（凝聚态物理专业论文）单层石墨中的量子参数泵.pdf

q u a n t u mp a r a m e t r i cp u m p i nt h e g 脚h e n e ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o rt h ea c a d e m i c d e g r e eo fd o c t o ro fs c i e n c e b y g uy u s u p e i s e db y p r o f y a n g 1 y r o n g - h o n g d e p a r t m e n to fp h y s i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y d e c e m b e r2 0 0 9 ，tf 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 导师签名：亟盘五 日期：，o f f 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人 所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除 在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大 学研究生院办理。 研究生签名： 导师签名：鱼小及 日 导师签名：垒勿小苁 日期：0 7 口i j 东南大学博士学位论文 摘要 近年来，单层石墨( g r a p h e n e ) 已成为凝聚态物理中一个极其热门的研究领 域，这是由于其具有非常特殊的能带结构以及一些非常新奇的物理性质。本文 主要利用非平衡态格林函数方法和散射矩阵方法研究平衡态下单层石墨中电子 自旋输运性质，包括自旋共振和电荷泵浦效应，以及铁磁石墨结中的平衡自旋 流。 我们首先研究了单层石墨中的自旋共振效应，采用非平衡格林函数的方法 解析地得到自旋流表达式。通过数值计算，我们发现无论在p 型还是n 型石墨带 中，泵浦自旋流都随着系统费米能的增大而增加，呈现锯齿结构，这对应于石墨 带中的横向能级。在z i g z a g 石墨带中，能带中心e = o 处，自旋流出现不为零的峰 值，而在半导体的山1 i l c h a i r 中则在能带中心出现禁带结构，这与他们各自的电子 结构完全一致。对于p n 结型石墨带，自旋流的对称中心发生相应的平移，两终 端自旋流不相等，这也反映了此系统的自旋流不守恒。 我们然后研究了单层石墨带中的量子参数泵效应。利用非平衡态格林函数 的方法我们解析地推导出有限频率下泵浦电流表达式，通过数值计算，我们发现 在奇数链z i g z a g 石墨带中单参数泵不能泵出电流，而在偶数z i g z a g 石墨带中，单 参数泵浦势却可以产生不为零的电流。这反映了偶数z i g z a g 石墨带不具有空间反 演对称性，而奇数z i g z a g 石墨带则具有窄间反演对称性。并且，在偶数z i g z a g 带 中电流有这样的特征：当泵浦频率大于费米能时，电流才会从零迅速增加到最 大值，这来源于z i g z a g 石墨带特殊的零能边界态效应。我们还发现加m c h a i r 石墨 带中，单参数泵不产生电流，这也反映了加m c h a i r 石墨带具有窄问反演对称性。 最后我们研究了非共线铁磁石墨结中的平衡自旋流，单层石墨的磁性来源 于磁性近邻效应，主要是将铁磁绝缘体置于单层石墨上。利用散射矩阵方法，我 们推导出平衡自旋流的表达式，通过计算，我们发现在一维情况下，平衡自旋流 为零，也就是没有铁磁交换耦合作用，这来源于石墨特有的k l e i n g o r d o n 佯谬。 而在二维情况下，平衡自旋流( 交换耦合) 不为零，并且随着交换能，费米能和散 射区长度的增加出现振荡衰减的趋势。由于石墨特殊的电子能带结构，平衡自 旋流呈现电子空穴的反演对称性，这与普通材料的电子空穴反演反对称性是不 一样的。 关键词：石墨，d i r a c 相对论方程，d 曲c 点，散射矩阵，非平衡格林函数，平衡自 摘要 旋流，量子参数泵，自旋共振，零能边界态，空问反演对称性。 i i 东南大学博十学位论文 a b s t r a c t f o rl a s tf e wy e a r s ，t l l em o n o l a y e rg r a p h i t e ( g r a p h e n e ) h a sb e c o m eo n eo fm eu p - m o s ta c t i v er e s e a r c hf i e l d si nc o n d e n s e dm a t t c rp h y s i c sb e c a u s eo fi t ss p e c i a le n e 唱y b a n ds t m c t u r ea sw e ua st h eu n i q u ep h y s i c sp r o p e n i e s b ym e a n so ft h es c a t t 甜n gm a - t r i xt h e o r ya n dk e l d y s hg r e e n sf u n c t i o nm e m o d ，w ea r ei nt h i st t l e s i sf o c u s i n go nt h e e q u i l i b r i u ms p i na i l de l e c 臼o nt r a n s p o r ti ng r a p h e n e ，i n c l u d i n ge l e c t r o ns p i nr e s o n a n c e ， q u a i l t u mc h a r g ep u m p ，a i l dm ee q u i l i b u ms p i nc u r r e n ti naf e r r o m a g n e t i cg r a p h e n e j u n c t i o n w 色s t u d i e df i f s t l ym ee l e c 仃o ns p i nr e s o n a j l c ei ng r a p h e n en a i l o 曲b o n ( g n r ) a i l dm ee x p r e s s i o nf o rs p i nc u r r e n tw a sa i l a l y t i c a l l yd e r i v e do u tb ym e a n so fm en o n - e q u i l i b r i u mg r e e n sf u n c t i o nm e t h o d b a s e do nn u m 嘶c a lc a l c u l a t i o n s ，w ef o u n dt h a t f o rb o mp t y p ea n dn 一哆p eg n r ，t h es p i nc u r r e n ti n c r e a s e sw i t hn l ef e m ie n e 玛yo f t l l es y s t e mw i mj a g g e ds 咖c t u r e ，w h i c hc o r r e s p o n d st ot 1 1 et r a n s v e r s ee n e 玛y1 e v e lo f t h eg n r i nm ez i g z a gg n r ，t h en o n z e r os p i nc u n n tp e a ka p p e a r sa tt i l eb a n dc e n t e r e=ow h e r e a sap r o h i b i t e dg a po fs p i nc u r r e n te m e 玛e sa tt h eb a n dc e n o e re=0i n t h es e m i c o n d u c t o ra r m c h a i rg n r ，m e s et w od i f r e r e n tb e h a v i o r so d g i n a t ef r o mt h e i r e n e 略yb a n ds t r i l c t u r e f o rt h ep - ng n rj u n c t i o n ，t h es y m m e yc e n t e ro fs p i nc u r r e n t h a sac o n e s p o n d i n g 锄n s l a t i o nn o ta te = o ，s ot i l a tt h es p i nc u r r e n t si nt w ol e a d s s h i f to p p o s i t e l yo v e re n e 玛ye ，w h i c hi n d i c a t e st h en o n c o n s e r v a t i o no ft h es p i nc u n e n t d r i v e nb ye l e c t r o ns p i nr e s o n a n c e t h e nw ee x p l o r e dt h ec h a 唱ep u m p i n ge f f 色c ti nt h eg n r ，a n dd e r i v e dt h eg e n - e r a lf b 瑚u l a eo ft l l ep u m p e dc u r r e n tb yu s eo ft h en o n e q u i l i b r i u mg r e e n sf h n c t i o n m e t h o d i tw a sf o u n dt h a tn oc h a 略ec u r r e n tc a nb ep u m p e do u tb ys i n g l ep u m pp 伊 t e n t i a li nt h ez i g z a gg n rw i t ht h eo d dn u m b e ro f z i g z a gc h a i n s ，h o w e v e r ，t h i ss i n g l e p a u r a m e t e rp u m p c a nw o r ki nm ez i g z a gg n rw i t hm ee v e nn u m b e ro fz i g z a gc h a i n s ， i e ，n o n z e r oc h a 曜ec u n e n tc a nb ep u m p e do u t t h ed i 肫r e n c ec o m e sf r o mt h ef a c tt h a t t h ez i g z a gg n rw i me v e nc h a i n sd o e sn o tp o s s e s ss p a t i a li n v e r s i o ns y m m e 廿yw h e r e a s t h eo d dc h a i n sh a st t l es p a t i a l i n v e r s i o ns y m m e t 叫m o r e o v e r t h ec h 卸a c t e r i s t i co ft h e p u m p e dc u r r e n ti ne v e n c h a i nz i g z a gg n r e x h i b i t sas h a 印i n c r e a s ef r o mz e r ot om a x - i m u mw h e nt h ep u m p i n gf 诧q u e n c yi n c r e a s e st ot h ef e n l 血e n e 唱yo fs y s t e m ，w h i c hi s r e l a t e dt ot h ez e r 0e n e 唱ys t a t ei nz i g z a gg n r t h ea 彻c h a i rg n rw a sa l s os t u d i e d i f o rt h es i n g l e p a r a m e t e rp u m pa n dn op u m p e dc u r r e n tw a sf o u n d ，w h i c hi n d i c a t e st h e a r m c h a i rg n rh a st 1 1 es p a t i a l i n v e r s i o ns y m m e t r y f i n a l ly ，w ei n v e s t i g a t e dt h ee q u i l i b r i u ms p i nc u r r e n ti nan o n 。c o l l i n e a rf e r r o m a g 。 n e t i cg r a p h e n ej u n c t i o n ，t h ef e r r o m a g n e t i s mo fm e 黟a p h e n es t e m sf r o mm ep r o x i m i 够 e f r e c tt h r o u g haf e r r o m a g n e t i ci n s u l a t o ro nt h eg r a p h e n e w i t hh e l po ft h es c a t t e r i n g m a t r i xm e t h o d ，w eo b t a i n e dt h ee x p r e s s i o no fe q u i l i b r i u ms p i nc u n e n ta n dt h e nn u - m e 订c a l l vc a l c u l a t e di t i tw a ss h o w nt h a ti nt h eo n e d i m e n s i o n a lc a s e ，m ee q u i l i b r i u m s p i nc u n - e n ti sz e r 0 ，i e ，t h e r ei sn of e l l r o m a g n e t i ce x c h a n g ec o u p l i n g ，w h i c hc o m e s f r o mm ep e c u l i a rk l e i n g o r d o np a r a d o xi nt h eg r a p h e n e i nt h e 铆o - d i m e n s i o n a lc a s e ， t h ee q u i l i b r i u ms p i nc u n e n t ( e x c h a n g ec o u p l i n g ) i sn o n z e r oa n de x h i b i t sad a m p e do s _ c i l l a t i n gb e h a v i o rw i t ht 1 1 ei n c r e a s eo ft h ee x c h a n g ef i e l d ，t h ej u n c t i o nl e n g t h ，a n dt h e f e i l ie n e r g y0 fs y s t e m m e a n w h i l e ，i tw a sa l s of 机n dt h a tm ee q u i u b r i u ms p i nc u r r e n t i nt h i sf e r r o m a g n e t i c 伊a p h e n ej u n c t i o nh a se l e c t r o n - h o l ei n v e r s i o ns y m m e 臼w h i c h i sc o n t m r yt ot h eu s u a lf e r r o m a g n e t i cj u n c t i o nm a te x h i b i t sm ee l e c t r o n - h o l ei r l v e r s i o n a n t i s y 舢m e t m i si sa t t r i b u t e dt ot h ep e c u l i a re n e 昭yb a n do fg r a p h e n e k e yw o r d s ：铲a p h e n e ；d i r a cr e l a t i v ee q u a t i o n ；d i r a cp o i n t ；s c a t t e r i n gm a t r i x ；n o n e q u i l i b r i u mg r e e n sf u n c t i o n ；e q u i l i b r i u ms p i nc u m ：n t ；q u a r i t u mp a r 锄e t r i cp u m p ；s p i nr e s o n a n c e ；z e r o - e n e 昭ye d g es t a t e ；s p a t i a l i n v e f s i o ns y m m e n y 东南大学博： = 学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论1 1 1 石墨简介1 1 2 单层石墨的电子结构3 1 2 1色散关系3 1 2 2d i r a c 方：程6 l - 3g n r 的能带结构7 1 3 1 z i g z a g 石墨带8 1 3 2m m c h a i r 石墨带l l 1 4 应用前景1 2 1 4 1 微电子器件1 2 1 4 2 能源转化1 3 1 4 3 相对论现象观测1 4 1 5 本文主要内容1 4 参考文献1 5 第2 章介观输运的理论方法：散射矩阵和非平衡格林函数1 6 2 1 散射矩阵1 6 2 1 1 幺正性1 7 2 1 2 求和规则1 8 2 1 3 电流表达式1 9 2 2 非平衡态格林函数方法简介2 l 2 2 1 非平衡态格林函数的定义及d v s o n 方程2 1 2 2 2 l a n g r e t h 解析延拓定理2 3 2 2 3 k e l d v s h 方程2 5 参考文献2 7 第3 章石墨纳米带( g n r ) 的自旋共振2 8 3 1 研究背景2 8 3 1 1电子自旋共振e s r 2 9 3 1 2 z i g z a g 边界态3 l 3 2 理论与模型3 2 3 3 数值结果与分析3 6 v 目录 3 4 小结4 0 参考文献4 2 第4 章z i g z a g 石墨纳米带( g n r ) 的电荷参数泵4 4 4 1 背景介绍4 4 4 2 量子参数泵4 5 4 3 理论与模型4 7 4 4 数值结果与讨论5 0 4 5 小结5 6 参考文献5 7 第5 章非共线铁磁石墨结中的平衡自旋流5 9 5 1 研究背景5 9 5 2 理论模型6 0 5 3 数值结果与分析6 7 5 4 小结6 9 参考文献7 l 致谢7 3 博士期间发表和待发表的学术论文7 4 东南大学博士学位论文 第1 章绪论 1 1石墨简介 人类使用煤，木炭，活性炭，石墨，金刚石等碳元素材料已经有很长的历史， 可以说碳元素主导着人类的生活，它也是有机化学的基础。例如我们能够获得 安全和干净的饮用水就要归功于对活性碳的研究，高强度且耐高温的碳纤维材 料在建筑和航空领域也被广泛使用。在微电子学逐渐达到理论极限之时，纳米 电子学走入人们的视野，而碳基纳米材料作为纳米科学的一个领域，成为近年来 研究的热点。单层石墨( g r a p h e n e ) 这颗碳基纳米电子学中的新星，因其新奇的物 理性质和广泛的应用前景，更是成为焦点。 单层石墨( g r a p h e n e ) 由碳原子按平面六角蜂窝结构排列而成，也可看成由去 掉氢原子的苯环构成，它只有一个碳原子的厚度。碳的其他同素异形体( o 维富勒 烯，1 维碳纳米管，3 维多层石墨，如图1 1 ) 在结构上与单层石墨有相似之处。比 如，碳原子按球面排列形成富勒烯( c 6 0 ) 分子，富勒烯分子可以认为是由单层石墨 包裹而成，在包裹过程中因晶体缺陷导致部分六边形变成五边形，因此富勒烯结 构中包含碳的六边形和五边形。此外，碳纳米管是由单层石墨沿固定方向卷曲 而成；多层石墨则是将单层石墨一层层堆积得到。以上三种材料的性质都来源 于2 维的单层石墨，因此，深入研究单层石墨不仅可以对以上材料的性质给出补 充性的解释，反过来又可以借鉴对以上材料的研究结果来发展单层石墨的相关 课题。 尽管长期以来物理学界普遍认为严格的二维晶体在自由状态下一、= 可能存 在( 热扰动使原子在第三个维度上的涨落大于品格常量，二维晶体熔化) ，但是关 于单层石墨的理论工作一直在进行。早在1 9 4 7 年，p r w a l l a c e 通过理论计算给 出了单层石墨的能带结构【l l ，并以此为基础构建层状石墨( g r a p h i t e ) ，状得晶格 中动力学信息。把单层石墨的低能准粒子用狄拉克方程描述为无质量的相对论 性准粒子( 狄拉克费密子) ，在凝聚态物理与量子电动力学之间架起一座桥梁，预 言了单层石墨中相对论现象的存在。虽然当时人们并不相信二维晶体的存在，但 是w a l l l a c e 开创性工作为现阶段深入的研究石墨起到指导作用。除了理论的进展， 实验中也在不断探索单层石墨的实现。上世纪8 0 年代，实验工作者用s i c 表而外 延生长【2 】和化学分散【3 】的方法制备出单层石墨，但是得到的样品面积微小，缺陷 第l 章绪论 。g 瞎曲e ： 麓 图1 1 各种碳的同素异形体的结构图：单层石墨g r a p h e n e ( 上半部) ；富勒烯c 6 0 ( 左下 角) ；碳纳米管n a n o t u b e ( 下中部) ；多层石墨g r a p h i t e ( 右下角) 。 较多。直到2 0 0 4 年，n o v o s e l o v 【l 】等人结合力学剥离和光学刻蚀方法在实验中成功 地制备出大批量高质量的单层石墨，为广泛研究单层石墨提供可靠的实验基础。 单层石墨的成功制备立即震撼了凝聚态物理学界，单层石墨相关的理论研究随 之成为研究工作者关注热点。 1 9 4 6 年，pr w a l l a c e 从理论方面第一个研究了单层石墨的能带结构，发现其 不平常的半金属行为【4 l 。之后，m c c l u r e 【5 1 ，s 1 0 n c z e w s l ( i ，w d s s 【6 1 ( 简称s w m ) 对 多层石墨能带结构的细致分析使石墨的研究达到顶点。理论和实验研究中发现， 单层石墨具有很多奇特的性质，比如反常量子h a l l 效应【7 - 9 j ，z i g z a g 型石墨纳米带 中的零能边界态【10 l ，透射率为l 的k 1 e i n 隧穿【l ，石墨超导结中的镜面a n d r e e v 反 射【1 2 j 等等。此外，单层石墨还具有优异的电学、磁学等性质( 如较高的载流子迁 移率，较长的平均自由程和自旋相干长度) ，使得单层石墨在纳米电子学、自旋电 子学、微电子学等领域有潜在的应用。 不同的拓扑边界( z i g z a g ，加1 n c h a i r ) 的石墨带存介观输运中表现出一些不同寻 常的性质【1 3 1 4 j ，这也是目前关注的研究课题。比如，z i g z a g 边界石墨带具有典型 的金属性，没有能隙，电子在其中能自由传输。而加1 1 l c h a i r 边界石墨带则表现出 半导体的导电特征，其电导随着横向原子链个数的增加出现金属半导体一金属 2 一一一一一一一 东南大学博：l ：学位论文 的循环变化，该变化也体现为迪拉克点周围能隙的打开与关闭。基于石墨带的 集成芯片，正是利用这种奇特的边界和横向宽度效应，在石墨带上产生类似s i 材 料二极管的0 l 信号变化。通过边界态的相关理论研究，为石墨芯片的制造提供 有益的理论指导，有利于石墨芯片的实际应用。我们将后面章节中探讨边界态 的问题。 1 2 单层石墨的电子结构 1 2 1色散关系 低能条件下，单层石墨的电荷载流子可以看作是无质量的具有手征性 的d 衲c 费米子，这已经被理论和实验所证实【1 5 _ 1 7 1 。低能载流子具有线性色散关 系，这种特殊的色散关系与量子电动力学中的无质量费米子很类似，因此很多 量子电动力学的特征现象应该在单层石墨中观察到，比如实验中观察到的反常 整数量子霍尔效应，以及正常超导石墨结中的镜面a n d r e e v 反射。d i r a c 费米子另 外的一个特征就是他们对外加的静电势垒不敏感，也就是说单层石墨中的载流 子( d i r a c 费米子) 可以完全的透过一个经典禁区，发生e i n 隧穿，这是k l e i n 佯谬 的具体物理表现。下面我们采用紧束缚模型，理论推导单层石墨中的d i r a c 费米 子色散关系，及其低能下能量本征方程( d i r a c 方程) 。 单层石墨结构如图1 2 a 所示，a ，b 格子间隔地排列在六角蜂窝状的平面内。 若单独看a 格子，晶格按平行四边形周期性排列，对b 格子也是如此。因此，我 们可以把单层石墨看成a b 两套平行四边形格子构成的复式晶格。后面我们将看 到这种独特的复式结构将对电子态产生的影响。已知碳原子最近邻间距1 4 2 2 a ， 则次近邻原子间距为n = 2 4 6 3 a 。捌轴位于单层石墨平面上，z 轴垂直于单层石 墨平面。沿此平面的工方向切割出的石墨带具有拉链型( z i g z a g ) 边界，沿) 7 方向切 割的石墨带则具有扶手椅( m m c h a i r ) 边界。z i g z a g 边界态的存在，使得两种边界 的石墨带在介观输运中体现出截然不同的性质。元胞基矢口可以有多种取法，我 们把它选为： 口l = 罢( 1 ，垢) ，口2 = 昙( 一l ，订) ( 1 1 ) 二z 相应的倒格基矢易( 图1 2 b ) ： 6 l = 婴筝黑：! ( 垢，1 ) ，6 2 ：型关尘：! ( 一订，1 ) ( 1 2 ) 口i 。【n 2 z j 口 口2 l z 口1 ) 口 其第一倒格布里渊区( f i r s tb r i l l o u i nz o n e ，f b z ) 是正六边形结构，也具有元胞的 3 第l 章绪论 ，义、6 、 ( a )( b ) 图1 2 ( a ) g r a p h e n e 品格结构。品格基矢由口1 ，口2 给出，虚线所含阴影区域代表单个 元胞，含有a 和b 两个碳原子，巩且是最近邻原子问距。 ( b ) g r a p h e n e 的第一布里渊 区，6 1 ，6 2 为倒格基矢，布里渊区中心为r 点，六个顶点( k 髟) 被称为d i r a c 点。 对称性。第一倒格布里渊区的面积为 肚禹邓2 i = 丢 正六边形f b z 的顶点位于 k ：竽( 1 ，o ) ，：鍪( 一1 ，o ) j nj 日 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 接下来通过能量久期方程，我们推导g r a p h e n e 中的色散关系。在n 个元胞组 成的g r a p h e n e 中，我们只考虑体系中参与电子输运的波矢为露的7 r 带电子。在空f b j 坐标，处，晶格中所有a 原子( b 原子) 对该点波函数的贡献为如下b l o c h 波 钆陇，) - 去驴毗纵r _ 毗) 虻a 功， ( 1 5 ) 其中，是a 或者b 原子上2 p ：电子的丌轨道波函数。为保证仃为b 1 0 c h 波，叠加相 因子选为p 膻一。转移积分矩阵圩可以表示成2 2 矩阵 ( 露) = ( 吼( 七，) i 疗i 郇( 七，r ) ) = 专p 瞻i 嘭一心( ( r 一如) l 疗i 即( ，一郾) ) ( 1 6 ) 一冠，足8 各矩阵元表达如下 酬耻专磊 专心驻m 弋肿俐卜， 4 东南大学博十学位论文 + 专+ + 一 + 心篡2 口。 嘞= h 肋( 七) ， ( 1 7 a ) 1 f - l ，2 ，3 巩鼬) = 专如( 咖( 卜酬挑础一蚴) + 1 1 r a = r 8 一f i 幻，( 忌) = ( 露) ， ( 保留最近邻项) ( 1 7 b ) 其中q p 是2 p ：轨道能级 幻= ( ( ，一r a ) l h i 妒b ( r r 口) ) ，厂( 豇) = p 七r 1 + p 膻f 2 + p 膳r 3 ( 1 8 ) 通常，幻定义为近邻跳跃能，经实验测定，幻一2 8 4 e v 转移积分矩阵h 简化为 撇) ：i 篓u 1 ( 1 9 ) i 幻，( 七)锄j 。 类似的，我们也得到交叠积分矩阵 跗) ：f 跖掣i ， 即：( ( 卜蚴伽( 卜蚴 ( 1 1 0 ) is o 厂4 ( 七) l j 。 通过求解久期方程d e t i h ( 知) 一e ( 七) s ( 露) i = o ，计算出能量本征值 础) = 篙揣 ( 1 1 1 ) 单层石墨中a 和b 格点的2 p ：轨道波函数正交，故s o = 0 。从而有紧束缚的格点哈 密顿量 纠= 口c f + 幻口q ， ( 1 1 2 ) 其中 代表单层石墨的最近邻格点求和。 很明显，在k 和k 7 点厂( k ) = ，( k 7 ) = o 。若以为能量起点，即2 p = 0 ， 则k 和k 7 点准粒子能量e ( k ) = e ( k ) = o 。同样，波矢后也可记为从d i r a c 点出发 露= k ( ) + g 。准例子色散关系简化为 鼬) = 士、l + 4 c o s ( 孚) c o s ( 警c o s 2 ( 争 ( 1 1 3 ) 图1 3 a 的三维能谱展示的正是该色散关系，在六个d i r a c 点( 足，k ) 处，能量为o ，下 方的价带和上方的导带衔接于这些点。能带在d i r a c 点展开为山谷形貌( v a l l e y ) ， 由于这六个d i r a c 点存在k 和k 的简并，所以这样的k ( ) 简并通常也形象的称 5 第l 章绪论 图1 3 ( a ) 单层石墨能谱，能量零点上方构成矿带，下方是丌带，矿带与丌带在六个倒格 布里渊区的顶点接触。这六个顶点被称为d i r a c 点，可分类k 和k 7 两类。( b ) k 点附近色 散关系放大图。 为v a l l e y 简并。当波矢七位于d i r a c 点附近的低能区，即川o ，经泰勒展开，得到 图1 3 b 所示的线性色散关系 e ( g ) 壳v f l g i + c ( 9 2 ) ，( i 口i o ) ，( 1 1 4 ) 其中壳1 ，= 单幻口，1 ，f 1 0 6 ，l s 为石墨中的费米波矢，约为光速的l 3 0 0 。 1 2 - 2d i r a c 方程 类似的，我们对转移积分矩阵日作低能下的泰勒展开。这里，我们先考虑位 于k 点低能区的波矢七= k + q ，有 八垡) ；孚( q 工一i o ) 口+ d ( q 2 ) ( 1 1 5 ) 这样，在d i r a c 点k 的低能区域内，转移积分矩阵日的一阶近似为 厶k c 口，兰【萼幻口。三+ 奶，萼幻口言一i 缈】州咖兰【翱 奶) ”i j 利用1 ，= 萼幻n ，可以得出k 点附近低能区的等效哈密顿纠， 的d i r a c 相对论方程的形式 甜x = v f 、p ；仃x + p y 盯心= v f 参分 6 ( 1 1 6 ) 它具有无质量 ( 1 1 7 ) 东南大学博。l 学位论文 对于k 7 点的处理也可采用相同手段，我们得到 7 k ，= v f ( 一p j 叽+ p y q ) = 一v ，p 伊+ ( 1 1 8 ) 比较式1 1 7 和1 1 8 ，k 与k 7 点d i r a c 方程的差别体现为动量算符工分量改变符 号仇_ 一仇。根据哈密顿纠，可解出如下形式的动量空间波函数 出耻去( 茹) ，磋= 去瞄 聊 若同时包含k 和k 点，单层石墨的d i r a c 相对论方程可完整写为硝、王，( ，) = e 、壬，( ，) ， 其中 ， 舛：1 ，一矿 【 o o 1 l = 1 ，f p 矿1 0 参x + i 静y o o p x l p y o o o o o o p 。+ i 氐 o o p x l p y o 甲丁( ，) = ( 妒夤( ，) ，妒菩( ，) ，硝7 ( ，) ，妒菩( ，) ) 或者经过矩阵变换为如r 卜形式 纠= v f ( p 二护p ) 伊) ， 波函数也相应的变换为 甲7 ( ，) = ( 妒夤( r ) ，妒鼬，一妒托) ，西( r ) ) 很明显，变换后的哈密顿( 式1 2 1 ) 更直观的体现出k 和k ，的简并特点。 ，( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 1 3g n r 的能带结构 石墨带( g n r ) 是从二维单层石墨上平行切割所得到的长条带状结构，通常 具有z i g z a g 和加1 1 1 c h a i r 两种边界形态( 分别沿水平和垂直方向切割可得到，如 图1 4 ) 。石墨带的长度远大于宽度，在处理问题时可近似为无限长的晶格结构。 近年来，学者们研究发现石墨带具有一些非同寻常的介观输运现象，这与石墨带 的边界拓扑结构有很大关系【1 8 ，19 1 。例如，w a l ( a b a y a s h i 等计算发现z i g z a g 石墨带 的局域边界态，而m m c h a i r 石墨带则没有。s p 2 杂化的网络拓扑对7 r 带电子结构产 生影响，z i g z a g 边界态使得d i r a c 点的能带出现平台，从而导致零能的态密度尖 7 第l 章绪论 图1 4 ( a ) z i g z a g 石墨带( b ) 加1 i l c h a i r 石墨带同为横向链个数，单个元胞按照虚线区 域选取。 峰。实验中也证实了单层石墨的边界态存在【2 0 1 ，拓扑边界效应也同样出现在碳 纳米管中。下面我们采用紧束缚近似，推导能量木征方程( h a 印e r 方程) ，并由此 计算能带。 1 3 1 z i g z a g 石墨带 石墨带的紧束缚哈密顿可以写为 爿= o c j q ， ( 1 2 3 ) i ，j ) 其中，讲( c f ) 是在第f 个格点上的电子产生( 湮灭) 算符，( f ，歹) 代表对最近邻格点求 和。格点位能设为零，幻= f 则表示最近邻跳跃能( 最近邻转移积分) ，暂时不考虑 自旋。考虑加入一个垂直与单层石墨平面的磁场口，则转移积分 t q _ f i j e 渤咄 ( 1 2 4 ) 这里p e i e d s 相位f ，j 是对矢势沿f 格点到- 格点线积分 九，= 壶卜“ 2 5 ， 磁通量子单位为如= 譬图1 4 ( a ) ( b ) 分别是z i g z a g 和a 唧c h a i r 边界的示意图。最近 邻碳原子间距设为口，是西种边界中横向链的个数，虚线区域表示元胞的选取， 8 东南大学博_ j ：学位论文 元胞中原子分别用n a ( n b ) 来标记。我们采用如下的l a n d a u 规范a = ( 研，o ，o ) 。设 石墨带平面为驯平面，其平移不变方向取为工轴。需要注意的是在相同的横向个 数v 下，z i g z a g 和m m c h a i r 的宽度不同 w = 。絮荔三麓篙黠带 2 6 ， i ( 一1 ) 半以= 帔，a n n c h a i r 石墨带 从式1 2 5 ，我们容易算出p e i e d s 相位 妒肌b ，l a = 去( ，托一1 ) 6 m n 妒， ( 1 2 7 ) 这里妒= 学砌2 是通过碳原子所围最小六角面的磁通。 经推导，得到如下的h a 印e r 方程 ( e 2 3 ) 砂研b ( 七) = 2c o s 【敦工口十2 ( m 1 ) 7 矽】砂b ( 七) + 2 c 。s 【警如+ ( m 一1 ) 砷细- 1 ) 鼬) + 2 c o s 【警咖+ m 删e _ f 弘僦删鼬) ( 1 2 8 ) 下面讨论不加磁场的情形( = 0 ) ，当横向尺寸w 较宽( n 较大) ，石墨带可认为是连 续介质，故有 = 砂m l = 砂小= 砂坍+ l = 从式1 2 7 容易推出色散关系 ( 1 2 9 ) ，( 令佤= 1 ) ( 1 3 0 ) 这个结果与前面紧束缚方法得到的色散关系式1 1 4 一致，即图1 5 a 所示。z i g z a g 石 墨带的丌，矿带在川= 警处接触，而a 肿c h a i r 石墨带的丌，矿带在七= o 点接触。 类似的，我们也推导出m c h a i r 石墨带的色散关系，如图1 5 b ， ( 1 3 1 ) 当b = o ，佤= 1 时，h a 叩e r 方程( 式1 2 8 ) 简化为 ( 2 3 ) 砂肌曰( k ) = 口m 妒细+ 1 ) 口( k ) + k 砂m b ( 颤) + 日朋一l 砂( 舻1 ) 口( k ) ， ( 1 3 2 ) 9 第l 章绪论 e ( b ) 图1 5 ( a ) z i g z a g 石墨带色散关系( b ) 加t n c h a i r 石墨带色散关系 其中n m = 2c o s 譬+ m 椰】，6 历= 2 c o s 呶+ 2 ( ，l 1 ) 丌纠。对于a 格子，只需将 式1 3 2 的，z b 改为，以即可。因此，a b 格子满足相同的h 唧e r 方程，其能带是 简并的，这与倒格空间的k 点简并对应。我们采用石墨带的开放边界条 件砂+ i = 眵o = 0 ，该选取的物理意义是实际的准粒子波函数只存在石墨带内，而 在材料外的区域迅速衰减。由于不需要考虑0 a ( b ) 和( + 1 ) a ( b ) 格点，h a 印e r 方程 在边界格点上的形式发生变化 ( e 2 3 ) 砂l b ( k ) = 订i 砂2 占( k ) + 6 l 砂l 口( k ) ，m = l ， (