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多维动态系统分析方法及其应用研究 摘要 本文主要提出了多维动态系统分析方法并应用于中国股票市场系统分析。 目 前复杂系统分析的核心问题可以概括为四个主要方面: 一是复杂系统总体 表现特征研究; 二是复杂系统要素作用特征研究; 三是复杂系统微观与宏观结构 特征研究;四是复杂系统从低层到高层的涌现行为研究。 如果将复杂系统抽象为一个单一的表达，那么最合适的表达方式就是维度。 复杂系统的各种宏观行为特征显然可以同样类推到维度的各种属性或功能与特 征衍生维。 复杂系统的每个要素映射为系统的子维。 由要素到系统的涌现等行为 则是子维到母维的层次变换。 维度是有结构的， 也是演化的。 而维度的结构性必 然会引发信息筛，即外界进入的信息按某种特定的信息处理方式进行。 有了上述基础，通过解析复杂系统就可以导出多维动态系统分析方法 ( m d s a t )。 md s a t的 基本内容包括: 五个基础性问题 ( 维度的衰减、信息 筛、演进性和演退性、系统内部的维度扭曲 度、 和系统抛射与吸纳间的平衡)， 作为该方法分析基础的维度、 维度扭曲 和维度变换 ( 包括定义、 特征、 分类等内 容) ，以及构成和应用md s a t所必需的信息筛与系统边界面分析 ( 包括信息筛 与系统边界面的定义、 特征、 分类，以 及二者与维度、 维度扭曲、维度变换、 系 统和环境等之间的关系) ， 之后是m d s a t的哲学与逻辑基础及其基本分析步骤， 正确理解m d s a t 所必需的相关知识等放到了附录中。 在阐述多维动态系统分析方法后， 论文的第四、 五两章对其依托于中国股票 市场 ( 主要是上海证券交易所市场) 做了实证应用研究。 主要包括维度实证应用 ( 又可分为上证指数表现维、 上证指数涨跌维、 上证指数分数维、 上证指数级数 维、 及其综合分析)、 维度扭曲实证应用 ( 分为上证指数日 线表现维扭曲、上证 指数分数维维度扭曲、 上证指数级数维维度扭曲、 及其综合分析) 、 维度变换实 证应用 ( 分为股指与个股间层次变换、 衍生维对源维的层次偏离、 源维与衍生维 空间表达、 上证指数维度集的维度变换、 和上证指数源维与均线维的分维维度变 换)和 md s a t的实证应用 ( 主要是按基本分析步骤进行的分析，最后证明了 md s a t对股票市场模拟的稳定性并做了一个小型的股市波动模拟)。 多维动态系统分析方法及其应用研究 附录部分给出了进行维度分析需要的逻辑斯蒂分维定义、修正对数分维定 义、和指数级数维有界推导，用于证明股票市场模拟稳定性的引理，以及维度、 信息筛和层次变换等md s a t构成内容在其它领域的一些应用。 关键词:复杂系统: 多维动态系统分析方法 ( m d s a t ) ; 维度; 信息筛; 边界面 行为; 抛射;吸纳:边界面变形运动;实证应用 多维动态系统分析方法及其应用研究 ab s t r a c t t h i s t h e s i s m a i n l y i n c l u d e s t h e mu l t i - d i m e n s i o n a l d y n a m i c a l s y s t e m a n a l y s i s t h e o r y ( md s a t ) a n d i t s a p p li c a t i o n s t o s y s t e m a n a ly s e s o f c h i n e s e s t o c k m a r k e t . o n t h e c u r r e n t , t h e c o r e i s s u e s o f c o m p l e x s y s t e m s a n a l y s e s m a y b e g e n e r a l i z e d 4 f a c e t s : t h e f i r s t i s c o l l e c t i v e f e a t u r e s r e s e a r c h e s o f c o m p l e x s y s t e m s ; t h e s e c o n d i s f e a t u r e s r e s e a r c h e s a b o u t i n t e r a c t i o n s a m o n g e l e m e n t s ; t h e t h i r d i s h i e r a r c h i c a l f e a t u r e s r e s e a r c h e s b e t w e e n m a c r o - a n d m i c r o - m e c h a n i s m ; t h e l a s t i s e m e r g e n c e b e h a v i o r s r e s e a r c h e s f r o m l o w t o h i g h l e v e l s . i f t h e c o m p l e x s y s t e m s c a n b e a b s t r a c t e d a s a s i n g l e c o n c e p t i o n , t h e m o s t s u i t a b l e i s d i m e n s i o n . a n d i t i s o b v i o u s t h a t m a c r o - b e h a v i o r s f e a t u r e s o f c o m p l e x s y s t e m s m a y b e a n a l o g i c a l l y a s a t t r i b u t e s o r f u n c ti o n s o f d i m e n s i o n s , a n d d e r i v a t i v e d i m e n s i o n s . e l e m e n t s i n c o m p l e x s y s t e m s a r e m a p p e d a s s u b - d i m e n s i o n s . f u r t h e r m o r e , t h e e m e r g e n c e b e h a v i o r s fr o m e l e m e n t s t o s y s t e m s a r e t r a n s f o r m e d t h e h i e r a r c h i c a l t r a n s f o rma t i o n s b e t w e e n s u b - d i m e n s i o n s a n d p a r e n t - d im e n s i o n s . t h e r e a r e s t r u c t u r e s t o d i m e n s i o n s , a n d t h e y a r e e v o l u t i v e . mo r e o v e r , t h e s t ru c t u r e s o f d i m e n s i o n s i n e v i t a b l y r e s u l t i n i n f o r m a t i o n s i ft s , n a m e l y p r o c e s s i n g e x o t i c i n f o r m a t i o n w i t h s o m e s p e c i a l l a w s . o n t h e b a s i s o f a b o v e c o n t e n t s , t h e m d s a t c a n b e e d u c e d t h r o u g h a n a l y z i n g c o m p l e x s y s t e m s . t h e m a i n c o n t e n t s o f md s a t i n c l u d e s : f i v e f u n d a m e n t a l i s s u e s ( f a d i n g o f d im e n s i o n s ; s i ft o f i n f o r m a t i o n ; f o r w a r d - e v o l v i b i l i t y a n d b a c k w a r d - e v o lv i b i l i t y ; d i m e n s i o n s d i s t o r t i o n i n s y s t e m s ; a n d b a l a n c e b e t w e e n p r o j e c t i n g a n d s u c k i n g o f s y s t e m s ) , d i m e n s i o n s , d i m e n s i o n a l d i s t o r t i o n s , a n d d i m e n s i o n a l tr a n s f o r m a t i o n s ( i n c l u d i n g d e f i n i ti o n s , f e a t u r e s , a n d c a t e g o r i e s , a n d s o o n ) a s a n a l y s e s f o u n d a t i o n s o f md s a t , a n d i n f o r m a t i o n s i ft a n d s y s t e m a ti c a l b o u n d a r y a n a l y s e s ( i n c l u d i n g d e f in i t i o n s , f e a t u r e s , a n d c a t e g o r i e s o f i n f o r m a t i o n s i ft a n d s y s t e m a t i c a l b o u n d a r y , a n d r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e m a n d d i m e n s i o n s , d i m e n s i o n a l d i s t o r t i o n s , a n d d i m e n s i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s , a n d s y s t e m s a n d e n v i r o n m e n t s ) , t h a t i s n e c e s s a r y c o n s t i t u t i n g a n d a p p l y i n g m d s a t , a n d t h e p h i l o s o p h i c a l a n d l o g i c a l f o u n d a t i o n s o f 多维动态系统分析方法及其应用研究 md s a t a n d i t s b a s i c a n a l y s i s s t e p s , a n d t h e l a s t i s n e c e s s a ry c o r r e l a t i v e k n o w l e d g e r i g h t l y u n d e r s t a n d i n g md s a t . t h e f o r t h c h a p t e r i s p o s i t i v e a p p l i c a t i o n r e s e a r c h e s o f m d s a t b a s i n g o n c h i n e s e s t o c k m a r k e t ( m a i n l y s h a n g h a i s t o c k e x c h a n g e m a r k e t ) . t h e c o n t e n t s m a i n l y i n c l u d e d i m e n s i o n a l p o s i t i v e a p p l i c a t i o n s r e s e a r c h e s ( i n c l u d i n g b e h a v i n g d i me n s i o n r i s i n g - f a l l i n g d i m e n s i o n , f r a c t a l d i m e n s i o n , p r o g r e s s i o n a l d i m e n s i o n o f s t o c k e x c h a n g e i n d e x e s a n d t h e i r c o m p o s i t i v e a n a ly s e s ) , p o s i t i v e a p p l i c a t i o n s r e s e a r c h e s o f d i m e n s i o n a l d i s t o r ti o n s ( i n c l u d i n g d i s t o rt i o n s o f b e h a v in g d i m e n s i o n , f r a c t a l d i m e n s i o n , a n d p r o g r e s s i o n a l d im e n s i o n o f s h a n g h a i s t o c k e x c h a n g e i n d e x e s a n d t h e i r c o m p o s i t i v e a n a l y s e s ) , p o s i t i v e a p p l i c a t i o n s r e s e a r c h e s o f d im e n s i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s ( i n c l u d i n g h i e r a r c h i c a l t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n s t o c k i n d e x a n d s t o c k s , t h e l e v e l d e p a r tu r e a n d s p a c e e x p r e s s i o n o f d e r i v a t i v e d i m e n s i o n to o r i g i n a l d i m e n s i o n , t h e d i m e n s i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s o f d i m e n s i o n s e t s o f s h a n g h a i s t o c k e x c h a n g e i n d e x e s , a n d t h e d i m e n s i o n a l t r a n s f o r m a t i o n s o f fr a c t a l d i m e n s i o n s b e t w e e n o r i g i n a l a n d d e r iv a t i v e d i m e n s i o n s o f s h a n g h a i s t o c k e x c h a n g e i n d e x e s ) a n d t h e p o s i t i v e a p p l i c a t i o n o f m d s a t ( a n a l y z i n g s t o c k m a r k e t a c c o r d i n g t o b a s i c s t e p s o f m d s a t , a n d a t l a s t p r o v i n g t h e i m i t a t i o n s t a b i l i t y o f m d s a t a n d g i v i n g a s m a l l fl u c t u a t i o n i m i t a t i o n o f s t o c k m a r k e t ) . t h e a p p e n d i x g i v e s t h e d e f i n i t io n s o f l o g i s t i c fr a c t a l a n d r e c t i f i e d l o g a r i th m fr a c t a l , a n d p r o v i n g t h a t t h e p r o g r e s s i o n a l d i m e n s i o n i s li m i t a ry , a n d p r o v i n g a l e m m a f o r i m i t a t i o n s t a b i l i t y o f s t o c k m a r k e t . o t h e r w i s e , s o m e a p p l i c a t i o n s i n s o m e f i e l d s f o r d i m e n s i o n , i n f o r m a t i o n s i ft , a n d h i e r a r c h i c a l t r a n s f o r m a t i o n a re g i v e n . k e y w o r d s : c o m p l e x s y s t e m s ; md s a t ; d i m e n s i o n ; i n f o r m a t i o n s i ft ; b e h a v i o r s o f s y s t e m a t i c b o u n d a r y ; p r o j e c t i n g ; s u c k i n g ; d e f o r m a t i v e m o v e m e n t o f s y s t e m a t i c b o u n d a r y ; p o s i t i v e a p p l i c a t i o n 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了 解“ 大连理工大学硕士、 博士学位论文版 权使用规定， ，同 意大连理工大学保留 并向国 家有关部门 或机构送交学位论文的 复印件和电 子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权大连理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 也可采用影印、 缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 本学位论文属于保密口，在_ 年解密后适用本授权书。 不 保 密 斌 作 者 签 名: 做 . k , a , 指 导 导 师 签 名 : z 1饭k 气2 妙 女 年 早” 上日 多维动态系统分析方法及其应用研究 1 现代复杂系统分析现状 ， . ，复杂性研究综述 复杂性分析是一个动态的系统分析概念。 由于复杂性相对于不同时期的系统 分析能力与状况不同而不同，因此复杂性研究必然具有相应时期的特点。 复杂性研究最早可以追溯到几千年前，面对诸多不可理解的自 然和社会现 象， 一部分人转向了专门研究这些现象的工作中。如:古中国 易经的出现、 百 家争鸣等是它的 体现， 古 埃及对宇 宙结构的 认识 18 1 ， 古希腊原子论的 提出 18 1 以及古印度佛教的产生等亦是当时复杂性研究的具体体现。 由于所处时代条件的 限 制， 此时的复杂性研究尚处于极其初级的阶段， 表现为主要依据主观思考得出 事物间的联系， 同时运用思维实验进行验证。 当然， 该时期也有实际的科学实验， 如 黄帝内经中对人体结构的 研究及古希腊科学家的生物学研究等。 经历了这 一辉煌的时期之后，东西方复杂性研究步入了截然不同的两条道路。 在东方， 复杂性分析经历了诸子百家的辉煌后，由许多先进人士继承并发扬 了这些思想， 大大促进了中国古代科技的发展。 如汉代张衡提出的“ 浑天说” 思 想是系统观点与方法在天文领域中的发展。 从汉至唐宋以 来， 可以 说系统分析的 观点始终在中国古代科技发展中占据着较为重要的地位。 但自 宋以下，由 于元、 明、 清政府的压制政策以及朱熹儒学的兴起导致机械的世界观变得普及， 而具有 活力的辨证的系统分析思想及方法则被剥夺了生存权。 尽管如此， 就中国中古时 代来说， 复杂性分析及其哲学思想的普及仍大大推动了古代中国的发展。 而同期 的西方系统分析观则由 于保守的、 一成不变的宗教统治变得非常低迷。 除了少数 有影响的发明之外， 整个西方文明可谓与东方相差甚远。 尽管如此， 天文学和数 学的发展仍然保留了许多系统分析的成分， 并促成微积分出 现及万有引力的发现 等。 可以说， 在这一时期， 东西方复杂性分析基本上是继承和压制了前期已存在 多维动态系统分析方法及其应用研究 的朴素的分析思想及方法，从而使复杂性研究步入艰难的前进之路。 到 1 9 世纪上半叶，自 然科学取得了巨大的成就，使人类对自 然中相互联系 的认识大大提高。 兼之此时哲学改革之兴起， 黑格尔之哲学思辩的发展， 逻辑学 说之明确，以及唯物论观点的兴起， 使近代科学重新开始理解事物的关系， 重新 以系统分析思想去思考世界。2 0世纪著名的系统论创始人贝塔朗菲首次提出系 统一词t l l ， 使系统分析的 观点和方法得以 更好地从各具体学科中 抽象出来， 形成 了具有现代意义的系统分析4 , 5 , 1 0 - 2 2 , 8 3 1 。与 此同时，形成了独立学科的系统科学 反过来又与各门学科紧密结合， 科学呈现出一派全面前进的景象。 但随着科学的 日 益发展， 系统分析同时又受到了 愈来愈大的挑战， 尤其就现代来说， 动态变量 增多带来的问 题， 微小扰动的潮汐能力以 及缠绕的关系团等问 题6 0 1 都给系统科学 原有的处理复杂性的系统分析思想和发展带来了挑战。 这就使得复杂性研究再次 被提到了科学研究的前沿。 在此种情况下， 如何构筑合理的复杂系统分析理论框架， 再次成为复杂性研 究必须面对的一个重要课题。 ， . 2复杂系统分析研究概况 121国外复杂系统分析研究概况 总 体上， 国 外复杂系 统分析 研究 2 3 - 3 3 , 3 5 , 3 9 - 4 1 , 4 4 1可以 概括为以 下1 2 项成果5 9 . 1 . a l a n p e r e l s o n , r o b d e b o e r 3 4 1 ( 1 9 9 0 ) 等 人 开 发 出 了 作 为 复 杂自 组 织 系 统 的 免疫系统的计算机模型。 使用这些模型， 他们己经取得了关于免疫优化、 免疫记 忆、免疫网络的联接结构、以 及其他重要问 题的 几十种新预测。 2 . s t u a r t k a u f f m a n n 3 6 1 ( 1 9 9 3 ) 在 过 去 三 十 年 中 通 过 系 统 地 使 用 计 算 机 模 拟 证 实了“ 反混沌” 的存在。 他发现随机布尔网 络以 惊人的结构化方式运行， 而且他 还将这些网络用于各种生物和经济系统的建模。 3 . g r e g o ry b a t e s o n 3 7 1 ( 1 9 8 0 ) 采 用 控 制 论 思 想 对 各 种 社 会 和 心 理 状 况 进行 了 多维动态系统分析方法及其应用研究 建模。 如: 他把巴厘社会做为一个“ 静态” 系统进行分析; 他还对诸如精神分裂 症和酒精中毒症等心理问题做了系统理论化的分析。 4 . g e r a l d e d e lm a n ls l ( 1 9 8 7 ) 开 发出 了 被 称为 神 经 达 尔 文 主 义的 脑 功 能 理 论 ， 这是一个类似于免疫系统的自 组织演化系统。相似的思想也被其他神经科学家 ( 如j e a n - p i e r r e c h a n g e u x , 1 9 8 5 ) 提出。 5 . 自 j a s o n b r o w n 1 7 1 ( 1 9 8 8 ) 开 始 使 用“ m i c r o g e n e s i s ( 矮 小 发 育) 一 词以 来， 许多研究人员已使用其概念将思维/ 大脑作为自 组织系统进行了探索。这种观念 在诸如失语症这类的语言无序研究中运用得特别广泛。 6 .采用非线性微分方程和热动力学研究远离平衡态的自 组织系统方面也有 一项颇有建树的研究。 在该领域最为人熟悉的就是 i ly a p r i g o g i n e的研究 ( p r ig o g in e a n d s t e n g e r s l6 9 l , 1 9 8 4 ) 0 7 .相当多的研究人员 ( a n d e r s o n 等人，1 9 8 7 )采用了随机分形几何和非线 性微分方程的思想进行经挤过程 ( 如股票市场)的内生自 组织建模。 8 . g . s p e n c e r b r o w n 的 经 典 著 作( 形 式 法 则 1 ( 1 9 7 2 ) 给出 了 一 个 用 于 处 理自 参 考 过 程 的 简 单 数 学 形 式 。 l o u is k a u ff m a n n ( 1 9 8 6 ) , f r a n c is c o v a r e la (1 0 6 1 ( 1 9 7 8 ) 以 及其他学者发展了 这些思 想并 将其 应用于诸如 免疫系统、 身体和思 想的 复杂系统分析。 9 . 在 过 去 数 年 间 ， 圣 塔 菲 研 究 所资 助 了 一 个 “ 人 工 生 命” ( l a n g t o n h 0 1 , 1 9 9 2 ) 年度小组。 此处的人工生命指的是模拟整个生活环境的计算机程序。 这些程序在 产生和维持复杂的、稳定的结构的充分和必要的条件方面提供了有价值的信息。 1 0 . j o h n h o l l a n d ll 0 8 1 ( 1 9 7 5 ) 与 他 的 同 事， 如d a v i d g o ld b e r g , , ) ( 1 9 8 9 ) ， 构 建 了一个“ 遗传优化” 的研究项目， 即将演化群的计算机模拟应用于解决数学问题。 i 1 卜 过去几十年中， 一个来自 不同领域的松散研究小组一直在开发将“ 元胞 自 动机” 应用于各种自 组织现象 ( 从流体动态学到免疫动态学) 的建模。 元胞自 动 机 ( w o l fr a m l 0 0 l, 1 9 8 6 ) 属 于简 单的自 组织 系统， 该 系统表 现出 明 显的“ 类” ( g e n e r ic ) 特征的 多 种典 型涌 现 性。 1 2 . v ilm o s c s a n y i ll l l l ( 1 9 8 9 ) , g e o r g e k a m p i s lu 2 1 ( 1 9 9 1 ) . r o b e r t r o s e n l 3 1 ( 1 9 9 1 ) 及其他人进一步发扬了 广义 系统论的 伟大欧洲传统， 采用数学 和物理学的 精密复杂思想证实了复杂自 组织系统必须理解为始终自 我创造 ( c r e a t i n g 多维动态系统分析方法及其应用研究 t h e ms e l v e s ) . 1 . 2 . 2国内复杂系统分析研究概况 从7 0 年代末、 8 0 年代初到目 前为 止，国内 复杂系统分 析研究 1 6 5 , 6 2 , 1 1 7 1 大体 上可以划分为两个阶段， 其一是引进与吸收国外复杂系统分析成果。 主要表现为 7 0 年代末、 8 0 年代初以 来，以 系统论、 信息论和控制论为代表的老三论、新三 论、 新新三论等理论的引入等等。 其二是在第一阶段的基础上进一步发展。 主要 表现为8 0 年代末以来，钱学森提出开放的复杂巨系统概念，制定了研究开放的 复杂巨系统的可行方法等等。 所谓开放的复杂巨系统， 首先系统本身与系统周围的环境有物质的交换、 能 量的交换和信息的交换。由于有这些交换， 所以是“ 开放的” 。 其次， 系统所包含 的子系统很多， 成千上万， 甚至上亿万。 所以是“ 巨系统” 。再次， 子系统的种类 繁多， 有几十、上百，甚至几百种。 所以是“ 复杂的” 。 最后开放的复杂巨 系统有 许多层次。 这里的层次是指从已经认识比较清楚的子系统到可以宏观观测的母系 统之间的系统结构的层次。 如果只有一个层次， 从整系统到子系统只有一步， 那 么，就可以从子系统直接综合到巨系统。 钱学森教授认为， 解决开放的复杂巨系统问题目 前唯一有效的办法， 就是使 用从 定 性到 定 量的 综 合 集成 法， 简 称 综 合 集成( m e t a s y n t h e s i s ) 16 6 , 6 2 1 。 其要点 包 括: ( 1 ) 诉诸实践经验， 特别是专家的 经验、 不成文的感受、判断力，把经验 知识和现代科学提供的理论知识结合起来，甚至与前人或古人的知识结合起来; ( 2 ) 专家的经验是局部的、多半是定性的，要通过建模计算把这些定性知 识和各种观测数据、 统计资料结合， 实现从局部定性的知识达到整体定量的认识; ( 3 ) 把人与计算机结合 起来， 充分利 用知识 工程、 专家系统、智 能 机器长 于逻辑运算、 速度高、 容量大、 不怕疲劳等特点，同时发挥人脑的洞察力、 长于 形象思维的优点，使两者取长补短，相互激发，产生出更高的智慧。 综合集成法的实质是将专家群体、 统计数据和信息资料三者有机结合以构成 高度智能化的人机交互系统， 它具有综合集成各种知识， 从感情上升到理性， 实 多维动态系统分析方法及其应用研究 现从定性到定量的功能。其主要特点包括: ( 1 )定性、定量研究有机结合，贯 穿全过程; ( 2 )科学理论与经验知识结合，把人们对客观事物的点点知识综合 集成解决问 题;( 3 ) 应用系统思想把多种学科结合起来进行综合研究;( 4 ) 根 据复杂巨系统的层次结构，把宏观研究与微观研究统一起来; ( 5 )必须有大型 计算机系统支持， 不仅有管理信息系统、 决策支持系统等功能， 还要有综合集成 功能。 此外， 其它国内 的 复杂系 统分析成果还有灰系 统理论 (6 4 1 、 系统的核与 核度理 论6 3 等等，由 于其涉及的是具有一定限 制的局域性复杂系统， 不再一一介绍。 ， ， 3目 前复杂系统分析的核心问题 目 前复杂系统分析的核心问题可以概括为四个主要方面: 一是复杂系统总体 表现特征研究: 二是复杂系统要素作用特征研究; 三是复杂系统微观与宏观结构 特征研究;四是复杂系统从低层到高层的涌现行为研究。 1 . 3 . 1复杂系统总体表现特征 复杂系统总体特征研究以混沌学和突变论为代表。 对于保守不可积系统， 从布伦斯( b r u n s ) 到彭加勒( p o i n c a r 6 ) 再到 6 0年代的 k a m定理，最后严格证明了，在一定条件下它将产生随机的、不可预测的混沌 行为。 而 对于 耗散 系统， 诞生于6 0 年代的 洛 伦兹 ( l o r e n z ) 模型是第一 个明 确确立 且被详细研究的可产生混沌的系统。 两类不同的动力系统研究都发现了 长期演化 过 程中 的 混 沌行 为， 这是 混 沌学 2 , 3 , 4 3 , 6 1 的 开 端。 之后的1 9 7 5 年， 李 天 岩 和约 克 发 表了 著 名的 论 文 p e r i o d t h r e e im p l ie s c h a o s 1 14 ， 给出 了 混 沌的 数 学 定 义。 接 着 ， 罗 勃 特梅 ( r . m a y ) 使 用 逻 辑斯 蒂 ( l o g i s ti c ) 方 程 研究了 种 群的 动态 特 征， 费 根鲍 姆 ( f e i g e n b a u m ) 发 现了 倍周期分叉过程中的普适常数， 这些重要成果标志混沌学的 建立。李一约克的混沌定义表明，“ 有界” 、 “ 非周期” 和“ 敏感初条件” 无论在有限 多维动态系统分析方法及其应用研究 性制约还是无限制约下均是物理混沌系统的三个本质特征。 突变论是法国 数学家托姆 u s ( 1 9 7 2 ) 提出 来的 用数学方法 研究不 连续现象 的一门数学分支。 它采用类比、 拓扑变换的方法来建立模型， 进而通过研究模型 的不稳定奇点来解释、 预见和控制突变。 托姆证明了: 当 那些导致突变的 连续变 化因素少于4 个时， 自 然界的形式突变过程， 都可以用折迭型、 尖点型、 燕尾型、 蝴蝶型、双曲型、椭圆型和抛物型7 种基本突变模型来把握。 在突变理论中， 作 为突变原因的连续变化因素称为控制变量， 可能出现突变的量称为状态变量。 突 变论运用了黑箱方法， 根据输入输出的变化， 可以 在不打开黑箱的情况下模拟黑 箱的内部构造， 其意义在于建立模型来认识其结构， 以达到最后打开黑箱的目 的。 综观混沌学与突变论可以 发现: 二者主要研究对象均是复杂系统总体表现的 演化行为特征。“ 有界” 、“ 非周期” 和“ 敏感初条件” 和折迭型、尖点型、燕尾型、 蝴蝶型、 双曲型、 椭圆型、 抛物型7 种自 然界的形式突变过程就是非常好的系统 总体表现研究。 1 . 3 . 2复杂系统要素作用特征 复杂系统要素作用特征研究以 协同学和自 组织理论为代表。 协同 学是 德国 科学 家 h a k e n t i ( 1 9 6 9 ) 创 立的 一门 研究 协同 系 统从 无序 到 有序的演化规律的综合性学科。 协同系统是指由 许多子系统组成的、 能以自 组织 方式形成宏观的空间、 时间 或功能有序结构的开 放系统。 协同学研究协同系统在 外参量驱动和子系统间相互作用下， 以自 组织方式在宏观尺度上形成空间、 时间 或功能有序结构的条件、 特点 及其演化规律。 协同系统的状态由 一组状态参量来 描述。 这些状态参量随时间变化的快慢程度不同。 当系统逐渐接近于发生显著质 变的临界点时， 慢参量的数目 会越来越少， 甚至有时仅有一个或几个而己。 协同 学的主要内容是用演化方程来研究协同系统的各种非平衡定态和非平衡相变。 协 同 学求解演化方程主要采用解析判别式， 即 用数学解析方法求出序参量的 精确的 或近似的解析表达式和出现相变的 解析判别式。 自 组织 理论 6 2 1 可 谓源远流长， 如 老子在 道德经 中 提出的“ 道生一， 一生 二， 二生三， 三生万物” 的观点显然就是自 组织观念的表现。 而现代自 组织理论 多维动态系统分析方法及其应用研究 研究则以普利高津为代表。 普利高津把自 然界自 组织产生的结构分为两类。 通过 平衡过程中的相变而形成的有序结构称为平衡结构。 平衡结构无需与外界环境交 换亦可保持其结构， 甚至只有隔断与外界的联系才能长久保持自己。 系统在远离 平衡态情况下通过相变而形成的有序结构称为耗散结构， 其与外部环境不断交换 物质、 能量、 信息以保持有序结构。 这种分类是以 现代热力学为根据的。自 组织 理论认为: 尽管现实世界的自组织过程产生的结构、 模式、 形态千差万别，却必 然存在普遍起作用的原理和规律支配这种过程。自 组织原理主要包括: 突现 涌现)原理:一种自 行组织起来的结构、模式、形态，或者他们所呈 现的特性、 行为、 功能， 不是系统要素所固有的， 而是相互作用的产物 ( 效应) ， 是通过众多要素相互作用而在整体上涌现出来的，是自 下而上自 发产生的。 开放性原理: 普利高津以总嫡变公式为工具指出了 开放性是自 组织的必要条 件。总嫡变公式为: d s= 试 s + 试s 式中试 s 是系统内 部混 乱性产生的 嫡扩 称为 墒产生， 有热 力学原 理保证其非 负， 即试 s 0 ; 峨 s 是 系统 通 过与 环 境 相 互 作 用 交 换来 的 嫡， 成 为 嫡交 换或 嫡流， 可正可负。有如下四种可能情形: ( 1 ) 燕 s = 0 ， 系 统与 外 界 没 有 交 换， 内 部 墒 不断 增 加， 不 可 能出 现自 组织 ( 2 ) 峨 s 0 ， 与 外 界 交 换 得 到 正 嫡， 总 嫡 变d s 0 , 系 统混 乱 度 增 加速 度 更快，不可能出现自 组织。 ( 3 ) d , s 0 ! 但 队 司 0 ， 系统 不 会发 生自 组 织。 ( 4 ) d p s d s ， 从 环 境中 交 换 到 的 负 嫡 大 于 内 部 嫡 增 ， 总 嫡 变d s 0 ，系统出现嫡减过程，即自 组织出现。 非线性原理: 系统要素间的合作与竟争本质上是非线性的。 线性相互作用至 多只能产生平庸自 组织，真正的自 组织只能出现在非线性足够强的系统中。 多维动态系统分析方法及其应用研究 反馈原理: 其与非线性原理一体两面， 系统要有强的非线性就必须要求系统 要素间的反馈性能够发挥出来， 而非线性作用同时也强化了系统要素间的反馈作 用。 正反馈与负反馈共同作用保证了自 组织的生长与自 我抑制， 以 保障系统能 够 自 我创造、维持和更新。 不稳定性原理: 新结构的出现以原有结构失去稳定性为前提， 或者以 破坏系 统与环境间的稳定平衡为前提。 但新结构只有能稳定下来才能保障自 身的存在并 在其环境中得到承认， 一个不具备稳定机制的系统不可能真正产生出来。 自组织 是稳定性与不稳定性的统一，非线性系统可能同时存在稳定轨道和不稳定轨道， 甚至同一条轨道部分稳定、 部分不稳定， 能够保障旧模式失稳的同时使新模式稳 定下来，即自 组织。 支配原理:自 组织系统中必然是少数模式去引导、 规范、 支配大量其它系统 要素及其行为， 以保障这些要素能够协调动作， 这样才能形成有序结构。 这些支 配模式由 大量系统要素在演化中自 发形成，形成本身也是一种自 组织行为。 涨落原理: 普利高津认为， 涨落导致有序。 涨落可能会引发潮汐， 也可能仅 仅是局部的涨落而已。 涨落原理表明系统要素间的相互作用是动态的， 要素是具 有自 主性的。 这种自 主性保障了 系统局部微小的 涨落可能引发为巨大的潮汐。 环境选择原理: 即广义达尔文原理。 在系统自 组织过程中， 一种结构或模式、 特别是活的结构或模式， 要接受环境的评价和选择， 被环境选择的系统不一定是 各方面最优者，但必定是能与环境协调共存者，至少是为环境允许存在者。 从协同学和自 组织理论可以 看出， 其主要针对的是系统的要素作用特征进行 分析， 对要素间的相互作用可根据作用的不同分为快变量与慢变量， 两者在系统 中具有不同的功能， 发挥不同的效用， 一种是局部的、 微观的作用; 另一种则是 全局性的、 宏观的作用。自 组织理论亦是如此 系统要素间的 相互作用特征是 嫡 理论的本质之所在， 而微小的涨落能否演变成潮汐亦是以 要素间的相互作用为基 础进行的。 1 . 3 . 3复杂系统微观与宏观结构特征 复 杂 系 统 微 观与 宏 观结 构 特征 研 究以 分 形几 何学 8 2 1和 重正 化 群方 法为 代表。 多 维 动 查 登创卫竺些些塑竺一 所谓分形， 简单地说， “ 部分以 某种形式与 整体相似的 形状叫 做 分形 e e d g a r 于 1 9 9 0 年给出了分形的另外一个较宜观的定义:分形集合是这样一种集合，它 比传统几何学研究的所有集合还要更加不规则， 无论是放大还是缩小， 甚至进一 步地缩小， 这种集合的不规则性仍是明显的。 分形几何最基本的特征就是自相似 性和标度不变性。所谓自 相似性指的是几何对象的一个局部放大后与其整体相 似。 而标度不变性指的是当观测标度变化时， 几何体 或集合) 的许多性质保持 不变。 分形几何学研究的一个重点就是分数维的 确定及测度， 这主要是由于维数 在数学上较易处理， 且常可以用实验估计， 而且分形物体的维数经常与它的其它 性质联系在一起， 如经过区域边界的热流的速度依赖于边界的维数， 动力系统的 吸引子的维数也与其它动力学参数，如李雅普洛夫指数相关连。 重正化 群方法 4 6 ， 可以 成功地处 理各 种相变和 临界点问 题。 该 方法常 产生分形 统计结果， 而且清晰地利用了标度不变性。 首先在最小标度上研究一个比较简单 的系统， 然后将问题向更高层次重新标度 ( 即重正化) ，以 在进一步大的标度下 利用这个同样的系统。在越来越大的标度下这一过程不断重复就是重正化群方 法。 分析分形几何和重正化群方法可以发现， 二者都是依托于系统要素微观到宏 观整体结构的。维数的确定是对微观要素宏观表现结构的度量，如维数为 1 .2 6 2 ( l o g 4 / l o g 3 )的k o c h 曲 线表明的 就 是这样一 种由 微观到宏观的结 构: 平面上 ( d = 2 ) 有一单位线段， 用以 下迭代方法造出k o c h曲线。第一步， 将单位线段三等分，将中间部分用两条长1 / 3 的折线来代替; 第二步， 将每条线 段三等分，中间的一段用长 1 / 3 2的两条折线替代;不断重复这样的迭代作法， 无穷次迭代后就生成了 具有无穷多 弯曲、 处处连续、 处处不可微商的k o c h 曲 线。 从该曲线性质可以发现， 其维数为1 .2 6 2 表明了该