2014高考百天仿真冲刺卷（文科数学试卷一）

第 1 页 共 8 页 2014 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (文 ) 试 卷 （ 一 ） 第 卷 （ 选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1.已知集合 0,1A , 1, 0 , 3Ba ， 且 AB ，则 a 等于 （ A） 1 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 3 2.已知 i 是虚数单位，则复数 2z 1 2i+ 3i 所对应的点落在 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 3.已知 ab ，则下列不等式正确的是 （ A） 11ab （ B） 22ab （ C） 22ab （ D） 22ab 4.在 ABC 中，“ 0AB BC”是“ ABC 为直角三 角形”的 （ A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分又不必要条件 5一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于 （ A） 2 （ B） 1 （ C） 16 （ D） 23 6.函数 s i n ( )y x x R的部分图象如图所示，设 O 为坐标原点， P 是图象的最高点， B 是图象与 x 轴的交点，则 tan OPB （ A） 10 （ B） 8 （ C） 87 （ D） 47 第 5 题图 第 6 题图 7 若 2a ，则 函数 3( ) 3 3f x x a x 在区间 (0,2) 上 零点的个数为 （ A） 0 个 （ B） 1 个 （ C） 2 个 （ D） 3 个 8已知点 ( 1, 0 ), (1, 0 )AB 及抛物线 2 2yx ，若抛物线上点 P 满足 PA m PB ，则 m 的最大值为 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 第 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 已知 na为等差数列 ，341aa， 则 其前 6 项之和为 _. x B P y O 1 正 (主 )视图 俯视图 2 2 2 侧 (左 )视图 2 1 第 2 页 共 8 页 10已 知向量 (1, 3)a ， (0 , 3 )ab ，设 a 与 b 的夹角为 ，则 _. 11.在 ABC 中， 若 2BA ， : 1: 3ab ，则 A _. 12平面上满足约束条件 2, 0,60xxyxy 的点 ( , )xy 形成的区域为 D ，则区域 D的面积为 _；设 区域 D 关于直线 21yx对称的区域为 E ，则区域 D 和区域 E 中距离最近的两点的距离为 _. 13.定义某种运算 ， ab 的运算原理如右图所示 .则 0 ( 1) _； 设 ( ) ( 0 ) ( 2 )f x x x x .则 (1)f _. 14.数列 na满足1 1a，1 1nnnaan ，其中 R ， 12n ， ， 给出下列命题： R ，对于任意 i *N ， 0ia； R ，对于任意 2( )ii*N ，1 0iiaa ； R ， m *N ，当 im （ i *N ）时总有 0ia. 其中正确的命题是 _.（写出 所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 12 s i n ( )43()s i nxfx x . （）求函数 ()fx 的定义域； （）若 ( ) 2fx ，求 sin2x 的值 . 16.（本小题满分 13 分） 如图，菱形 ABCD 的边长为 6 ， 60BAD, A C B D O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥 B ACD ,点 M 是棱 BC 的中点， 32DM . （） 求证： /OM 平面 ABD ； （） 求证：平面 ABC 平面 MDO ； （） 求三棱锥 M ABD 的体积 . ab 开始 输入 ,ab 否 结束 Sb Sa 输出 S 是 A B A B C C D M O D O 第 3 页 共 8 页 17.（本小题满分 13 分） 由世界自然基金会发起 的 “ 地球 1 小时 ” 活动 ，已发展 成 为最有影响力的环保活动之一， 今年的参与人数再创新高 .然而也有 部分公众 对该活动的实际效果与负面影响 提出了疑问 .对此， 某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示： 支持 保留 不支持 20 岁以下 800 450 200 20 岁以上（含 20 岁） 100 150 300 （）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了 45人，求 n 的值； （）在持 “不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体，从这 5 人中任意选取2 人，求至少有 1 人 20 岁以下的概率； （）在接受调查的人中，有 8 人给这项活动打出的分数如下 :9.4， 8.6， 9.2， 9.6， 8.7， 9.3， 9.0，8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体，从中任取 1 个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6的概率 . 18.（本小题满分 14 分） 设函数 ( ) exfx ，其中 e 为自然对数的底数 . （）求函数 ( ) ( ) eg x f x x的单调区间； （）记曲线 ()y f x 在点00( , ( )P x f x（其中0 0x ）处的切线为 l ， l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为 S ，求 S 的最大值 . 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 221xyab（ 0ab ）的焦距为 23，离心率为 32. （）求椭圆方程； （）设过椭圆顶点 (0, )Bb，斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D ，交 x 轴于点 E ，且 ,B D B E D E成等比数列，求 2k 的值 . 第 4 页 共 8 页 20.（本小题满分 13 分） 若函数 )(xf 对任意的 xR ，均有 )(2)1()1( xfxfxf ，则称函数 )(xf 具有性质 P . （）判断下面两个函数是否具有性质 P ，并说明理由 . ( 1)xy a a； 3yx . （）若函数 )(xf 具有性质 P ，且 ( 0 ) ( ) 0f f n（ 2,n n *N ）， 求证：对任意 1 , 2 , 3 , , 1in有 ( ) 0fi ； （）在（）的条件下，是否对任意 0, xn 均有 0)( xf .若成立给出证明，若不成立给出反例 . 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (文 )试卷（ 一 ）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D B B C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 3 10. 120 11. 30 12. 1 ； 25 13. 1 ； 1 14. 注： 12、 13 题第一问 2 分，第二问 3 分 . 第 5 页 共 8 页 14 题只选出一个正确的命题给 2 分，选出错误的 命题即得 0 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分 . 15.（本小题满分 13 分） 解：解：（）由题意， sin 0x ， 2 分 所以， ()x k k Z . 3 分 函数 ()fx 的定义域为 , x x k k Z. 4 分 （）因为 ( ) 2fx ，所以 12 s i n ( ) 2 s i n43xx ， 5 分 2 2 12 ( s i n c o s ) 2 s i n2 2 3x x x ， 7 分 1c o s s in 3xx， 9 分 将上 式平方，得 11 sin 29x， 12 分 所以 8sin 29x . 13 分 16.（本小题满分 13 分） （）证明：因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点， 所以 O 是 AC 的中点 .又点 M 是棱 BC 的中点， 所以 OM 是 ABC 的中位线， /OM AB . 2 分 因为 OM 平面 ABD ,AB 平面 ABD ， 所以 /OM 平面 ABD . 4 分 （）证明：由题意， 3O M O D, 因为 32DM ,所以 90DOM， OD OM . 6 分 又因为菱形 ABCD ，所以 OD AC . 7 分 因为 O M A C O , 所以 OD 平面 ABC ， 8 分 因 为 OD 平面 MDO ， 所以平面 ABC 平面 MDO . 9 分 （）解：三棱锥 M ABD 的体积等于三棱锥 D ABM 的体积 . 10 分 由（）知， OD 平面 ABC ， 所以 3OD 为三棱锥 D ABM 的高 . 11 分 ABM 的面积为 1 1 3 9 3s i n 1 2 0 6 32 2 2 2B A B M ， 12 分 所求体积等于 1 9 332ABMS O D . 13 分 17.（本小题满分 13 分） 360 题库网 360 第一网 解：（）由题意得 8 0 0 1 0 0 8 0 0 4 5 0 2 0 0 1 0 0 1 5 0 3 0 045 n ， 2 分 所以 100n . 3 分 （）设所选取的人中，有 m 人 20 岁以下 ，则 2002 0 0 3 0 0 5m，解得 2m . 5 分 也就是 20 岁以下 抽取了 2 人， 另一部分抽取了 3 人， 分别记作 A1， A2； B1， B2， B3， 则从中任取 2 人的所有基本事件为 (A1,B1)， (A1, B2)， (A1, B3)， (A2 ,B1)， (A2 ,B2)， (A2 ,B3)， (A1, A2)， (B1 ,B2)， (B2 ,B3)， (B1 ,B3)共 10 个 . 7 分 其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个： (A1, B1)， (A1, B2)， (A1, B3)， (A2 ,B1)， (A2 ,B2)， (A2 ,B3)，A B C M O D 第 6 页 共 8 页 (A1, A2)， 8 分 所以从中任意抽取 2 人，至少有 1 人 20 岁以下的概率为 710. 9 分 （）总体的平均数为 1 ( 9 . 4 8 . 6 9 . 2 9 . 6 8 . 7 9 . 3 9 . 0 8 . 2 ) 98x ， 10 分 那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数只有 8.2， 12 分 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率为81. 13 分 18.（本小题满分 14 分） 解： （）由已知 ( ) e exg x x， 所以 ( ) e exgx ， 2 分 由 ( ) e e 0xgx ，得 1x ， 3 分 所以，在区间 ( ,1) 上， ( ) 0gx ， 函数 ()gx 在区间 ( ,1) 上单调递减； 4 分 在区间 (1, ) 上， ( ) 0gx ， 函数 ()gx 在区间 (1, ) 上单调递增； 5 分 即函数 ()gx 的单调递减区间为 ( ,1) ，单调递增区间为 (1, ) . （）因为 ( ) exfx ， 所以曲线 ()y f x 在点 P 处切线为 l ： 000e e ( )xxy x x . 7 分 切线 l 与 x 轴的交点为0( 1,0)x ，与 y 轴的交点为 000(0, e e )xxx， 9 分 因为0 0x ，所以00 20 0 0 011(1 ) (1 ) e (1 2 ) e22 xxS x x x x ， 10 分 0 201 e ( 1)2 xSx ， 12 分 在区间 ( , 1) 上，函数0()Sx单调递增，在区间 ( 1,0) 上，函数0()Sx单调递减 . 13 分 所以，当0 1x 时， S 有最大值，此时 2eS， 所以， S 的最大值为 2e. 14 分 19、 （本小题满分 14 分） 解：（）由已知 2 2 3c ， 32ca . 2 分 解得 2, 3ac， 4 分 所以 2 2 2 1b a c ， 椭圆的方程为 2 2 14x y. 5 分 （）由（）得过 B 点的直线为 1y kx， 由 2 2 1,41,x yy kx 得 22( 4 1 ) 8 0k x k x ， 6 分 x y O D B E 第 7 页 共 8 页 所以2814D kx k ，所以 221414Dky k ， 8 分 依题意 0k ， 12k. 因为 ,B D B E D E 成等比数列，所以 2B E B D D E ， 9 分 所以 2 (1 )DDb y y，即 (1 ) 1DDyy， 10 分 当 0Dy 时， 2 10DDyy ，无解， 11 分 当 0Dy 时， 2 10DDyy ，解得 152Dy ， 12 分 所以 221 4 1 51 4 2kk ，解得 2 254k ， 所以，当 ,B D B E D E 成等比数列时， 2 254k . 14 分 20.（本小题满分 13 分） （）证明：函数 )1()( aaxf x 具有性质 P . 1 分 11 1( 1 ) ( 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 )x x x xf x f x f x a a a a aa ， 因为 1a ， 1( 2 ) 0xaaa ， 3 分 即 )(2)1()1( xfxfxf ， 此函数为具有性质 P . 函数 3)( xxf 不具有性质 P . 4 分 例如，当 1x 时， ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 0 ) 8f x f x f f ， 2 ( ) 2fx ， 5 分 所以， )1()0()2( fff ， 此函数不具有性质 P . （）假设 )(if 为 (1 ) , ( 2 ) , , ( 1 )f f f n 中第一个大于 0 的值， 6 分 则 0)1()( ifif ， 因为函数 ()fx 具有性质 P ， 所以，对于任意 n *N ，均有 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1