将直线 y=kx的图象向上平移 b 个单位； 当 b 直线 y=k1x+b1与 y=k2x+b2的位置关系 两直线平行： k1=k2 且 b1 ?b2 两直线相交： k1?k2 两直线重合： k1=k2 且 b1=b2 确定一次函数解析式的方法 根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式； 将 x、 y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程； 解方程得出未知系数的值； 23 / 42 将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果 . 一次函数建模 函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题 . 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题 . 正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意 义时，其图象大多为线段或射线 . 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义 . 从图象中获取的信息一般是：从函数图象的形状判定函数的类型； 从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义 . 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系 ，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数 . 24 / 42 反比例函数 知识梳理 知识点 l. 反比例函数的概念 重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 一般地，如果两个变量 x、 y 之间的关系可以表示成 y?k 或y=kx-1 的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： x k 是常数，且 k 不为零； k 中分母 x 的指数为 1，如 y?例函数。 2 25 / 42 不是反 比 x2 自变量 x 的取值范围是 x?0 一切实数 .自变量 y 的取值范围是 y?0 第 1 页 1 第 2 页 2 第 3 页 3 高中数学必胜秘籍之函数知识点总结 函 :包含 函数 ;彼此相关的两个量之一 ,他们的关系是一个量的诸值与另外一个量的诸值相对应 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的 “ 确定性、互异性、无序性 ” 。 如：集合 A?x|y?lgx?，B?y|y?lgx?， C?(x,y)|y?lgx?， A、 B、 C 中元素各表示什么？ 26 / 42 A 表示函数 y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 A?x|x?2x?3?0?， B?x|ax?1? 2 若 B?A，则实数 a 的值构成的集合为 ? 1?） 3? 集合 ?a1， a2， ?， an?的所有子集的个数是 2； n 27 / 42 要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 a1 来说，有 2 种选择。同样，对于元素 a2, a3,?an,都有 2 种选择，所以，总共有 2种选择， 即集合 A 有 2 个子集。 当然，我们也要注意到，这 2种情况之中，包含了这 n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 2?1，非空真子集个数为 2?2 若 A?B?A?B?A， A?B?B； n n n n n 德摩根定律： 28 / 42 CU?A?B?CUA?CUB?， CU?A?B?CUA?CUB? 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 A?B?A?B,A?B?A?B 4. 你会用补集思想解决问题吗？ ax?5 如：已知关于 x 的不等式 2?0 的解集为 M，若 3?M 且 5?M，求实数 a x?a 的取值范围。 ?3?0 5?M ， 注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要29 / 42 错过； 如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 在 (?,1)上单调递减，在 (1,?)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到 m， n实际上就是方程 的 2 个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 “ 或 ”(?) ，“ 且 ”(?) 和 “ 非 ”(?). 若 p?q为真，当且仅当 p、 q 均为真 若 p?q为真，当且仅当 p、 q至少有一个为真 若 ?p为真，当且仅当 p为假 命题的四种形式及其相互关系是什么？ 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质 A?x|x 满足条件 p， B?x|x满足条件 q， 30 / 42 若 ；则 p是 q 的充分非必要条件 ?A_B； 若 ；则 p是 q 的必要非充分条件 ?A_B； 若 ；则 p是 q 的充要条件 ?A_B； 若 ；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ?_； 7. 对映射的概念了 解吗？映射 f： AB ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ 注意映射个数的求法。如集合 A中有 m个元素，集合 B中有n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 nm个。 如：若 A?1,2,3,4， B?a,b,c；问： A到 B的映射有 个，B到 A的映射有 个； A到 B的函数有 个，若 A?1,2,3，则 A 到 B 的一一映射有 个。 函数 y?(x)的图象与直线x?a交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ 31 / 42 相同函数的判断方法： 表达式相同； 定义域一致 (两点必须同时具备 ) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函 数 y? x?4?x?lg?x?3? 2 的定义域是 函数定义域求法： ? 分式中的分母不为零； ? 偶次方根下的数大于或等于零； ? 指数式的底数大于零且不等于一； 32 / 42 ? 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ? 正切函数 y?tanx ?x?R,且 x?k? ? ? ? ,k? 2? ? 余切函数 y?cotx ?x?R,且 x?k?,k? ? 反三角函数的定义域 函数 y arcsinx 的定义域是 1, 1 ，值域是，函数 y arccosx 的定义 域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数 y arctgx 的定义域是 R ，值域是 .， 33 / 42 函数 y arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 f(x)的定义域是 ?a， b?， b?a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定 义域是 _。 复合函数定义域的求法：已知 y?f(x)的定义域为 ?m,n?，求y?f?g(x)?的定义域，可由 m?g(x)?n 解出 x 的范围，即为y?f?g(x)?的定义域。 ?1? ? 例 若函数 y?f(x)的定义域为 ?,2?，则 f(log 2 34 / 42 2 x)的定义域为 1?1? 分析：由函数 y?f(x)的定义域为