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第三章各向异性弹性力学基础,3-1各向异性弹性力学基本方程,基本未知量：,基本方程：,1、平衡方程,分量形式为：,2、几何关系（小变形）,分量形式为：,变形协调方程：六个应变分量应该满足的一个关系，即,6个独立等式：,共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的不是恒等式就是由于ij的对称性而都是重复的。,前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切应变之间的协调关系。,3、边界条件,力边界条件：,位移边界条件：,4、各向异性本构方程（小变形）,刚度矩阵,柔度矩阵,各向异性体的弹性应变能为：,3-2各向异性弹性力学的本构方程,一、完全各向异性（21个弹性常数）,其中Sij为柔度系数，4、5和6即为剪应力23、31和12。可见各向异性体一般具有耦合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以引起正应变；反之亦然。,二、有一弹性对称面（13个弹性常数）,弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性能是相同的。,材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称面的轴。,利用两个方向下材料的应变能密度表达式应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单位体积应变能的结果是相同的）可以推得：,同理：,独立常数减少为13个，即,此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内剪应变，且弹性主轴方向不变。,三、正交各向异性（9个弹性常数）,正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）,由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该相同，而在两坐标系下：,即：,由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。,纤维在横截面内按矩形排列的单向纤维复合材料，宏观而言则是一正交异性体。共有9个弹性常数：,可展开为：,四、横观同性（5个弹性常数）,纤维在横截面内随机排列的，宏观而言，其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为各向同性，则有,故只有5个独立常数：,由工程应变形式的展开式为：,即：,五、各向同性（2个弹性常数）,六、弹性常数的取值范围,判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的正定二次型。,1、对于各向同性，可推得：,实际上一般为：,2、对于正交各向异性，有：,，
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