第八届数学基础大赛趣味组答案

第八届数学基础大赛（趣味组）答案第0题：（1） （2）能（先把正方形分成16个小正方形，再把9个小正方形看做一个正方形） （3） （4） （以上每题3分） （5）（4分）提示：扫过的图形为x=0，y=0以及为成的图形。面积为1/6。第1题：解：因为小e有必胜策略。（策略不唯一）例如：小e先划掉2个数字。若小划掉3个数字，小e则划掉2个数字；若小划掉2个数字，小e则划掉3个数字。这样，小e可以划掉所以数字。小e一定获胜。（此题出题失误，本意应为若a、b、c、d为连续的数字，划掉b、c后，a、d不连续。但是由于表述不清，所以只要回答合理，即可酌情给分。）标准答案：小e先划掉26、27，则剩下1-25、28-52两部分，则两部分一一对应，小划掉某一部分的数字后，小e则划掉另一部分与之对应的数字。因此，一定小最先无法操作。第2题：解：小e违反了规则。把表格中的数字按照每一行的顺序排成一行，考虑对调的次数（逆序数）。若左右移动，逆序数不变。若上下移动，逆序数增加或减少1或3，奇偶改变。图1和图2上下移动的次数为偶数，逆序数奇偶一样，所以有可能是按照规则进行的；图2和图3上下移动的次数为奇数，逆序数奇偶一样，所以不可能是按照规则进行的。由于他们两个人至少有一个人按照规则进行游戏，所以一定是小e违反了规则。（实际上图1到图2也是可以按照规则进行的）第3题：证明：，其中M为整数。因为p是奇质数，所以p与2（p-1）！互质。因此分子一定是p的倍数。附加题证明：只需证M是p的倍数。因为p与（p-1）！互质，所以只需证是p的倍数。由Wilson定理，可知2*，因为存在a，使得i*a,则i2*a2。而i2*,据一次同余式解的唯一性，得a2，所以是p的二次剩余。若i、j模p不同余,i、j均在1,2.之间，j2*,i2*,则与模p不同余。所以当i取遍1,2.时，取遍p的二次剩余。因为p是不小于5 的质数，所以p=6k+1或6k-1，所以24整除(p-1)(p+1)，所以，。即是p的倍数。命题得证。第4题：解：存在。（答案不唯一）令=，则N=，且时。第5题：（1）6101597（2）16111600小提示：从最后的手牌数量倒着推即可。第6题：解：19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32。提示：猜这些数字是n的最大值为6。易证n的最大值最小为6，且猜其他数字不可以。第7题：解：对。设有2n个顾客。带5元的向上画一条斜线，带10元的向下画一条斜线。共有种画法，要求最后回到x轴，且过程中不低于x轴。设符合条件的共有Sn种画法。则Sn=S0Sn-1+S1Sn-2+.+Sn-2S1+Sn-1S0,这里S0=1。因此。所以概率为。（Catalan数）当n=8时，售货员能正常销售的概率为1/9。第8题：（答案不唯一）解：如右图 附加题解答：如下图（重表示左比右重；轻表示左比右轻）注：只用天平称3次最多可以找出13枚硬币中重量不一样的那一枚。（提示：3进制）第9题：解：148539267265471389379268514916752843837614925524983671653847192