排列教学目标

1 / 11 排列教学目标 文 章来源 m 排列教学目标 教学目标 (1)正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列 ; (2)了解排列和排列数的意义 ,能根据具体的问题 ,写出符合要求的排列 ; (3)掌握排列数公式 ,并能根据具体的问题 ,写出符合要求的排列数 ; (4)会分析与数字有关的排列问题 ,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力 ; (5)通过对排列应用问题的学习 ,让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律 ,得出结论 ,以培养学生严谨的学习态度。 教学建议 一、知识结构 二、重点难点分析 本 小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式 ,并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题 .难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题 .突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用 ,并将这两个原理的基2 / 11 本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中 . 从 n 个不同元素中任取 m(mn) 个元素 ,按照一定的顺序排成一列 ,称为从 n个不同元素中任取 m个元素的一个排列 .因此 ,两个相同排列 ,当且仅当他们的元素完全相同 ,并且元素的排列顺序也完全相同 .排列数是指从 n 个不同元素中任取m(mn) 个元素的所有不同排列的种数 ,只要弄清 相同排列、不同排列 ,才有可能计算相应的排列数 .排列与排列数是两个概念 ,前者是具有 m个元素的排列 ,后者是这种排列的不同种数 .从集合的角度看 ,从 n个元素的有限集中取出 m个组成的有序集 ,相当于一个排列 ,而这种有序集的个数 ,就是相应的排列数 . 公式推导要注意紧扣乘法原理 ,借助框图的直视解释来讲解 .要重点分析好的推导 . 排列的应用题是本节教材的难点 ,通过本节例题的分析 ,应注意培养学生解决应用问题的能力 . 在分析应用题的解法时 ,教材上先画出框图 ,然后分析逐次填入时的种数 ,这样解释比较直观 ,教学上要充分利用 ,要求学 生作题时也应尽量采用 . 在教学排列应用题时 ,开始应要求学生写解法要有简要的文字说明 ,防止单纯的只写一个排列数 ,这样可以培养学生的分析问题的能力 ,在基本掌握之后 ,可以逐渐地不作这方面的要求 . 3 / 11 三、教法建议 在讲解排列数的概念时 ,要注意区分 “ 排列数 ” 与 “ 一个排列 ” 这两个概念 .一个排列是指 “ 从 n个不同元素中 ,任取出 m 个元素 ,按照一定的顺序摆成一排 ”, 它不是一个数 ,而是具体的一件事 ;排列数是指 “ 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有排列的个数 ”, 它是一个数 .例如 ,从 3 个元素a,b,c 中每次取出 2 个元素 ,按照一定 的顺序排成一排 ,有如下几种 : ab,ac,ba,bc,ca,cb, 其中每一种都叫一个排列 ,共有 6 种 ,而数字 6 就是排列数 ,符号表示排列数 . 排列的定义中包含两个基本内容 ,一是 “ 取出元素 ”, 二是 “ 按一定顺序排列 ”. 从定义知 ,只有当元素完全相同 ,并且元素排列的顺序也完全相同时 ,才是同一个排列 ,元素完全不同 ,或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列 ,都不是同一排列。叫不同排列 . 在定义中 “ 一定顺序 ” 就是说与位置有关 ,在实际问题中 ,要由具体问题的性质和条件来决定 ,这一点要特别注意 ,这也是与后面学习 的组合的根本区别 . 在排列的定义中 ,如果有的书上叫选排列 ,如果 ,此时叫全排列 . 4 / 11 要特别注意 ,不加特殊说明 ,本章不研究重复排列问题 . 关于排列数公式的推导的教学 .公式推导要注意紧扣乘法原理 ,借助框图的直视解释来讲解 .课本上用的是不完全归纳法 ,先推导 , 再推广到 ,这样由特殊到一般 ,由具体到抽象的讲法 ,学生是不难理解的 . 导出公式后要分析这个公式的构成特点 ,以便帮助学生正确地记忆公式 ,防止学生在 “n” 、 “m” 比较复杂的时候把公式写错 .这个公式的特点可见课本第 229页的一段话 :“ 其中 ,公式右边第一个因数 是 n,后面每个因数都比它前面一个因数少 1,最后一个因数是 ,共 m个因数相乘 .” 这实际是讲三个特点 :第一个因数是什么 ?最后一个因数是什么 ?一共有多少个连续的自然数相乘 . 公式是在引出全排列数公式后 ,将排列数公式变形后得到的公式 .对这个公式指出两点 :(1)在一般情况下 ,要计算具体的排列数的值 ,常用前一个公式 ,而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证 ,要用到这个公式 ,教材中第 230页例 2就是用这个公式证明的问题 ;(2)为使这个公式在时也能成立 ,规定 ,如同时一样 ,是一种规定 ,因此 ,不能按阶乘数的原意作解释 . 建议应充分利用树形图对问题进行分析 ,这样比较直观 ,便于理解 . 学生在开始做排列应用题的作业时 ,应要求他们写出解法5 / 11 的简要说明 ,而不能只列出算式、得出答数 ,这样有利于学生得更加扎实 .随着学生解题熟练程度的提高 ,可以逐步降低这种要求 . 教学设计示例 排列 教学目标 (1)正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列 ; (2)了解排列和排列数的意义 ,能根据具体的问题 ,写出符合要求的排列 ; (3)会分析与数字有关的排列问题 ,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力 ; 教学重点难点 重点是 排列的定义、排列数并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。 难点是解有关排列的应用题。 教学过程设计 一、复习引入 上节课我们学习了两个基本原理 ,请大家完成以下两题的练习 (用投影仪出示 ): 1.书架上层放着 50 本不同的社会科学书 ,下层放着 40 本不同的自然科学的书 . 6 / 11 (1)从中任取 1 本 ,有多少种取法 ? (2)从中任取社会科学书与自然科学书各 1 本 ,有多少种不同的取法 ? 2.某农场为了考察三个外地优良品种 A,B,c,计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验 ,问共需安排多少个试验 小区 ? 找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程 第 1(1)小题从书架上任取 1 本书 ,有两类办法 ,第一类办法是从上层取社会科学书 ,可以从 50本中任取 1本 ,有 50种方法 ;第二类办法是从下层取自然科学书 ,可以从 40本中任取 1本 ,有 40 种方法 .根据加法原理 ,得到不同的取法种数是50+40=90.第 (2)小题从书架上取社会科学、自然科学书各 1本 (共取出 2本 ),可以分两个步骤完成 :第一步取一本社会科学书 ,第二步取一本自然科学书 ,根据乘法原理 ,得到不同的取法种数是 :5040=2000. 第 2题说 ,共有 A,B,c三个优良品种 ,而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区 ,在乙类型的土地上有三个小区 所以共需 35=15 个实验小区 . 二、讲授新课 学习了两个基本原理之后 ,现在我们继续学习排列问题 ,这是我们本节讨论的重点 .先从实例入手 : 1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线 ,需要准备7 / 11 多少种不同飞机票 ? 由学生设计好方案并回答 . (1)用加法原理设计方案 . 首先确定起点站 ,如果北京是起点站 ,终点站是上海或广州 ,需要制 2 种飞机票 ,若起点站是上海 ,终点站是北京或广州 ,又需制 2 种飞机票 ;若起点站是广州 ,终点站是 北京或上海 ,又需要 2 种飞机票 ,共需要 2+2+2=6种飞机票 . (2)用乘法原理设计方案 . 首先确定起点站 ,在三个站中 ,任选一个站为起点站 ,有 3 种方法 .即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站 ,当选定起点站后 ,再确定终点站 ,由于已经选了起点站 ,终点站只能在其余两个站去选 .那么 ,根据乘法原理 ,在三个民航站中 ,每次取两个 ,按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有 32=6 种 . 根据以上分析由学生 (板演 )写出所有种飞机票 再看一个实例 . 在航海中 ,船舰常以 “ 旗语 ” 相互联系 ,即利用不同颜色的旗子发送出各 种不同的信号 .如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子 ,按一定顺序同时升起表示一定的信号 ,问这样总共可以表示出多少种不同的信号 ? 找学生谈自己对这个问题的想法 . 事实上 ,红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一8 / 11 种信号 ,所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数 ,也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数 . 首先 ,先确定最高位置的旗子 ,在红、黄、绿这三面旗子中任取一个 ,有 3 种方法 ; 其次 ,确定中间位置的旗子 ,当最高位置确定之后 ,中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取 ,有 2种方法 .剩下那面旗子 ,放 在最低位置 . 根据乘法原理 ,用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是 :321=6( 种 ). 根据学生的分析 ,由另外的同学 (板演 )写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况 .(包括每个位置情况 ) 第三个实例 ,让全体学生都参加设计 ,把所有情况 (包括每个位置情况 )写出来 . 由数字 1,2,3,4 可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?写出这些所有的三位数 . 根据乘法原理 ,从四个不同的数字中 ,每次取出三个排成三位数的方法共有 432=24( 个 ). 请板演的学生谈谈怎样想的 ? 第一步 ,先确定百位上的 数字 .在 1,2,3,4 这四个数字中任取一个 ,有 4 种取法 . 第二步 ,确定十位上的数字 .当百位上的数字确定以后 ,十位上的数字只能从余下的三个数字去取 ,有 3 种方法 . 9 / 11 第三步 ,确定个位上的数字 .当百位、十位上的数字都确定以后 ,个位上的数字只能从余下的两个数字中去取 ,有 2种方法 . 根据乘法原理 ,所以共有 432=24 种 . 下面由教师提问 ,学生回答下列问题 (1)以上我们讨论了三个实例 ,这三个问题有什么共同的地方 ? 都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象 . (2)取出的这些研究对象又做些什么 ? 实 质上按着顺序排成一排 ,交换不同的位置就是不同的情况 . (3)请大家看书 ,第 页、第 行 .我们把被取的对象叫做双元素 ,如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素 . 上面第一个问题就是从 3个不同的元素中 ,任取 2个 ,然后按一定顺序排成一列 ,求一共有多少种不同的排法 ,后来又写出所有排法 . 第二个问题 ,就是从 3 个不同元素中 ,取出 3 个 ,然后按一定顺序排成一列 ,求一共有多少排法和写出所有排法 . 第三个问题呢 ? 从 4个不同的元素中 ,任取 3个 ,然后按一定的顺序排成一列 ,求一共有多少种不同的排法 ,并写出所有的排法 . 给出排列定义 请看课本 ,第 页 ,第 行 .一般地说 ,从 n 个不同的元素中 ,任取 m(mn) 个元素 (本章只研究被取出的元素各不相同的10 / 11 情况 ),按着一定的顺序排成一列 ,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 . 下面由教师提问 ,学生回答下列问题 (1)按着这个定义 ,结合上面的问题 ,请同学们谈谈什么是相同的排列 ?什么是不同的排列 ? 从排列的定义知道 ,如果两个排列相同 ,不仅这两个排列的元素必须完全相同 ,而且排列的顺序 (即元素所在的位置 )也必须相同 .两个条件中 ,只要有一个条件不符合 ,就是不同的排列 . 如第一个问 题中 ,北京 广州 ,上海 广州是两个排列 ,第三个问题中 ,213与 423也是两个排列 . 再如第一个问题中 ,北京 广州 ,广州 北京 ;第二个问题中 ,红黄绿与红绿黄 ;第三个问题中 231 和 213 虽然元素完全相同 ,但排列顺序不同 ,也是两个排列 . (2)还需要搞清楚一个问题 ,“ 一个排列 ” 是不是一个数 ? 生 :“ 一个排列 ” 不应当是一个数 ,而应当指一件具体的事 .如飞机票 “ 北京 广州 ” 是一个排列 ,“ 红黄绿 ” 是一种信号 ,也是一个排列 .如果问飞机票有多少种 ?能表示出多少种信号 .只问种数 ,不用把所有情况罗列出来 ,才是一个数 .前面提 到的第三个问题 ,实质上也是这样的 . 三、课堂练习 大家思考 ,下面的排列问题怎样解 ? 11 / 11 有四张卡片 ,每张分别写着数码 1,2,3,4.有四个空箱 ,分别写着号码 1,2,3,4.把卡片放到空箱内 ,每箱必须并且只能放一张 ,而且卡片数码与箱子号码必须不一致 ,问有多少种放法 ?(用投影仪