全等三角形(常见辅助线).ppt

A,B,D,E,F,M,N,专题讲解,三角形辅助线的方法,连线法,第一关,如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,连接AC,构造全等三角形,连线构造全等,连线构造全等,如图,AB与CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.,连接BD,构造全等三角形,A,C,B,D,O,第二关,角平分线性质,如图,ABC中,C=90o,BC=10,BD=6,AD平分BAC,求点D到AB的距离.,过点D作DEAB于点E,E,角平分线上的点向角两边做垂线段,PD=PE.,PD=PE,如图,OC平分AOB,角平分线上点向两边作垂线段,过点P作PFOA,PGOB垂足为点F,点G,F,G,DOE+DPE=180,DOE+DPE=180,求证:,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。,BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中N=DMB（已证）1=2（已证）BD=BD（公共边）NBDMBD（A.A.S）,1,2,4=C（全等三角形的对应角相等）,N,4,3,3,2,1,*,ND=MD（全等三角形的对应边相等）,DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中ND=MD（已证）AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）,3+4180（平角定义），A3（已证）A+C180（等量代换）,第三关,中垂线法,ABC中,ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DEAB于E，作DFAC于F。求证：BE=CF,连接DB,DC,垂直平分线上点向两端连线段,如图，已知三角形ABC中,BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E，EF垂直AB交AB的延长线于点F，EG垂直AC交AC于点G。求证：(1)BF=CG(2)判定AB+AC与AF的关系,第四关,截长补短法,已知在ABC中，C=2B,1=2求证:AB=AC+CD,A,D,B,C,1,2,在AB上取点E使得AE=AC，连接DE,截长,F,在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF,补短,如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=AB,E,F,在AB上取点F使得AF=AD,连接EF,截长补短,证明：,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。,BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中AB=EB（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S）,1,2,4,3,3+4180（平角定义），A3（已证）A+C180（等量代换）,3,2,1,*,A3（全等三角形的对应角相等）,AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）,4=C（等边对等角）,AD=DE（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,F,延长BA到F，使BF=BC，连结DF。,BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在BFD和BCD中BF=BC（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边）BFDBCD（S.A.S）,1,2,4,3,FC（已证）4=C（等量代换）,3,2,1,*,FC（全等三角形的对应角相等）,AD=CD（已知），DF=DC（已证）DF=AD（等量代换）,4=F（等边对等角）,3+4180（平角定义）A+C180（等量代换）,DF=DC（全等三角形的对应边相等）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明:,在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。,AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中AE=AC（已知）1=2（已证）AD=AD（公共边）AEDACD（S.A.S）,3,B=4（等边对等角）,4,*,C3（全等三角形的对应角相等),又AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）,3=B+4=2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）,ED=CD（全等三角形的对应边相等）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,F,1,2,证明:,延长AC到F，使CF=CD，连结DF。,AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）AB=AC+CD，CF=CD（已知）AB=AC+CF=AF（等量代换）,ACB=2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）,3,2,1,*,在ABD和AFD中AB=AF（已证）1=2（已证）AD=AD（公共边）ABDAFD（S.A.S）,FB（全等三角形的对应角相等）,CF=CD（已知）B=3（等边对等角）,第五关,中线倍增法,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？,可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若AD为ABC的中线，,必有结论：,A,B,C,D,E,1,2,延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。,ABDECD，,1=E，,B=2，,EC=AB，CEAB。,已知，如图AD是ABC的中线，,延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.,思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范围？,倍长中线,如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。,证明:,延长AE，交直线PQ于点F。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,F,5,第六关,周长问题转化,1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB,DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?,.“周长问题”的转化借助“角平分线性质”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.如图,ABC中,D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求ADE的周长.,.“周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,5.如图,ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC.若BC=6cm,AMN周长为13cm，求ABC的周长.,.“周长问题”的转化借助“等腰三角形性质”,B,A,C,P,AB+AC+B