数列的概念学案

1 / 23 数列的概念学案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第一章 数 列 本章概述 课程目标 1.双基目标 （ 1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数； （ 2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念； （ 3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式 .在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般 ，由一般到特殊的思想方法； （ 4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系； （ 5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题 . 2.情感目标 （ 1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力 . （ 2） “ 兴趣是最好的老师 ” ，数列中的奥妙与趣味定会激2 / 23 发你去学习，去思考，去探索 . （ 3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础 . 重点难点 重点：等差 数列与等比数列的通项公式 . 前 n 项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用 . 难点：等差数列、等比数列的性质及应用 . 方法探究 1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法 . 2.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数 .经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程 . 3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前 n 项和公式及其性质，体会它们的广泛应用 . 4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学3 / 23 思想方法，设计适当的训练，进一步感受 “ 观察、试验、归纳、猜想、证明 ” 的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法 . 本章注意问题： （ 1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念 .数列与函数密切相关，多角度比较两者 之间的异同，加深对两方面内容的理解 .在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题 .运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理 . （ 2）善于对比学习 .学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于 “ 差 ” 与 “ 比 ” 不同 .通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果 . （ 3）要重视数学思想方法的指导作用 .本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法 . 4 / 23 1 数 列 第 1 课时 数列的概念 知能目标解读 1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念 . 2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项 . 3.了解 数列的分类 . 4.了解数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法 . 重点难点点拨 重点：了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是反映自然规律的数学模型 . 难点：将数列作为一种函数去认识、了解 . 学习方法指导 1.数列的定义 (1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性 .两组完全相同的数，由于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列 .因此用记号 an表示数列时，不能把 an看成一个集合，这是因为： 数列 an中的项是有序的，而集合中的元素是无序的； 数列 an中的数是可以重复 的，即数列 an中可以有相等的项，如 1,1,2,2, ，但集合中的元素是互异的； 5 / 23 数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物 . (2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如 an.其中的右下角标 n 表示项的位置序号 . (3)an 与 an 是 不 同 的 概 念 ， an 表示数列a1,a2,a3,an, ，而 an仅表示数列的第 n 项 . 2.数列的项与项数 数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数 an，由于数列 an的每一项的序号 n 与这一 项 an 的对应关系可以看成序号集合到项的集合的函数，故数列中的项是一个函数值，即 f(n).而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值 f(n)对应的自变量的值，即 n 的集合是自然数集（或其子集） . 3.数列的分类 判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的 . 4.通项公式 (1)由于数列可看做是定义域为正整数集 N+(或它的有限子集 )的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式， 项数 n 是相应的自变量 . (2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1,2,3 去替6 / 23 代公式中的 n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项 . (3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式 . 如的近似值，精确到 1, 所构成的数列 1,， 就没有通项公式 . 注意： (1)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如an=(-1)n，可以写成 an=(-1)n+2，还 -1 (n为奇数 ) 可以写成 an=，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列 . 1 (n为偶数 ), (2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一 .如数列 2,4,8, 根据有限项可以写成 an=2n，也可以写成an=n2-n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可 . 5.数列的递推公式 (1)递推公式：如果已知数列的第 1 项 (或前几项 )，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项 )间的关系可以用一个公式来表示，那么7 / 23 这个公式就叫做这个数列的递推 公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法 . (2)关于递推公式及应用需注意的几个问题： 通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映 an和 n 之间的关系，即 an是 n 的函数，知道任意一个具体的 n 值，通过通项公式就可以求出该项的值 an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由 n 直接得出an. 如何用递推公式给出一个数列 用递推公式给出一个数列，必须给出 “ 基础 ” 数列an的第 1 项或前几项； 递推关系 数列 an的任一项an 与它的前一项 an-1(或前几项 )之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示 . 注意： (1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式 . (2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息 . (3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项 . 例如：设数列 an满足： a1=1 ，写出这个数的前 5 项 . an=1+(n1) 8 / 23 由题意可知 a1=1,a2=1+=1+1=2,a3=1+=1+=， a4=1+=1+=，a5=1+=1+=. 此数列前 5 项分别为： 1， 2， . 本例显示，递推公式和通项公式是 反映数列构成规律的两个不同形式 .递推公式反映的是相邻两项或几项之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便 .而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数列中的任意一项 . 知能自主梳理 1.数列的概念 （ 1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列 . （ 2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 . （ 3 ） 数 列 的 表 示 ： 数 列 的 一 般 形 式 可 以 写 成a1,a2,a3,an, 简记为： .数列的第 1 项 a1 也称 ， an是 数列的第 n 项，叫数列的 . 2.数列的分类 项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 . 3.数列的通项公式 如果数列 an的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f(n)，那么式子叫作数列 an的 . 4.数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种： 、 、 . 9 / 23 答案 1.(1)次序 (2)项 (3) an 首项 通项 2.有穷数列 无穷数列 3.通项公式 4.列表法 图像法 解析法 思路方法技巧 命题方向 数列的概 念 例 1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4;(4)1, -1,1,-1,1,-1; (5)6,6,6,6,6. 分析 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决 . 解析 （ 1）是集合，不是数列；（ 2）、（ 3）、（ 4）、（ 5）是数列 . 其中（ 3）、（ 4）是无穷数列，（ 2）、（ 5）是有穷数列 . 变式应用 1 下列说法正确的是 ( ) A.数列 2,3,4与数列 4,3,2是同一数列 B.数列 1,2,3与数列 1,2,3, 是同一数列 ,4,2,，不是数列 D.数列 2n-3与 -1,1,3,5, 不一定是同一数列 答案 D 10 / 23 解析由数列的概念知 A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样， B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故 A、 B 均不正确， c 中显然是数列， D 中数列2n-3是确定数列，通项公式为 an=2n-3，但 -1,1,3,5， 前 4 项符合 an=2n-3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列 . 命 题方向 数列的通项公式 例 2 写出下面各数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33,; (2)， ； (3),2,， 8， ; (4)， . 分析 通过观察，找出所给出的项与项数 n 关系的规律，再写通项公式 . 解析 (1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为2,4,8,16,32, 其通项公式为 2n，故原数列的一个通项公式为 an=2n+1. (2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列 2n，分母各项分解因式： 13,35， 57， 79,为相邻奇数的乘积，即 (2n-1)(2n+1)，故原数列的一个通项公式为 an=. (3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可11 / 23 将各项都统一成分数，再观察，在数列 ,， 中，分母为2，分子为 n2，故 an=. (4)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，其通项公式为 2n-1；分子的前 一部分是从 2 开始的自然数的平方，其通项公式为 (n+1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为 n，综合得原数列的一个通项公式为 an=. 说明 在 根据数列的前 n 项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点 .解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式 . 变式应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （ 1） 1， 3， 7， 15， 31， ; （ 2） 1， ； （ 3）， ， 0.， . 解析 （ 1）注意观察各项发现各项分别加上 1，变为2,4,8,16,32, 其通项公 式为 2n,故原数列通项公式为an=2n-1,nN+; （ 2）调整为，它的前几项都是自然数的倒数， an= ； 12 / 23 （ 3） =1， =1， =1， 第 n 项 an=0.=1 =1 . 命题方向 数列通项公式的简单应用 例 3 在数列 an中通项公式是 an（ -1） n-1,写出该数列的前 5项，并判断是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由 . 分析 由通项公式写出数列的前 5 项，令 an=,判断是否有正整数解即可 . 解析 a1=(-1)0， a2=(-1)1，a3=(-1)2 . a4=(-1)3， a5=(-1)4 . 该数列前 5 项分别为：， -,. 令 (-1)n-1=得 n1 且为奇数 8n2-81n+81=0. n=9. 所以是该数列中的第 9 项 . 说明 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项 .令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是 . 变式应用 3 以下四个 数中，哪个是数列 n（ n 1） 中的项（ ） 13 / 23 D. 23 分析 数列 an的通项公式 f(n)=n(n+1)，对于某个数 m，若 m 是数列 an中的项，则 n（ n+1）=m必有正整数解 .若无正整数解，则 m 肯定不是 an中的项 . 答案 A 解析 依次令 n(n+1)=23 或 32 或 39 检验知无整数解 .只有 n（ n+1） =380 有整数解 n=19. 探索延拓创新 命题方向 数列的递推公式 例 4 在数列 an中， a1=2,a2=1,且 an+2=3an+1-an,求 a6+a4-3a5. 分析 由 a1=2， a2=1 及递推公式 an+2=3an+1-an,依次找出 a3,a4,a5,a6 即可 . 解析 解法一： a1=2,a2=1,an+2=3an+1 -an, a3=3a2 -a1=31 -2=1, a4=3a3-a2=31 -1=2, a5=3a4-a3=32 -1=5, a6=3a5-a4=35 -2=13, a6+a4 -3a5=13+2-35=0. 解法二： an+2=3an+1 -an, 令 n=4,则有 a6=3a5-a4,a6+a4 -3a5=0. 说明 递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式14 / 23 可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心 . 变式应用 4 已知数列 an 的首项a1=1,an=2an-1+1(n2) ，那么 a5= . 答案 31 解析 由递推关系式 an=2an-1+1和 a1=1可得 a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7, a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31. 名师辨误做答 例 5 已知数列 an的前 4 项为 1,0,1,0，则下列各式可以作为数列 an的通项公式的有（ ） an= 1+(-1)n+1 ;an=sin2 ， (nN+);an= 1+(-1)n+1 +(n-1)(n-2);an=; 1 (n为偶数 ) an= 0 (n为奇数 ) 个 个 个 个 误解 D 辨析 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误 . 正解 B 将 n=1,2,3,4 分别代入验证可知 均正确 .均可以作为数列的通项公式，而 不是数列的通项公式，答案选 B. 15 / 23 课堂巩固 训练 一、选择题 1.数列， 2， ，则 2 是该数列的（ ） A.第 6 项 B.第 7 项 c.第 10项 D.第 11 项 答案 B 解析 数列， 2， 的一个通项公式为 an=(nN ),令 2 ,得 n=7.故选 B. 2.数列 0， 的通项公式为（ ） = = = = 答案 c 解析 解法一：验证当 n=1 时， a1=0,排除 A、 D；当 n=2时， a2=,排除 B，故选 c. 解法二：数列 0， 即数列， ， 该数列的一个通项 公式为 an=,故选 c. 3.数列 1， 3， 6， 10， x， 21， 中， x 的值是（ ） 答案 c 解析 3 -1=2,6-3=3,10-6=4, x-10=5 , x=15. 21-x=6 二、填空题 16 / 23 4.已知数列 an的通项公式为 an=2n+1,则 ak+1= . 答案 2k+3 解析 an=2n+1,ak+1=2(k+1)+1=2k+3. 5.已知数列 an的通项公式 an=(nN+), 则是这个数列的第 项 . 答案 10 解析 令 an=,即 =, 解得 n=10或 n=-12（舍去） . 三、解答题 6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式 .(1)-1,1,-1,1; (2)-3,12,-27,48; (3)， ,， ; (4)， . 解析 (1)各项绝对值为 1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为 an=(-1)n; (2)各项绝对值可以写成 312,322,332,342, ，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为 an=(-1)n3n2; (3)因为 =,=，各项分母依次为 5,8,11,14，为序号 3n+2；分子依次为 3,4,5,6 为序号 n+2，故通项公式为 an=; (4)因为分母 3,15,35,63 可看作 22-1,42-1,62-1， 82-1，17 / 23 故通项公式为 an=. 课后强化作业 一、选择题 1.已知数列 , 则是该数列的（ ） A.第 22项 B.第 24项 c.第 26项 D.第 28项 答案 B 解析 因为数列的通项公式为 an=, 由 =得 n=24，故选B. 2.已知 an=n2+n,那么（ ） 是数列中的项 是数列中的项 是数列中的项 不是数列中的项 答案 B 解析 an=n(n+1), 且 nN+, an 的值为正偶数，故排除 A、 c； 令 n2+n=20,即 n2+n-20=0,解得 n=4或 n=-5(舍去 ). a4=20, 故 B 正确； 令 n2+n=930,即（ n+31） (n-30)=0. n=30 或 n=-31(舍去 ) a30=930, 故 D错 . 3.下面四个结论： 数列可以看作是一个定义在正整数集（ 或它的有限子集18 / 23 1， 2， 3 ， n）上的函数 . 数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点 . 数列的项数是无限的 . 数列通项的表示式是唯一的 . 其中正确的是（ ） A. B. c. D. 答案 A 解析 数列的项数可以是有限的也可以是无限的 .数列通项的表示式可以不唯一 .例如数列 1， 0， -1， 0， 1， 0， -1，0 的通项可以是 an=sin，也可以是 an=cos等等 . 4.数列 2， 0， 4， 0， 6， 0， 的一个通项 公式是（ ）= 1+(-1)n = 1+(-1)n+1 = 1+(-1)n+1 = 1+(-1)n 答案 B 解析 经验证可知 B 符合要求 . 3n+1(n 为奇数 ) 5.已知数列 an的通项公式是 an=,则 a2a3等于（ ） 2n-2(n 为偶数 ) 答案 c 19 / 23 解析 由通项公式可得 a2=2,a3=10,a2a3=20. 6.(XX天津武清区 )已知数列 an的通项公式为an=n2-14n+45，则下列叙述正确的是（ ） 不是这个数列中的项 B.只有第 5 项是 20 c.只有第 9 项是 20 D.这个数列第 5 项、第 9项都是 20 答案 D 解析 令 an=20,得 n2-14n+45=0,解得 n=5或 n=9,故选D. 7.已知数列 ,， , 则 5 是它的第（ ） 项 项 项 项 答案 D 解析 观察可得 an的通项公式 :an=,(nN+),5=, 所以 n=21. 8.已 知数列 an对任意的 p、 qN+ 满足 ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么 a10等于（ ） A.-165 B.-33 c.-30 D.-21 答案 c 解析 对任意 p、 qN+ 都有 ap+q=ap+aq. a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2= -30. 二、填空题 9.已知数列 ,3,3, 则 9是这个数列的第 项 . 20 / 23 答案 14 解析 数列可写为 ,， ， , 所以 an=, 令 =9.n=14. 10.已知数列 an中， an+1=对任意正自然数 n 都成立，且a7=，则 a5= . 答案 1 解析 由已知 a7=,a6=. 又 a6=,a5=1. 11.已知数列 an的通项公式是 an=,则它的前 4 项为 .答案 ， . 解析 取 n=1,2,3,4,即可计算出结果 . 当 n=1时， a1=, 当 n=2时， a2=, 当 n=3时， a3=, 当 n=4时， a4=. 12.下列有四种说法，其中正确的说法是 . 数列 a,a,a, 是无 穷数列； 数列 0,-1,-2,-3, 的各项不可能为正数； 数列 f(n)可以看作是一个定义域为正整数 N+或它的有限子集 1， 2， ， n的函数值； 已知数列 an，则数列 an+1-an也是一个数列 . 21 / 23 答案 解析 题中 显然正确，对于 ，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以 不正确，对于 ，数列可以看作是一个定义域为正整数 N+或它的有限子集 1， 2,n 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值