（管理科学与工程专业论文）多目标最优化的若干问题.pdf

摘要 摘要 在多目标最优化( 亦称向量优化) 问题的研究中，多目标最优化问题的 有效解，弱有效解的稳定性以及多目标最优化问题的有效解用标量最优化 问题的解来逼近是十分重要的课题。本文在多目标最优化理论这两个课题 的研究中取得了下面的研究成果：( 1 ) 在序锥具有弱紧基的条件下讨论了多 目标最优化问题解的灵敏度；( 2 ) 在序锥是正则锥而不具有有界基的条件 下给出了有效点和弱有效点的稳定性分析；( 3 ) 引进了新的集合列的半收敛 概念，讨论了集合列的半收敛的性质，并研究了极限集合的紧性和连通性： ( 4 ) 在无限维空间中用标量最优化问题的解来逼近多目标最优化问题的有 效解。 本文共分六章。第一章，给出了多目标最优化的概念，以及本文的选 题动机。 在第二章，讨论了在序锥具有弱紧基的条件下集值映射，的切导数和 集值映射几尸的切导数之间的关系，引进了集值映射的新的上半局部 l i p s c h i t z 概念，利用这个概念，在有限维空间中给出了多目标最优化问题 的灵敏度分析的一个新的结果。 第三章讨论了在序锥是正则锥而不具有有界基下的条件下，多目标最 优化问题中有效点集在p a i n l e v 6 k u r a t o w s k i 1 2 】收敛意义下的稳定性问 题，改进了 1 2 的一个主要结果。同时还给出了向量值映射和集值映射多 目标最优化问题中的有效点集与弱有效点集的稳定性分析。 第四章引进了一种新的锥的扰动方式，并且讨论了这种扰动锥的性质。 借助于这一新的锥的扰动方式，得到了无限维空间中多目标最优化问题的 有效点可以用相应的标量化问题的最优解来逼近的结果。 第五章利用h e n i g 2 8 扩张锥的概念，以及h e l b i g 2 7 的思想，得到 了无限维空间中多目标最优化问题的有效解可以用相应的标量化问题的最 优值来逼近的结果。这是当集合非凸时的著名的a r r o w , b a r a n k i n , b l a k e w e l l 3 1 定理的推广。 第六章引进了拓扑空间中集合列的上半收敛，下半收敛与收敛的概念， 并给出了集合列的半收敛性质，还讨论了极限集合的连通性和紧性，讨论了 i l 摘要 半收敛与p a i n l e v 6 k u r a t o w s k i 收敛、有界h a u s d o r f f 收敛的关系。为稳定性 分析提供了一个新的工具。 第七章对整篇文章作个总结和对进一步工作作个展望。 关键词：多目标最优化，切导数，灵敏度分析，有效解，弱有效解， p a i n l e v 6 k u r a t o w s k i 收敛，正则锥，稳定性，扰动锥，逼近，集合列的上半收 敛，集合列的下半收敛。 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h es t u d y i n go ft h ep r o b l e mo ft h em u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n ( a l s ob e i n g c a l l e dv e c t o ro p t i m i z a t i o n ) ，t h e ya r ev e r yi m p o r t a n ti s s u e st os t u d yt h es t a b i l i t yo f t h ee m c i e n ts o l u t i o n sa n dt h ew e a ke 衔c i e n ts o l u t i o n so ft h ep r o b l e mo ft h e m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n a n dt os t u d yt h a tt h ee m c i e n ts o l u t i o n so ft h ep r o b l e m o ft h em u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o na r et h ea p p r o x i m a t i o no ft h es o l u t i o n so ft h e c o r r e s p o n d i n gs c a l a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m t h i st h e s i s a c h i e v e st h ef o l l o w i n g r e s u l t si nt h es t u d yo ft h e s et w oi s s u e so ft h et h e o r yo ft h em u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n ：f 1 ) i n v e s t i g a t et h es e n s i t i v i t y a n a l y s i s o ft h e m u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o nu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h eo r d e r i n gc o n eh a saw e a kc o m p a c tb a s i s ； ( 2 ) g i v eo u tt h es t a b i l i t ya n a l y s i so ft h ee 伍c i e n ts o l u t i o n sa n dt h ew e a ke f f i c i e n t s o l u t i o n su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h eo r d e r i n g c o n ei sn o r m a lb u th a sn o tt h e b o u n d e db a s i s ；( 3 ) i n t r o d u c et h en e wc o n c e p to ft h es e m i - c o n v e r g e n c eo ft h e s e q u e n c eo fs e t sa n di n v e s t i g a t et h ep r o p e r t y o ft h es e m i c o n v e r g e n c eo ft h e s e q u e n c eo fs e t s a n ds t u d yt h ec o m p a c t n e s sa n dc o n n e c t i o no ft h el i m i t e ds e t ；( 4 ) u s e t h es o l u t i o no ft h es c a l a ro p t i m i z a t i o np r o b l e mt oa p p r o a c ht h ee 伍c i e n ts o l u t i o no f t h ep r o b l e mo f t h em u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o ni ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e 。 t h j st h e s i si sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s c h a p t e r1i l l u s t r a t et h ec o n c e p to ft h e m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o na n dt h em o t i v eo ft h ep r o j e c tf o rr e s e a r c hw o r k i nc h a p t e r2 ，w ed e a lw i t ht h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v e so f s e t v a l u e dm a pfa n dt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v e so ff 七pu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h e o r d e r i n gc o n eh a saw e a k l yc o m p a c tb a s e ，a n dw ei n t r o d u c ean e wc o n c e p to fu p p e r l o c a l l yl i p s c h i t zo ft h es e t v a l u e dm a p ，b yt h i sc o n c e p t ，w eo b t a i nan e w r e s u l to f t h es e n s i t i v i t ya n a l y s i si nm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o ni nf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e c h a p t e r3i n v e s t i g a t e st h es t a b i l i t yo ft h es e t so fe f f i c i e n tp o i n t si nt h es e n s eo f t h ec o n v e r g e n c eo fp a i n l e v 否k u r a t o w s k i 【12 】i nt h ep r o b l e mo fm u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o nu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h eo r d e r i n gc o n ei sr e g u l a rb u th a s n o ta b o u n d e db a s e ，i m p r o v i n gt h em a i nr e s u l to f 【l2 】t l l i sc h a p t e ra l s oi n v e s t i g a t e st h e s t a b i l i t yo ft h es e t so ft h ee m c i e n tp o i n t sa n dt h ew e a ke f ! f i c i e n tp o i n t so fp r o b l e m s i nm u l t i o b je c t i v eo p t i m i z a t i o no fv e c t o r - v a l u e dm a pa n ds e t - v a l u e dm 印 i nc h a p t e r4an e ws t v l eo fd i l a t i n go r d e r i n gc o n ei si n t r o d u c e d ，a n dw e i n v e s t i g a t et h ec h a r a c t e ro ft h i sd i l a t i n go r d e r i n gc o n e w i t ht h eh e l pw i t ht h en e w c o n c e p t ，t h i sp a p e ra l s og e t st h er e s u l t st h a tu s i n gt h es o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n g s c a l a ro p t i m i z a t i o np r o b l e mt oa p p r o a c ht h ee m c i e n ts o l u t i o no ft h ep r o b l e mo ft h e m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o ni ni n f i n i t es p a c e i nc h a p t e r5 ，w i t ht h eh e l po fa n o t h e rs t y l eo fd i l a t i n go r d e r i n gc o n ew h i c h i n t r o d u c e db yh e n i g 2 8 】a n db yu s i n gt h et h o u g h to fh e l b i g 2 7 ，w ea l s od e a l sw i t h t h er e s u l t st h a tu s i n gt h es o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gs c a l a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m i v a b s t r a c t t oa p p r o a c ht h ee m c i e n ts o l u t i o no ft h ep r o b l e mo ft h em u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n i ni n f i n i t es p a c e t h i si st h ee x t e n s i o no ft h ef a m o u st h e o r yo fa r r o w , b a r a n k i n b l a k e w e l l 31 】w h e nt h es e ti sn o tc o n v e x i nc h a p t e r6w ei n t r o d u c et h en e w c o n c e p to fu p p e rs e m i c o n v e r g e n c e 1 0 w e r s e m i 。c o n v e r g e n c e ，c o n v e r g e n c eo fs e q u e n c e so fs e t si nt o p o l o g i c a ls p a c e w r eg i v e o u tt h e p r o p e r t i e s o f s e m i c o n v e r g e n ts e q u e n c e s o fs e t s ，a n dd i s c u s st h e c o n n e c t e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fl i m i ts e t ，a n da l s od i s c u s st h er e l a t i o n s h i pa m o n g t h es e m i - c o n v e r g e n c e ，p a i n l e v 6 k u r a t o w s k ic o n v e r g e n c e ，a n db o u n d e dh a u s d o r f f c o n v e r g e n c e 1 1 1 i sc h a p t e rr e v e a l st h a tw ep r o v i d ean e wt o o lf o rs t a b i l i t ya n a l y s i s c h a p t e r7s u m m a r i z et h er e s u l t so fa l lt h i st h e s i sa n dl o o kf o r w a r dt l l ed e e p e r r e s e a r c ha b o u tt h i sk i n do fw o r k k e yw o r d s ：m u l t i o b j e c t i v ep t i m i z a t i o n , c o n t i n g e n td e r i v a t i v e ，s e n s i t i v i t y a n a l y s i s ， e 伍c i e n t s o l u t i o n s ， w e a ke 伍c i e n ts o l u t i o n s ，p a i n l e v 6 k u r a t o w s k i c o n v e r g e n c e ，r e g u l a rc o n e ，s t a b i l i t y , d i l a t i n gc o n e ，a p p r o x i m a t i o n ，u p p e r s e m i - c o n v e r g e n c eo ft h es e q u e n c eo fs e t s ，l o w e rs e m i - c o n v e r g e n c eo ft h es e q u e n c e o f s e t s v 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 教育机构的学位或证书而使用过的材料。 也不包含为获得南昌大学或其他 与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ： 古孕 签字日期 冽多年6 月z 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ：乖导 导师签名( 手写) ：垄f 砖尹 | 签字日期：z 卯多年历月五一7 日 签字日期：坼厂月彩日 第一章引言 1 1 多目标最优化模型 第一章引言 在线性规划和非线性规划中，所研究的问题都只含有一个目标函数，这类 问题通常称为单目标最优化问题，简称单目标规划。但是，在工程技术、生产 管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种 意义下的晟优化问题，我们称这种含有多个目标的最优化问题为多目标最优化 问题，简称多目标规划，也称为向量优化。它是管理科学的重要的工具和理论 基础。例如，徐大江 5 2 利用多目标最优化解决了国际证券投资的问题，建立 了如下的多目标最优化模型： j v m a x ，= d j w ，+ 氐w o j = l m i n 盯= 口( 1 一口) ”叫( 仉+ n ) + ( 1 一口) ”( r i o + 岛) i = l s u b j e c t t o w o + 叶= 1 j l l _ v ( 4 。一d o ) w o + ( 吒- d j ) w j + r l - p , = o ，= o ，1 ，力 w o 0 ，w j o ，= 1 , 2 ，n r ，o ，p t 0 ，r = 0 , 1 ，h 并且分析了风险盯最小和本币收益，- 最大的国际证券投资组合，得到国际证券 投资组合的有效解，从而确定投资实施方案，使得国际证券投资组合具有时变 适应性。同样的，何宜庆 5 7 通过建立允许卖空和不允许卖空下的证券组合投 资多目标决策模型，并对三种风险证券加以分析，求出有效解，从而得到最佳 的投资组合。使用多目标最优化解决其他的实际问题还有 5 3 5 5 等。又如，某 物资部门，拟将几个仓库的物资调拨到另外若干个销售点去。在制订调拨计划 时，一般考虑这样两个目标：既要考虑在运输过程中少走冤枉路，即总的吨公 里数要求是最少：同时又要考虑节省运费，即总的运输费用要晟低。这是一个 含有两个目标的最优化问题。为了解决这一实际问题，当然要建立数学模型。 从应用数学的角度来看，有了数学模型以后，不仅为定量地解决问题提供了必 要的前提，而且也为定性地研究问题指出一条统一的途径。沿着这个途径，不 仅可以做理论上的分析。还可以作出各种计算方法，从而又可以在更广泛的意 第一章引言 义上指导实践。 为此，首先需要确定问题中所涉及的已知量，并设计出未知量，我们称为 决策变量，然后按要求寻找所要求的目标函数中的各个变量之间所满足的限制 条件，我们称为约束条件。根据物资调运的特点，假设某种物资分别存放在彳。， 彳2 ，彳。个仓库中，各个仓库的存量分别为a ，口：，q o o 9 口舯。并假设有b 。， b ：，e 个销售点，各销售点的需要量分别为b 。，b ：，b 。而由 彳。( f = 1 ，2 ，m ) 至l jb j ( = 1 ，2 ，甩) 的路程和单位运费分别为办公里和c ，元。假 设由彳。( 扛1 , 2 ，朋) 调拨到毋( = l ，2 ，玎) 的物资量为，则上述物资调运问 题便可以用下式来描述： 办为 f = lj = l c | ，嘞 勤 j = l f = l 0 ( i = = q ( i = 1 , 2 ，m ) = b j ( ，= 1 , 2 ，玎) 。 1 , 2 ，m ；j = 1 , 2 ，刀) 以上是一个具有m n 个变量，两个目标函数，m 玎+ ( m + 玎) 个约束条件的 条件极值问题，它是物资调运这个双目标最优化问题的数学模型。当然，我们 还可以考虑产销是否平衡的问题，即加上条件：q 与6 ，的大小比较。 f - i j = l 从数学角度来看，上面的例子实际上属于同一模式。这就是：它们都是考 虑在一定限制条件下，多于一个数值目标函数的最优化问题。如果弃去这些例 子中的各种量的实际意义，而仅考虑这些量在问题中所起的作用，以及他们之 间的关系，我们可以从这些问题中归纳出以下的模型： 2 第一章引言 m i n f l ( x l ，x 。) r a i n ，( x l 一，x n ) m a x f + i ( x l ，_ - ，靠) m a x ，卅( ，x n ) s ，l g 仇sl ( x x l t ，, - ，, x x 月, j ) = u o ，, k j = - - 1 l ，, - - ，, p 口。 也可以用向量形式表示研个目标函数： f ( x ) = ( 石0 ) ， ( 砷，l 0 ) ) 。 由于极大问题也可以归结为极小问题，所以可以将以上数学模型抽象出来，即 是： 其中，：acr ”斗r ”为向量值函数，而集合彳表示限制集合。特别的，对于 无限维空间，函数，( 砷可能是一个从一个拓扑线性空间x 到另一个拓扑线性空 间y 的向量值函数。所以一个多目标优化问题总是可以用一般形式表示为： 忙r a i nxf(xa)(vop) 其中f ( x ) ：x 哼】，是一个向量值映射，acx 为限制集合。 设c 为y 中的序锥，当y j c 时，称x y 。若x o a ，使得 ( ，( 4 ) 一八而) ) n ( 一c ) = o ，则称为( v o p ) 的有效解a 差= i n t c 矿，若a ， 使得( 厂( 一) - f ( x 。) ) n ( 一i n t c ) = ，则称粕为( v o p ) 的弱有效解。 曲a八：! ： n 血 ，【 第一章引言 1 2 选题动机 容易知道，凡是一个能用数学规划解决的实际问题，在构造数学模型的过 程中，由于观察、实验和测量等手段所获得的数据不可能完全准确，因此得到 的数学模型和问题本身的真实模型一般是不同的。后者被称为是精确模型，前 者称为是近似模型，抽象地看，近似模型可以看作是精确模型中的数据做微小 变动而得到的。显然，这两个问题的最优解一般是不同的。具体地说，当精确 问题有最优解时，近似问题不一定有最优解；即使有最优解，两者的差异也不 见得很小；即使很小，最优值的差异还可能很大。 当将一个原问题的系数作微小变动之后，所得到的近似模型不仅要有解， 而且解和值也都只有微小变化，只有这样才能用近似模型去代替原始问题，或 者说，才能保证数学模型的可靠性。灵敏度分析和稳定性理论就是研究这种可 靠性的理论。 灵敏度分析和稳定性理论是从两个方面对可靠性加以分析。前者是对近似 模型的一种定量的分析，后者是对近似模型的一种定性的分析。二者相结合是 对优化问题的完整的刻画。由于导数代表的是一种变化率，所以灵敏度分析是 研究近似模型的导数与原来模型的导数之间的关系，即扰动映射与原来映射的 导数的关系，在这里讨论的导数是集值映射的切导数问题。而稳定性分析是一 种定性的分析，即是研究近似模型的解在什么条件下能逼近原始问题的解。因 此，多目标优化问题中的灵敏度分析是多目标优化问题中的重要的课题。 t a n i n o 2 ，8 1 通过使用a u b i n 7 给出的切导数的概念研究了集值映射f 和集值映 射f + p 的切导数的关系，可行集值映射和扰动集值映射的切导数的性质，并 给出了以及有限维空间中多目标优化的灵敏度分析的结果。s i l i 【3 】引进了t p 切 导数的概念，在较弱的条件下推广了t a n i n o 2 】的结论。此后k u k ，t a n i n o 和 t a n a k a 6 研究了目标空间中的集值映射】，( “) 的d y ( u ，y ) ) 的极小点和集值映 射r ( u ) 的极小点集的切导数之间的关系，弱极小点集，真有效点集的切导数的 关系。但是以上的研究均需要序锥具有紧基这个较强的条件。我们可以在更弱 的条件下研究集值映射f 和集值映射f + 尸的切导数的关系。另外，t a n i n o 2 中为了得到有限维空间的一个灵敏度分析的结果，引进了一个新的集值映射 一 足( 材，y ) = ( x r ”ix x ( u ) ，f ( x ，“) = y ，并且要求j ( “，y ) = ( x 以 及牙( g ，y ) 在( g ，y ) 附近是上半局部l i p s c i t z 的。验证这一条件是不容易的， 而且条件戈( “，y ) = x ) 是不自然的。更加有可能出现牙( 甜，y ) 是没有意义 的情况。因此这一假设是不恰当的。我们引进一个新的概念：集值映射上半 l i p s c h i t z 条件，借助这一概念，我们也给出了有限维空间的灵敏度分析的一个 4 第一章引言 新的结果。 a t t o u c hh ，r a i hh 1 2 】研究了当扰动集合d 。按p a i n l e v a - k u r a t o w s k i 收敛 意义收敛到集合d 时，d 。的有效点和d 的有效点的关系。要求序锥具有有界 基。h u a n gxx 11 】利用了 1 2 】的思想，研究了向量值映射和集值映射下的像集 的有效点的稳定性，但是仍然要求序锥具有有界基。序锥具有有界基是一个较 强的条件。我们知道序锥具有有界基，则序锥一定是正则的，反之，不一定成 立。龚循华和刘伟 1 5 】在序锥是正则的而不具有有界基的条件下考虑了有效点 和弱有效点的稳定性理论。 我们知道多目标最优化问题不易求解，而数值问题求解有一套完整的理论 和方法，因而将多目标最优化问题转化为标量优化问题来求解，即将多目标最 优化问题进行标量化，这是一个重要的课题。a r r o w , b a r a n k i n ，b l a c k w e l l 6 1 证 明了在有限维空间中，任何一个紧凸集的正真有效点在有效点中是稠密的。后 来， 5 9 ，6 0 ，6 卜6 8 分别加强序锥的条件，减弱集合的条件也可以得到a r r o w , b a r a n k i n ，b l a c k w e l l 定理。g o n g 1 0 禾l j 用可凹点的概念在集合是弱紧，序锥具有 基的条件下推广了a r r o w , b a r a n k i n ，b l a c k w e l l 稠密性定理。在这里，g o n g 1 0 1 1 使用了扩张锥c o n e ( b + 二y ) 。对于非凸集合的有效点集用标量优化问题的最优 ，2 解去逼近，这是一个十分重要的问题。h e l b i g 2 7 使用了p a s c o l e t t i a s e r a f i n ip 的思想，利用了俾”) = r ”这一好的特性，得到了向量优化的有效解可以用相 应的标量优化问题的最优解来逼近。锥的扰动方式在向量优化问题中起着很重 要的作用。我们也可以引进一种新的序锥的扰动方式。通过使用这一新的概念， 并且利用h e l b i g 2 7 的思想，我们研究了无限维空间中向量优化有效解的逼近 理论。当然，我们也可以使用 1 0 ，2 9 中的h e n i g 扩张锥，研究无限维空间中 向量优化有效解的逼近理论。 不少学者引入了很多新的工具来研究变分和优化问题的逼近理论与稳定性 ( 见【l l ，1 2 ，1 6 ，2 0 ，3 3 3 9 】) 。大部分的研究依赖集合收敛的概念，如w i j s m a n 收敛，p a i n l e v d k u r a t o w s k i 收敛，m o s c o 收敛，a t t o u c h w e t s 收敛，有界h a u s d o r f f 收敛( 见 3 8 4 5 ，6 9 - 8 2 】) 。我们引进一种新的集合收敛的概念，即是，集合列的上 半收敛，下半收敛，收敛。可以看到通过使用新的集合列的收敛的概念可以很 方便地研究集合列和它的极限的性质。同样通过使用新的概念也可以很方便地 理解p a i n l e v d k u r a t o w s k i 收敛的概念、有界h a u s d o r f f 收敛的概念。 第二章关于集值映射的相依导数与多目标最优化问题的灵敏度分析 第二章关于集值映射的相依导数与多目标最优化问题的 灵敏度分析 本章在序锥p 具有弱紧基这个较弱的条件下讨论了集值映射f 的切导数与 p 咿的切导数之间的关系；引进了集值映射的新的上半局部l i p s c h i t z 概念，利 用这个概念，我们在有限维空间中给出了多目标最优化问题的灵敏度分析的一 个新的结果。 2 1 引言及定义 多目标优化问题中的灵敏度分析是多目标优化问题中的重要的课题。1 9 8 8 年t a n i n o 2 ，8 1 通过使用a u b i n 7 给出的切导数的概念研究了集值映射f 和集值 映射f + p 的切导数的关系，可行集值映射和扰动集值映射的切导数的性质， 并给出了有限维空间中多目标优化的灵敏度分析的结果。s h i 3 引进了t p 切导 数的概念，在较弱的条件下推广了t a n i n o 2 】的结论。此后k u k ，t a n i n o 和t a n a k a 6 】 研究了目标空间中的集值映射y ( z ，) 的切导数和集值映射j ，( ”) 的极小点，弱极小 点，真有效点所带来的扰动映射的切导数的关系。 但是以上的研究均需要序锥具有紧基这个较强的条件。以下我们在序锥具 有弱紧基的条件下研究集值映射尸和集值映射f + p 的切导数的关系。另外我 们引进一个新的概念：集值映射上半l i p s c h i t z 条件，借助这一概念，我们给出 了有限维欧氏空间的灵敏度分析的一个新的结果。 以下我们总假设y 和z 是两个b a n a c h 空间，f 是一个从y 到z 的集值映 射，记号“专 表示收敛、“与”表示弱收敛、“w c l ”表示弱闭包且u 表 示z 空间中的闭单位球。 定义2 1 设彳为b a n a c h 空间v 的非空子集， ，a 。我们定义集合r a ( v ) 如 下： r a ( v ) = 1 ，v ：存在序列 1 ，i c 彳， 气) cr + ，使得叱专，nt ( 1 ，- v ) 寸，) 。 并且把集合l ( 1 ，) 称为集合a 在点v 的切锥，这里r + = f | r ( 0 ，佃) 。 设f 是从y 到z 的集值映射，的图表示为g r a p h f ，定义如下 g r a p h f = ( v ，z ) iz ，( v ) ) cv x z 。 6 第二章关于集值映射的相依导数与多目标最优化问题的灵敏度分析 设p 为z 中的闭凸点锥，p 的非空子集台称为是p 的基，若 p = e o n e ( b ) = 舳：五0 , b b ) ，且0 萑c l b 。 从v 到z 的集值映射f + p 定义为 ( 只d ) ( v ) = h 田斗，v v 。 定义2 2 设( v ，z ) 为g r a p h f 中的一点，我们用d f ( v ，z ) 表示从矿到z 的集 值映射，它的图是，的图在( v ，= ) 的切锥k n z ) ，并且称之为，在( v ，：) 的切 导数a 换句话说，三d f ( v ，z ) ( v ) 当且仅当( v ，力弓耐f ( v ，三) ，也即当且仅当 存在 v i ) cv ，气f ( v k ) ，f i r + 使得( v t ，瓤) 呻0 ，z ) ， 且 t k ( ( v i ，z i ) 一( v ，z ) ) 斗( v ，z ) 。 注2 1 ( 见【2 】) 当p 是z 中的一个点闭凸锥，r ( v ，：) g r a p h f ，则有： d f ( 1 ，z ) ( v ) pcd ( f + p ) ( v ，：) ( v ) ，v v v 。 定义2 3 ( 【3 】) 设( v ，三) 为g r a p h f 中的一点。定义： 订k 卅( v ，z ) = ( v ，：) v xz ：存在 咋) cv ，z ，( 叶) ， cr + ，使得 v i 1 ，且f ( ( v ，z 女) 一( 1 ，z ) ) ( v ，z ) ) 。 称f ( 1 ，= ) 为g r a p h f 在( v ，z ) 的t p 锥。 我们用p f ( ，二) 表示从v 到z 的集值映射，它的图是锥口知p ，z ) ，称 p f ( v ，= ) 为f 在( v ，z ) 的t p 切导数。 注2 2 当f 的图是凸集时，易知k ( v ，z ) 5 f ( ，z ) ( 见 3 】) 。 2 2 集值映射切导数的性质 定理2 1 设v 为实赋范线性空间，z 为自反的赋范空间，p 为z 中的闭凸 点锥。f 为从v 到z 的集值映射，设( v ，孑) 为g r a p h f 中的一点。如果存在v 的 7 第二章关于集值映射的相依导数与多目标最优化问题的灵敏度分析 一个凸邻域d 使得g r a p h d f = ( ，z ) ：1 ，d ，g f ( v ) ) 是一个凸集， l 0 仨w - c l ( p 去u ) ，且阿( v ，z ) ( o ) n ( 一p ) = o ) 。则： d ( f + 尸) ( v ，z ) ( ，) cd f ( 1 ，z ) ( 1 ，) + p ，v v v 。 证明：v v v ， 设z d ( f + 尸) ( 1 ，z ) ( v ) 。如果( 1 ，z ) = ( o ，0 ) ， 则 z d f ( ，z ) ( ，) cd f ( 1 ，z ) ( 1 ，) + 尸。如果( v ，z ) ( 0 ，0 ) ，存在序列 气) cr + ， 1 l ，) cv 且z i r ( v 女) ， d k ) cp 使得 ( v i ，z + 以) 寸( 1 ，z ) ，i ( 1 ，i v ，z i + d i z ) ( v ，z ) 。( 2 1 ) 以下分两种情况讨论： 情况1 ：存在一个正整数k 。，当k 时，有z i = z 。由( 2 1 ) 可知z p 且 o ed f ( v ，z ) ( 1 ，) 。于是 z = o + z d f ( v ，z ) ( 1 ，) + p 。 ( 2 2 ) 情况2 ：存在一个子列 z ) ，使得v 后，z z 。不失一般性，可设任意的尼都 有乙z 。由( 2 1 ) 有 “矿巩纠卜三恼m 一。 ( 2 3 ) 如果怯一三0 是有界的，则 气怯一三0 存在一个收敛的子列。不妨设 8 第二章关于集值映射的相依导数与多目标最优化问题的灵敏度分析 “悻一三4 斗五。由于z 为自反的赋范空间，以及 - 1 两埔在 叫撇蝴捌地骄搬雨 呱2 3 ) kd t 山z 一兔2 0 ( 2 4 ) 令z k 暑一丑白，由尸是弱闭集，知= p 且z - - z + 五气。因为g r a p h d f = “v ，z ) ： v d ，z f ( v ) ) 是一个凸集，从( 2 3 ) 和( 2 4 ) 和【9 】中的定理3 4 7 和推论3 4 6 可知： f ( ( v t ，) 一( v ，：) ) 兰斗( ，zz o ) w e l c o n e ( g r a p h d f 一( v ，三) ) 】 2 矿( v ，z ) 2 f ( v ，= ) 。 所以， z o d f ( v ，：) ( v ) 。于是： z 2 = + 丑三o d f ( v ，z ) ( v ) + p ( 2 5 ) 如果怯一三是无界的，由( 2 1 ) ，我们有： 斗。一刮甬+ 南训。卜三n 矿三r 好蹦皈脯靛风删环姗甬。自( 2 6 洧： - 一知p 。 卜刮 泸 9 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二章关于集值映射的相依导数与多目标最优化问题的灵敏度分析 意的k 有： 0 。i n 一 0 由( 2 6 ) ，不妨设对于任意的七有慨忙三。于是对于任 所以对于任意的k 有： 同d k 州1 2 u 。 卜三r 2 1 一l 要。 二 由( 2 7 ) ，：f f - z oe w - c 改p 圭u ) ，由条件有：z 。o 。并且由于聊，是一个凸 集，所以： 南t 矿幻 0 ，不失一般性，可设对于所有的 正整数七，都有f i 占o 。令 以= ( f o t 吼) d k 。 那么d k p ，且以一瓦p 。由于f 在集合d 上是尸凸的，所以， ( ，z ) ：1 ，d ， 第二章关于集值映射的相依导数与多目标最优化问题的灵敏度分析 z f ( 1 ，) + p ) = ( 1 ，z ) 1 1 ，d ，z ( ，+ p ) ( 1 ，) = 删d ( ，+ p ) 是凸的，于是有 一 ，i 一，乙f ( v t ) ，vi n t d ，d k d k p 。所以有下式： k ( ( 1 ，z i + d i ) 一( v ，z ) ) c o n e ( g r a p h d ( f + 尸) 一( ，z ) ) c c l ( c o n e ( g r a p h o ( f + p ) 一( v ，z ) ) ) 2 乙毗( 肿) ( 1 ，z ) 2 ( ) ( ，z ) 。 由于。( f + p ) ( 1 ，z ) 是闭凸集，因而是弱闭集，且有 ，i ( z + 巩一d k z ) 2 ，( z i + d k z ) 一r 巩 2 t i ( z i + d i z ) 一t k ( s o t i 口) 口ib i = f 量( z 七+ d 七一z ) 一g ob k 与z g o6 ， 所以 t t ( ( ，i ，z i + d k d t ) 一( v ，z ) ) 竺争( ，z 一占ob o 因此我们有： ( 1 ，z 一岛b ) e w c l c o n e ( g r a p h d ( f + p ) 一( v ，z ) ) 】2 ( 肿) ( v ，z ) 。 所以z 一氏b d ( f + 尸) ( v ，z ) ( ，) 。于是一占ob ( d ( f + p ) ( 1 ，z ) ( v ) - z ) n ( 一尸) 0 ) ，这与条件 z m i n j pd ( f + p ) ( v ，z ) ( ，) 矛盾。所以有t i 瓯- - - - h0 。因为 b k ) 是有界的，吒钆专0 。由( 2 9 ) ， 气( z i z ) 寸z 。由于气- - - - ) + ，我们有乙一z 。因此z d f ( v ，z ) ( 1 ，) 。 口 2 3 多目标最优化问题的灵敏度分析 在这一部分我们