[资料]第八章

8.1层次分析模型8.2循环比赛的名次8.3社会经济系统的冲量过程8.4公平的席位分配8.5存在公正的选举规则吗8.6价格指数,数,学,型,电,子,教,编,案,第八章离散模型,模,数,学,模,型,2019年11月29日星期五,第八章离散模型,离散模型,离散模型：代数方程与差分方程（第6章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、,应用较广,是分析社会经济系统的有力工具.,只用到代数、集合及(少许)图论的知识.,2019年11月29日星期五,背景,日常工作、生活中的决策问题.,涉及经济、社会等方面的因素.,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化.,Saaty于20世纪70年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess),AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,8.1层次分析模型,2019年11月29日星期五,一、递阶层次结构建立,1.1、递阶层次结构及组成,二、构造比较判断矩阵,四、层次总排序,前言,1、背景知识,2、基本思想与建模步骤,1.2、四个注意点,2.1、两两比较法,2.2、比较判断矩阵的四个说明,3.1、单准则下的排序,三、单准则下的排序及一致性检验,3.2、一致性的检验,4.1、层次总排序的步骤,4.2、总排序一致性检验,五、判断矩阵的调整,六、群组决策,6.1、比较判断矩阵综合法,6.2、权重向量综合排序法,8.1层次分析模型,2019年11月29日星期五,人们在各项日常活动中，常常会面对一些决策问题。比如，大学毕业生对职业的选择，他们会从专业对口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等各方面加以考虑，比较，判断，然后进行决策。假如有m个单位可供选择，你会选择哪一个？,前言,随着人们面对的决策问题越来越复杂，例如，科研成果的评价、综合国力（地区综合实力）比较、各工业部门对国民经济贡献的比较、企业评估、人才选拔等问题。项目决策者与决策的模型及方法之间的交互作用变得越来越强烈和越来越重要。许多问题由于结构复杂且缺乏必要的数据，很难用数学模型来解决。,1、背景知识,2019年11月29日星期五,由美国运筹学家T.L.saaty教授在70年代中期提出的层次分析法（AnalyticHierarchyProcess）简称AHP，是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法.这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种简便的决策方法。,前言,2019年11月29日星期五,层次分析法的发展过程可追溯到上个世纪的70年代初期，1971年，美国匹兹堡大学数学教授在为美国国防部研究“应急计划”中，充分注意到了当前社会的特点及很多决策科学方法的弱点。他开始寻求一种能综合进行定量与定性的决策方法，这种方法不仅能够保证模型的系统性、合理性，又能让决策人员充分运用其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在1972年发表用其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在1972年发表了“用于排序和计划的特征根分配模型”。之后，Saaty教授又发表了一系列关于AHP应用方面的文章。1977年获得了美国管理研究院的最佳应用研究成果奖。同年，Saaty教授在第一届国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模层次分析理论”,从此,AHP方法开始受到人们的关注，得到深入的研究和应用。,前言,2019年11月29日星期五,AHP的应用范围十分广泛，涉及面主要有以下几个方面：,经济与计划;,能源政策与资源分配;,政治问题及冲突;,人力资源管理;,预测;,项目评价;,教育发展;,环境工程;,医疗卫生;,企业管理与生产经营决策;,会计;,军事指挥，武器评价.,以上种种只是给出一些总体范围，在每个范畴内，,又有许多不同的应用。,前言,2019年11月29日星期五,2、基本思想与建模步骤,层次分析法的基本思路与人们对复杂的决策问题的思维判断过程大体一样的。当一个决策者在对问题进行分析时，首先要将分析对象的因素建立起彼此相关因素的层次递阶系统结构，这种层次递阶结构可以清晰地反映出诸相关因素（目标、准则、对象）的彼此关系，使得决策者能够把复杂的问题顺理成章。然后进行逐一比较、判断，从中选出最优的方案。,运用层次分析法建模，大体上分成四个步骤:建立递阶层次结构；构造比较判别矩阵；在单准则下的排序及一致性检验；总的排序选优。,前言,2019年11月29日星期五,层次分析法首先把决策问题层次化。所谓层次化根据问题的性质以及要达到的目标，把问题分解为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和关联程度分组，形成一个不相交的层次。,引例大学毕业生对职业的选择。假设有四个单位可供他们选择，他们会从专业对口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等多方面进行反复的考虑、比较，从中选出自己最满意的职业。按照这种思路，我们可以得到这样的分析图（见图3-1）。,一、递阶层次结构的建立,1.1、递阶层次结构及组成,2019年11月29日星期五,满意的职业,图3-1最佳职业的递阶层次结构,一、递阶层次结构的建立,2019年11月29日星期五,在AHP方法中，首先要建立决策问题的递阶层次结构的模型，通过调查分析弄清决策问题的范围和目标，问题包含的因素，各因素之间的相互关系。然后将各个因素按照他们的性质聚集成组，并把它们的共同特征看成是系统中高一层次的一些因素。如此构成一个以目标、若干准则层及方案层所组成的递阶层次结构。,在图3-1中上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，从而形成一个自上而下的逐层支配关系。具有这种性质的结构称为递阶层次结构。典型的递阶层次结构见下面图3-2。,一、递阶层次结构的建立,2019年11月29日星期五,层次分析法先将层次分为若干层次。最高一层称为目标层，这一层中只有一个元素，就是该问题要达到目标或理想的结果；中间层为准则层，层中的元素为实现目标所采用的措施、政策、准则等。准则层中可以不止一层，可以根据问题规模的大小和复杂程度，分为准则层、子准则层；最低一层为方案层，这一层包括了实现目标可供选择的方案。,在递阶层次结构中，各层均由若干因素构成。当某个层次包含因素较多时，可将该层次进一步划分成若干子层次。通常应使各层次中的各因素支配的元素一般不超过9个，这是因为支配元素过多会给两两比较带来困难。,一、递阶层次结构的建立,2019年11月29日星期五,决策目标,图3-2典型递阶层次结构,准则层,一、递阶层次结构的建立,2019年11月29日星期五,整个结构不受层次限制；,一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：,从上到下顺序地存在支配关系，用直线段表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系；,最高层只有一个元素，每个元素所支配元素一般不超过9个。元素过多可进一步分层；,对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。,一、递阶层次结构的建立,1.2、四个注意点,2019年11月29日星期五,递阶层次结构是最简单的层次结构形式。在实际问题中我们常常会遇到更复杂的层次结构。如层次内部因素之间存在相互影响类型的内部依存层次结构（例如以行驶性能为目标对各种型号汽车作评价时，准则层有刹车、转向、加速、运行等，这些准则之间就是相关的。）；下层反过来对上层有支配作用，形成循环，从而无法区分上下层类型的反馈层次结构（例如可以用教学、科研等多项指标评价几位教师，也可以反过来对于每一个教师比较他的教学、科研等哪一方面表现最为突出，从而在指标层和对象层之间形成循环）。在这里我们只讨论递阶层次结构，其余的模型读者可参阅其他文献。,一、递阶层次结构的建立,2019年11月29日星期五,在建立递阶层次结构后，上下层元素间的隶属关系就被确定了。假设以上一层次元素C为准则，所支配的下一层次的关系为u1,u2,un，我们的目的是要按它们对于准则C相对重要性赋予u1,u2,un相应的权重。对于有些问题可以直接给出权重，如学生的考试成绩、某工程的投资额。但在大多数社会经济活动中,尤其是较复杂的问题中，元素的权重无法直接获得，这就需要通过适当的方法导出它们的权重。AHP所用导出权重的方法就是两两比较方法。,二、构造比较判断矩阵,2.1、两两比较法,2019年11月29日星期五,两两比较法具体方法是：当以上一层次某个因素C作为比较准则时，可用一个比较标度aij来表达下一层次中第i个因素与第j个因素的相对重要性（或偏好优劣）的认识。aij的取值一般取正整数19（称为标度）及其倒数。由aij构成的矩阵称为比较判断矩阵A=(aij)。关于aij取值的规则见表3-1。,表3-1元素aij取值的规则,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,比较判断矩阵的特点：,aij取值也可以取上述各数的中值2，4，6，8及其倒数，即若因素i与因素j比较得aij，则因素j与因素i比较得1/aij。,具有上述三个特点的n阶矩阵称为正互反矩阵。,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,在引例的图3-1中,以满意的职业为准则(C),支配着5个因素:对专业对口(u1)、发展潜力(u2)、单位名气(u3)、地点(u4)、收入(u5)五个因素作出成对比较，得到比较判断矩阵,仔细分析比较判断矩阵A可以发现，既然u1与u2之比为1:(1/3),u1与u3之比为1:3,那么u2与u3之比应该为1:9,而不是1:5，这样才能说明问题是合理的。也就是中的所有的的元素aij必须具有传递性，即aij满足等式：aijajk=aik，i,j,k=1,2,n。,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,定义3.1.1设n阶矩阵A=(aij)为正互反矩阵,若对于一切i,j,k,都有aijajk=aik,i,j,k=1,2,n,称A为一致矩阵.,由比较判断矩阵A知，在对n个因素比较中，我们只要作n(n-1)/2次成对比较即可。但要求这n(n-1)/2次断矩阵A一定满足一致性。比较全部一致，太苛刻在实际工作中，我们并不要求比较判断矩阵A一定要满足一致性.,关于比较判断矩阵，有以下四个问题需要我们进一步说明：,二、构造比较判断矩阵,2.2、比较判断矩阵的四个说明,2019年11月29日星期五,为什么要用两两比较？,涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们往往凭自己的经验和知识进行判断。当因素较多时给出的结果是不全面和不准确的。如果只是定性结果，又常常不被人们接受。如果采用把所有的因素放在一起两两比较，得到一种相对的标度，既能适应各种属性测度，又能充分利用专家经验和判断，提高准确度。,其二，在比较判断矩阵建立上，教授采用了19比例标度，这是因为人们在估计成对事物的差别时，用五种判断级别就能很好地表示，即相等、较强、强、很强、极强表示差别程度。如果再细分，可在相邻两级中再插入一级，正好9级，用9个数字来表达就够用了。,为什么要用19比例标度？,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,一般地在一个准则下被比较的对象不超过9个,是因为心理学家认为，进行成对比较因素太多将超出人的判断能力。最多大致在72范围，如果以9个为限，用19比例标度表示它们之间的差别正合适。,为什么要限制比较个数不超过9?,为什么要比较n(n-1)/2次?,最后，在把n个因素与某个因素进行比较时,有人认为只需要进行n-1次就可以了。这种做法的弊病在于，任何一个判断的失误都可能导致不合理的排序，对于难以定量的系统更应该尽量避免判断失误。进行n(n-1)/2次成对比较，可以提供更多的信息量，从不同角度进行比较，以得到一个合理的排序。,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,例1某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如图3-3所示，对之构造比较判断矩阵。,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,二、构造比较判断矩阵,解：构造比较判别矩阵如表3-2。,表3-2满意电视机的比较判别表,2019年11月29日星期五,例2设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。,分析：在此问题中，过河的方式的决策取决于过河方式的效益与代价（即成本）的之比通常我们用费效比（即效益/代价）作为选择方案的标准。为此我们分别给出下面两个层次结构，它们分别考虑了影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三类：经济的、社会的和环境的。,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,过河的效益A,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,过河的代价a,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,注意，上面两个模型中的判断依据都是由决策者自行设计的（这就需要用到设计者的专业知识）。,决策的制定将取决于根据两个层次结构确定的方案的效益权重与代价权重之比。,例如:我们构造过河的效益比较判别矩阵如下：,二、构造比较判断矩阵,2019年11月29日星期五,3.1、单准则下的排序,三、单准则下的排序及一致性检,层次分析法的信息基础是比较判断矩阵。由于每个准则都支配下一层若干个因素，这样对于每一个准则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵。因此根据比较判断矩阵如何求出各因素u1,u2,un,对于准则的相对排序权重的过程称为单准则下的排序。,计算权重w1,w2,wn的方法有许多种，其中特征根方法是AHP中比较成熟并得到广泛应用的方法，它对于AHP的发展在理论上和实践上都有重要意义。,特征根方法的理论依据是正矩阵的Perron定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性。,特征根方法的理论依据,2019年11月29日星期五,三、单准则下的排序及一致性检,定理3.1.1(Perron定理):设n阶方阵AO,lmax为A的模最大特征根，则lmax必为正特征根,且对应特征向量为正向量；对于A的任何其它特征值，恒有|l|0.1,CR3=0.1170.1,CR6=0.1700.1,因此第1，2，3，6个比较判断矩阵的一致性没有通过，需要对比较判断矩阵进行修改。而第4，5，7，8个比较判断矩阵通过一致性检验。,2019年11月29日星期五,计算同一层次中所有元素对于最高层(总目标)的相对重要性标度(又称排序权重向量)称为层次总排序。,为了把这个问题搞清楚，来看一个事实。,设有五块石头A1,A2,A3,A4,A5分成两组。第一组由A1,A2组成，第二组由A3,A4,A5组成。这两组石头可看成一块石头分裂成石块A1,A2,A3,A4,A5。,把系统划分成三个层次,如图3-4所示,四、层次总排序,图3-4分裂成石块的巨砾,2019年11月29日星期五,四、层次总排序,已知最高层对第二层的排序向量为,而第三层对第二层单准则的排序为,则第三层五个元素相对总重量的排序权值向量为,2019年11月29日星期五,四、层次总排序,4.1、层次总排序的步骤,计算同一层次所有因素对最高层相对重要性的排序权向量，这一过程是自上而下逐层进行；,层次总排序的步骤为：,；,设已计算出第k-1层上有nk-1个元素相对总目标的排序权向量为：,第k层有nk个元素,它们对于上一层次(第k-1层)的某个因素ui的单准则排序权向量为,(对于与k-1层第i个元素无支配关系的对应uij取值为0);,第k层nk个元素相对总目标的排序权向量为,2019年11月29日星期五,四、层次总排序,4.2、总排序一致性检验,人们在对各层元素作比较时，尽管每一层中所用的比较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来，因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著，检验的过程称为层次总排序的一致性检验。,2019年11月29日星期五,可认为评价模型在k层水平上整个达,到局部满意一致性.,四、层次总排序,层次分析法的基本步骤为以下四步：,(总排序)即计算各方案对总系统目标排序权向量。,建立系统的递阶层次结构；,构造两两比较判断矩阵；,计算下一个层次对上一层的某个准则的排序权向量;,下面举例来说明层次分析法的基本步骤。,2019年11月29日星期五,例5某工厂在扩大企业自主权后，有一笔留成利润，要由厂领导和职代会来决定如何使用，可供选择的方案有：P1发奖金；P2扩建集体福利事业；P3办职工业余技校；P4建图书馆、俱乐部；P5引进新设备。这些方案都各具有其合理的因素，因此如何对这些方案进行综合评价，并由此进行方案排序及优选是厂领导和职代会面临的实际问题。,四、层次总排序,分析：上述问题属于方案排序与优选问题，且各待选方案的具体内容已经确定，故可采用AHP法来解决。,解：,建立方案评价的递阶层次结构模型。,该模型最高一层为总目标A：合理使用企业利润。,2019年11月29日星期五,第二层设计为方案评价的准则层,它包含有三个准则：,最低层为方案层，它包含从P1P5五种方案.,其递阶层次结构如图3-5：,四、层次总排序,B1：进一步调动职工劳动积极性；,B2：提高企业技术水平；,B3：改善职工物质与文化生活。,合理使用企业利润A,图3-5合理分配利润的递阶层次结构,2019年11月29日星期五,四、层次总排序,构造比较判断矩阵,分别给出第三层对第二层的三个比较判别矩阵：,2019年11月29日星期五,四、层次总排序,层次单排序及其一致性检验,对于上述各比较判断矩阵，用Matlab数学软件求出其最大的特征值及其对应的特征向量，将特征向量经归一化后，即可得到相应的层次单排序的相对重要性权重向量，以及一致性指标CI和一致性比例CR，见表3-5。,表3-5合理使用企业利润的计算结果,由此可见，所有四个层次单排序的CR的值均小于0.1，符合满意一致性要求。,2019年11月29日星期五,四、层次总排序,层次总排序,已知第二层(B层)相对于总目标A的排序向量为,而第三层(P层)以第二层第i个因素Bi为准则时的排序向量分别为：,2019年11月29日星期五,四、层次总排序,则第三层(P层)相对于总目标的排序向量为,2019年11月29日星期五,层次总排序的一致性检验,总排序一致性通过。,四、层次总排序,2019年11月29日星期五,结论：,某工厂合理使用企业留成利润这一总目标，所考虑的五种方案排序的相对优先排序为：,P3(开办职工业务技校)，权重为0.4011；,P5(引进新技术设备)，权重为0.1723；,P2(扩建集体福利事业)，权重为0.1564；,P1(发奖金)，权重为0.1488；,P4(建图书馆，俱乐部)，权重为0.1215.,厂领导和职代会可根据上述分析结果，决定各种方案的实施先后次序，或决定分配使用企业留成利润的比例。,四、层次总排序,Matlab程序（详见P195197，从略）,2019年11月29日星期五,经验调整法：让专家对判断矩阵的某些元素进行重新调整，这类方法存在着一定的主观随意性，缺乏理论科学依据；,五、判断矩阵的调整,当一个比较判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度就值得怀疑了，这时就必须对判断矩阵进行调整。在实际应用中，需要对判断矩阵进行多次调整，才能够通过一致性检验。目前，关于修正判断矩阵的方法有多种，大致分成三类:,用一定的方法,构造一个完全一致的判断矩阵,通过甲醛方法提取原始判断矩阵与完全一致矩阵的信息,以达到调整的目的。此类方法具有一定的盲目性；,利用矩阵元素的变化与一致性之间的关系，确定影响一致性的关键元素并进行调整。此类方法对原始判断矩阵的元素改变较少，保留了较多的原始信息。,2019年11月29日星期五,五、判断矩阵的调整,下面介绍一种属于第三类的判断矩阵调整方法，称之为AHP判断矩阵一致性调整的前瞻算法。具体算法如下：,构造矩阵。是判断矩阵A中的元素aij用aikakj(称为元素aij的第k种间接判断)替换，而aji用1/aikakj替换后得到的矩阵，即，其中,由于askakt可能大于9，1/askakt可能小于1/9，这与判断矩阵的定义不相符合，需要进行微调，作微调如下：,2019年11月29日星期五,五、判断矩阵的调整,计算以及Dij,x表示对x进行四舍五入取整。,以后所有的矩阵都是经过微调得到的矩阵，由于是成对的微调，故有。,是矩阵A中的元素aij进行第k种调整后一致性比率变小的数值，表征着aij进行第k种调整对矩阵一致性的改善程度。,2019年11月29日星期五,五、判断矩阵的调整,2019年11月29日星期五,五、判断矩阵的调整,计算Tij。,Tij是aij对矩阵一致性的最大可能改善程度Dij所对应的调整策略序号。称aij的第Tij种调整方法为aij的最优调整方向，若Dij=0，说明aij的所有调整方向都无助于改善判断矩阵的一致性，令Tij=0，构造矩阵T=(Tij)nn，则T是对称矩阵。,选D为(Dij)nn中最大元素，确定该元素所在的行与列，找到判断矩阵相对应的元素就是最矛盾（不一致）元素。对它按上述方法进行调整，直到得到通过一致性检验。,2019年11月29日星期五,五、判断矩阵的调整,解,使用MATLAB计算，得排序向量为：,2019年11月29日星期五,五、判断矩阵的调整,2019年11月29日星期五,五、判断矩阵的调整,2019年11月29日星期五,五、判断矩阵的调整,D13=0.1361是的最大元素，相应判断矩阵元素a13是矛盾元素，需要调整。由于对应调整方向是T13=2,调整方案是：将a13用a12a23替换，即a13=a12a23=71/8=7/8，并取a13=1/1/(7/8)=1.,得到新的判断矩阵,由此得到排序向量,通过了一致性检验。,可以证明，上述的算法是收敛的。,2019年11月29日星期五,六、群组决策,我们知道，AHP方法不仅可以进行定量分析，也可以进行定性分析，它可以把决策过程中的定量与定性因素有机地结合起来，用一种统一的方法进行处理。AHP法改变了最优化技术中只能对定量问题进行处理的局限。不仅如此，它的方法简单、直观，容易掌握，是一种很好的决策方法。但应该看到，AHP方法也有着应用上的局限，主要有以下三个方面：,AHP方法的应用主要是针对那种方案大体确定的决策问题，即只能从原方案中选优，不能生成新的方案;,AHP方法比较粗糙，不适应于精度要求很高的决策问题，对于这类问题，若将AHP和别的方法结合起来使用，会得到令人满意的结果；,由于AHP方法的使用受人的主观因素影响较大，得到的决策结果不易为众人接受。,2019年11月29日星期五,六、群组决策,针对上述存在的问题,我们可以采用AHP方法与群组决策相结合的方法,尽量使得决策结果得到众人的认可。,在运用AHP方法进行决策分析时，评判者往往不是一个人，而是由若干个专家组成的小组。尤其是在对重大问题的决策分析时，评判者有时甚至是一个庞大的专家团，这就会遇到群组判断问题。专家群组的判断是否符合客观实际，将对定权产生直接的影响。,若干个专家参加决策，各个专家都可以给出一个比较判断矩阵，如何根据这众多的比较判断矩阵进行最终决策，我们给出两类处理方法:一类是将各个专家的比较判断矩阵综合成一个判断矩阵，然后求出这个矩阵的排序向量,称此法为比较判断矩阵综合法；另一类是先求出各个专家的排序向量，然后再将它们综合成群组排序向量。称此法为权重向量综合法。,2019年11月29日星期五,六、群组决策,6.1、比较判断矩阵综合法,加权几何平均法,设由s个专家的的评判矩阵为，构造综合判断矩阵,其中其中lk是第k个专家的权重。然后再选用单准则下权重向量的算法，求出综合判断矩阵的排序向量。,由数理统计的知识，我们对矩阵A进行分析，计算总体标准差,当总体标准差sije，这组群组判断可采用。这里e是事先给定的值，通常取e0.5,1。,2019年11月29日星期五,六、群组决策,加权算术平均法,设由s个专家的的评判矩阵为，构造综合判断矩阵,其中其中lk是第k个专家的权重。然后再选用单准则下权重向量的算法，求出综合判断矩阵的排序向量。,应当注意的是：无论采用加权几何平均法还是采用加权算术平均法后的综合判断矩阵都已失去正互反性了。,2019年11月29日星期五,6.2、权重向量综合排序法,六、群组决策,加权几何平均法,设第k个专家给出的排序向量为,对s个排序向量进行加权几何平均，得到排序向量：,2019年11月29日星期五,六、群组决策,由数理统计的知识，我们对所求的W进行分析。,即计算,由此建立一个新的总体判断矩阵,计算总体标准差,表示第k个专家给出的判断矩阵的第i行第j列的元素.,2019年11月29日星期五,计算个体的标准差:,否则将信息反馈给有关专家，供修改时参考。,六、群组决策,六、群组决策,2019年11月29日星期五,加权算术平均综合排序向量法,设由s个专家的的评判矩阵，得到s个排序向量：,对s个排序向量进行加权算术平均,得到排序向量：,六、群组决策,按照上述的分析，计算各个标准差，将信息反馈给有关专家供参考。,2019年11月29日星期五,例1某个企业科技实力评价系统,设计企业科技实力评价的层次结构模型,设计企业科技实力评价指标体系,应遵循下面7个原则:,整体性原则.指标体系应涵盖权衡企业科技实力的基本内容，诸如硬科学和软科学水平、科技现状、科技成果及其产业化程度等.,简要性原则.指标体系要层次分明，简明扼要；每个指标要内涵清晰，相对独立.,导向性原则.指标体系应符合高新技术产业化政策，利于调动企业从事研究与开发的积极性，利于构建企业科技创新机制.,六、群组决策,2019年11月29日星期五,可比性原则.要尽量采用相对指标，便于对各企业进行对比，但为了反映企业的科技实力的规模，也应取一些绝对指标.,均匀性原则.凡开发周期较长或时间滞后较大的指标，如科技评价中每百名科技活动人员的专利授权数之类的指标，为避免指标的大起大落，以采用三年平均值为宜.,可操作性原则.指标体系所需数据原则上从统计指标产生,少量需重新统计的指标应是确定的易于采集的.,实际性原则.应从中国企业和统计部门的现状出发,切忌照搬发达国家权衡企业科技实力的指标体系.,六、群组决策,2019年11月29日星期五,企业科技实力评价,机器设备原值中微电子控制机器设备原值占有率(%),科技活动经费支出与产品销售收入的比率(%),更新改造投资额(三年累计)与原固定资产原值比率(%),企业办科技机构固定资产原值(万元),研究开发经费与企业增加值比率(%),对外部科研机构和高等院校的经费支出与产品销售收入的比率（%）,每百名科技活动人员的专利授权数(三年累计),新产品销售收入占产品收入的比率（%）,高新技术产品出口额（万元）,万元技术引进投资新增企业增加值(万元/万元)(三年平均),技术转让和服务收入与技术开发经费比率(%)(三年平均),万元产值节约能耗(万元/万元)(三年平均),企业通过ISO9000系列质量体系认证的产品个数,投入产出效率,六、群组决策,2019年11月29日星期五,专家咨询工作,第一轮发出专家咨询表22份，回收16份，回收率为72.7%。分析专家群对5个二级指标(人力资源A1,物力资源A2,财力资源A3,科技活动成果产业化程度A4及管理水平A5)的权重值，可以发现一个显著性差异。即有5位专家看好“人力资源A1”(wA10.4),另外5位专家看好“科技活动成果产业化程度A4”(wA40.4).鉴于有1/3的专家看好“人力资源”，其职业构成为大学教授4人,企业副总工程师1人;另外有1/3的专家看好“科技活动成果产业化程度”,其职业构成为大学教授3人,政府职能部门领导2人.考虑到取值的显著差异,又进行了第二次的填表.在进行第二轮的填表时,提请专家结合计.结果在第二轮填表时慎重考虑.,六、群组决策,共开展了两轮专家咨询工作。,2019年11月29日星期五,第二轮发出16份咨询表,回收13份,回收率为81.3%,再从中筛选出11份,进行综合评价.,计算权重向量,按照前面所介绍的方法进行专家的群组决策,其方法为:,计算出每个专家的给出的排序向量,并进行,用权重向量的综合法(加权几何平均法)求群,一致性检验,以决定取舍;,组的权重向量;,求合成权重向量.,六、群组决策,2019年11月29日星期五,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,一.层次分析法的基本步骤,例.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,8.1层次分析模型,2019年11月29日星期五,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示.,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重.,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重.,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果.,8.1层次分析模型,2019年11月29日星期五,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1,C2,Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1,Cn对O的权向量,选择旅游地,8.1层次分析模型,2019年11月29日星期五,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,8.1层次分析模型,2019年11月29日星期五,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,一致阵性质,成对比较阵和权向量,8.1层次分析模型,2019年11月29日星期五,2468,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度,即aij取值1,2,9及其互反数1,1/2,1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个.,用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优.,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,8.1层次分析模型,2019年11月29日星期五,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵,定义一致性指标:,CI越大，不一致越严重,为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI.,定义一致性比率CR=CI/RI,当CR0，A称素阵.,排名为1，2，4，3,1,2,3,4?,8.2循环比赛的名次,2019年11月29日星期五,1:4分;2,3:3分;4,5:2分;6:1分.,6支球队比赛结果,排名次序为1，3，2，5，4，6,32,45,排名132456?,8.2循环比赛的名次,2019年11月29日星期五,v1能源利用量,v2能源价格,v3能源生产率,v4环境质量,v5工业产值,v6就业机会,v7人口总数.,系统的元素图的顶点,元素间的直接影响有方向的弧,正面影响弧旁的+号；负面影响弧旁的号,带符号的有向图,符号、客观规律；方针政策,例能源利用系统的预测,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵A,V顶点集,E弧集,定性模型,带符号的有向图G1,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,加权有向图G2及其邻接矩阵W,定量模型,某时段vi增加1单位导致下时段vj增加wij单位,v7,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,冲量过程（PulseProcess),研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程,vi(t)vi在时段t的值；pi(t)vi在时段t的改变量(冲量),冲量过程模型,或,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,能源利用系统的预测,简单冲量过程初始冲量p(0)中某个分量为1，其余为0的冲量过程.,若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变.,设,能源利用系统的p(t)和v(t),8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,简单冲量过程S的稳定性,任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限(稳定)?,S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定?,S冲量稳定对任意i,t,|pi(t)|有界,S值稳定对任意i,t,|vi(t)|有界,记W的非零特征根为,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,S冲量稳定|1,S冲量稳定|1且均为单根,S值稳定S冲量稳定且不等于1,对于能源利用系统的邻接矩阵A,特征多项式,能源利用系统存在冲量不稳定的简单冲量过程,简单冲量过程S的稳定性,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,简单冲量过程的稳定性,改进的玫瑰形图S*带符号的有向图双向连通，且存在一个位于所有回路上的中心顶点.,回路长度构成回路的边数.,回路符号构成回路的各有向边符号+1或-1之乘积.,ak长度为k的回路符号和,r使ak不等于0的最大整数,S*冲量稳定,若S*冲量稳定，则S*值稳定,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,简单冲量过程S*的稳定性,a1=0,a2=(-1)v1v2(-1)v2v1=1,a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,a5=1,r=5,S*冲量稳定,(-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓励利用变为限制利用)a2=-1,+,S*冲量稳定|1且均为单根,v1利用量,v2价格,v7,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,若S*冲量稳定，则S*值稳定,S*冲量稳定,v3能源生产率v5工业产值,S*值稳定,能源利用系统的值不应稳定？,-,简单冲量过程S*的稳定性,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,社会经济系统的冲量过程,定性与定量相结合的系统分析方法,适合社会经济领域中复杂大系统的宏观研究.,解决问题的关键是确定研究的对象及其范围(系统的边界),以及各因素间的相互关系.,以能源系统为例介绍有向图和冲量过程的建模方法.,冲量过程模型及预测是简单的,但是稳定性判断及其改进比较复杂.,8.3社会经济系统的冲量过程,2019年11月29日星期五,每10年，美国联邦政府进行一次全国人口普查,各州在联邦众议院的代表名额也据此重新确定.,公平的席位分配问题（apportionment）,2000年人口普查后，犹他州向联邦政府提出控诉，说分配给北卡罗莱纳州的名额应该是他们的.,问题的数学本质是什么？,事实上，过去200年来，美国国会在名额分配上打过多起法律官司，曾有过长期争论并使用过4种分配方案.,8.4公平的席位分配,2019年11月29日星期五,一个简单例子,问题,三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席.,因学生转系,三系人数为103,63,34,如何分配20席?,若代表会议增加1席，如何分配21席?,比例加惯例,对丙系公平吗？,8.4公平的席位分配,2019年11月29日星期五,模型,已知:m方人数分别为p1,p2,pm,记总人数为P=p1+p2+pm,待分配的总席位为N.,各方先分配qi的整数部分qi,总余额为,记ri=qi-qi,则第i方的分配名额ni为,要求,已知份额向量q=(q1,qm)0,找一个非负整数分配向量n=(n1,nm),使n与q最接近.,比例加惯例法,记qi=Npi/P,称为第i方的份额(i=1,2,m),8.4公平的席位分配,2019年11月29日星期五,背景,Hamilton(比例加惯例)方法,A.Hamilton提出的这种办法1792年被美国国会否决1850-1900年被美国国会采用(称为Vinton法)又称为最大剩余法（GR:GreatestRemainders）或最大分数法（LF:LargestFractions），等等,席位悖论总席位增加反而可能导致某州席位减少1880年Alabama州曾遇到，又称Alabama悖论,该方法的另一个重大缺陷：（下页给例子）人口悖论某州人口增加较多反而可能该州席位减少,8.4公平的席位分配,2019年11月29日星期五,Hamilton方法的不公平性,1.p1,p2,pm不变,N的增加会使某个ni减少(上例).,2.N不变,pi比pj的增长率大,会使ni减少nj增加(下例).,8.4公平的席位分配,2019年11月29日星期五,“公平”分配方法,衡量公平分配的数量指标,当p1/n1=p2/n2时，分配公平,p1/n1p2/n2对A的绝对不公平度,p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10,p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100,p1/n1p2/n2=5,但后者对A的不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度相同,若p1/n1p2/n2，对不公平,A,p1/n1p2/n2=5,8.4公平的席位分配,2019年11月29日星期五,公平分配方案应使rA,rB尽量小,设A,B已分别有n1,n2席,若增加1席,问应分给A,还是B?,不妨设分配开始时p1/n1p2/n2，即对A不公平.,对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义rB(n1,n2),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即,“公平”分配方法,若p1/n1p2/n2，定义,8.4公平的席位分配,2019年11月29日星期五,1）若p1/(n1+1)p2/n2，,则这席应给A,2）若p1/(n1+1)p2/(n2+1)，,应计算rB(n1+1,n2),应计算rA(n1,n2+1),若rB(n1+1,n2)p2/n2,问：,p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给B,8.4公平的席位分配,2019年11月29日星期五,当rB(n1+1,n2)1),A=x,y,z,u,v,m位候选人集合(m1),选民i(I)对全体候选人投票A的一个排序pi,根据全体候选人的投票pi(i=1,2,n)确定群体对A的一个排序p(选举结果),选举规则：pi(i=