行列式定义与性质(哈工大线性代数课件王宝玲版).ppt

1,线性代数与空间解析几何,哈工大数学系代数与几何教研室,王宝玲,2010.9.21,国家精品课,2,学时:60学时4学分,共15周课,开课在第一学期.成绩:100分平时:20分,期中:30分,期末:50分.,线性代数与解析几何,序言,3,线性代数的应用:有很多实际问题,都可以转成线性代数的方法去解决.在工程学、计算机科学、物理学、数学、生物学、密码学、经济学和统计学中都有很多应用.,线性代数的重要性：线性代数与微积分是大学数学基础课.无论这样评价其重要性都不为过。而学好这些数学基础课程，将受益终生.,4,线性代数(抽象)为了解决多变量问题形成的学科.（代数为几何提供了便利的研究工具,几何为代数提供了直观想象的空间).解析几何(直观),一、教学内容,5,内容抽象概念多，符号多计算原理简单但计算量大证明简洁但技巧性强远期应用广泛,二、课程特点,6,掌握三基基本概念基本理论基本方法课前预习、课后复习体会思路多动手，勤思考深入体会思想方法培养自学能力，独立分析问题和独立解决问题的能力,三、学习方法,7,四、教学要求,1.上课遵守纪律关手机，不迟到!2.答疑时间:第7周开始每周二、四11:5013:30.答疑地点:BX215，BX217.3.交作业时间:周一至周五9:0016:00.交作业地点:BX215(程老师).(每章结束后一周内以班为单位上交,使用作业本写上学号!)4.以班为单位到答疑室BX215买作业本,及与教材对应的习题解答(书后附近3年的期中及期末考试题及参考答案）2本共28元.,8,1.考研数学辅导教程线性代数;2.03年-10年代数考研真题详解及与1.配套的习题解答.哈工大数学系代数与几何教研室编.答疑室BX215售书.3.线性代数与空间解析几何学习指导俞正光(清华)等编，科学出版社.,五、教学参考书,9,线性代数与空间解析几何,第一章n阶行列式,10,行列式的定义行列式的性质行列式的计算Cramer法则,本章主要内容,11,本节主要内容,二阶行列式的定义三阶行列式的定义n阶行列式的定义行列式的性质,12,设二元线性方程组为,1.1.1二阶和三阶行列式,其中,行列式是一种算式,是根据线性方程组求解的需要引进的.也是一个基本的数学工具,有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式.,1.1n阶行列式,13,对方程组用加减消元法求出解:,此解不易记忆，因此有必要引进新的符号“行列式”来表示解,如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：,+,14,当系数行列式D0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:,15,解,则方程组的解为,例1求解方程组,由于,16,如果定义三阶行列式如下(对角线法则）：,那么对三元一次方程组,在系数行列式D0时,方程组有唯一解,其解可表示为:,17,其中,例2,18,问题1：怎样定义n阶行列式?,定义由1,2,n组成的有序数组称为一个n阶(全)排列,一般记为:,例如自然数1,2,3的排列共有六种.,1.1.2全排列的逆序数、对换,例如是一个n阶排列,叫自然排列.,19,在一个排列中,如果一个大,数排在小数的前面,则称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为逆序数,表示为,如果,为偶数,则称为偶排列.,为奇数,则称为奇排列.,定义,如果,20,例3,因为,所以23541是一个奇排列.,例4,21,对换:在一个排列中互换两个数位置的变动(其它数不动).,对换改变排列的奇偶性.,需要进行2s+1次相邻对换.,证,(1)相邻对换,(2)不相邻对换,定理1.1,所以对换改变排列的奇偶性.,22,用排列观点总结三阶行列式:,1.1.3n阶行列式的定义,下面给出n阶行列式定义:,23,定义,记一阶行列式,24,由个元素组成;为n!项代数和;每项为取自不同行列的n个元素之积;当行按自然顺序取,每项符号由列标排列的奇偶性决定.,注用定义只能计算一些简单的行列式.,归纳如下：,25,证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积,即,例5,26,只以下三角行列式为例来证明.,先决定所有可能的非零项,其次决定非零项的符号,证,27,其中*表示此处元素可以是任意的数.,例6,28,这个行列式的值一般并不等于,当n=4,5时:,当n=6,7时:,问题2:如何决定下面一般项的符号?,注意,29,根据这个结论,也可以把行列式表示为:,行列式还有其它的定义方式一般行列式不用定义来计算主要利用行列式性质来计算,注,30,定义,为D的转置行列式,(转置)行列互换值不变,即,1.2n阶行列式的性质,例如,性质1表明关于行的性质对列也成立.,性质1,31,性质2,(换法)换行(列)换号,即,32,两行(列)同值为零.即,推论,33,(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k,等于用数k乘以这个行列式,即,性质3,34,如果行列式有两行(列)成比例，则该行列式为零,推论1,例如,如果行列式某一行(列)有公因子k时,则该公因子k可以提到行列式符号的外面,推论2,35,(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式为两个行列式之和,即,性质4,36,37,例如,38,(消法)将行列式的某一行(列)的各元素乘以常数加到另一行(列)的对应元素上去,则行列式的值不变,即,性质5,39,预习完1.3,中秋节快乐!,40,总结行列式性质,性质1,性质2,推论,性质3,推论,性质4,性质5,换行(列)变号.,两行(列)同，值为零.,某行(列)乘数k=kD.,两行(列)成比例,值为零.,D可按某行(列)分拆成两行列式之和.,D某行(列)乘数k加至另行(列),行列式值不变.,(转置),(换法),(倍法),(消法),41,行列式的性质是有关行列式计算和推理的基础,必须熟练掌握,会灵活运用.,行列式变换的表示符号,注,行变换,列变换,消法,倍法,换法,42,计算,例7,解通过行变换将D化为上三角行列式,43,奇排列s个,偶排列t个,(1,2)对换,(1,2)对换,证,全部n(2)阶排列中奇偶排列各占一半.,定理2,44,学习大学数学，要了解大学数学与中学数学的差别：中学的数学是静态的，