常微分方程第二节一阶微分方程.ppt

2019/12/2,1,高等数学习题课,一阶微分方程的解法及应用,习题课,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,第七章(1),三、课外练习题,2019/12/2,2,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,变量代换法代换自变量,代换因变量,代换某组合式,几个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,P315题7,2019/12/2,3,例1求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,2019/12/2,4,方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,2019/12/2,5,方法1这是一个齐次方程.,*方法2化为微分形式,故这是一个全微分方程(下册内容).,2019/12/2,6,解此方程为一个可分离变量的微分方程分离,因,变量，得,例2求解方程,两边积分，得,即得原方程的通解,2019/12/2,7,解原方程变形后为齐次方程,例3求解方程，,作变换，,移项，得,则有,2019/12/2,8,两边积分，得,将代入，有,即满足初始条件的解为,由初始条件，,即原方程的解为,2019/12/2,9,解原方程变形为,即,例4求微分方程的通解,此是关于函数的一阶线性非齐次线性微,由求解公式得,分方程，,2019/12/2,10,2019/12/2,11,例5求下列方程的通解:,提示:(1),令u=xy,得,(分离变量方程),原方程化为,P315题7,2019/12/2,12,令y=ut,(齐次方程),令t=x1,则,可分离变量方程求解,化方程为,2019/12/2,13,练习题:,求以,为通解的微分方程.,提示:,消去C得,求下列微分方程的通解:,提示:令u=xy,化成可分离变量方程:,P353题1，2，3(1),(2),(3),(5),(10),P353题2,P353题3,2019/12/2,14,提示:可化为关于x的一阶线性方程,提示:这是一阶线性方程,其中,2019/12/2,15,原方程化为,即,则,故原方程通解,提示:令,2019/12/2,16,分离变量，得,两边积分，得,例6求解微分方程,解法1,作代换，,此方程为齐次方程，,则有,2019/12/2,17,故方程的通解为,即,由于,2019/12/2,18,*解法2,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令,方程变形为,则有,2019/12/2,19,例7,设F(x)f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2)求出F(x)的表达式.,解(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,03考研,2019/12/2,20,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,2019/12/2,21,例8设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.,设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程.,O,水流速度大小为a,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,要点:,2019/12/2,22,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,(求解过程参考P306例2),(齐次方程),2019/12/2,23,思考:能否根据草图列方程?,练习题:,P354题5,6,已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.,提示:设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,P353题5,2019/12/2,24,已知某车间的容积为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空,的含量不超过0.06%?,提示:设每分钟应输入,t时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出),得微分方程,(假定输入的新鲜空气,输入,的改变量为,P353题5,2019/12/2,25,t=30时,解定解问题,因此每分钟应至少输入250,新鲜空气.,初始条件,得,k=?,2019/12/2,26,一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数,选用题小船从河边点出发驶向对岸(两岸为平行线)，设,船速为船行方向始终与河岸垂直又设河宽为，河中任,为)，求小船的航行路线,解如图建立坐标系统，并使水流方向与的正向一,致设时刻时，小船位于,处，则,2019/12/2,27,其初始条件为,先解得，再由初始条件得，即,代入到第一个方程中，即有,解得,2019/12/2,28,再由初始条件，得即小船的航行曲线为,或消去参数，得,2019/12/2,29,三、课外练习题,1求下列方程的通解：,1)；,2)