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4.2洛必达法则,一、未定式,例如下列极限都是未定式,二、“”型未定式的极限,定理41(洛必达法则I),说明当定理中xa改为x时洛必达法则同样有效,(LHospital，1661-1704，法国数学家),设函数f(x)与g(x)满足条件,令f(a)g(a)0于是f(x)及g(x)在点a的某邻域内连续在该邻域内应用柯西中值定理有,简要证明,定理41(洛必达法则I)如果函数f(x)及g(x)满足(1)当xa时f(x)0g(x)0(2)在点a的某去心邻域内可导且g(x)0,解,原式,解,例2.,解,验型,解,例3.,例4.,例5.,解：原式=,存在非零因子,化简,例7.,例8.,因ex1x(x0)故有exsinx1xsinx(x0)因arcsinxx(x0)故有arcsinx3x3(x0),例9.,注：,洛必达法则是求解未定式极限的有效方法,但是要结合各种方法，以求最捷方式.,1）等价无穷小替换法,2）将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必达法则的运算.,3）过程中注意化简.,2.只要满足条件，可多次使用洛必达法则.,但每次使用前都必须检验极限类型是否为型.,定理42(洛必达法则II)设函数f(x)与g(x)满足,说明当定理中xa改为x时洛必达法则同样有效,三、“”型未定式的极限,解,例10.,例11.,例12.,结论：,都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即有：,极限不存在,出现循环,四、洛必达法则失效的情况,注：,使用洛必达法则时,若不存在，也不为，这不能说明原极限不存在，此时洛必达法则“失效”，应改用其它方法计算.,五、其他类型未定式的极限,对于未定式0、00、1、0都可以转化为,例13.,解,例14.,解,因为,例15.,解
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