解析函数平面向量场应用.pptx

解析函数在平面向量场的应用,12-4班牛悦安天浩指导教师：王培,发生物理现象的空间部分称为场，场是物理量的空间函数，其中物理量是失量的称为矢量场，比如力场，电磁场等。能用一个二维向量充分表示的场叫二维向量场，又称为平面向量场。在平面向量场中，取定一个直角坐标系xOy，场中每一个向量都可以用A=Ax（x,y）i+Ay(x,y)j来表示，Ax(x,y)与Ay(x,y)是向量在x轴与y轴上的分量。由于平面中所有的点都可以用复数z=x+iy来表示，所以平面矢量场A就可以由复变函数A(z)=Ax（x,y）+Ay(x,y)i来表示。,在稳定平面向量场D内任取一条简单曲线C，以C为准线，做一个高为1的柱面，则单位时间内通过这个柱面流向它某一侧的流量，即流体的质量，称为通过C流向这一侧的流量。既是流量的物理意义。设流体的密度为1，C是一条简单闭曲线，取定法线方向总指向C的右侧。设在A处的速度向量为v，而vn为v在法线方向上的投影。则在单位时间内通过ds流向法线侧的流量为,在复平面上对应的设v的实部为Vx=Vx(x,y)以及虚部为Vy=Vy(x,y)，于是v可以表示为v=Vx(x,y)+iVy(x,y)。流过C的流量为同时由格林公式，可将Qc整理为当沿C正向流量Qc=0时，流出与流入相等净流量为0，则称流速场V无源。,称之为流速场在z0=x0+iy0点的散度。当散度为0时，称这个流量场为无源场。在复变函数中，可以看出，若流速场f(z)=Vx+iVy在D内连续，上述条件即可表示为对D内的每一点(x,y)D有柯西黎曼方程之一成立，则流体的流动是无源的。,再定义流体通过曲线的环量,对D内任一条简单闭曲线C上取一点P,流速在P切线上分量为Vt,它沿曲线积分就是流体在单位时间内沿曲线C的环量，记为。根据格林公式如下。,与散度同理，将在z0=x0+iy0处的值称为在这一点的旋度当rotV=0，即时，将流量场称为无旋场。故在复变函数中，若流速场f(z)=Vx+iVy在D内连续，对D内的每一点(x,y)D有柯西黎曼方程另一个条件成立，则流体的流动无旋。,由上述分析，我们就可以看出，流速场f(z)=Vx+iVy在D内连续，对D内的每一点(x,y)D满足柯西-黎曼方程，那么这个平面流体流动是即无源又无旋的。可以说当一个函数能用无源无旋的二维向量场表示时,它是一个单连通域内的解析函数反之，解析函数也可以表示二维向量场。,我们将这个解析函数记为称为能表示它的平面流速场的复势(x,y)是向量场的势函数，(x,y)是向量场的流函数。,解析函数在车流计算中的应用首先,把单向车流V=P(x,y)+iQ(x,y)看作是一个不可压缩的、定常的理想流体流速场,它是一个无源场和无旋场,则其散度和旋度分别等于零,亦即,由（1）式可知-Qdx+Pdy是某一个二元函数(x,y)的全微分，d(x,y)=-Qdx+Pdy，/x=-Q，/y=P(3)由（2）式知Pdx+dQy也是某一个二元函数(x,y)的全微分d(x,y)=Pdx+dQy，/x=P，/y=Q（4）,由（3），（4）得：/x=/y，/y=-/x，满足柯西黎曼方程故做一个解析函数w=f(z)=(x,y)+i(x,y)，这个解析函数就是平面流速场的复势函数，其中，(x,y)称为势函数，(x,y)称为流函数。车流速度为：现在转入计算单向车流这一实际问题。首先将其数学化。,假定有一条宽10m左右，长度无限且不存在岔道，无超车现象的公路，选择公路上某一点为坐标原点，需要研究的位置为流动点（x，y）。,车流方向为为X轴正方向，设在任意时刻t，据单位时间内通过（x，y）点的车辆数和堵车而在（x，y）点附近单位长的公路上单流方向停留的车辆建立流函数(x,y)和密度函数(x,y)，并计算其势函数,做解析函数f(z)=(x,y)+i(x,y)，用公式（5）求复值速度函数=/y+i/y再引入灵敏系数（表示因司机反应造成的误差）其中q为流量,p为车辆密度,pm,为堵塞时的车辆密度。,按上述方法计算得车流速度,即公路上任一点(x,y)处在任意时刻t的任一辆车的速度为用解析函数计算车流问题简便易行.在过去的计算方法中假设车流是一条直线,事实上,车流并非一条直线,应用解析函数的方法,将车流速度摆在平面流速场中计算,其科学性、实用性都较强。,谢谢！,以流速场为例，在流动中，垂直于某平面的每一垂线上所有各质点的速度相同，且与指定平面平行成为流体的平面流动，而个质点的速度仅与位置有关而不随时间变化称为平面稳定流动。在平面稳定流动中取平面z，如果在Z上某一区域D内的每一点都有一个大小和方向都不随时间变化的向量与它对应，则在D内确定了一个稳定平面向量场。,若沿D内的任一简单必曲线的环量是0，则称这个流体的流动是无旋的。在区域D内，由格林公式可知，,同理，我们也可以将其他的二维无源无旋场表示为对应复平面