东莞市2014届高三理科数学模拟试题(一)

东莞市 2014 届高三 理 科数学模拟试题 (一 ) 命题： 汪红兵 审稿与校对： 梅开萍 、 杨波 参考公式： 如果事件 A 、 B 互斥，那么 BPAPBAP S 表示底面积， h 表示底面的高 ， 柱体体积 ShV ， ， 锥体体积 ShV31 一 、 选择题：共 8 小题 ,每小题 5 分 ,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 学 1 i 是虚数单位， 复数 (2 )12iii= A i B i C 1 D 1 2.设 实数 x 、 y 满足,22,1,42yxyxyx 则yxz 为 A 有最小值 2，最大值 3 B 有最小值 2，无最大值 C 有最大值 3，无最 小 值 D 既无最小值，也无最大值 3.设等比数列 na 中，前 n 项和为 nS ,已知 78 63 SS ， ，则 987 aaa A81 B81 C857 D855 4.已知函数 ,1,lo g2,1,222 xxxxf x 则函数 ()fx的零点为 A41和 1 B 4 和 0 C41 D 1 5.给出下列三个结论： （ 1）若命题 p 为假命题，命题 q 为假命题，则命题“ qp ”为假命题； （ 2）命题“若 0xy ，则 0x 或 0y ”的否命题为“若 0xy ，则 0x 或 0y ”； （ 3）命题“ , 2 0xx R ”的否定是“ , 2 0xx R ” .则以上结论正确的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 6.函数 s i n 0 ,2f x x 的最小正周期是 ，若其图象向右平移6个单位后得到的函数为奇函数，则函数 fx的图象 A 关于点 ,012对称 B 关于直线12x 对称 C 关于点 )0,6(对称 D 关于直线6x对称 7.已知向量 3,zxa ， zyb ,2 ，且 ba ，若 实数 yx, 满足不等式 1 yx ，则 实数 z 的取值范围为 A 3,3 B 2,2 C 1,1 D 2,2 8. 设1F,2F分别是 双曲 线2222 1 ( 0 , 0)xy abab 的左、右 焦点 ,若 双曲 线 左 支上存 在一 点 M ,使0)( 11 OFOMMF ,O 为坐标原点 ,且 21 33 MFMF ,则该双曲线 的 离心率为 A31 B312 C62 D622 二 、 填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 14 15 题是选做题，考生只能选做 一 题， 二 题全答的，只计算前 一 题得分 9.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在 3 000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩 ，得到了样本的频率分布直方图 (如图 )根据频率分布直方图推测，这 3 000 名学生在该次数学考 试中成绩小于60 分的学生数是 _ 来源 : （ 第 9 题 ） （ 第 10 题 ） （ 第 14 题 ） 10.某几何体的三视图如 图 ，则它的体积是 _ 11.若 62()ax x 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为 . 12.函数,221,1,216321,121)21()(32xxxxxxf 和函数 16s in)( axaxg 0a，若存在 1,0, 21 xx 使得)()( 21 xgxf 成立，则实数 a 的取值范围是 . 13. 请阅读下列材料：若两 个正实数 a1， a2 满足 12221 aa ，那么 221 aa . 证明：构造函数 1)(22)()()( 2122221 xaaxaxaxxf ，因为对一切实数 x，恒有 0)( xf ，所以 0 ，从而得 08)(4 221 aa ，所以 221 aa . 根据上述证明方法，若 n 个正实数满足 122221 naaa 时，你能得到的结论为 .（不必证明） 14.(几何证明选讲选做题 )如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 D ，过点 C作 BD 的平行线与圆交于点 E ,与 AB 相交于点 F , 6AF , 2FB , 3EF ,则线段 CD 的长为 15.(坐标系和参数方程选做题 )两曲线参数方程分别为,sin,cos5yx 0 ， Rttytx ,45 2 ， 、 t 为参数，其交点坐标为 三 、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16（本小题满分 12 分） 已 知函数 ()f x ab xxx 2co s3co ss in . （ 1） 求函数 )(xf 的 周期 ； （ 2）若 3,0 x，求函数 xf 的值域； （ 3） 如 果 ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 acb 2 ，且边 b 所对的角为 x ，试求 xcos 的范围 17（本小题满分 12 分） 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6 . （ 1）若从袋中每次随机抽取 1 个球 ,有放回的抽取 2 次 ,求取出的两个球编号之和为 6 的概率； （ 2）若从袋中每次随机抽取 2 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 号球的概率； （ 3）若 一次 从袋中随机抽取 3 个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分布列及期望 . 18（本小题满分 14 分） 如图， 直三棱柱 111 CBAABC 中 , 4AC ， 3BC ， 41AA ， BCAC ,点 D 在线段 AB 上 （ 1）证明 CBAC 1 ； （ 2）若 D 是 AB 中点，证明 1AC 平面 CDB1 ； （ 3）当 13BDAB时，求二面 角1B CD B的余弦值 A A1 B C D B1 C1 19（本小题满分 14 分） 设椭圆 )0(1:2222 babyaxC的左 、右 焦点 分别 为21 FF、， 椭圆 的离心率为21,连接椭圆的四个顶点得到的 菱形面积为 34 . （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2） 过右焦点2F作斜率为 k 的直线 l 与 椭圆 C 交 NM、 两点，在 y 轴上是否存在点 mP ,0 使得以 PNPM, 为 邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出 m 的取值范围，如果不存在，说明理由 20（本小题满分 14 分） 已知函数 Rax xaxf ln （ 1）若 1a ，求曲线 )(xf 在点 )(,( efe 处的切线方程； （ 2） 求 )(xf 的极值； （ 3） 若函数 )(xf 的图 象与函数 1)( xg 的图象在区间 ,0( 2e 上有公共点，求实数 a 的取值范围 21（本小题满分 14 分） 已知数列 na中， 11a ， ,412 a且 nnn an ana 11 ,4,3,2nnS为数列 nb的前 n 项和，且 2,4 11 bbbS nnn ,3,2,1n （ 1） 求数列 nb的通项公式； （ 2）设 323 12 nann bc ，求数列 nc的前 n 项的和nP； （ 3）证明对一切 Nn ，有671 2 nk ka 东莞市 2014 届高三 理 科数学模拟试题 (一 ) 参考 答案 一 选择题：每小题 5 分，共 40 分 . 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D C B A A 二 . 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9.600 10. 8 23 11. 4 12. 37,21 ； 13. naaan 21 14. 38 15. )552,1( 三 . 解答题： 来源 : 16.解： （ 1） ()f x ab xxx 2co s3co ss in =2 3)32s in ()2c o s1(2 32s in21 xxx 函数 )(xf 的周期为 4 分 来源 : （ 2） 323,30 xx 1)32sin(0 x， 2 312 3)32s in (2 3 x即 )(xf 的值域为 231,23 . 8 分 （ 3） acb 2 ，212222c o s22222 ac acacac accaac bcax 1cos21 x. 12 分 17.解： （ 1）设先后两次从袋中取出球的编号为 ,mn， 则两次取球的编号 的一切可能结果 ),( nm 有 6 6 36 种， 其中 和为 6 的结果有 (1 , 5 ) , ( 5 , 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 4 , 2 ) , ( 3 , 3 )，共 5 种，则所求概率为 536. 3 分 （ 2）每次 从袋中随机抽取 2 个球 ,抽到编号为 6 的球的概率 152613CpC. 所以， 3 次抽取中，恰有 2 次抽到 6 号球的概率为 2 2 23 1 2 2(1 ) 3 ( ) ( )3 3 9C p p . 7 分 （ 3）随机变量 X 所有可能的取值为 3,4,5,6 . 33361( 3 )20CPXC ， 23363( 4 )20CPXC ， 243663( 5 )2 0 1 0CPXC ， 25361 0 1( 6 )2 0 2CPXC . 所以， 随机变量 X 的分布列为 : X 3 4 5 6 421216103520342013 EX 12 分 18.证明：（ 1）如图 ， 以 C 为原点 建立空间直角坐标系 C-xyz 则 B (3, 0, 0)， A (0, 4, 0)，1A (0, 4, 4)， 1B (3, 0, 4)，1C (0, 0, 4) )0,4,0( AC ， )4,0,3(1 CB ， 01 CBAC ， 所以 CBAC1. 4 分 （ 2） )4,4,0(1 AC . 设平面 B1 CD 的法向量为 ),( zyxm ， 由 043),()4,0,3(1 zxzyxmCB 来源 : 且 0223),()0,2,23( yxzyxmCD， 令 x = 4 得 )3,3,4( m ， 所以 0)3,3,4()4,4,0(1 mAC 又 CDBAC 11 平面 ， 所以 AC1平面 B1CD . 8 分 （ 3）解：由（ 1）知 AC BC， 设 D (a, b, 0)（ 0a ， 0b ）， 因为 点 D 在线 段 AB 上 ， 且 13BDAB， 即 13BD BA 所以 2a ， 43b， 4( 1, , 0 )3BD 所以 )4,0,3(1 CB ， 4( 2, , 0 )3CD 平面 BCD 的法向量为1 (0, 0,1)n 设平面 B1 CD 的 法向量为2 ( , ,1)n x y， 由 120B C n，2 0CD n， 得 3 4 04203xxy ， 所以 43x， 2y ，2 4( , 2 ,1)3n 设二面 角 1B CD B的大小为 ， P 120 320 310 12 A A1 B C D B1 C1 x y z 所以 12123c o s61nnnn 所以二面 角 1B CD B的余弦值为 3 6161 14 分 19 解： （ 1）椭圆的离心率为21e ， 又由连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为 34 可得 32ab 来源 : 132 cba ， 所求椭圆方程为 134 22 yx . 6 分 （ 2） 由 )0,1(2F, l ： )1( xky 134)1(22 yxxky 整理 得 01248)43( 2222 kxkxk 设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ， 则2221 438 kkxx ， )2( 2121 xxkyy PNPM myxmyx 2211 , = myyxx 2, 2121 由于菱形对角线垂直，则 )( PNPM 0MN ， 得 0)2(1)( 2121 kmyyxx 当 0k 时，上式恒成立 .又 P、 M、 N 三点不共线， 所以 0 mRm 且 当 0k 时，由上式可得243 kkm ， 解得 123123 m 且 0m 故存在满足题意的 P, 当 0k 时， 0 mRm 且 . 当 0k 时， m 的取值范围是 123123 m 且 0m . 14 分 20解：（ 1） 1a ， xxxf 1ln 且 eef 2 又22ln)1( ln)1( ln)( x xx xxxxxf ， 2,1eef )(xf 在 点 )(,( efe 处的切线方程为： )(122 exeey ， 即 032 eyex 4 分 （ 2） )(xf 的定义域为 ),0( ，2)(ln1)( x axxf ， 令 0)( xf 得 aex 1 当 ),0( 1 aex 时， 0)( xf ， )(xf 是增函数； 当 ),( 1 aex 时， 0)( xf ， )(xf 是减函数； )(xf 在 aex 1 处取得极大值，即 11 )()( aa eefxf 极大值 8 分 （ 3）（ i）当 21 ee a ，即 1a 时， 由（）知 )(xf 在 ),0( 1 ae 上是增函数，在 ,( 21 ee a 上是减函数， 当 aex 1 时， )(xf 取得最大值，即 1max)( aexf 又当 aex 时， 0)( xf ， 当 ,0( aex 时， 0)( xf ，当 ,( 2eex a 时， ,0()( 1 aexf ， 所以， )(xf 的图像与 1)( xg 的图像在 ,0( 2e 上有公共点， 等价于 11 ae ，解得 1a ，又 因为 1a ，所以 1a （ ii）当 21 ee a ，即 1a 时， )(xf 在 ,0( 2e 上是增函数， )(xf 在 ,0( 2e 上的最大值为 22 2)( e aef ， 原问题等价于 122 e a ，解得 22 ea ， 又 1a