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_费马点 的两证明方法费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。但为了严谨，还是说一下2、当有一个内角大于等于120度时候对三角形内任一点P延长BA至C使得AC=AC，做CAP=CAP，并且使得AP=AP, PC=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则APCAPCBAC120PAP=180-BAP-CAP=180-BAP-CAP=180-BAC60等腰三角形PAP中，APPPPA+PB+PCPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是费马点3、当所有内角都小于120时做出ABC内一点P，使得APC=BPC=CPA=120，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于P的点P，连结PA,PB,PC，过P作PH垂直EF于H易知D=E=F=60，即DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S则有2S=d(PA+PB+PC)PAPH所以2SEPFPA*d同理有2SDPFPB*d2SEPDPC*d相加得2Sd(PA+PB+PC)即PA+PB+PCPA+PB+PC，当且仅当P,P重合时取到等号所以P是费马点虽然不知道费马点在那里，我们先假设他在某个位置，做出来，证明他不可能具有某些性质，最后确定他的位置，这个证明仅限于三个内角都小于120度的时候。 以A,C为焦点，AP+PC为长轴长，做椭圆，以B为圆心，BP为半径，做圆我们先假定椭圆与原是相交的，并取他们公共部分内部一点P则P在圆内也在椭圆内所以PA+PB+PCPA+PC+PC，与假设矛盾，所以圆与椭圆必相切（不可能没有公共点吧，因为都过P）做他们的公切线，并作直线BP，显然BP与公切线垂直由椭圆的几何性质易知，BP平分角APC，所以APB=CPB同理有APC=CPB所以APC=APB=CPB=1
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