（管理科学与工程专业论文）AHP中判断矩阵与优先权向量的一致性研究.pdf

a h p 中判断矩阵与优先权向量的一致性研究 摘要 s a a t y 提出的层次分析法( a h p ) 是一种实用性很强的决策分析方法，得到了 人们的普遍应用以及大量研究。其中，1 9 标度和一致性检验是最为经典的部 分，优先权算法是整个方法的灵魂。 本文首先介绍了层次分析法的基本原理和步骤，通过学习与梳理国内外大 量文献，对优先权算法和一致性检验的现状与研究成果进行了阐述。随着研究 的深入，指出判断矩阵中不仅存在判断误差，还存在判断矩阵与优先权向量之 间的冲突误差，并给出了冲突误差的定义及度量公式。使用不同的优先权算法， 得到不同的优先权向量，从而得到的冲突误差不尽相同。本文选用目前具有代 表性的五种优先权算法，采用统计模拟法，计算1 - 9 标度下3 , - 一9 阶判断矩阵 与优先权向量冲突误差的临界值，以此作为冲突误差的检验依据，通过对计算 结果的比较分析，及五种算法保序性的证明研究，得出了相关结论。最后对两 个算例进行了实证，表明本文提出和建立的冲突误差检验是合理可行的，五种 算法的保序性是可靠的，研究成果进一步完善了a h p 一致性检验的理论。 关键词：a h p ；判断矩阵；优先权算法；冲突误差；检验 s t u d yo nt h ec o n s i s t e n c yb e t w e e nj u d g m e n tm a t r i c e s a n dt h e i rp r i o r i t yv e c t o r si na h p a b s t r a c t t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( a h p ) p r o p o s e db ys a a t y ，r e c e i v e dp e o p l e s p r e v a l e n ta t t e n t i o n sa n dag r e a td e a lr e s e a r c h e so fi t 1 9s c a l ea n dc o n s i s t e n c y c h e c ka r et h ec l a s s i c a lc o n t e n t s ，a n dp r i o r i t ya l g o r i t h m sa r et h es o u lo ft h ea n a l y t i c h i e r a r c h yp r o c e s s a f t e rr e v i e w i n gl o t so fl i t e r a t u r e sa th o m ea n da b r o a do na h p ，t h i sp a p e r b e g i n n i n gw i t ht h eb a s i ct h e o r ya n ds t e p so fa h p , t h e ns p e c i f i e dt h es t u d yp r o c e s s o fp r i o r i t ya l g o r i t h m sa n dc o n s i s t e n c yc h e c k w i t ht h er e s e a r c hd e e p l y ，t h ep a p e r p o i n t so u tn o to n l yt h ej u d g m e n te r r o re x i s t i n gi nj u d g m e n tm a t r i c e s ，b u ta l s ot h e c o n f l i c te r r o rb e t w e e nt h ej u d g m e n tm a t r i c e sa n dp r i o r i t yv e c t o r , t h e nt h ed e f i n i t i o n a n da l g o r i t h m so fc o n f l i c te r r o ra r ep r o p o s e d u s i n gd i f f e r e n ta l g o r i t h m s ，w eg e t d i f f e r e n tp r i o r i t yv e c t o r s ，a n dt h e nt h ec o n f l i c te r r o r sa r ev a r y t h i sp a p e ra p p l i e s t h em e t h o do fs i m u l a t i o ns t a t i s t i c st ot h ef i v er e p r e s e n t a t i v ep r i o r i t ya l g o r i t h m s ，a n d t h e nc u m u l a t e st h et h r e s h o l dv a l u e so fc o n f l i c te r r o r sv i a10 0 03t o9j u d g m e n t m a t r i c e sg e n e r a t e do nr a n d o m ，w h i c ha r et h ec h e c k i n gs t a n d a r do fc o n f l i c te r r o r s t h e nt h e s et h r e s h o l dv a l u e sa r ec o m p a r e d ，a n dt h er a n kp r e s e r v a t i o n so ff i v e p r i o r i t ya l g o r i t h m sa r ep r o v e d f i n a l l y , f r o mt w od e m o n s t r a t i o n s ，i ti sp r o v e dt h a t t h ec o n s i s t e n c yc h e c ko fc o n f l i c te r r o ri sr e a s o n a b l e ，a n dt h er e s e a r c ho ff i v e p r i o r i t ya l g o r i t h m s r a n kp r e s e r v a t i o n si sc r e d i b l e t h es t u d yp r o d u c t i o ni s f u r t h e r p e r f e c tt h et h e o r yo ft h ec o n s i s t e n c yc h e c ki na h p k e y w o r d s ：a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ；j u d g m e n tm a t r i x ；p r i o r i t ya l g o r i t h m s ； c o n f l i c te r r o r ；c h e c k 插图清单 图1 1递阶层次结构示意图2 图3 1d e a 决策单元绩效排序示意图一1 7 图3 2d e a 决策单元排序图18 图4 1生成n 阶判断矩阵a 的程序流程图2 3 图4 2 计算矩阵冲突误差临界值的程序流程图2 4 图4 3五种算法下冲突误差的变化2 5 图4 _ 4 上市公司业绩评估的递阶层次结构示意图2 7 图4 5 递阶层次结构示意图3 2 表1 1 表1 2 表4 1 表4 2 表4 3 表4 4 表4 5 表4 6 表4 7 表4 8 表4 9 表4 10 表4 1 1 插表清单 指标两两对比时的重要性等级及其赋值( 1 9 标度) 一3 平均一致性指标的值4 五种算法下的冲突误差临界值2 4 上市公司业绩评估指标2 7 判断矩阵【，的权重及一致性检验结果2 9 判断矩阵u 的权重及一致性检验结果2 9 判断矩阵玑的权重及一致性检验结果3 0 判断矩阵以的权重及一致性检验结果3 0 判断矩阵乩的权重及一致性检验结果3 1 五种算法下三种指标两个元素的权重3 2 五种算法下两个元素权重的比较一3 3 五种算法下三个指标下三个元素的权重3 3 五种算法下三个元素权重的比较3 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金墼王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：夺匆形参签字日期：砌护年斗月) s 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒壁王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权盒鲤王些太堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：物移 签字日期：勿f 9 年年月坫日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：动易 导师签名：yt 了 签字日期：力d 年午月必百 电话： 邮编： 致谢 本论文是在导师江兵教授的悉心指导下完成的，从论文的选题，论文的深入，直 至最后的修改和定稿无不倾注了导师的心血。导师敏锐的科学眼光、严谨的治学态度、 渊博的学术知识及谦和平等的处事方式都使我受益匪浅。在此，我谨向江兵导师表示 最诚挚的感谢和最崇高敬意! 在今后的工作和生活中，我将牢记导师的教诲，做一个 对社会有用的人。 在我三年的研究生学习生活中还得到了众多老师和同学的真诚鼓励和无私帮助， 同样也向你们表示衷心的感谢! 感谢决策所刘心报老师、方必和老师、刘林老师、裴 凤老师、程浩老师在这三年对我的无私指导；感谢卞士郭、耿江波、王临琳、方军、 曹丽丽、张夏梓等同学在我课程学习和论文撰写期间，给予我的大力帮助。 最后，感谢各位评委老师在百忙中抽出时间来评阅我的论文和参加我的答 辩，并赐予谆谆教诲。 作者：杨璐 2 0 1 0 年4 月 层次分析法的研究进展 第一章绪论 层次分析法( t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ，a h p ) 是定性与定量相结 合，将人们的主观判断用数量形式表达和处理的一种实用有效的多准则决策方 法。其中1 9 标度和一致性检验是最为经典的部分，优先权算法是整个方法的 灵魂。好的灵魂才能塑造完美的实体，选对了优先权算法才能使决策更加准确， 因此，层次分析法中，不仅判断矩阵本身存在一致性问题，判断矩阵与优先权 向量之间也存在一致性问题。本文在阐释这两种一致性概念的基础上，重点就 后一种一致性及其检验展开研究。为了更好的说明这一问题，首先对层次分析 法的原理及现状做一简单介绍。 1 1 1 层次分析法简介 层次分析法是美国著名的运筹学家s a a t y 教授于七十年代初期提出决策方 法1 2 】。从本质上看，它是人类对复杂层次结构理解的形式化，并以实用、简 洁和系统等优点受到广泛的关注，迅速地应用到各个领域的多属性决策问题。 多属性决策中使用a h p 的关键点是使决策者形象化地使用属性层次结构来构造 复杂的多属性决策问题成为可能。 在层次分析法中，通过构造层次结构和比率分析可以将各属性上决策者定 性的判断与定量的分析结合起来，整个过程合乎人类决策思维活动的要求，大 大提高了决策的有效性和机动性。 层次分析法的核心思想可以归纳为“先分解后综合 ，大体上可以分为以下 4 个步骤。 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构； 对同一层次的各元素关于上一层次中的某一准则的重要性进行两两比 较，构造两两比较判断矩阵； 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重； 计算各层元素对系统总目标的组合权重，并进行排序； 各步骤的具体过程如下： 构建层次结构模型 将a h p 应用于复杂的决策问题，首先要分析问题的结构，构造出一个层次 分析的结构模型。在这个结构模型中，决策问题分解为被称作元素的组成部分， 如各层准则、属性、约束、方案等，然后按其属性把这些元素分组形成互不相 交的层次，上一层次对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，这样就 形成了层次间自上而下的逐层支配关系，这就是一种递阶层次关系。建立一个 有效合理的递阶层次结构，对于成功解决问题具有决定性的意义。 层次大体上可以分为3 类， a 最高层。项层的一个元素，一般它是所需要解决问题的总的目标要求， 故也称为目标层； b 中间层。包括为了实现总目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次 组成，包括所需考虑的约束，多级子准则等。 c 最底层。表示为实现准则可供选择的各种措施、各选方案、故称为方案 e j 力譬0 用框图说明层次的递阶结构与元素的从属关系如图1 1 ： 目标层 准则层 子准则层 方案层 ! 、互 图1 1 递阶层次结构示意图 递阶层次结构模型具有如下的性质： a 层次模型中任意一个元素一定属于一个层次，且仅属于一个层次，不同 层次元素集的交集是空集。 b 同一层次中任意两个元素之间不存在支配或从属关系。 c 第k 层( 2 k 刀，假设模型共有n 层) 中任意一个元素必然受到k l 层中一个元素支配，且只能受k l 层中的元素支配；同时，第k 层中的每一个 元素至少支配k + l 层的一个元素，且只能支配k + l 层的元素。 d 属于不相邻的两个层次的任意两个元素之间不存在支配关系。 构造判断矩阵 在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。以 2 上层元素为准则，对所支配的下层元素，吻，进行两两相互比较，按一定 的方法求出它们对于上一层元素的相对重要性，即权重q ，吐，。此为，决策 者要反复进行如下判断：针对准则，元素五，x ，哪一个重要，重要多少，可以 按表1 1 的1 - 9 标度进行相对重要程度赋值( 记为q ，) ，这样对于上层准则， 下层的n 个被比较的元素构成了一个两两比较判断矩阵： a = ( ) ( 1 一1 ) 式中口，表示元素五和x j 相对于的重要性的1 - 9 标度量化值。 很显然，判断矩阵具有如下性质【3 】： v f ，j f n ，有 口f f = 1 ，a - 0 ， a ，f = 1 a o ( 1 - 2 ) 此时的判断矩阵a 称为正互反矩阵。 v i ，k n ，有 a a 膻= a 庸 ( 1 3 ) 称a 为完全一致性矩阵。 由( 1 3 ) 可以得出：完全一致性判断矩阵也应该满足： 1 7 1 口5c o ，c o ( 1 - 4 ) 由式( 1 - 2 ) 的性质可知，对于判断矩阵a ，仅需给出其上( 下) 三角的 n ( n 一1 ) 2 个元素就可以了，这样一来可以使决策者从反复比较中集结更多信息， 最终导出一个比较合理的反映决策者判断的排序。这种带有误差的多个判断可 以起到一定的相互抵偿修正作用，从而使总的排序结果保序性较好。 判断矩阵中的每个元素可以通过使用表1 1 所给出的标度体系产生，以此 计算元素重要性比率。 表1 1 指标两两对比时的重要性等级及其赋值( 1 9 标度) 标度c ， 定义 1因素f 与因素f 同等重要 3 因素f 比因素f 略重要 5 因素e 比因素f 重要 7 因素f 比因素f 重要得多 9 因素f 比因素f 绝对重要 2 、4 、6 、8介于以上两种判断之间的状态的标度 选择1 9 之间的整数及其倒数作为量化标准的主要原因是它符合人们进 行判断时的心理习惯。许多实验心理学研究表明，普通人在对一组事物的某种 属性同时做比较，并使判断保持满意的一致性时，所能正确辨别属性的等级或 事物的个数一般在5 9 之间。s a a t y 等人取l 9 标度且级差为1 的离散数作 3 为定性等级的量化，基本获得了社会的认同，得到了广泛的应用。 鉴于a h p 属于定性定量相结合的决策方法，般应用于非结构化或半结构 化的复杂系统，所以1 9 量化标度属于序标度，对它进行的任何单调变换都是 允许应用的保序变换。 值得注意的是：一般序标度只能表示比较元素某属性之间的优序关系，而 经过保序变换得到层次总排序的导出标度，仅有元素间的有序关系方面的实际 意义，并不具有实际物理意义，即a i q p 求出的优先权向量之间并不满足比例关 系。如：c 1 和c 的优先权向量分别为q = 0 6 ，c 0 2 = 0 2 ，只能判断出c 1 的优先 权大于g ，并不能推出c 1 的权重就是g 的3 倍。 计算重要性排序。 这一步要根据判断矩阵a = ( 口f 。求出这n 个元素对于准则的优先权向 量= ( ，哆，c o n ) r ，并进行一致性检验。 要计算优先权向量，就要对判断矩阵使用某一种优先权算法，通常是求出 a 的最大特征根k 所对应的特征向量，计算方程如下： a 6 0 = 九。& ) ( 1 5 ) 所求得特征向量经归一化，即为各评价因素的重要性排序，也就是权重分配。 但是以上得到的权重分配是否合理，还需要对判断矩阵进行一致性检验。 s a a t y 给出的检验公式如下： c r = c i g i ( 1 6 ) 式中，c r 为判断矩阵的随机一致性比率。c i 为判断矩阵的一致性指标，由下 式计算得出： c i = ( k n ) ( n - 1 ) ( 卜7 ) 脚为判断矩阵的平均一致性指标，l 9 阶的判断矩阵的脚值参见表1 - 2 表1 2 平均一致性指标r i 的值 n 1 234 5 6 78 9 r 0 0 00 o o0 5 80 9 01 1 21 2 41 3 21 4 11 4 5 当判断矩阵么的c r ，。由于优先权向量是 人们运用a h p 法所需要的最终结果，即使判断矩阵通过了满意一致性检验，但 如果由其得出的优先权向量与判断矩阵存在严重冲突，这样的结果仍然不能令 人满意。尽管已有学者注意到这个问题，但这方面的研究还比较粗浅，大多数 文献都侧重于提出冲突误差的概念和含义，或者给出误差计算公式，并没有对 此做进一步的阐述，更没有类似卜9 标度的不同阶数的r 工模拟平均数作为一致 性检验的参照值。 判断矩阵的不一致是不可避免的，人们所能够做到的是使不一致程度控制 在允许范围内并尽可能小，在此前提下，选择与判断矩阵一致的优先权算法就 显得异常重要。优先权算法有很多，包括近似算法、最优化算法、线性规划算 法等等。冲突问题与优先权向量算法紧密相关，当判断矩阵具有完全一致性时， 不论使用哪一种优先权算法都会得到相同的优先权向量，但是当这种一致性不 满足时，使用不同的优先权算法得到的结论是不同的。对此，有学者试图比较 7 不同方法的优劣，但是这种比较往往只是对个别例子而言，即使是同一个问题， 适用于某一判断矩阵的方法也未必适合其它矩阵。因此，我们不仅需要对判断 矩阵比值的逻辑一致性进行检验，还需要对判断矩阵和由其求得的优先权向量 之间的冲突性进行检验。 本文通过梳理已有的研究，提炼出这样一个问题，即决策者如何来界定和 度量判断矩阵和优先权向量之间的冲突，如何来判断得到的结论会不会受到冲 突误差的影响，并以此为切入点，研究不同优先权算法的冲突误差及其检验， 给出不同阶数判断矩阵的可接受的临界值。 1 2 2 本文的研究内容与结构安排 本文的目的是给出优先权向量与判断矩阵冲突的定义，建立冲突误差的度 量指标和计算方法，给出基于不同算法的冲突误差临界值。研究思路是，选取 具有代表性的近似计算类优先权算法：a n m 和e v m ；最优化排序类的算法：l l s m 和r e m ，以及线性规划类的算法：d e a h p ，采用统计模拟法，通过随机产生的3 9 阶判断矩阵各i 0 0 0 个的大样本数，得到各种算法的优先权向量随机样本，据此 求解各阶判断矩阵的冲突误差的临界值，以此作为冲突误差检验的标准，为人 们选择合适的算法提供依据。本文的研究完善了s a a t y 的一致性检验方法，从 而与传统的一致性检验一起构成更加完备的a h p 一致性检验体系。 论文结构安排如下： 第一章，绪论。介绍本文的研究背景和意义，国内外的研究现状，问题的 引入和文章的结构。 第二章，判断矩阵与优先权向量的冲突现象及其检验。通过示例引出冲出 误差的概念、定义，给出冲突误差的精确度量公式。 第三章，优先权算法的基本理论。本章主要介绍a n m 、e v m 、l l s m 、r e m 、 d e a h p 五种优先权向量算法，为后续算法实现与编程作理论准备。 第四章，不同优先权算法下冲突误差与检验。按照1 9 标度，随机产生3 9 阶判断矩阵各i 0 0 0 个样本，分别用所选的五种优先权算法得出各种算法的优先 权向量，计算判断矩阵与优先权向量的冲突误差，据此确定临界值，并对结果 进行比较分析，得出相关结论。最后通过算例证实本文求得的算法优劣的比较 是正确的，冲突误差检验是合理可行的。 第五章，总结与展望。对论文的主要工作进行总结，并提出需要进一步研 究的方向。 8 第二章判断矩阵与优先权向量的冲突现象及其检验 a h p 中，传统的一致性问题是指判断矩阵比值不合逻辑而导致的误差，实 际上，人们所需的最终结论是优先权向量，而优先权向量所表达的重要性次序 往往与判断矩阵存在冲突，即使判断矩阵通过了一致性检验，但只要不满足完 全一致性，这种冲突是不可避免的，我们需要做的是如何衡量误差大小，如何 给出可接受的误差范围。本章首先通过例证揭示冲突误差现象，然后重点讨论 误差的度量及其检验方法。 2 1 判断矩阵与优先权向量之间的冲突 由于人们主观认识的局限性和标度体系本身的不完备性，往往得到的判断 矩阵不满足一致性的要求，这就需要对判断矩阵的一致性进行检验。s a a t y 给 出的判断一致性的检验方法也称为比例检验法，该算法检验的就是判断矩阵比 值不合逻辑而导致的误差，在具体应用中用c r 的值是否小于o 1 来界定是否 满足满意一致性。而实际上，情况并非如此简单，下面我们来看一个例子。 例l ： a = 1 21 2 l 2 1 4 2 1 41 1 211 4 24l 1 211 4 24 l 1 211 4 21 2 1l 4 41 ll 4 41 11 4 41 l1 4 21 2 1l 4 41 11 4 41 11 4 4l 11 4 假设判断矩阵a 对应的元素分别为：，。，q ，为元素z 与，的重要 性比值。通过计算得到矩阵a 的优先权向量( q ，哆，鸭，咄，皑，蛾，c 0 7 ，c o o = ( o 1 1 11 ， 0 0 9 5 2 ，0 1 8 2 5 ，0 0 5 5 6 ，0 2 2 2 2 ，0 0 5 5 6 ，0 2 2 2 2 ，0 0 5 5 6 ) ，与a 比较，得到弛蛾 - l 但 a 2 4 = 1 ，吐t 0 6 - l 但a 2 6 = 1 ，哆t o s - 1 但a 2 8 = 1 ，q w 5 一 1 但a s 5 = 1 ，t 0 3 c 0 7 _ - 1 、q - 咄且a 1 4 - l 、哆 - 鸭且a 2 3 卜1 、 毡 - 吐且口2 4 _ 1 皑 咄且口3 4 l ，可见，b 的优先权向量确定的优先性与判断 矩阵b 本身的优先性并无冲突，但b 的一致性比率c r = 0 4 2 0 1 ，说明判断矩 阵b 不具有满意一致性。 对于判断矩阵c ，用特征向量法求c 的优先权向量，得 ( q ，哆，鸭，咄) = ( 0 1 0 2 6 ，0 1 0 5 6 ，0 2 5 8 8 ，0 5 3 3 0 ) ，与c 比较有：q _ 哆但a 1 2 卜l 、 q 皑且a 1 3 一 l 、q 0 3 4 且0 1 4 一 l 、哆一 皑但a 2 3 = 1 、0 3 2 0 3 4 且a 2 4 1 、鸭 jt a n djk j j ， j i = ji a n d j i j t a n d j t j j ， j i = j a n d j j t a n djk _ jj ， j l = ji a ndji = j ta n djk j j ， j i = j a n dj l = jk a n d j t j j m i r o s l a wk w i e s i e l e w i c z 和e w av a nu d e n 给出了一种度量冲突误差的简 易公式： = t = l j = l 毛( 2 - 1 ) 这罩的： ib = 1 谚| ja n da j i 卜1 0 5 虿| = j a n dq j l 季1 0 5 t o o , j a n dq f = 1 0o t h e r w i s e m v 为优先权向量的冲突误差之和。 本文借鉴这一做法，定义冲突误差精确表达式如下： g = 嘉喜如飞i ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 式中，s 一一力阶判断矩阵与优先权向量的冲突误差； 一一优先权向量中元素z 优先权； 口。一一判断矩阵中元素z 和，重要性比值。 相应于式( 2 - 4 ) 的冲突误差定义式，由s a a t y 定义的判断误差的精确定 义为： c i = 古d i k 一口 _ 4 ) 可见，式( 2 5 ) 只着眼于判断矩阵比值判断的一致性，而对由其得出的 优先权向量是否于比值反映的次序相一致就无从考量了。 第三章优先权算法的基本理论与常用算法 优先权算法是a h p 的灵魂，人们使用a h p 目的就是得到元素的优先权 向量。优先权算法有很多种，每一种算法都各有特点，都有其特定的适用 条件，而衡量优先权算法好坏的标准应该是其结论与判断的一致性，这便 是本文研究的出发点。本章就a h p 法中具有代表性的三类五种优先权算法 做一阐述。 3 1 优先权算法的一般原理 a h p 中优先权向量计算的一般步骤可以总结为： 每一层次中的排序又可以简化为一系列成对因素的判断比较，并 根据一定的比率标度将判断定量化，形成比较判断矩阵。 通过计算判断矩阵的最大特征值及对应的特征向量，即可计算出 某层次相对于上一层次中某一因素的相对重要性权值，即层次单 排序。 用上一层各个因素分别作为下一层各个因素间相互比较判断的准 则，得到下一层次因素相对于上一层次各个因素的相对重要性权 值。 用上一层次因素的组合权值加权，即得到下一层次因素相对于上 一层整个层次的组合权值，即层次总排序。 依次沿递阶层次结构由上而下逐层计算，即可算出最低层次相对 于最高层次因素的相对重要性权值。 为了更好的说明排序计算的一般原理，现举一简单的例子： 设有n 个物体，重量分别为蛾，固。，假设重量之和为单位l ，则 为物体i 的相对重量，即本文所指的优先权。它们的两两比较判断矩阵 a 为： a = q q q q 哆蛾 2 吐吐 q 吐鸭 q 鸭噱 q 哆 2 ( 乃) 。用 1 2 显然： ( 3 1 ) ( 3 2 ) 我们称满足条件( 3 - i ) 的矩阵为正互反矩阵，满足条件( 3 1 ) 和( 3 2 ) 的矩阵为完全一致性矩阵。 故完全一致性矩阵还可以表示成 = q ( 3 3 ) 由矩阵理论知：a 具有唯一非零的、最大的特征根九抓= 刀，除k 外， 其余( n - i ) 个特征根均为零，为对应于r l 的特征向量，即： 么国= qq 劬哆q 吐哆哆 哆q 蛾( - o n 蚴o b 2 鸭 q 峨 n o i ，2 & ) ” 可见，这里的特征向量c o = ( q ，：，) 就是我们所要求的矩阵a 的优先权 向量。 在一般的决策i 口- j 题中，决策制定者无法给出精确的c o , q 的度量，只 能进行估计判断。实际给出的的判断与真实的q q 有偏差，就不能保 证判断矩阵具有满意一致性，此时通过一致性检验的判断矩阵的最大特征 值稍大于矩阵的阶数n ，其余的特征根接近于0 。 3 2 常见的优先权算法 a h p 的最显著的特点是：以判断矩阵最大特征值所对应的归一化的特 征向量作为排序权值。为此，人们提出了各种各样的算法，下面介绍几种 具有代表性的算法。 3 2 1 加法归一化方法( a n m ) 用这种方法求解优先权向量可以归结为：用矩阵每一列的各个元素 除以列元素之和，即列的标准化，然后用每一行元素之和除以此行中元素 的个数，即可得到所需要的。 计算过程表示如下： 铷f 善 “= 1 ，2 ，力 ( 3 - 4 ) 1 3 ，幺描 脚 = 一一 吩吩 广，弋l 哆2 ( 1 n 荟 f = 1 ，2 ，2 ，疗 ( 3 - 5 ) 其中，口，一一判断矩阵中元素z 和j ，重要性比值； q 一一优先权向量中元素，优先权； 门一一判断矩阵的阶数。 式( 3 - 4 ) 和( 3 - 5 ) 即a n m 的求解公式。 在实际应用中，虽然有些专家认为此方法过于简单而存在缺陷，但是 也因为它的简单而普遍受到决策者的喜爱。 3 2 2 特征向量法( e v m ) e v i d 是a h p 创始人s a a t y 极力推荐的一种算法，同时也为众多专家( 或 分析者) 经常采用的一种排序法。 s a a t y 提出判断矩阵a 的主特征向量做为优先权向量。为了找到这 个向量，需要求解线性方程： f a m = a 1p ，：l ( 3 - 6 ) 式中，a 是矩阵a 的主特征值，c o 是对应的特征向量。 求解0 3 的算法有幂法和s a a t y 提出的简化算法一一方根法 幂法【3 8 】 定理l 设a 0 ，石月”，则! 鲤最= 彻，其中，国是a 的最大特征值 1 4 1 。4 “ 。 。一 对应的特征向量。c 为常数。 例如，令x = e ，就有 1 i m * = ( 3 - 9 ) t _ + 。e 。a 。e 、 式中，c o 为与a 的最大特征值所对应的规范化的特征向量，即权重向量或 排序向量。 现令k = l ，可以得到： ( a e ) i = 基一墟， 净 其中，一一判断矩阵中元素以和j ，重要性比值； 1 4 式( 3 - 1 0 ) 即为e v m 法的幂法计算公式，也是和法的计算公式。 方根法 对判断矩阵a 每一行的诸元素求几何平均，有： 面，= ( 兀) i ，f 二1 2 ，刀 j = l 对( 3 11 ) 规范化，可以得到权重向量： n 1 ( f ia i j ) i ，。二t ( f = l ，2 ，力) 芝( n 口旬) ” ( 3 11 ) ( 3 1 2 ) k = l j = l 其中，一一判断矩阵中元素以和j ，重要性比值； q 一一优先权向量中元素z 优先权； r 一一判断矩阵的阶数。 和法和方根法是求解判断矩阵优先权向量的最常用的两种方法。 3 2 3 对数最小二乘法( l l s m ) l l s m 是从对判断矩阵的拟合角度出发而得到的一种排序方法。 当a 不满足完全一致性，可将a 看成一致性矩阵a 受到扰动后但仍保 持互反性而得到的矩阵。 其中： a = ( 哆 。 ( 3 - 1 3 ) 扰动形式如下： a 玎2 ( c o f c o j ) q ，q f ，卜0 ，q u = l qj f ： ( 3 1 4 ) 式中，q v 称为扰动函数。显然，当扰动作用g 。，趋于1 时，比较判断矩阵 a 将趋于一致，此时的a o = 心国，即为口f ，的理想估计。而我们只需求解这样 的一致性阵a = ( 口f ，) 。以4 最优逼近给定的正互反矩阵a 即可，这样的彳可 通过如下的最小二乘原理来求解3 9 定义扰动矩阵： e ：( 动删：a o a ”= ( 口j = 竺) 哆 ( 3 1 5 ) 其中“o ”为两个矩阵的h a d a m a r d 积，即由两个矩阵中对应元素之 积所构成的矩阵。 构建l l s m 模型： 1 5 l=善2铲姜(19(aij-毫iminf ( o j ) l g j = l j = l”1 ，2 ，棚) ，( 3 1 6 ) i= 2 考。= ，” ，小f1 if ， f ，v j ，l ， 、，1 v7 卜静一 求解( 3 1 6 ) 式，可得到优先权向量的计算公式如下： f2 i ( i - ia u ) i = 1 l 芝( 兀na k j ) ”( 兀 ) “ k = l y = l ( ，= 1 2 ，功 ( 3 - 1 7 ) 其中，一一判断矩阵中元素以和重要性比值； 皑一一优先权向量中元素以优先权； n 一一判断矩阵的阶数。 由( 3 17 ) 式可见，l l s m 即为方根法。幂法和方根法是最为常用的 求解优先权向量的方法。 3 2 4 相对熵法( r e m ) 相对熵法是由下列优化问题导出的排序方法： ，2 喜扣乩轰减 ，= l = l“ 哆= l ( 3 1 8 ) 求解( 3 1 8 ) 式，可得到优先权向量的计算公式如下： 【兀( ) 】” 皑= 乏是，( ，2 ，棚) ( 3 1 9 ) 【兀( ) 】” 其中，口，一一判断矩阵中元素以和，重要性比值； 蛾一一优先权向量中元素z 优先权； 力一一判断矩阵的阶数。 3 2 5 数据包络层次分析法( d e a h p ) 1 4 0 数据包络分析( d e a ) 是c h a r n e s 、c o o p e r 和r h o d e s 等人于1 9 7 8 年 提出来的一种有效的绩效衡量工具，主要用于评价具有相同类型的部门或 1 6 反 ，l n l f 量 盯 ，、【 单位( 称为决策制定单元，d m u ) 间相对有效性的一种绩效评价方法。层 次分析法( a h p ) 是多目标多准则决策领域中的一个常用的工具。许多研 究人员都发现了d e a 和a h p 之间具有相似性。d e a 模型的目标是通过d m u 的投入产出比决定系统的生产绩效，而a h p 的一个重要思想是对判断矩阵 进行量化后比较。通过专家近十年来的比较和研究，发现如果将投入产出 看成是绩效评估的标准，将最小的投入和( 或) 最大的产出看成是一致性 目标时，a h p 和d e a 方法之间可以互相结合，产生一种新的优先权算法 d e a h p ，其原理如下： 设门阶判断矩阵a 对应的元素为以，以，以，v f ，k q = ( 1 ，2 ，刀) ， 根据1 - 9 标度，元素以，以之间两两比较，得到判断矩阵a = ( a 0 ) ， 它满足：= 1 ，q ，= 1 a j , ( i ，- ，= 1 ，2 ，z ) 。现用d e a 来求解这个判断矩阵的优 先权向量。当使用d e a 计算要求投入和产出时，判断矩阵的每一行都可看 成是一个d m u ( 决策制定单元) ，每一列当作一个产出，因此一个r xn 阶的 判断矩阵a 将有n 个d m u s 和n 个产出。d e a 模型要求至少有一个投入，所 以对所有d m u s ，都设有一个虚拟的投入1 。图3 1 中给出了二者的转化过 程： a = 1 q 2 a l 。 1 口1 21 a 2 。 1 t 2 1 。l a 2 。1 产出1产出2产出1 1虚拟投入 d m u l1 a 1 2q 。 1 d m u 2 1 t h 2 l 口2 。 1 1 d m u 3 1 口l 。1 a 2 。 l1 图3 1d e a 决策单元绩效排序示意图 定理1 对于一致性判断矩阵来说，用d e a 求得的行决策单元的效率 评价指数与此判断矩阵的优先权向量一致。 即假设a 为一致性判断矩阵，按图3 - 1 ，将a 转化成d e a 决策单元模 型，采用c 2 尺模型求得的行决策单元的效率评价指数即为判断矩阵a 的优 先权向量。 证明：设有r 1 个物体，归一化后的重量分别为劬，鸭，励。假设重量 1 7 之和为单位l 。它们的两两比较判断矩阵为： a = qqq 嘭乃t o , ( 0 2 ( 0 2 ( 0 2 q ( 0 2嚷 n nn q ( 0 2q = ( a 0 ) 力。胁 由特征向量原理a 的特征根r l 对应的特征向量= ( q ，哆，q ) 即为a 的优先权向量。 不失一般性，假设c o i 0 ) 2 q 。a 的行向量所对应的决策单元具有 相应的效率评价指数，每个d m u 都有一个虚拟的投入1 。现要计算元素m 的权重： 淑 l2 n 投入 决策单瓜 d m u l 竺l 竺上旦上 1 l c o2t o h d m u 2 2 0 3 2 t o2 1 & ) l c o2 n 国月h d m u n1 c ol2 c oh 图3 - 2 d e a 决策单元排序图 其中每个d m u 均有相应的效率评价指数。根据c h a r n e s c o o p e r 分式 变换后的输入均为1 的d e a 模型为： m a x u r y 7 = v r x , 一 ( 3 2 0 ) 一矿x + 甜7 y 0 v 7 0 ，t 1 7 0 其中：x 为第r 个输入单元的输入值；y i 7 为第r 个单元输出指标i 的输 出值；矿为第r 个输入单元输入值的权重；u ，为第r 个单元输出指标i 的输出权重。 z ，7 - - - - ( 1 r , 材2 ，dr ) ，y = ( y 1 7 ，耽，) r 1 8 y = y ? 。 y 0 由输入均为1 ，得x = ( x ix 2 ，) = ( 1 ，1 ，1 ) ，x 7 = 1 ，则( 3 2 0 ) 式的约束 条件可以转化成：， 2 1 ( 3 2 1 ) f 】，1 将a 中第r 个决策单元作为输出值代入式( 3 - 2 1 ) 进行计算，由第二个约 束条件假定找到的第n 个d m u 的最优值为，则考虑求解如下线性规划方 程： ”= 譬”+ 拿“：”+ + 譬。 q 国2q ( 吖，2 ”，“。”) u ”0 q o h鸭 哆劬 o ht 0 2 q 吨 t 0 2 蛾 c o c o c o 一一一 n ) lc 0 2 ( 3 - 2 2 ) 由于o h ( - 0 2 ，容易解得匕”= l ，此时甜”= ( 盟，0 ，0 ) 。 以此类推，2 罢，名22 詈，v p t l - i 等 即得到的有种排序向量为= ( q ，咤9 o * 9 q ) 。 即：用d e a h p 求得的行决策单元的效率评价指数和此判断矩阵的优先 权向量相一致。 定理l 和其证明过程充分说明用d e a h p 求解判断矩阵的优先权向量是 完全可行的，故d e a h p 也是优先权算法的种。d e a h p 方法将判断矩阵转 化成d m u 的投入产出矩阵，通过c 2 尺模型求解各决策单元的最优效率评价 指数。它是一种不受任何人为因素影响评价相对有效性的方法，各对象可 以根据其最优效率评价指数的大小进行排序。这种方法可以解决常规优先 权算法中因为存在决策者偏好而致使优先权向量无法调整的缺陷。尽管 1 9 d e a h p 的思想较新颖，但其与其它算法相比效果如何，还有待进一步论证。 3 3 算法的保序性 判断矩阵的优先权算法各有优劣。当判断矩阵完全一致时，所有方法 求得的优先权向量( 即权重) 完全相同；但对于不一致的判断矩阵，则可 能得到不同的结果，并且判断矩阵偏离一致性越远，各种方法的结果差别 越大。假设用某一种方法计算排序权值时，得到方案a 与方案b 的排序权值 的关系为q _ 魄或q = 魄，可见