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理论力学,第一部分静力学,理论力学,第一部分静力学,引论刚体静力学(staticsofrigidbodies)研究刚体(rigidbody)在力系的作用下相对于惯性系静止的力学规律。(1)力学模型刚体在力的作用下不变形的物体称为刚体。在实际生活中，完全不变形的物体并不存在，刚体不过是实际物体和构件的抽象和简化。,吊车梁的变形,吊车梁在起吊重物时所产生的最大挠度一般不超过梁的跨度的1/500,简化的条件除了要求物体的变形不大之外，更重要的是这种变形对我们所研究的问题的结果产生的影响要足够小。,但在研究吊车梁的强度问题时，就不能这样简化了。,这种小变形对于两端支承力的影响是微不足道的，因此在计算两端的支承力时，吊车梁可简化为刚体。,力系作用于同一刚体的一组力称为力系(systemofforces)。,使刚体的原有运动状态不发生改变的力系。,平衡力系(forcesystemofequilibrium),(3)基本问题：物体的受力分析；力系的等效替换及简化；力系的平衡条件及其应用。,刚体在平衡力系的作用下并不一定处于静止状态，它也可能处于某种惯性运动状态。,平衡条件(equilibriumconditions),平衡力系所要满足的数学条件。,1.工程力学教程()范钦珊主编高等教育出版社（九五国家级重点教材）2.理论力学(第三版)浙江大学理论力学教研室,高等教育出版社，1999（面向21世纪课程教材）,参考书目,1静力学基础,1静力学基础,1.1力和力矩1.1.1力的概念力是物体间的相互作用，作用结果使物体的运动状态发生改变，或使物体产生变形。对刚体而言，力的作用只改变其运动状态。,力是矢量,力的三要素(threeelementsofaforce)两个共点力的合成又满足平行四边形法则，因而力是定位矢量(fixedvector)。,量度力的大小的单位,在国际单位制中用牛顿（N）千牛顿（kN）,力的作用线,力的作用点,力矢量的表示:F1、FA,力矢量的模:F1、FA,、,作用力和反作用力,力的另一重要性质是由牛顿第三定律(Newtonsthirdlaw)所描述的作用力和反作用力之间的关系，即:两个物体之间的作用力与反作用力总是同时存在，且大小相等、方向相反、沿同一直线，并分别作用在两个不同的物体上。,分布力(distributedforce)与集中力(concentratedforce),分布力,集中力集中作用于物体上一点的力.,表面力(surfaceforces):连续作用于物体的某一面积上的力.,体积力(bodyforces):连续作用于物体的某一体积内的力.,分布力,集中力,实际上要经一个几何点来传递作用力是不可能的，集中力只是作用于一个小区域上的分布力，一切真实力都是分布力。,集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。能否进行这种简化主要取决于我们所研究的问题的性质。,力在坐标轴上的投影,力在坐标轴上的投影是代数量，应特别注意它的符号。,二次投影法(secondprojection),已知力F在各坐标轴上的投影，则可求得力F的大小和它相对于各轴的方向余弦，即,1.1.2力对点的矩,力矩(momentofaforce)是用来量度力使物体产生转动效应的概念。力对点的矩的概念作用于刚体的力F对空间任意一点O的力矩定义为,式中O点称为矩心(centerofmoment)，r为矩心O引向力F的作用点A的矢径，即力对点的矩(momentofaforceaboutapoint)定义为矩心到该力作用点的矢径与力矢的矢量积。,MO(F)通常被看作为一个定位矢量，习惯上总是将它的起点画在矩心O处，但这并不意味着O就是MO(F)的作用点。,力矩矢的三要素,力矩矢的三要素为大小、方向和矩心。MO(F)的大小即它的模,式中为r和F正方向间的夹角，h为矩心到力作用线的垂直距离，常称为力臂(momentarm)。MO(F)的方向垂直于r和F所确定的平面，指向由右手定则确定。,平面问题,平面问题中，由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内，力矩矢总是垂直于该平面，即力矩的方向不变，指向可用正、负号区别，故力矩由矢量变成了代数量，且有,正负号通常规定为:,平面问题矢量表达式,MO(Fxy)=(rxyFxy)k,力对点的矩在坐标轴上的投影,力矩的单位在国际单位制(SI)中为牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm)。,1.1.3力对轴的矩,力对轴的矩(momentofaforceaboutanaxis)用来量度力对其所作用的刚体绕某固定轴转动的效应。,矩轴(axisofmoment)Oz,F,Fz,Fxy,力对轴的矩的概念,空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩。,作用于刚体的力F对z轴的矩定义为,力对轴的矩是代数量。正负号的规定是按右手定则与z轴的指向一致时为正，反之为负。,当力的作用线与z轴平行(Fxy=0)或相交(h=0)时，或概括起来讲，当力与轴共面时，力对轴的矩等于零。,力对轴之矩,矢量表达式,力对点之矩与力对轴之矩的关系,力F对O点之矩MO(F)在z轴上的投影为：,首先将力的作用点的矢径r和力F分解如下:,MO(F)在z轴上的投影,即有,则有MO(F)在z轴上的投影,将上式右端展开，并注意到,而另一方面力F对z轴之矩可表示为,我们得到一个说明力对轴之矩与力对点之矩的关系的重要结论：力对任意轴之矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该轴上的投影。,因此,于是我们有力对坐标轴之矩的解析表达式：,式中x、y、z是力的作用点的坐标，Fx、Fy、Fz分别是F在各坐标轴上的投影。,例1.1长方体的上、下底为正方形，边长为，高为a，求图中力F对顶点O之矩。,解：设沿各坐标轴的基矢量为i、j、k，则F的作用点A的矢径为,r,力F在坐标轴上的投影为,故,因此,例1.2园柱的底半径为r，高为2r，求图中作用于B点的力F对x、y、z轴以及OE轴之矩。,解：力F的作用点B的坐标为,而,于是F对各坐标轴之矩分别为,根据,由此即有,设沿OE轴的单位矢为e，则有,因此力F对OE轴之矩为,要点回顾,力的概念,力学模型刚体,刚体静力学研究的基本问题,力是约束矢量,力系的概念,力在坐标轴上的投影,引论,力对点的矩,力对点的矩的概念,力对点的矩在坐标轴上的投影,力对轴的矩,力对轴的矩的概念,力对点之矩与力对轴之矩的关系,静力学基础,理论力学,1.2力系等效原理,1.2.1力系的主矢和主矩力系的主矢,称为该力系的主矢量(principalvector)。,作用于某刚体上的若干个力F1,F2,Fn构成空间一般力系(threedimensionalforcesystem)，通常表示为（F1,F2,Fn）。这n个力的矢量和,力系的主矢在坐标轴上的投影等于力系中各力在相应轴上投影的代数和,注意力系的主矢仅涉及力系中各力的大小和方向，而与其作用点无关，故力系的主矢是一个自由矢量(freevector)，而不是一个力。,力系的主矩,空间一般力系（F1,F2,Fn）中各力对某点O的矩的矢量和,称为该力系对于矩心O的主矩(principalmoment)，式中ri是由矩心O引向力Fi的作用点的矢径。,主矩MO在以矩心O为原点的任意直角坐标系Oxyz上的投影表达式：,即力系的主矩在通过矩心的任意轴上的投影等于该力系中各力对同一轴的矩的代数和。,力系的主矩MO是位于矩心O处的定位矢量，与力系的主矢不同，主矩与矩心的位置有关。因此，说到“力系的主矩”时，一定要指明是对哪一点的主矩，否则就没有意义。,MA(Fi)MB(Fi),1.2.2力系等效原理,在刚体静力学中，如果两个不同的力系对同一刚体产生同样的作用，则称此二力系互为等效力系(equivalentforcesystems)。,显然，等效力系的相互替换并不影响它们对刚体的作用。与一个力系等效的力称为该力系的合力(resultantforce)，但并非任何一个力系都有合力。因为完全不受力作用的刚体其运动状态是不会发生改变的，故平衡力系即是与零力系(nullforce-system)等效的力系。,力系等效原理,两个力系等效的充分必要条件是主矢量相等，以及对同一点的主矩相等。,力系等效原理(principleofequivalentforcesystems)实际上只是动量定理和动量矩定理的一个推论。但在讲述动力学的这些定理之前，在刚体静力学中我们也可以把它看成是一个基于经验事实的基本假设。,力系等效原理是刚体静力学理论体系的基础，无论在理论上还是在实际应用中都具有重要意义。,力系等效原理表明，力系对刚体的作用完全取决于它的主矢和主矩，因此主矢和主矩是力系的最重要的基本特征量。,力系等效原理的推论,1.平衡定理力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢及对于某一点的主矩同时等于零,即,2二力平衡定理刚体在两个力的作用下处于平衡的充分必要条件是此二力大小相等，方向相反且作用线重合。,2二力平衡定理刚体在两个力的作用下处于平衡的充分必要条件是此二力大小相等，方向相反且作用线重合。,注意二力平衡定理与牛顿第三定律之间的区别。,4力的可传性定理作用于刚体上某点的力可沿其作用线移至刚体内任一点而不改变该力对刚体的作用。于是,作用于刚体的力由定位矢量变成了滑动矢量(slidingvector)。,3加减平衡力系定理在作用于刚体的任一力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。,思考题,根据力的可传性定理,力F可沿其作用线移至,5合力矩定理若力系有合力，则合力对任一点（或轴）之矩等于力系中各力对同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。,MA(FR)=MA(Fi),Mz(FR)=Mz(Fi),合力矩定理的应用,已知:,AO=h,OC=r求:水平力F对C点之矩。,MC(F)=FrsinFhcos,1.3力偶与力偶矩,FF,F,F,FF,力偶的定义,两个大小相等、作用线不重合的反向平行力组成的力系称为力偶(couple)。,力偶中两个力的作用线所确定的平面称为力偶的作用面(actingplaneofacouple)，二力作用线之间的垂直距离称为力偶臂(couplearm)。,Planeofthecouple,力偶的主矢和主矩,力偶的主矢因为力偶（F，F）中FF,故FR=F+F=0,即力偶的主矢恒等于零。力偶对任意点O的主矩力偶对任意点之主矩恒等于矢量积rF,而与矩心的位置无关。,力偶矩矢量,力偶矩矢量(couple-vector)，用来量度力偶对刚体的作用效果，定义为,力偶矩矢的大小为,力偶矩矢的方向垂直于力偶的作用面，指向按右手定则与力偶的转向一致。力偶矩矢量是自由矢量,只有大小和方向两个要素。,平面问题,由于力偶的作用面总是与力系所在的平面重合，力偶矩由矢量变成代数量,正负号用来区别转向，通常规定:逆时针为正顺时针为负,力偶是最简单的力系之一,力偶中二力作用线不重合，根据二力平衡定理，它们不可能组成一个平衡力系；因为力偶的主矢量FR=0，它也不可能进一步简化为一个力，否则FR0，与力偶的定义相矛盾。因此，与单个的力类似，力偶也是最简单的力系之一。,力偶等效变换的性质,1.力偶可在其作用面内任意转动和移动；2.力偶的作用面可任意平行移动；3.只要保持力偶矩大小不变，可任意同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短。,作用于刚体的力偶等效替换的条件是其力偶矩矢量保持不变。,例1长方体由两个边长为a的正方体组成，如图所示，试求力偶(F，F)的力偶矩矢量M。,解：,故,设由F的作用点至F的作用点的矢径为r,则有,因此,例2正方体的边长为a，大小均为P的6个力作用于正方体的棱边上，如图所示。试求该力系的主矢及对O点的主矩。,解：注意到原力系由同向平行力系(F1F4)和力偶(F5,F6)组成。力系(F1F4)的主矢为：,F1F4的作用点相对于O点的矢径分别为:,故,力偶(F5,F6)的主矢为零,力偶矩矢为:,因此原力系的主矢及对O点的主矩为:,力系的主矢和主矩,力系等效原理,力系等效原理的推论,力偶及力偶矩矢,力偶的主矢和主矩,力偶是最简单的力系之一,力偶等效变换的性质,要点回顾,理论力学,静力学基础,1.4物体的受力分析(一),约束与约束反力的概念,1.4.1约束与约束反力,1.4物体的受力分析,限制物体运动的条件，或者更直观地说，对物体运动施加限制的周围物体称为约束(constraint)。,火车的位移受到了轨道的限制,约束施于被约束物体的力称为约束力(constraintforce)。,约束力是一种接触力。,静力学中力的分类:,约束的基本类型,刚体静力学的典型问题,约束的基本类型,柔索工程中的绳索、链条、皮带等物体可简化为柔索(flexiblecable)。理想化的柔索不可伸长，不计自重，且完全不能抵抗弯曲。,柔索的约束力是沿绳向的拉力。,缆索,2.光滑接触面,光滑接触面的约束力沿接触处的公法线方向，作用于接触点，且为压力。,若两物体的接触面上摩擦力很小而可忽略不计时，就可简化为光滑接触面(smoothsurface)。,滑槽与销钉,FN,光滑接触面约束,用圆柱销钉将两个零件连接在一起，并假设接触面是光滑的，这样构成的约束称为光滑圆柱铰链(smoothcylindricalpin)，简称铰链。被连接的构件可绕销钉轴作相对转动，但相对移动则被限制。,3光滑圆柱铰链,光滑圆柱铰链的约束力是一个大小和方向都未知的二维矢量FN。,在受力分析时，为了方便起见，我们常常用两个大小未知的正交分力Fx和Fy来表示它。,光滑圆柱铰链在图中的表示,A,FAy,FAx,恐龙骨骼的铰链连接,当光滑圆柱铰链连接的两个构件之一与地面或机架固接则构成固定铰链支座(fixedsupportofpinjoint)。,4固定铰链支座,固定铰链支座在图中的表示,固定铰支座,5.光滑球形铰链,固连于构件的小球嵌入另一构件上的球窝内，若接触面的磨擦可以忽略不计，即构成光滑球形铰链(smoothballandsocketjoint)，简称球铰。,光滑球形铰链,与铰链相似，球铰提供的约束力是一个过球心，大小和方向都未知的三维空间矢量FN，常用三个大小未知的正交分力Fx、Fy和Fz来表示它。,球铰,盆骨与股骨之间的球铰连接,球铰支座在图中的表示,6.可动铰链支座,在铰链支座与支承面之间装上辊轴，就构成可动铰链支座或辊轴铰链支座(rollersupportofpinjoint)。,可动铰链支座的反力FN过铰链中心且垂直于支承面。,辊轴,FR,7.链杆(二力杆),A,B,两端用光滑铰链与其它构件连接且中间不受力的刚性轻杆（自重可忽略不计）称为链杆。由于链杆为二力杆，根据二力平衡定理，链杆的约束力必然沿其两端铰链中心的连线。,FA,用铰链连接的杆,FR,8固定端,物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固定端约束(fixedendsupport)。固定端约束的特点是既限制物体的移动又限制物体的转动。,工程结构中的固定端约束,槽钢悬臂梁,在外载荷的作用下,受固定端约束的物体既不能移动也不能转动,因此平面固定端约束的约束反力,可用两个正交分力和一个力偶矩表示。,空间固定端约束,约束的基本类型,柔索,光滑接触面,光滑球形铰链,可动铰链支座,链杆(二力杆),固定端,约束与约束反力的概念,要点回顾,理论力学,静力学基础,1.4物体的受力分析(二),分离体和受力图被选取作为研究对象，并已解除约束的物体称为分离体(isolatedbody)。当研究对象包括几个物体时，解除约束是指解除周围物体对它们的全部约束，但不包括这些物体相互之间的联系。,1.4.2物体的受力分析,选取适当的研究对象解除约束画受力图,画有分离体及其所受的全部主动力和约束力的图称为受力图(free-bodydiagram)。,内力和外力,当选取由几个物体所组成的系统作为研究对象时，系统内部的物体之间的相互作用力称为内力(internalforce)，系统之外的物体对系统内部的物体的作用力称为外力(externalforce)。显然，内力和外力的区分是相对的，完全取决于研究对象的选择。在作受力图时不必画出内力。,对研究对象进行受力分析看似简单，但它却是研究力学问题的关键步骤之一。只有准确地掌握了基本概念，才有可能正确地进行受力分析。对此，初学者一定要予以足够的重视。,例1图示结构为一提升重物的悬臂梁，试画出（1）AB梁和（2）整体的受力图。,解：整体的受力图,AB梁的受力图,MA,注意:不要将线荷载q简化为一个集中力。A为平面固定端约束，B为光滑园柱铰链，应分别按其约束的特征画出约束力。正交分力FAx、FAy和FBx、FBy的指向，以及力偶矩MA的转向可以任意假定。今后如果某个计算值为负，则表明它的实际方向与假定方向相反。但应注意，这种假定在同一问题中的几个不同的受力图中必须是一致的。,画受力图的步骤如下：(1)根据问题的要求选取研究对象，画出分离体简图。(2)画出分离体所受的全部主动力，一般不要对已知载荷进行静力等效替换。(3)在分离体上每一解除约束的地方，根据约束的类型逐一画出约束力。,例2三铰拱结构简图如图所示，不计拱的自重。试分别作出（1）右半拱、（2）左半拱和（3）整体的受力图。,解：（1）右半拱的受力图。,?,A,B,C,P,FAx,FAy,（2）左半拱的受力图。,是FC的反作用力。,A,B,C,P,FB,FAx,FAy,（3）整体的受力图1。,铰链C处的内力不要画出。,三力平衡汇交定理：刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交于一点.,A,三力平衡汇交定理是刚体受不平行三力作用而平衡的必要条件,可用于确定未知约束力的方向。,A,B,C,P,FB,FA,（4）整体的受力图2三力平衡汇交定理的应用。,E,注意:要正确判断二力杆和二力构件。作用力和反作用力要配对。内力不要画出。有时也可用三力平衡汇交定理来确定未知约束反力的方向。,例3结构如图示，试画出（1）AB杆和（2）整体的受力图。,解：（1）杆AB的受力图,?,?,?,杆AB的受力图1,杆AB的受力图2,（2）整体受力图1,整体受力图2,例4结构如图示，试画出（1）AB杆和（2）整体的受力图。,?,?,?,解：（1）杆AB的受力图,杆AB的受力图1,杆AB的受力图2,力偶只能与力偶平衡,（2）整体受力图1,整体受力图2,例5组合梁如图所示，试分别作出梁AB、BC和整体的受力图。,解：梁AB的受力图,梁BC的受力图,?,?,?,?,解：梁AB的受力图,梁BC的受力图,?,?,解：梁AB的受力图,梁BC的受力图,整体的受力图,物体受力分析课堂练习1,试分别作出AC,DEBH,DE,以及BH的受力图。,受力图A,?,?,?,?,?,?,?,?,受力图B,物体受力分析课堂练习2,试分别作出AB,CE(加滑轮),CE,以及整体的受力图。,受力图A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,受力图B,物体的受力分析,分离体和受力图,内力和外力,三力平衡汇交定理,物体的受力分析的步骤和注意事项,要点回顾,理论力学,力系的简化,2力系的简化,寻求一个已知力系的更简单的等效力系，称为力系的简化(reductionofforcesystems)。力系的简化是静力学研究的基本问题之一。,本章的主要内容包括:汇交力系与力偶系的简化空间任意力系的简化平行力系的简化平行力系中心和重心,2.1汇交力系与力偶系的简化,2.1.1汇交力系的简化,各力作用线汇交于一点的力系称为汇交力系(concurrentforcesystem)。,汇交力系的简化几何法,汇交力系（F1,F2,Fn）简化的结果为一通过汇交点的合力,合力矢等于原力系的主矢:,几何法即是用多边形法则求这个合力矢。,力的多边形法则FR=Fi,FR=Fi,Fn,F1+F2,F1,F2,汇交力系的简化解析法,上述结果称为合力投影定理,即合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。,2.1.2力偶系的简化,任意力偶系（M1,M2,Mn）的简化结果为一合力偶,其合力偶矩等于,全部由力偶组成的力系称为力偶系(systemofcouples),简化的方法也有类似的几何法和解析法。,作用在刚体上的力FA可以平行移动到刚体上任一指定点O，但必须附加一力偶，其力偶矩等于原力FA对指定点O之矩MO(FA)。,2.2任意力系的简化,2.2.1力线平移定理,=MO(FA),=rOAFA,FO=FAM=MO(FA)=rOAFA,力线平移定理的证明,注意一下上述定理的逆过程，即可发现当一个力和一个力偶矩相互垂直时,即FM时,它们也可以合成为一个力。,2.2.2任意力系向一点简化,Fi=FiMi=MO(Fi),空间任意力系向一点简化得到一个汇交力系和一个力偶系。,任意力系,向简化中心O简化,汇交力系,力偶系,+,+,应用固定端约束的约束反力,任意力系,FA和MA,平面固定端约束,空间固定端约束,A,2.2.3平面任意力系的简化结果,平面任意力系（F1,F2,Fn）向一点简化后得到,由此可得平面任意力系简化结果的以下四种情况:,由此可得平面任意力系简化结果的以下四种情况:,(1)简化为一合力，其合力矢FR=FR，合力作用线通过简化中心O。这时原力系等价于一个汇交于简化中心O的汇交力系。,(2)简化为一合力偶，其力偶矩M=MO，且与简化中心的选择无关，即原力系等价于一个力偶系。,(3)简化为一合力，其合力矢FR=FR，但合力作用线不通过简化中心O。,(4)原力系为一平衡力系。,2.3平面平行力系的简化,各力的作用线相互平行的平面力系称为平面平行力系。,平行力系是工程中最常见的力系之一。,平面平行力系的简化,向O点简化后得到:,可进一步简化为一个合力，其合力矢,FR=FR=Fi,合力FR的作用点C称为平行力系中心(centerofparallelforces)。下面来确定它的位置。,平行力系中心,由合力矩定理可得,同理可得,主矢不等于零的平行力系中各力绕其各自的作用点同时转过一个相同的角度时，平行力系中心的位置不变。这个结论与我们的日常经验是吻合的。,平行力系中心C的坐标公式：,公式适用于任何主矢不等零的平行力系，式中各力的投影和作用点的坐标均为代数量，使用时应注意正负号。,平行分布载荷,平行分布载荷是指平行分布的表面力或体积力，通常是一个连续分布的同向平行力系，在工程中极为常见。,某些平行分布载荷可以简化为沿直线分布的平行力，称为线载荷。,作用于悬臂梁的载荷分布于狭长的梁顶表面，且受力关于梁的纵向对称面对称，故可简化为梁纵向对称面内的线载荷。,线载荷的大小以某处单位长度上所受的力来表示，称为线载荷在该处的集度(intensity)。常用q表示，单位为N/m或kN/m。线载荷是平行力系的特殊情况，可用平行力系的简化理论来求它的合力。,矩形均布载荷,Q=ql,三角形分布载荷,Q=ql/2,重心与形心,作用在地球表面附近的物体各质元上的重力可近似看成一平行力系,此平行力系中心就称为物体的重心(centerofgravity)。求物体重心的坐标可直接应用平行力系中心的坐标公式,即,式中(xiyizi)是第i个质元的坐标,Pi是它的重量。,重心坐标公式,均质物体的重心位置只取决于其体积和形状,与物体的几何中心重合,也称为形心(centroidofavolume)。形心坐标的计算公式为,式中V是整个物体的体积。,例1求如图所示的平面图形的形心。,解：(1)分割法,将图形分割成三个部分。,各个部分的面积和形心坐标分别为:,S1=3a2x1=3a/2y1=7a/2S2=2a2x2=a/2y2=2aS3=3a2x3=3a/2y3=a/2,(2)负面积法,将图形补足成一规则的矩形。,S1=12a2x1=3a/2y1=2a,再挖去补充的部分,其面积和形心坐标分别为:,S2=4a2x2=2ay2=2a,两种方法求出的结果相同。,例2如图所示，求作用于悬臂梁AB的线分布荷载对A点的矩。,解：,要点回顾,汇交力系与力偶系的简化力线平移定理空间任意力系向一点简化平面任意力系的简化结果平行力系的简化平行力系中心和重心,理论力学,力系的平衡(一),3力系的平衡,3.3考虑摩擦时的平衡问题,3.1力系的平衡方程3.1.1空间任意力系的平衡方程,3力系的平衡,空间任意力系平衡的充分必要条件,Fx=0Fy=0Fz=0Mx(Fi)=0My(Fi)=0Mz(Fi)=0,空间任意力系的平衡方程,FR=Fi=0MO=MO(Fi)=0,3.1.2平面任意力系的平衡方程,平面力系(systemofcoplanarforces)是指各力的作用线共面的力系,可视为空间力系的特殊情况,在静力学中占有特别重要的地位。,平面任意力系平衡方程的基本形式设力系中各力位于xy平面内,则有,Fx=0Fy=0MO(Fi)=0,上述方程也称为平衡方程的基本形式,式中坐标系和矩心均可任意选取。,平面任意力系平衡方程的等价形式二力矩形式,Fx=0MA(Fi)=0MB(Fi)=0,其中AB不垂直于x轴,三力矩形式,其中A、B、C不共线,MA(Fi)=0MB(Fi)=0MC(Fi)=0,平面特殊力系的平衡方程汇交力系,Fx=0Fy=0,力偶系,Mi=0,平行力系各力平行于Oy轴,基本形式,二力矩形式,Fy=0MO(Fi)=0,MA(Fi)=0MB(Fi)=0,AB不平行于Oy轴,3.1.3力系平衡方程的应用,平衡方程主要用于解决以下三方面的问题:求未知约束反力;求平衡位置;确定主动力之间的关系。,选取研究对象,单独画出研究对象的受力图;选取坐标系,列平衡方程;解方程(组);校核及讨论。,其中重点是问题1。应用平衡方程解题的步骤大致如下:,平衡方程应用举例,例1图示结构，若AB=l、FP已知，确定以下四种情形下的支座反力.,(1),(2),(3),(4),平衡方程应用举例,例1图示结构，若AB=l、FP已知，确定以下四种情形下的支座反力.,(1),解:取整体为研究对象,受力分析如图示。,Fx=0:,FA+FCcos60=0,Fy=0:,FP+FCsin60=0,FA=0.577FPFC=1.155FP,讨论:选择不同的研究对象,是否可选取AB作为研究对象？,是否可选取BC作为研究对象？,讨论:以下两种情况的支座反力是否相同？,(2),解:取整体为研究对象,受力分析如图示。,Fy=0:,FCy=0,Fx=0:,FA+FCx=0,MC(F)=0:,MFAltg60=0,FCx=0.577FPFCy=0FA=0.577FP,讨论:,力偶只能与力偶平衡,M=0:,MFAltg60=0,FA=FC=0.577FP,由平面力偶系的平衡方程:,(3),解:取ABC为研究对象,受力分析如图示。,Fy=0:,FAyFP=0,Fx=0:,FCFAx=0,MA(F)=0:,FCltg60FPl=0,FC=0.577FPFAx=0.577FPFAy=FP,讨论:三力平衡汇交定理的应用,由平面汇交力系的平衡方程:,Fx=0:,FCFAcos60=0,Fy=0:,FPFAsin60=0,FA=1.155FPFC=0.577FP,(4),解:取ABC为研究对象,受力分析如图示。,Fy=0:,FAyFP=0,Fx=0:,FCFAx=0,MA(F)=0:,FCltg60FPlM=0,FC=1.155FPFAx=1.155FPFAy=FP,讨论:平衡方程的等价形式,Fy=0:,FAyFP=0,MA(F)=0:,FCltg60FPlM=0,MC(F)=0:,FAxltg60FPlM=0,二力矩形式:,注意:AC不垂直于y轴,三力矩形式:,MA(F)=0:,FCltg60FPlM=0,MC(F)=0:,FAxltg60FPlM=0,MB(F)=0:,FCltg60FAylM=0,注意:A、B、C不共线,例2已知:q,M=qa2,AB=AD=2a,BC=a。求:A、D处的约束力。,解:取整体为研究对象,受力分析如图示。,MB(F)=0:,FAy2aM+2qaa=0,Fy=0:,FDcos45+FAy2qa=0,Fx=0:,FAx+FDsin45=0,FAx=3qa/2FAy=qa/2FD=3qa/2,例3已知:q、,M=qa2,AB=a。求:A、B处的约束力。,解:取AB为研究对象,受力分析如图示。,MA(F)=0:,FBcosa+M(qa/2)2a/3=0,Fx=0:,FAxFBsin=0,Fy=0:,FAyqa/2+FBcos=0,FAx=2qa(tan)/3FAy=7qa/6FB=2qa/3cos,例4已知:q,M=qa2,AB=a。求:固定端A的约束力。,解:取AB为研究对象,受力分析如图示。,MA(F)=0:,MAMqaa/2=0,Fx=0:,FAx=0,Fy=0:,FAyqa=0,FAx=0FAy=qaMA=3qa2/2,例5已知:水平搁板重FG=800kN,AB=CD=1.5m,AD=BC=0.6m,DK=0.75m,AH=BE=0.25m。E和H为蝶铰,D和K为球铰。求:铰E、H和D的约束力。,解:取板为研究对象,受力分析如图示。,FEx+FHx+FDsin=0,FEz+FHz+FDcosFG=0,几何关系:sin=0.8cos=0.6,FHzEH+FDcosAEFGEH/2=0,FGAD/2FDcosAD=0,FHxEHFDsinAE=0,平面任意力系平衡方程的基本形式,空间任意力系的平衡方程,平面任意力系平衡方程的等价形式,平面特殊力系的平衡方程,平衡方程的应用(单体平衡问题),要点回顾,理论力学,力系的平衡(二),3.2物系平衡静定与超静定问题3.2.1物系平衡,两个或两个以上刚体用一定的方式连接起来组成的系统，称为刚体系统(rigidmultibodysystem)。,刚体系统整体处于平衡时,每一局部均处于平衡。,局部:组成系统的单个或几个刚体所构成的子系统。,刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统整体平衡，无法求得全部未知力。,求解物系平衡问题,可选取单个刚体,某个局部(系统内几个相互连接的刚体)或整个系统作为研究对象,列出平衡方程求解。,对于由n个刚体组成的受平面力系作用的系统,其独立平衡方程数3n。,3.2.2静定与超静定问题,静定问题(staticallydeterminateproblems)未知约束力的数目=独立的平衡方程数超静定问题(staticallyindeterminateproblems)未知约束力的数目独立的平衡方程数,静定,超静定,超静定,不完全约束,静定结构的例子,超静定结构的例子,3.2.3物系平衡问题应用举例,例1已知:q=10KN/m,M=20KNm,=60。求:A、B、C处约束力。,解:(1)研究BC,MC(F)=0:,FBy3+3q3/2=0,Fx=0:,FBxFCsin60=0,Fy=0:,FBy3q+FCcos60=0,(2)研究整体,MD(F)=0:M4FAy5q5/2+FCcos605=0,Fx=0:FAxFCsin60=0,例2支架如图示，已知ABBCCA，铰D位于AC杆的中点，力FP作用于BC杆的中点E，求铰链C约束力和BD杆的内力。,解:(1)研究整体,设AB=a。,MA(F)=0:,(2)研究BC,MC(F)=0:,Fx=0:,FCxFBDcos30=0,Fy=0:,FCyFP+FBDsin30+FB=0,例3半径为R的圆形玻璃杯将两个半径为r(ru,故杆端A比小球下降得更快,小球将脱离外侧的杯子铅直下落,最终落入内侧的杯子里。,动量矩定理(三),理论力学,8.3质点系相对于质心的动量矩定理,8.3.1质点系相对于质心的动量矩,LO=rimivi,质点系相对固定点O的动量矩:,质点系在定系中相对质心C的动量矩:,LC=rimivi,质点系在质心平动系中相对质心C的动量矩:,LCr=rimivir,因为vi=vC+vir,LC=rimivi,LC=ri(mivC+mivir),LC=LCr,即质点系在绝对运动中对质心的动量矩与它在相对质心平动坐标系的相对运动中对质心的动量矩是相等的。,=(miri)vC+rimivir,LCr=rimivir,8.3.2质点系相对于质心的动量矩定理,因为ri=rC+ri,LO=rimivi,LO=(rC+ri)mivi,LO=rCmvC+LCr,m=mi,=rCmivi+rimivi,LO=rCmvC+LCr,=0,=Fie,=riFie,即质点系相对于质心的动量矩对时间的微商等于作用于质点系的外力系对质心的主矩。上述结论称为质点系相对于质心的动量矩定理。,=(rC+ri)Fie,(1)式中LCr是质点系在质心平动坐标系中对质心的动量矩,对于非质心平动系无类似结果。,(2)质点系相对于质心的动量矩定理表明,内力不能改变质点系相对于质心的动量矩。,(3)当MC(Fie)0时,质点系对质心的动量矩守恒。,(4)任意刚体的一般运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动,由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理共可得6个标量方程,从而完全确定自由刚体的6个坐标。,质点系相对于质心的动量矩定理,质点系相对于质心的动量矩对时间的微商等于作用于质点系的外力系对质心的主矩。,(1)式中LCr是质点系在质心平动坐标系中对质心的动量矩,对于非质心平动系无类似结果。,(2)质点系相对于质心的动量矩定理表明,内力不能改变质点系相对于质心的动量矩。,(3)当MC(Fie)0时,质点系对质心的动量矩守恒。,8.3.3刚体平面运动微分方程,设平面图形S在Oxy平面内运动。取质心C为基点,质心平动系为Cxyz,由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理可得,maC=Fi,dLC/dt=MC(Fi),将前一式投影于x轴和y轴,后一式投影于Cz轴得,此即刚体平面运动微分方程。,例1.如图示,质量为m的圆轮的质心为C,对O的转动惯量为JO。若轮只滚不滑,已知r、vO、OC=r/2,求它的动量和对接触点A的动量矩。,LO=rCmvC+LCr,LO=rCmvC+LCr,LA=MA(mvC)+JC,圆轮纯滚,瞬心为A,故有,=vO/r,vC=3vO/2,MA(mvC)=9mrvO/4,又,JO=JC+mr2/4,JC=JOmr2/4,LA=(JO+2mr2)vO/r,例2.如图示,质量为m的圆轮的质心为C,对O的转动惯量为JO。若轮既滚且滑,已知r、vO、OC=r/2,求它的动量和对接触点A的动量矩。,LO=rCmvC+LCr,LO=rCmvC+LCr,LA=MA(mvC)+JC,圆轮既滚且滑,设基点为O,故,vCO=r/2,MA(mvC)=(3mrvO/2)+(3mr2/4),又,JC=JOmr2/4,vC=vO+vCO,vC=vO+(r/2),LA=(JO+mr2/2)+3mrvO/2,例3.如图示,已知均质圆柱的半径为r,质量为m1,重物的质量为m2,与水平桌面间的动摩擦系数为f,试求圆柱质心C的加速度和绳的张力。,运动学关系:,aC=aB+r,解:(1)以重物B为研究对象,受力如图。,(2)以圆柱为研究对象。由刚体平面运动微分方程有,例4.如图示,半径为r,质量为m1的B和D均可视为均质圆柱,且D沿水平面作纯滚动;重物的质量为m2,与倾角为的斜面间的动摩擦系数为f,试求圆柱D的质心C的加速度和水平面对它的摩擦力。,运动学关系:,aA=rB=aC,rD=aC,解:(1)以重物A为研究对象,受力如图。,(2)以B为研究对象。由刚体定轴转动微分方程可得,JOB=FT2rFT1r,JO=m1r2/2,(3)以圆柱D为研究对象,受力如图。由刚体平面运动微分方程有,式中JC=m1r2/2,注意到运动学关系:,由以上方程即可解出,点评:求解系统的动力学问题时,一种比较直观的办法就是将系统拆开成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程,然后联立求解。但是由于内力的出现,导致未知量的数目增加,这种方法有时会比较繁琐。,动量矩定理(四),理论力学,应用问题,1.均质杆长l,质量为m,地面光滑,=45,求绳断瞬间地面的反力。,解:绳切断后AB受力如图。,由于水平方向无外力作用,故质心的加速度应铅直向下。,首先需要确定aC和之间的关系。以C为基点,A的加速度为,初瞬时因为=0,故式中,沿铅直方向投影得,再由刚体平面运动微分方程有,FN=2mg/5,2.长2l的均质杆靠在墙角,如图所示。墙面和地面光滑,初始时刻=0,杆无初速地倒下,试求(1)杆在任意位置时的角速度和角加速度;(2)杆脱离墙面时与地面的夹角。,解:(1)AB杆作平面运动,受力如图。且由刚体平面运动微分方程有,上面三个方程共包含有5个未知数,需要补充两个运动学关系式。,式中JC=ml2/3,因为xC=lcos,yC=lsin,代入平面运动微分方程,并注意到,即可解出,(2)当杆脱离墙面时,因为FNA=0,故由,注意到,即可解得杆脱离墙面时的角,动能定理(一),理论力学,9动能定理,9动能定理,9.1力的功,9.1.1力的功,力的功(work)表示力在一段路程上对物体作用的累积效应,它包含力和路程两个因素。,常力在直线运动中的功,作用于质点的常力在直线运动中的功定义为,W=Fscos(F,v),力的功是代数量。,变力在曲线运动中的功,作用于质点的任意力F在微路程元ds上所做的功称为元功(elementarywork),记为,W=Fdr=Fvdt,变力在任意一段曲线路程上的功则为,在直角坐标系中的解析表达式为,合力的功,设作用于质点的合力FR=Fi,则合力的功,即作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等于各分力在同一段路程上所作功的代数和。,9.1.2常见力的功,重力的功,质点的重力的功,若一质点系从位置1位置2,则重力所做的总功为,W=mig(zi1zi2)=migzi1migzi2,W=mg(zC1zC2),式中m=mi,zC1和zC2分别为质点系在位置1和位置2的重心的z坐标。若令h=zC1zC2表示重心下降或上升的高度,则有,W=mgh,即重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差之乘积,重心降低为正,重心升高为负。,重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置。,W=g(mizi1mizi2),弹性力的功,设质点M受MO方向的弹性力作用，当质点的矢径为r时，在弹性限度内弹性力可表示为：,这里,k为弹簧的刚度系数,l为弹簧的原长,r/r为沿质点矢径方向的单位矢量。,F=k(rl)er,=k(rl)r/r,弹性力的元功为,F=k(rl)r/r,W=Fdr=k(rl)(rdr)/r,因为,rdr=d(rr/2),W=k(rl)dr,=d(r2/2),=rdr,式中,1=r1l,2=r2l,分别为始末位置弹簧的变形。由此可知,弹性力的功等于弹簧刚度与弹簧在始末位置变形的平方差之乘积的一半。,特别要注意,弹性力的功,当初变形大于末变形时为正,初变形小于末变形时为负,而与弹簧实际受拉伸还是压缩无关。,作用于转动刚体的力的功,设力F作用于作定轴转动刚体上的M点,如图所示。当刚体转过微小角d时,力F的元功为,W=Fdr=Fvdt=F(r)dt=(rF)dt=k(rF)d=Mz(F)d,即作用于作转动刚体上的力的功等于该力对转轴的矩对刚体转角的积分,当角位移与力矩转向一致时W为正,反之为负。,若Mz(F)为常量,则有,W=Mz(F)(21),内力的功,设质点系内任意两质点Mi和Mj之间相互作用的内力为Fji和Fij，两质点对于固定点O的矢径分别为ri和rj,则此二力的元功之和为,W=Fjidri+Fijdrj=Fji(dridrj)=Fjid(rirj)=Fjidrij,式中drij表示质点Mi和Mj之间的相对位移。因此,质点系的内力之功取决于质点之间的相对位移。,对于刚体而言,由于内部各质点之间不可能发生相对位移,所以刚体在运动过程中其内力作功的总和为零。,理想约束力的功,约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束(idealconstraint)。常见的理想约束有（1）光滑固定面或辊轴约束(FNdr)（2）光滑铰链支座或轴承约束(FNdr)（3）刚性连接的约束(刚体内力)（4）联结两个刚体的铰(相互间的约束力，大小相等、方向相反,并具有相同的元位移dr),（5）不可伸长的柔绳约束,因为,FA=FB,drAcos=drBcos,故,W=FAdrA+FBdrB=FAdrAcosFBdrBcos=0,（6）刚体沿固定支承面作无滑动的滚动,注意:1.质点系的内力的功一般并不为零;2.约束力可以是质点系的内力,也可以是外力;3.在计算质点系的力的功时,理想约束力不必考虑。,W=Fvdt=0,接触点v=0,9.2质点的动能定理,质点的动能,质点的动能(kineticenergy)定义为,T=mv2/2,即质点的动能等于其质量与速度平方的乘积的一半。质点的动能是一个恒正标量。动能与动量一样也是量度物体机械运动的一个物理量,只不过前者是标量,而后者是矢量。,动能的单位与功的单位相同,在国际单位制中都是焦耳(J),1J=1Nm。,质点的动能定理,由牛顿第二定律,上式两边点乘vdt,mvdv=Fvdt,dT=W,即质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功,这就是质点动能定理的微分形式。,从质点运动的位置1到位置2积分上式得,即T2T1=W12,上式表明,质点的动能在某一段路程上的改变等于作用于质点的力在同一段路程上所作的功。这一结论称为质点的动能定理(work-energyprincipleforaparticle)。,dT=W,9.3质点系的动能定理