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新课改下高中向量的教学研究中文摘要 新课改下高中向量的教学研究 中文摘要 随着新一轮数学课程改革，直n 1 9 世纪末2 0 世纪初才发展起来的“向量教学 ， 以其在物理学、工程学、空间物质结构中的广泛应用，被纳入到中学数学基础课程中， 成为高中数学的核心概念之一。具有代数与几何的双重性的向量进入高中课程，对课 程结构以及解决问题的方式和方法产生了很大的冲击和影响。 本文首先提出进行向量研究的背景及其意义，通过文献综述的研究，归纳和总结 出人们在认识向量和向量教学中取得的一些成果，为向量教学提供启迪和帮助；其次 对高中教学目标及功能进行研究，突出了向量的重要地位和工具作用；然后通过问卷 调查法掌握了高中学生学习向量后对向量认识的第一手资料并对之进行分析，找出存 在的问题并加以思考；最后在向量研究的指导下提出了在新课程理念下开展向量教学 的策略，还结合向量与几何、代数的结合点在课堂上进行了教学实践。 关键词：课改，向量教学研究，双重性，转化 作者：陆燕 指导教师：陆芳言 a b s t r a c tas t u d yo fv e c t o rt e a c h i n gi ns e n i o rh j 曲s c h o o lu n d e rt h en e wc u r r i c u l u m a s t u d yo f v e c t o rt e a c h i n gi ns e n i o rh i g h s c h o o lu n d e rt h en e wc u r r i c u l u m a b s t r a c t w i t ht h en e wr e f o r mo fm a t h e m a t i c sc u r d c u l u m ，”v e c t o rt e a c h i n g ”w h i c hi s d e v e l o p e dd u r i n gt h el a t e1 9 t hc e n t u r ya n dt h ee a r l y2 0 t hc e n t u r ya n d k n o w nf o ri t sw i d e a p p l i c a t i o n si np h y s i c s ，e n g i n e e r i n g ，s p a c e ，s t r u c t u r eo fm a t t e r , i si n c o r p o r a t e di n t ot h e f o u n d a t i o nc o u r s e si nm i d d l es c h o o lm a t h e m a t i cs a n dh a sb e c o m eo n eo ft h ec o r ec o n c e p t s o fm a t h e m a t i c st e a c h i n gi ns e n i o rh i g hs c h 0 0 1 t h ev e c t o rw i t ht h ed u a ln a t u r eo fa l g e b r a a n dg e o m e t r yi sa c c e p t e di n t ot h es e n i o rh i g hs c h o o lc u r r i c u l u m ，w h i c hh a sh a dag r e a t i m p a c ta n di n f l u e n c eo nt h ec u r r i c u l u ms t r u c t u r ea n d t h ew a y st os o l v et h ep r o b l e m t h i st h e s i sf i r s tp r o p o s e st h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo fs t u d y i n gv e c t o r , b y s t u d y i n g l i t e r a t u r e r e v i e w , s u m m a r i z i n g s o m ea c h i e v e m e n t si nt h ec o u r s eo f u n d e r s t a n d i n gv e c t o r sa n di nv e c t o rt e a c h i n ga n dp r o v i d i n gi n s p i r a t i o na n dh e l pf o rv e c t o r t e a c h i n g ；s e c o n d ，i td o e ss o m er e s e a r c ho nt h eo b j e c t i v e sa n df u n c t i o n so fm a t h e m a t i c s t e a c h i n gi ns e n i o rh i g hs c h o o l ，h i g h l i g h t i n gt h ei m p o r t a n tr o l eo fv e c t o r sa n di t sr o l ea s t o o l s ；t h i r db ya p p l y i n gq u e s t i o n n a i r e s ，i t m a s t e r sf i r s t - h a n dd a t aa b o u ts t u d e n t s u n d e r s t a n d i n go fv e c t o ra f t e rt h e yl e a r ni t ，a n a l y z e st h ed a t aa n di d e n t i f i e sp r o b l e m sf o r f u r t h e ra n a l y s i sa n dt h i n k i n g ；f i n a l l y , u n d e rt h eg u i d a n c eo ft h ev e c t o rs t u d y , t h et h e s i sp u t s f o r w a r dt h es t r a t e g i e so nh o wt oc a r r yo u tv e c t o rt e a c h i n gw i t ht h ec o n c e p t so ft h en e w c u r r i c u l u ma n da l s od e a l sw i t hs o m et e a c h i n gp r a c t i c ei nm a t h e m a t i c sc l a s s e sw h i c h c o m b i n e sv e c t o rw i t hg e o m e t r ya n dc o m b i n e sv e c t o rw i t ha l g e b r a k e y w o r d s ：c u r r i c u l u m ，r e s e a r c ho nv e c t o rt e a c h i n g ，d u a ln a t u r e ，t r a n s f o r m a t i o n w r i t t e n b y l uy a n s u p e r v i s e db y l uf a n gy a n 新课改下高中向量的教学研究 第1 章绪论 1 1 问题的提出 第1 章绪论 1 1 1 高中新课程改革的需要 2 0 世纪8 0 年代以来，美、英、日、韩等国都推出了中小学课程改革，在我国，新 高中实验教材在1 9 9 7 年在全国两省一市进行实验，1 9 9 9 年初开始启动了新一轮课程改 革。2 0 0 0 年6 月开始制定普通高中数学课程标准。2 0 0 1 年教育部颁布了基础教 育课程改革纲要( 试行) ，从课程改革的目标、课程结构、课程标准、教学过程、教 材开发与管理、课程评价、课程管理、教师的培养和培训、课程改革的组织与实施等 九大方面对课程改革进行了规范，是新一轮课程改革的指南。2 0 0 2 年制定了全日 制普通高级中学数学教学大纲，2 0 0 3 年4 月颁发了普通高中数学课程标准( 实验) 。 2 0 0 4 年秋季在广东、山东、海南、宁夏四省进行高中课程改革实验，基础教育改革全 面展开。江苏省从2 0 0 1 年开始使用人教版的全同制普通高级中学教科书( 试验修订 本必修) ，而2 0 0 6 年后开始使用苏教版新教材。 新课程在结构安排上，高中数学课程由模块组成，其中必修课程有5 个模块、选修 课程系列有4 种配置方案，系列1 有2 个模块，系列2 有3 个模块，系y u 3 有6 个专题，系 y u 4 有l o 个专题，学生可加以选择。 新课程在内容选择上，精选了基础知识与基本技能，增加了与现代科学联系紧密的 内容，同时增加了选择性，以促进学生个性发展，从而做到了遵循时代性、基础性、选 择性的原则。 新课程在教学的实施上，主张发挥学生自主性，改变传统的教学模式，倡导自主探 索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习方式，从而使学生的学习过程成为教 师引导下的“再发现”、“再创造”过程。 新课程在教学的评价上，要求建立合理、科学的、多元化的目标评价体系。其中 该体系包括评价内容、评价理念、评价形式和评价体制等。评价不仅要关注学习的结 果，又要关注数学学习的过程，还要关注对于数学学科，学生学习的水平以及在数学 t 孙德玉，吴支奎，课程改革与课堂教学【m 】，安徽教育出版社，2 0 0 7 ，第l 版，弘_ 6 1 第1 章绪论新课改下高中向量的教学研究 活动中所表现出来的情感态度的变化，从而能促进学生个性及潜能的发展。” 在新课程标准中提出了“构共同基础，提供发展平台 和“提供多样课程， 适应个性选择及“发展学生的数学应用意识”等十条基本理念，在这些理念指导下 对数学课程进行了重新设置，关于数学各部分的教学目标有了重新的表述。 向量知识作为必学内容凭借其在物理学、现代数学、工程学及空间物质结构中的 广泛应用，很快形成了一套具有优化运算通法的数学体系，从而成为这次数学新教材 改革的一大亮点。其中标准这样描述：经历用向量的方法解决某些简单的平面几 何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理 问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 1 1 2 向量在高中教学中的可行性 ( 1 ) 初中平面几何基础知识为向量的教学提供了教学基础 1 9 1 8 年著名数学家韦尔提出了欧几里得几何学的“向量”论证，自此，向量作为 一种理论工具在几何中开始运用。 初中学生已经学习了平面几何的基础知识，并学会了建立笛卡尔直角坐标系，用 坐标来表示点，用方程来表示曲线。这些欧几里得几何的基本理论为高中学习向量提 供了教学基础。 ( 2 ) 已有的物理知识为向量的学习提供了有力支撑 初中物理中学生学习了力、速度、位移等矢量概念，而在高一物理课中的位移、 力、速度、加速度等用到了矢量的加减法，这些知识为向量的学习提供了有力地支撑， 不仅有利于学生搭建向量的空间模型，还为以后向量的运算学习奠定了扎实的基础。 这样的学习安排是符合学生的认知规律的。 1 1 3 教师自我发展的需要 笔者所在的学校为农村高中，随着近几年高中的大扩班，有很多基础不好的学生 进入了学校，学校面临了很大的升学压力。学校的发展离不开教师的发展，而向量这 部分内容在课改后又重新赋予了新的要求。以往的按固定的套路模式来解题，不仅容 易遗忘，还不利于理解及学生灵活应用。而教师对向量的理解与认识也存在很大的差 异，甚至有些对向量在高中数学教学中的地位与作用不是很清楚，也不重视。因此， 函普通高中数学课程标准( 实验) 国家教育部 【m 】北京：人民教育出版社，2 0 0 3 ，p t 5 2 新课改下高中向量的教学研究第1 章绪论 向量的研究是适应高中教育的发展，促进教师发展的需要。通过研究重视，教师不断 提高自身知识经验和知识储备，钻研向量这一章节的教材教法，从而使教学更形象化， 更有效果。 1 2 课题研究意义 1 2 1 有利于重建和优化学生良好的认知结构 学生的认知结构是学生头脑里的数学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己 的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的知识结 构。根据戴维奥苏伯尔提出的认知同化理论，学生在学习的过程中，通过把新知识 纳入到已有的知识结构中去，这样借助于已有的知识和经验去认识新事物，且使旧知 识也获得新的意义，从而使原来的认知结构得到重建和优化。一方面，学生把向量的 加法、减法、数乘等正向迁移而同化到原有物理的认知结构中；另一方面，学生需要 区分几个易混淆的概念：如向量不是有向线段，却用有向线段表示；向量有大小，却 不能比较大小；向量运算不满足结合律、消去律等。 例如：学生在学习向量的平行和垂直时，可以与初中的直线平行、垂直概念进行 类比，但两者又要加以区分。这样通过已有的旧知识平台，调整自身的认知结构，防 止旧知识的负向迁移通过同化与顺化，达到新旧知识的融合，使学生的知识结构达 到了新的平衡，从而优化了学生新的认知结构。 1 2 2 有利于减轻学生负担，提高学生解题能力 在欧氏几何体系中，相当多的题目是“一题一法”，辅助线添加的技巧宛如横空 出世，令人望而生畏。而高中教材的一些内容难度更胜前者。随着高中的大规模扩招， 教育从精英教育逐步走向大众教育，大批数学基础欠佳的学生涌进了高中的校门。几 何发展的根本出路是代数化，引入向量研究是几何代数化的需要。向量的引入能降低 数学难度但不降学习要求，有利于减轻学生负担，避免一些学生因数学学习失败而丧 失了对于整个人生的信心。向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，成为沟通代 数、几何、三角的得力工具。它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、 直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化。正是由于向量所特有的数形二重性， 使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内 3 第1 章绪论新课改下高中向量的教学研究 容中有广泛的应用。学生掌握了用向量解题的策略，就能化难为易，提高解题能力。 1 2 3 有利于发展学生的数学应用能力 高中新课程改革已进入转型期，“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实 际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学 应用意识，提高实践能力”。向量不仅是现代数学的一个基本概念，同时也是深入 学习许多自然科学的基础知识和基本工具，向量的学习为实现学科交叉提供了方便。 比如与物理学科：向量是从大量的生活实例和物理素材中抽象出来，我们可以用力的 合成和分解类比向量的加法和减法。反之，我们也可用向量来表示物理矢量，通过数 学上向量放入坐标的运算方便性来简化物理量的运算。这样，在潜移默化中向量的应 用意识得到逐步培养，使向量的理论和方法成为解决生活实际问题和物理学重要工 具，从而在向量的应用中发展了学生的数学应用能力。 1 3 本研究所要解决的问题 向量是高考的重要内容，论文的研究过程中，旨在探讨当前向量教学中存在的不 足：针对存在的问题提出了一些见解，希望可以为中学数学教学提供一点理论参考和实 践参考。 通过对笔者所在学校向量教学的分析归纳，总结经验和教训，探讨如何在课堂上 更好地进行向量的教学。 1 4 课题研究的目的及方法 1 4 1 研究的目的 本文重点探讨新课程标准下，向量在中学数学课程体系中的重要性、可行性 和作用。从调查笔者所在学校向量部分教学现状，分析存在的问题及其原因，并在此 基础上探求向量教学的策略，并结合自己的教学实践，做一些前期探索。力求为高中 教师向量内容的教学提供一些有参考价值的建议。 1 4 2 研究的方法 在研究过程中，采用了多种研究方法，主要有文献分析法、问卷调查法和行动研 也普通高中数学课程标准( 实验) 国家教育部 【m 】北京：人民教育出版社，2 0 0 3 ，第3 页 4 新课改下高中向量的教学研究第1 章绪论 究、案例研究法相结合的研究方法。 ( 1 ) 文献分析法 笔者查阅了许多有关向量内容的文献，了解了国内外关于向量教学的现状。并对 新课程标准加以分析，从中了解向量在现行教材中的地位和作用。 ( 2 ) 问卷调查法 笔者所在学校为江阴的四星级高中，学生基础一般，为了更好地进行高三教学， 进行了问卷调查。试卷的编制在导师指导下进行了修改，还进行了小范围预测，最后 确定成卷。 调查时随机抽取了高- - - 3 个班共1 4 5 名学生作为研究对象，在调查之前反复强调题 目答案无正确错误之分，采用不记名，当场回收的方式进行。除了刚好有四名同学缺 席，试卷回收了1 4 1 份。学生做了认真详细的填写，因此调查的可信度比较高。针对 向量教学的实际情况，寻找教学中存在的问题，探讨原因，实事求是地提出解决问题 的方法，为进一步深化研究及制定向量教学策略奠定基础。 ( 3 ) 行动研究法 根据调查的情况，我们全体高三数学备课组立即加以分析研究，针对目前的情况， 查找以前教学中存在的问题，对教学的不足之处进行调整，精心备课，统一教案。笔 者也对自己所带班级进行跟踪研究，随时关注教学效果，及时分析总结，以求提高教 学效果。 ( 4 ) 案例研究法 根据对向量的研究，更新了观念，结合研究的资料，重新设计了高一的新授课案例。 在课堂教学设计中，力求要让学生直接观察或进行实际操作，引导学生积极思维，进 而通过学生的积极探索来调动学生的学习兴趣。 第2 章文献综述新课改下高中向量的教学研究 第2 章文献综述 为了使笔者的教学适应课程改革发展的需要，笔者在教学之余，查阅了一些相关 的论文和资料，丰富了笔者的相关理论知识。并对其归纳总结，希望能对向量的理解 提供帮助。 1 ：， 2 1 关于向量的产生的综述 最早应用向量知识的先驱是古希腊著名科学家亚里士多德，他发现两个力的合成 符合“平行四边形法则”。力的平行四边形法则、莱布尼兹位置几何以及复数的几何 表示思想是向量理论起源的三个重要思想源泉。 1 7 世纪代数和几何的地位倒换促进了向量的发展，代数的崛起为几何的研究注入 了新的活力，改变了数学的面貌。1 7 世纪中叶，向量的加法和数乘运算广泛地运用于 自然科学的研究中了。 1 7 9 7 年韦塞尔，1 8 0 6 年阿尔冈建立了复数的几何表示，1 8 3 0 年开始用复数对应平 面上的向量，但仅限于平面。对于不在同一个平面上的力，能用笛卡尔坐标( x ，y ， z ) 来表示从原点到该点的向量，但当时不存在三元数组的运算来表现向量的运算，数 学家开始寻找三维复数及其代数。1 8 4 3 年哈密顿发明四元数，1 9 世纪，德国数学家格 拉斯曼借助笛卡尔坐标引进了向量的数量积来进行向量的运算。 2 0 世纪初，希尔伯特发表几何学基础，将欧氏空间推向无限维，建立了希尔 伯特空间理论，在希尔伯特空间中，有内积、夹角、也有正交性，对量子力学的诞生 和发展起到了巨大的作用。 1 9 1 8 年著名数学家韦尔应用欧几里得向量空间作为辅助结构，将向量空间的元素 作为点空间的算子，并用向量空间的维数来确定点空间的维数。自此，向量作为一种 理论工具开始在几何中广泛运用。 向量进入我国得追溯到1 8 8 3 年，丁匙良翻译了格物测算电学，自此，向量 相继出现在高校教材。1 9 9 2 年，我国中小学教材内容作了较大调整，一些高等数学的 基本内容下放到中学，其中平面向量于1 9 9 6 年进入高中数学课程。 画孙庆华，向量理论历史研究，两北大学博上论文，2 0 0 6 咎阮明焱，向量的应用与教学研究，华中师范大学硕士学位论文，2 0 0 7 ，第1 3 页 严士健，张奠宙，王尚志，普通高中数学课程标准( 实验) 解读【m 】南京：江苏教育出版社，2 0 0 4 ，第l2 l 页 6 新课改下高中向量的教学研究 第2 章文献综述 2 2 关于向量进入各国教材的综述 “国际数学教育的发展已全面反映了综合几何学习的落后，向量和矩阵进入中学 数学是一个大的趋势，比如美n c t m 2 0 0 0 的学校数学的原则和标准、新西兰数 学课程标准和澳大利亚数学教学大纲都在此问题上有全面的反映 。 向量进入中学数学教材，是近几十年来国内外教学改革的一个主要特征。许多国 家的数学课程都在不断地改革过程中把向量几何学作为高中数学的核心内容。在英 国，没有综合法几何证明，但有向量法证明线面关系；在法国，有少量的综合法几何 证明，主要用向量法进行几何证明；在德国，数学课程难度非常大，甚至超过我国大 学中的高等数学，但仍有少量的向量知识。美国有向量矩阵表示的几何变换，日本 中学数学向量内容是从“外积 和“向量的线性无关与线形相关 开始的，前苏联主 要用向量来处理欧氏几何问题。总体上看，用向量处理或代替综合几何，是国际数学 教育的一个特点。 2 3 国内关于向量的有关综述 随着课程改革的发展，向量进入高中数学教材，有关向量教学内容研究越来越多， 也越来越深入到位。 1 9 9 6 年，胡明健在课程教材教法上发表了普通高中新教材怎么编好一 向量，应进入高中数学教材一文，就向量进入课程的必要性给出了说明：( 1 ) 向量是 现代数学结构的一项基本内容。向量及其运算是解析几何，尤其是研究空间解析几何 的重要工具，也是学习和研究现代科学技术的有力工具，无论从中学数学教学内容的 选材原则，还是从中学教学的目的来看，向量进入中学数学，对于学生更好地学习几 何、代数，将来进一步学习高等数学，学习现代科学技术知识都会有启蒙和奠基的作 用。( 2 ) 向量引入中学数学教材，可以很好地完成综合几何到解析几何的思想过渡，从 而丰富教材的思想性，更好地让学生了解几何研究的思想脉络。 1 9 9 6 年吴洪生，徐一冰，黄宁生在数学通报上发表了试论“向量 在中学数学 教学中的必要性与可行性一文，从以下四个方面分析了向量进入高中数学教材的必 要性和可行性：增加“向量”是为了适应现代科技发展的需要；实践证明中学生学习 “向量 是可行的；“向量 有利于新教材的构建；“向量 能促进学生认识结构的 露上建明，数学课程改革中向量背景和前景分析f j l ，数学通报，2 0 0 2 ，( 5 ) ：2 3 - 2 4 售张风莲，高中数学中的向量研究 0 1 。武汉：华中师范人学，2 0 0 7 喧胡明健，普通高中新教材怎么编好一向量，应进入高中数学教材，课程教材教法，1 9 9 6 年第0 7 期 7 第2 章文献综述新课改下高中向量的教学研究 优化组合。 1 9 9 8 年廖辉和梁文华合著的高中数学引入向量的作用中突出引入向量的作用 主要有以下三点： ( 1 ) 引进向量，革新了高中部分传统内容的处理方法，能够降低教学难度，为 新增教学内容腾出了空间。 ( 2 ) 引进向量，可以更新学生对空间形式的思维方式，为学生建立一种符合现 代教学发展要求的思维模式。 ( 3 ) 引进向量，强化了高中数学对应用科学的基础性作用。 2 0 0 2 年北京教育学院的王建明教授在数学通报杂志上发表数学课程改革中 的向量背景分析一文中从以下八个方面阐述了向量进入中学数学的背景：向量的双 重性、认识向量的另外角度、“数、量与运算”的扩大、国际数学教育对向量的处理、 数学和物理学的关系在向量中的体现、数学“机械化 与向量的关系、向量的教学实 践过程可行性问题、对向量的认识误区。 2 0 0 2 年徐元根在中学向量教学内容和体系初探一文中提出了中学向量的教学 内容除核心内容外，可考虑增加向量积。教材应以学生的心理发展为依据，建立合理 的螺旋式体系。对于向量的运算，宜先用几何方法引入，然后推得向量的坐标运 算公式，再证明各种运算律。 2 0 0 6 年吕世虎在高中数学新课程中的向量及其教学一文中对高中数学新课程 中向量内容的定位、向量的教育价值以及向量教学中应注意的几个问题做出探讨。提 出向量具有丰富的物理背景，矢量是物理学研究的基本量之一，它既有大小，又有 方向。如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是矢量。这些量贯穿于物 理学的许多分支，都是数学中的向量。 2 0 0 7 年张奠宙发表文章话说向量中说“回顾历史复数充当了向量发展的 催化剂，直面现实一一以向量为基本对象的线性代数大放异彩，展望未来向量进 中学，配角变主角。向量之所以如此受人重视，是因为向量能算，向量几何使用向量 的数量积，使之成为超越坐标几何( 解析几何) 的有力工具。 o 吴洪生，徐一冰，黄宁生，试论“向量”在中学数学教学中的必要性和可行性阴数学通报，1 9 9 6 年1 1 期 嘻廖辉，梁文华， 高中数学引入向量的作用们， 川贝教育学报，1 9 9 8 ( 4 ) 馋正建明，数学课程改革中的向量背景和前景分析f j 】，数学通报，2 0 0 2 ( 5 ) 毡徐元根，中学向量教学内容和体系初探，浙江师范大学学报( 自然科学报) ，2 0 0 2 年0 2 期 晷吕世虎，高中数学新课程中的向量及其教学，课程教材教法，2 0 0 6 年第0 l 期 但张奠宙，话说向量，数学教学，2 0 0 7 ( 9 ) 8 新课改下高中向量的教学研究 第3 章高中向量的教学目标及功能分析 第3 章高中向量的教学目标及功能分析 3 1 向量的教学目标 教学目标分为了解、理解、掌握、灵活运用等四个层次，其含义如下： ( 1 ) 了解：对知识的含义有感性的、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能够 ( 或会) 在有关的问题中识别它。 ( 2 ) 理解：对概念和规律( 定律、定理、公式、法则等) 达到了理性认识，不仅能 够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样得出来，它与其他概念和规律之间 的联系，有什么用途。 ( 3 ) 掌握：一般地说，是在理解的基础上，通过练习，形成技能，能够或会用它去 解决一些问题。 ( 4 ) 灵活运用：是指能够综合运用知识并达到了灵活的程度，从而形成了能力。 1 、平面向量共1 2 课时，其教学目标为： ( 1 ) 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 ( 2 ) 掌握向量的加法与减法。 ( 3 ) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 ( 4 ) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的 坐标运算。 ( 5 ) 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理 有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 ( 6 ) 掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且 能熟练运用；掌握平移公式。 2 、空间向量与立体几何共安排了约1 2 课时，具体内容与要求如下： ( 1 ) 空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正 交分解及其坐标表示。 9 第3 章高中向量的教学目标及功能分析新课改下高中向量的教学研究 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 ( 2 ) 空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量。 能用向量语言表示线线、线面、面面的垂直、平行关系。 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理( 包括三垂线定理) 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究 几何问题中的作用。 3 2 向量的教学功能 新的中学数学大纲和原大纲相比，最大的变化就是增加了“探究性活动 和“研 究性课题”。教材以向量教学的基本要求为核心，其中核心内容的外部呈环状结构， 并向阅读、探究拓展、思考运用、问题建模等方位的延伸。通过这个核心，学生可以 获得全方位的发展。 教材内容组织的主要形式为：创设问题情境来提出问题，通过学生活动是学生体 验数学，关注意义建构让学生感知数学，提出数学理论让学生明确数学意识，能逐步 应用数学，灵活运用数学，而课后的回顾反思，促进学生理解数学。这样，通过学生 完整经历了知识的发生、发展和运用的过程，给课堂教学留下空间，支撑了学生自主 性学习，促使数学学习“返璞归真 。因此，苏教版教材的研究性学习适应了学生的 需求，不仅为的学生发展提供帮助，还为学生的自主发展提供更大的选择空间，引发 人们在数学教学中深入思考、实施改革措施。 3 2 1 知识功能 向量的知识很重要，他辐射到立体几何、解析几何、三角函数、复数、不等式等 章节。向量在各章节的渗透和整合可通过以下表格来说明： 向量与其他内容的结合点表格 l o 新课改下高中向量的教学研究 第3 章高中向量的教学目标及功能分析 向量概念与三角函数的定义 向量平移与三角函数图像的平移 三角函数 向量运篦与= 角函数的和蒡角公式 向量运算与三角形( 正弦，余弦定理，三角形， 不等式) 直线的方向向量和法向量 两向量的夹角与两条相交直线的夹角 解析几何向量与平面内距离计算 向量与圆锥曲线的平移 向量运算与轨迹的求解 直线的方向向量和平面的法向量 向量内积与角的计算 立体几何 向量运算与空间中距离计算 向量运算与平行关系的判断和证明 向量概念与复数概念 复数 向量的线性运算与复数的加法，减法 总之，向量是一个具有几何和代数双重身份的双重性的概念。向量能够简化平面 几何、立体几何、三角、线性方程组及矩阵中的许多运算和证明，能够对复数运算的 几何意义及多种几何变换作出合理解释，通过运用向量对传统问题加以分析，可以帮 助学生完美建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了坚实的基 础，凸现向量的教学重要性。 3 2 2 应用功能。 ( 1 ) 利用向量进行数学建模 普通高中数学课程标准( 实验) 明确提出“高中数学课程应力求使学生体验 数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形 成和发展数学应用意识，提高实践能力。 向量内容突出的是知识的应用，向量知识中蕴含着建模的思想。 在中学物理中，诸如力、位移、速度、加速度、电场强度等都是向量的物理模型， 动量是数乘运算的物理模型，功是数量积运算的物理模型；反之，向量理论的学习又 为这类问题的解决准备了良好武器。即把物理问题抽象成数学问题，然后利用数学模 型解释相关物理现象，这样就经历了数学建模。 当然，向量是来源于生活又服务于生活，比如到超市购买n 个物品构成了向量- e = ( a l ，a 2 ，a 3 ，a 。) ，这些物品对应的价格构成了向量苔= ( b l ，b 2 ，b 3 ，b 。) ， l l 第3 章高中向量的教学目标及功能分析 新课改下高中向量的教学研究 这样，付款的金额就是两个向量的数量积：言- g = 口lb l + a 2b 2 + 口3b 3 + a 。b 。利用 n 维向量运算，可以简化相关的统计运算。美国芝加哥大学的z 尤什斯金教授认为， 数据处理是向量最基本的内容之一，它甚至比解方程和几何证明更基本。 ( 2 ) 向量的知识纽带作用，是数学联系其他学科的桥梁之一 希尔伯特曾说：“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各 部分之间的联系。 比如物理中力的合成与分解、速度的合成与分解等都是需要根 据向量的加减法原则来实现。力对运动物体所作的功是用向量的数量积来定义的。数 学与物理世界的紧密联系，成为描述物理现象的有力工具。 向量也是多种知识相互联系的支架，比如：随着科技的发展，需要用计算机辅助 处理，把现实问题抽象成数学问题，当计算机无法直接处理几何图形的问题时，只有 将几何图形“翻译”成代数语言，再加以程序编写，从而达到目的。而向量本身具有 几何化特征和算法化特征，将数与形紧密地结合起来，为很多问题的解决提供了全新 的视角。 向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计、可运动机器人设 计与操控中有着广泛的应用。在向量教学中，适时启发学生对这些知识与问题的背景 进行分析，抽象和概括出本质特征，有助于学生理解掌握知识，形成技能，提高数学 应用意识，增强分析和解决问题的能力。 3 2 - 3 考试功能 向量知识是历年高考必考知识点之一，虽然正卷分值不多，但附加卷体现较多。 先从以下表格来了解江苏高考对他的考核情况： 江苏高考向量分值表 年份 2 0 0 8 年2 0 0 9 笠2 0 1 0 焦 2 0 1 1 年 题号分值题号分值题号分值题号分值 正卷 55251 51 41 0 5 附加卷 2 2 1 02 21 0 无 o 2 21 0 o 郑毓信，学与教的心理学，上海：华东师范大学出版社，1 9 9 5 p 1 4 5 1 2 新课改下高中向量的教学研究第3 章高中向量的教学目标及功能分析 接下来从考试的具体题目来分析一下考核的重点： 2 0 0 8 年高考第5 题、育，苔的夹角为1 2 0 。，i - d l = 1 ， i 方l = 3 ，则1 5 苔- 劣i = 第2 2 题、记动点p 是棱长为1 的正方体 a 召c 。吗蜀c i d 1 的对角线明上一点，记币d i p = a 当 z a p c 为钝角时，求a 的取值范围 解：由题设可知，以葫、蔚、茄。为单位正交基底，建立如图所示的空间直 角坐标系d 一批，则有a ( 1 ，0 ，o ) ，b ( 1 ，1 ，o ) ，c ( o ，1 ，0 ) ，d l ( o ，0 ，1 ) 由茚= ( 1 11 ) ，得茚= 五茚= m ，五，矗) ， 所以一p a = p - - 方 l + d 1 a = ( 砚，五，d + ( 1 ，0 ，- 1 ) = ( 1 一a ，五，2 - 1 ) 茏= 蕊+ 帝= ( 五，- 2 ，a ) + ( o ，1 ，一1 ) = ( 一a ，1 - 2 ，a - 1 ) 显然- - a p c 不是平角，所以d _ a p c 为钝角等价于 c o s 么a p c - c o s ：鱼二o ，则等价于葡茏 o i 两i i e c l 即( 1 一旯) ( 一见) + ( 一五) ( 1 一旯) + ( 旯一1 ) 2 = ( 五一1 ) ( 3 2 一1 ) 0 ，得去 6 o ) ，a ( 2 ，o ) 为长轴的一个端点，弦b c 过椭圆的 口 口 中心0 ，且葡蔚= o ，i 茄一茄i - - 2 1 蔚一蔚i ( 1 ) 求椭圆的方程； ( 2 ) 若a b j z 的一点f 满足茄- 2 葫+ 3 葫= 芍，求证：c f 平分么b c a 第5 章向量教学的教学策略及实践 新课改下高中向量的教学研究 解：( 1 ) 易知口= 2 由i 瓦前i = 2 l 蔚一蔚i ，得l 蔚i = 2 l 葡i ，刚砣i _ i 前i 又葡砣= o ，f f i 以z b c a = 9 0 。，e 【 n a c o 为等腰直角三角形，因此c o ，1 ) 又c 点在等+ 矿y 2 = 1 上，所以易2 = ；所以椭圆的方程为了x 2 + ；) ，2 = 1 ( 2 ) 证明：由蕊- 2 葫+ 3 碲= 芍，得茄+ 葫_ 3 ( 蔬一b - 声) = - 6 所以蔚；3 赢，所以f 分蔚所成的比a ：2 ，所坚刍：2 又粤争：2 ， i f a ii c a i 所以竺f a = 罟，故由角平分线定理失c f 平分倒a 该题主要利用插点法，得到向量间的相等关系。如由l 茄一茄| = 2 l 蔚一赢i 得到i 葡 1 = 2 f f 翔，由亩白+ 6 菹_ 3 ( 6 菹一面= 芍得到藏= 3 赢。再通过向量的运算方便性解决问题。 当然，也有些向量问题若转化成解析几何问题，反而更形象，更简单。比如下面 这题： r 例：己知向量茄：( 2 ，o ) ，向量砣= ( 2 ，2 ) ，向量蔬= 砸c o s 仅，n f 2 s i n a ) ，则向量葫 与向量茄的夹角的取值范围为 如图，因为l 葡i = 垣，所以a 在以c ( 2 ，2 ) 为圆心， 以啦为半径的圆上 显然，当o a 与圆c 相切时，蔬与蕊的夹角 取得最大值和最小值 r ta o a c 中，i 葡l ；矩，i 旋1 2 撕，后? i n z a o c = 詈，又因为么b d c = 三， 所以么b 似= 三一詈= 三1 2 ，么b 叫= 署+ 詈= 西5 7 ，所以向量葫与向量茄的夹角的 取值范围为眭，卺】 该题利用向量的几何性画出图形，从而实现了向解析几何问题转化，把向量的夹 角问题转化为圆的切线问题，运用数形结合的数学思想方法，简洁快捷地解决了问题。 2 8 新课改下高中向量的教学研究第5 章向量教学的教学策略及实践 有些解析几何问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识 来解决，也会显得自然、简便，而且容易找到突破口。构建向量模型不仅有助于问题 的解决，而且有时还更简捷些。 比如：如图，在a a b c 中，点m 是b c 的中点，点n 在边a c 上，且a n = 2 n c ， a m 与b n 相交于点p ，求a p ：p m 的值 b 设廊= 苟，一= 一e 2 ，则劢= 葡+ 商= - 3 葛石，蔚= 2 苟+ 葛， 。a 、p 、m 和b 、p 、n 分别共线， 存在实数a 、使碎= 压宠= 一a 苟一飘芴，茚掣蔚= 犁苟印芴， 故蔚= k p 一奔= q + 犁) 苟+ ( 3 a 印) 茜而蔚= 蔚+ 蔬= 2 苟+ 3 苟 由基本定理，得信：乏二三解得 4 扣喜故夺专劢， 。j 。 即a p ：p m = 4 ：1 该题通过引入基底向量，把问题转化为向量问题。再利用待定系数法得到向量的 线性表示，通过平面向量基本定理得到等量关系，从而解决了问题。 笔者在教学时有意识地培养学生应用向量的意识和能力，不仅训练了他们分析问 题和解决问题的能力，提高创新意识和钻研意识，还引导他们尝试从不同角度揭示各 种知识点之间的内在联系，激发了他们的学习兴趣和学习热情。 ( 3 ) 向量与立体几何 空间向量利用其“数”、“形”结合的特点可以将立体几何中“形”的问题转化 为“数”的问题加以解决。通过将空间元素问的位置关系转化为数量关系，克服了综 合证法中常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，化繁为简，为立体几何问 题的解决提供了新的视角。向量方法进入立体几何的切入点是：用有向线段来刻画线 2 9 第5 章向量教学的教学策略及实践新课改下高中向量的教学研究 段，用点的坐标来刻画对应点，用空间向量的线性运算和数量积运算来刻画空间图形 的变换。从而使空间结构代数化，联结了几何与代数。向量法主要用于解决立体几何 中的空间夹角、距离以及证明平行垂直问题。那么，如何用向量解决立体几何问题呢? 平行与垂直类问题只要将二维拓展到三维，至于角度与距离可参照下表： 角度与距离公式表 分类问题公式 异面直线所成的角8 ( 两 - - - - - - - c o s o = c d 。 直线为a b ，c d ) l a bi i c d i 直线a b 与平面a 所成的角 s i n o = c o s 角度问题口( 育为面a 的个法向量) a b n = 。一 i a b ni 平面a 与平面所成的角 平面角大小为 ( 斋，育分别为面a ，的 万一 法向量) 平面外一点p 到平面a 的 距离d ( - 1 为面a 的一个法d = 刿 lni 向量 a 为平面倪上的点) 距离问题 两异面a ，b 直线间的距离 ，j c d n - d ( 育上a 育上b ，c , d 分别 u _ i n i 为a ，b 上任一点) 通过上表，可清晰看到，在处理立体几何问题时引入法向量，可以把复杂的几何 问题变成便于操作的代数问题，从而降低了教学难度，还拓展了学生思维。 新课改下高中向量的教学研究第5 章向量教学的教学策略及实践 例：如图，在