方程的根与函数的零点

1 / 6 方程的根与函数的零点 m 方程的根与函数的零点 第一课时：方程的根与函数的零点 教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件 . 教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件 . 教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数 . 教学过程： 一、复习准备： 思考：一元二次方程 +bx+c=o(a0)的根与二次函数 y=ax+bx+c的图象之间有什么关系？ .二、讲授新课： 1、探讨函 数零点与方程的根的关系： 探讨：方程 x-2x-3=o 的根是什么？函数 y=x-2x-3 的图象与 x 轴的交点 ? 方程 x-2x+1=0的根是什么？函数 y=x-2x+1的图象与 x轴的交点？ 方程 x-2x+3=0的根是什么？函数 y=x-2x+3的图象与 x轴有几个交点？ 2 / 6 根据以上探讨，让学生自己归纳并发现得出结论： 推广到 y=f(x)呢？ 一元二次方 程 +bx+c=o(a0) 的根就是相应 二次函数y=ax+bx+c 的图象与 x 轴交点横坐标 . 定义零点：对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x叫做函数 y=f(x)的零点 . 讨论： y=f(x)的零点、方程 f(x)=0 的实数根、函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标的关系？ 结论：方程 f(x)=0 有实数根函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点函数 y=f(x)有零点 练习：求下列函数的零点； 小结：二次函数零点情况 2、教学零点存在性定理及应用： 探究：作出的图象，让同学们求出 f(2),f(1)和 f(0)的值 ,观察 f(2)和 f(0)的符号 观察下面函数的图象，在区间上 _(有 /无 )零点；_0（或） .在区间上 _(有 /无 )零点；_0（或）在区间上 _(有 /无 )零点；_0（或 ) 定理：如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a).f(b)0,那么，函数 y=f(x)在区间（ a,b）内有零点，即存在 c(a,b),使得 f(c)=0，这个 c也就是方程 f(x)=0的根 . 3 / 6 应用：求函数 f(x)=Lnx+2x-6 的零点的个数 .（试讨论一些函数值 分别用代数法、几何法） 小结：函数零点的求法 代数法：求 方程的实数根； 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 练习：求函数的零点所在区间 . 3、小结：零点概念；零点、与 x 轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理 三、巩固练习： ,1,题 2,题（教师计算机演示，学生回答） 2.求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象 . 3.求下列函数的零点：； . 4.已知：（ 1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点； （ 2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值 5.作业： P102,2题； P1251题 第二课时：用二分法求方程的近似解 教学要求：根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解 .通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识 . 教学重点：用二分法求方程的近似解 . 4 / 6 教学重点：恰当的使用信息工具 . 教学过程： 一、复习准备： 1.提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？ 零点概念：对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点 . 方程 f(x)=0有实数根函数 y=f(x)的图象与 x轴有交点函数y=f(x)有零点 如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a).f(b)0,那么，函数 y=f(x)在区间（ a,b）内有零点，即存在 c(a,b),使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0 的根 . 2.探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？ 材料：高次多项式方程公式解的探索史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于 4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（ Abel）和伽罗瓦（ Galois）的研究，人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于 3 次和 4 次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分5 / 6 重要的课题 二、讲授新课： 1.教学二分法的思想及步骤： 出示例：有 12 个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好 .（让同学们自由发言，找出最好的办法） 解：第一 次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球 第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球 第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球 . 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？ 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？ 师生用二分法探索 定义二分法的概念：对于在区间 a,b上连续不断且f(a).f(b)0 的函数 y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法 (bisection) 探究：给定精度 ，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： A确定区间，验证，给定精度 ； B.求区间的中点； c.计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）； 6 / 6 D.判断是否达到精度 ；即若，则得到零点零点值 a（或 b）；否则重复步骤 24 2.教学例题： 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程 2+3x=7 的近似解 .（师生共练） 练习：求函数的一个正数