（数学专业论文）非线性脉冲积分微分方程的解.pdf

摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它能够清楚地解释自然界中很多 自然现象，因而受到了越来越多的数学家与数学工作者的关注其中，非线性问题来源 于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一本论文主 要讨论了带有c a s u a l 算子的一阶混合型脉冲积微分方程积分边值问题，混合型脉冲积 分一微分方程积分边值问题，混合型脉冲积微分方程的非线性边值问题解的存在性，全 文共分四章 第一章，前言部分，主要介绍了选题来源、研究意义、国内外研究现状，以及论文 的主要研究内容和目标 第二章，利用新的比较原理和上下解方法，讨论了具有c a s u a l 算子的阶混合型脉 冲方程积分边值问题，并改进了某些已有的结果 第三章，利用单调迭代方法，研究了一阶混合型脉冲积分一微分方程积分边值问题 极值解和唯一解的存在性 第四章，利用上下解方法，研究了一阶混合型脉冲积微分方程的非线性边值问题 唯一解的存在性，对某些已有结果作了推广和改进 关键词：积一微分方程，积分边值问题，脉冲，单调迭代技巧，上下解方法 t h es o l u t i o n so fn o l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s z h a oy i a n ( m a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o s o n gg u a n g x i n g a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e ma n a l y s i sm a t h e m a t i c s i t c a l le x p l a i nal o to fn a t u r a lp h e n o m e n ac l e a r l y , s om o r ea n dm o r em a t h e m a t i c a lr e s e a r c h e r s a r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n gt h e m ，t h en o n l i n e a rp r o b l e mc o m e sf r o mal o to f b r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，i ti sa tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a t i ss t u d i e di na n a l y s i c a lm a t h e m a t i c s t h ep r e s e n tt h e s i sm a i n l yd i s c u s s e st h ep r o b l e m sf o rs o l u t i o n so fi n t e g r a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s 诵t 1 1c a u s a lo p e r a t o r s ，i n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rf i r s to r d e r i m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p ea n dn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rf i r s to r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p e i n c h a p t e ro n e , w em a i n l yi n t r o d u c eb a c k g r o u n d ，r e s e a r c hm e a n i n ga n dc u r r e n t s i t u a t i o n so ft h i ss t u d y , a n dt h em a i nc o n c l u s i o n sa n dm o t i v eo ft h i st h e s i s i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ffi n t e g r a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s 谢t 1 1c a u s a lo p e r a t o r s ，b yl l s i n g ac o m p a r i s o nr e s u l ta n dp a r t i a lm e t h o d i t g e n e r a l i z e sa n di m p r o v e ss o m ef o r m e rc o r r e s p o n d i n gr e s u l t s i nc h a p t e rt h r e e ，b yu s i n gt h ec o n et h e o r ya n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，w e i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fe x t r e m a ls o l u t i o n sa n du n i q u es o l u t i o n so fi n t e g r a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rf i r s to r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p e o u r r e s u l t si m p r o v ea n de x t e n dm a n yr e c e n tr e s u l t s i nc h a p t e rf o u r , b yu s i n gl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo f u n i q u e s o l u t i o no fn o n l i n e a r b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s f o rf i r s to r d e ri m p u l s i v e i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p e o u rr e s u l t si m p r o v ea n de x t e n ds o m er e c e n t r e s u l t s k e yw o r d s ：i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m , i m p u l s i v e ， m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：垂坠耋 日期：形年钿日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名： 走、安 指导教师签名： 半掐芝 日期：形年钿日 日期：夕纠d 年彳月日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章前言 1 1课题研究背景及其研究意义 随着科学技术的发展，尤其是近代物理学和应用数学的发展，在许多实际问题中出 现了新的非线性问题，引起了研究人员的广泛关注，使得非线性分析理论逐渐的发展， 不断地积累，从而形成了现代分析数学的一个重要的分支学科非线性泛函分析 非线性泛函分析是现代数学的一个非常重要的工具，一个重要的学科作为近二三 十年来发展起来的一个重要分支抽象空间微分方程理论，把微分方程理论和泛函分析理 论结合起来，利用泛函分析方法研究抽象空间的微分方程它的理论在无穷常微分方程 组、临界点理论、偏微分方程、不动点定理等诸多方面都有广泛的应用 近年来，非线性泛函分析已经成为研究数学、物理、航空航天技术、生物技术中非 线性问题的一个重要的工具它的基本方法有拓扑度方法、变分方法、解析方法、半序 方法、上下解方法、单调迭代方法等 二十世纪以来，非线性泛函分析的发展取得了重大突破首先b a n a c h 压缩映象原 理、l e r a y s c h a n d e r 拓扑度理论、抽象锥的不动点理论、临界点理论的提出，促进了非 线性常微分方程、偏微分方程边值问题的研究，加速了非线性分析的发展 将具体问题概括为抽象空间方程问题，其本质在于用函数空间的语言把所给问题加 以改写；然后，借助泛函分析方法对这个抽象问题尽可能完善的加以分析；最后再把所的 结果进行“翻译”，以回到原来的问题这种方法去掉了无关紧要的枝节，更易于揭示和 分析问题的核心，而且表面上看来不同的问题可以用同一空间理论来处理因此有关抽 象空间的一些问题已就显得非常重要，而其方程解的问题又是研究空间问题的核心问 题不但它对数学的基础理论有着推动作用，而且应用于解决几何学与物理学中的一些 实际问题，推动自然学科的发展另外，自然科学和工程技术中大量非线性现象组成的 各类非线性积分微分算子又为抽象空间方程的发展提供了基本素材 利用抽象空间各类方程，对问题进行研究和解析是一个十分巧妙而又应用广泛的方 法抽象方程理论在许多数学领域，也正是由于这些应用，抽象方程理论才得以更迅速 发展 另外，非线性泛函分析理论的研究及完备化具有非常重要的意义，尤其是近几十年 来，国内外的许多研究学者对非线性问题的研究做了大量工作 郭大钧先生在专著【1 】中对非线性泛函分析的几个重要课题及其应用，诸如某些经典 1 第一章前言 的非线性算子、h a m m e r s t e r s t e i n 型积分方程、常微分方程和偏微分方程、迁移方程、 锥理论及非线性算子方程的正解、非线性算子拓扑度和不动点以及固有值、解的个数与 分支，都作了系统的概括和总结e 2 1 中利用锥理论讨论了多种非线性问题，主要是近 几年来发展起来的最新成果e 3 ，2 7 则讨论了各种多样的积分方程解的存在性其中 内容可谓是丰富多采，包括了非线性泛函分析这一领域各个方面的成果 本课题正是在上述背景下提出的，通过研究抽象空间中各类方程解的理论，希望找 到使相应方程解存在且较容易验证或检验的条件；同时努力构造逼近一致收敛于解的迭 代序列，以及给出相应的误差估计式 1 2 国内外研究现状分析 抽象空间中的常微分方程是近些年来发展起来的一个新的教学分支，它把微分方程 理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究抽象空间的微分方程郭大钧和 孙经先合著文献 3 3 是这一课题的集大成之作，概括了b a n a c h 空间常微分方程理论文 3 4 全面综述了抽象空间内非线性微分方程各个分支的内容，包括证明解的存在性时所 使用的方法以及解的某些性质，文 3 5 则是一篇综合报告，概括了微分方程发展的一些 最新成果 研究解的存在性的理论方法有多种：压缩映象原理、变分原理、单调算子理论、不 动点理论、拓扑度理论但其侧重点不一样其中，压缩映象原理重点在于讨论非线性 算子方程解的存在性与唯一性；拓扑度方法要求算子全连续且只能给出解在特定意义下 的存在个数 现阶段，单调迭代方法、上下解方法以及拓扑度方法是研究热点利用上下解方法、 单调迭代方法不仅可以得出解的存在性，而且可以获得方程的最大解、最小解以及一致 收敛于解的迭代逼近序列更好的结果是我们能够得到相应近似解的误差估计式但上 下解方法和单调迭代方法对方程要求条件较高，而拓扑度方法只能给出解的存在性，一 般不能给出逼近解的迭代序列因此，如何在较广的空间中，较弱的条件下利用上下解 方法与单调迭代方法得到我们想要的结果是许多数学工作者非常感兴趣的研究问题之 一宋光兴教授( 本课题指导教师) 以及国内外一些数学专家在这方面做出了许多工作， 这些工作中的基本思想对本课题的研究有着重要的启发 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 3 主要研究内容和目标 本课题主要是充分利用上下解方法和单调迭代方法以及不动点定理，研究抽象空间 方程解的存在性、构造逼近解的迭代序列以及相应误差估计研究的方程更具一般性， 构造新的比较定理，在利用上下解方法与单调迭代方法时尽可能减弱有关条件是本文主 要的研究目标 利用上下解方法和单调迭代法研究积一微分方程的解一般需要以下几个步骤： ( 1 ) 建立比较定理； ( 2 ) 利用积分方程与微分方程的关系将脉冲积一微分方程的相关线性问题转化为积分 方程； ( 3 ) 通过研究该积分方程解的存在唯一性构造非线性自映射算子a ； ( 4 ) 通过算子a 的性质寻求所研究脉冲积一微分方程的解的存在性 本文主要研究的抽象方程有以下几种： 1 带有c a s u a l 算子的一阶混合型脉冲积微分方程积分边值问题： “o ) = ( q ) ( f ) ，f 气，f j = 【0 ，丁】， , x u ( t d = 厶 ( 气”，k = 1 ，2 ，m ， “( o ) = “( f ) + 如r 国( 删( s ) 进忆 2 混合型脉冲积分一微分方程积分边值问题： iy o ) = g ( t ，y o ) ，y ( 缈( ，) ) ，t y ( f ) ，s y l j f ) ) ，f t k ，f j = o ，r 】， i 少( 气) = i k ( y ( t k ) ) ，k = l ，2 ，m ， iy ( o ) = 五j ，( f ) + 五i ：o ，y ( t ) ) d t l y ( f ) = y ( o ) ，f 一，o 】， 其中( 砂) ( r ) = r 七( f ，j ) y ( 7 ( s ) ) 凼，( 黟) ( f ) = r 办( ，j ) y ( 万( s ) ) 凼， 这里，y ，万c ( j ，力，k ( t ，j ) c ( d ，r + ) ，办o ，s ) c ( d o ，r + ) 3 混合型脉冲积微分方程的非线性边值问题： fj ，o ) = f ( t ，y u ) ，y ( 缈( ，) ) ，t y o ) s y o ) ) ，f & ，r ，= 【o ，】， 缈( & ) = 厶( ，y ( 如) ，j ，( 缈( 气) ) ) ，k = 1 ，2 ，m ， ig ( y ( o ) ，y ( 丁) ) = 0 ， , 0t y ( t ) = f 。七( f ，s ) y ( 7 ( s ) ) 凼，s y ( t ) = h ( t , s ) y ( 占( s ) ) 出 3 第二章带有c a u s m 算子的积分边值问题 第二章带有c a u s a l 算子的积分边值问题 2 1 引言 在本章节，主要研究具有c a u s a l 算子的一阶混合型脉冲方程积分边值问题： ”t ( ，) = ( q ”) ( f ) ，r t k ，f j = 【o ，r 】， z x u ( t _ | ) = 厶 纯) ) ，k = 1 ，2 ，加， ( 2 - 1 ) 甜( o ) = “( f ) + 五r 国( 删( s ) + c 其中t j = 【0 ，明( 丁 0 ) ，e = c j ，r 】，并且q c e ，明，是一个c a u s a l 算子。f ( o ，明， 国c ( j x r ，r ) ， ，五，c r ，0 乞 乙 t ，s o = 【0 ， 】，以= ( 气，t k + l 】，k = l ，2 ，m ， 乙+ l = t ，厶c ( r ，尺) ，“( 如) = “( ：) 一u ( d ，k = 1 ，2 ，m 在 = 1 ，如= c = o ，f = t 的情形下，边值条件为周期边值条件；在 五= - 1 ，五= c = 0 _ g r = 丁的情形下，边值条件为反周期边值条件；在丑= 五= 0 的情形下， ( 2 1 ) 为初值问题 注2 1 我们注意到在( 2 - 1 ) 的边值条件中，如果f 取( o ，卅中的任意常数，甚至 f = t k ，k = 1 ，2 ，m 则边值条件将改变因此，( 2 - 1 ) 具有非常广泛的形式 现在一些作者已经对带有c a s u a l 算子微分方程很感兴趣( 见 4 7 ，2 9 ，3 2 ) 它 的理论统一常微分方程，积微分方程，带有有限或无限时滞的微分方程，v o l t e r r a 型积 分方程和中立型泛函方程等等，有很强的性质脉冲微分方程是一类重要的模型，它描 述许多在某一时刻突然改变它们的现状的进化过程( 见 8 1 2 ，3 0 ，3 1 ) ，并且近些年 这一模型已经被很多作者深入的研究 为了获得微分方程解得存在性，一些作者使用单调迭代技巧( 见 1 3 ，1 4 ) 现在 已经有很多文章应用这一技巧在初值和边值问题上( 见 1 5 1 8 ，2 8 3 ) 对于方程( 2 1 ) 我们也应用这一方法在本章我们把时滞算子的概念拓展到积分边值问题上 具有时滞的脉冲积微分方程理论研究是非线性分析中的一个重要分支，这类方程 经常出现在有关数学物理、机械、工程、经济等调查研究中其中，对这类方程理论研 究的一个重要方向是在适当条件下验证方程解的存在性 2 2 预备 在这一部分，为帮助证明主要的结果，我们首先列出一些定义和引理设 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 j 一= ，辑，乞，乙) p c ( j ，r ) = 甜：，专r 卜o ) 是连续的除了，y ( 巧) = y ( 气) ，k = l ，2 ，m ) p c i ( ，r ) = 伽：p c ( j ，r ) i u 是连续的在，一，且) ，( o + ) ，y ( 丁一) ，y ( 砖) 矛吵7 ( ) 存在，k = 1 ，2 ，m ) 设磊= p c ( j ，r ) ，定义范数： h 昂2 s u p l y ( t ) l ， 则磊是b a n a c h 空间，并且设q = p c i ( ，r ) 如果满足方程( 2 - 1 ) i 蚕l 数y q 就称为方程 ( 2 - 1 ) 的一个解 定义2 1 设q c ( e ，e ) ，则q 被称为c a u s a l 算子，如果u ( s ) = v ( s ) 对于0 s f z 当 “，1 ，e ，贝i j ( 跏) ( s ) = ( 少) ( s ) ，0 s f 下面的比较引理和结果在本章中起重要的作用 引理2 1 ( 比较引理) 设m q 满足 im o ) 一 ，( f ) m o ) 一( f 册) o ) ，t t k ， 肌( 如) 一l k m ( t k ) ，k = 1 ，2 ，m ，( 2 2 ) i 肌( o ) 0 ， 其中0 厶 0 令m i q 所( f ) = 一b ，贝i j b 0 o g s f 情形l 若b = 0 ，则m ( t ) o ，v t o ，t 】由条件( 2 - 2 ) 知，m ( f ) o ，v t o ，门并且 聊( ) 一厶聊纯) 0 ，o 0 ，则存在乙- 厂，( m ) ，使得所以) = - b 0 或者研( c ) = - b 。在这里 我们只考虑聊( f ) = - b ，因为对于所( c ) = - b ，证明过程类似现在由( 2 2 ) ，我们有 o 1 ， 与( 2 3 ) 矛盾 综上可知m ( t ) 0 ，v t j 引理2 1 得证 珊存我们考虑以下线件方稗： “o ) = 一 ，o ) 甜( f ) 一( f 甜) o ) + 仃o ) ，f t k ，t j = 【0 ，丁】， “( & ) = 一厶“( ) + 厶 瓴) ) + 厶刁( 气) ，k = 1 ，2 ，m ， ( 2 4 ) “( o ) = a 7 7 ( f ) + 五r 缈( j ，刁( j ) ) 凼+ c ， 冥中，0 厶 1 ，k = l ，2 ，m ，r l 2 ，o r ( t ) e o 且朋( f ) 是j 上的非负有界n - 积函数 引理2 2y q 是( 2 - 4 ) 的- - 个解当且仅当j ，磊是以下积分方程的解： 甜( f ) = e - i ：m ( r ) d r n 可( f ) + 友胁删) 加】+ 磊砒弦似炒 + 。脚涉) 一( 洲j ) 】西，( 2 - 5 ) 证明：设y q 是( 2 - 4 ) 的一个解令z o ) ：”o ) p j 。肼7 涉则z q 并且通过( 2 4 ) ， z ，( f ) ： 盯( f ) 一( f 甜) ( f ) k j 。m 7 毋。( 2 6 ) 很容易得出以下的方程： z ( f ) = z ( o ) + e z 7 ( s ) a s + z ( t t ) - z ( t ) 】。( 2 - 7 ) u f 通过( 2 - 4 ) ，我们有 z ) 一z ( ) ：缈( ) p c 帅陟。( 2 - 8 ) 从( 2 - 6 ) 一( 2 - 8 ) ，得出 甜( f ) ：p m 毋f ) + 五r ( s ，刁( s ) ) 凼+ c 】+ j ，( 莎和弦 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 + e 州力毋) 一心材) ( j ) 】凼， 因此，“( f ) 满足( 2 5 ) 反过来，如果y e o 是积分方程( 2 - 5 ) n - 个解，则通过直接微分，很容易证明y q 且y ( t ) 满足( 2 4 ) 综上所述，引理2 2 得证 引理2 3 设f c e ，e 】是一个正线性算子，且m 9 ) 是上的非负有界可积函数令 i i f l l r + 艺厶 1 ，( 2 - 9 ) 这驯| _ s u p 护 i i f 陌( x ) l l ，帅q 有唯一解y q 证明：根据引理2 2 ，我们知道y ( f ) q 是( 2 - - 4 ) 1 拘- - 个解当且仅当y ( t ) e o 是脉冲积 分方程( 2 - 5 ) 的解现在，我们证明( 2 5 ) 有唯一解y ( f ) 对砂昂，我们定义a ， ( 彳甜) o ) ：p 伽) 毋州f ) 一如j c r ( 品删凼+ c 】+ y 脚卉 + p j ，m ( r ) d r 盯( j ) 一( 办) ( j ) 】凼，r ， 则( a u ) e o ，x 寸v u l ，甜2 磊，我们可以得到 8 彳坼一彳甜：l 晶= s ，u u p le j ：m 7 毋【五刁( f ) + 五r o ，刁( j ) ) 凼+ c 】 + z l l ( 莎m ( r ) d rd - p 触陟) 一( 他) ( j ) 一p i o m ( r ) d r 4 2 1 ( f ) + 如r ( j ，刁( s ) ) 凼+ c 】 一屹( ，f 弦一m ( r ) d r - - p m 毋阶) 一( 似) ( j ) 川 ：s u p i 吲毗) 吲伽p 恤涉+ 州，) 毋峙坝旷( “m 】凼i t e d i o l l ( f “ i 磐 乏出+ 1 f i i 凼卜i i 岛 ( 厶+ i i f 8 丁) 0 z l l - u 2 1 1 岛 通过( 2 9 ) 我们知道4 是一个压缩算子综上所述，通过b a n a c h 不动点定理，a 有惟一 7 第二章带有c a u s a l 算子的积分边值问题 不动点u 磊当然，甜是( 2 8 ) 的唯一解，引理2 3 得证 2 3 方程( 2 - 1 ) 的极值解 在这部分中，我们要确定方程( 2 1 ) 极值解的存在性 定义2 2 函数q 被称为是( 2 1 ) 的下解，如果满足 r l 玩( 纸) ( f ) ，f * t k ，r j ， 瓴) i a a o 瓴) ) ，后= 1 ，2 ，m ， ( 2 - l o ) 【a o ( o ) 以p ) + 五r o ，a o ( j ) ) 出+ c 定义2 3 函数屁q 被称为是( 2 1 ) 的上解，如果满足 r i 孱( q p o ) ( r ) ，f t k ，r ， a r i o ( t i ) 厶( g o ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，m ， ( 2 - 11 ) 【r i o ( o ) & r i o ( f ) + 五r 肿，p o ( 呦凼+ a 对于，p o q ，若对于所有的f j 都有o t o ( t ) r i o ( t ) ，我们就记为a o 属在这种 情况下，我们记 ，p o 】_ y q ，o t o ( t ) y ( f ) p o ( f ) ，) 定理2 1 假设下列条件成立： ( 1 - 1 1 ) 函数，磊q 对应的是( 2 - 1 ) 的下上解，在j 上使得( f ) r i o ( t ) ； ( 皿) 存在0 厶 l ，k = l ，2 ，m ，和非负可积函数m ( t ) 使得( 2 3 ) 和( 2 9 ) 成立，并且 ( ! 参) o ) 一( q _ ) ( f ) 一m o ) ( x 一- ) 一( f ( x 一- ) ) ( f ) ， 这里 x x 层( r ) ，v t j ，幺； ( 马) 五( 虱f ) 一y o ) ) + 五f ( s ，石( j ) ) 一( s ， ，( s ) ) 豳o 这里( f ) y r i o ( t ) ，a ，五r ； ( 凰) 厶( x ( 气) ) 一厶( j ，( ) ) 一厶( x ( 气) 一y ( t d ) ， 这里( 气) y ( 如) x ( 气) 屁( 气) ， 七= 1 ，2 ，m 则存在单调序列娩( ，) ) ，馋o ) ) 在 ，属】上分别一致收敛于( 2 - 1 ) f l o 极值解 证明：首先，我们构造两个序列 c 6 ( t ) ，编( f ) ) 满足下面的方程： 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 i 蠢o ) + f o ) q o ) + ( g 磁) o ) = ( q a t 1 ) o ) + m o ) q 一。o ) + ( 善磁一1 ) o ) ，r ，r j ， a a , ( t d = 一厶呸( 气) + 厶( 1 魄) ) + 厶一l 以) ，k = l ，2 ，m ， ( 2 - 1 2 ) 【q ( o ) = a 以 ) + 五j c r o ，一。o ) ) 西+ c ， r i o ) + m o ) 屈( f ) + ( 白晓) ( f ) = ( q p , 一。) ( f ) + m ( t ) f l ，一l o ) + ( 白绣一1 ) o ) ，f t k ，r ， 屈( 气) = 一厶屈瓴) + 厶( 层一，瓴) ) + 厶屈一。瓴) ，k = l ，2 ，聊， ( 2 1 3 ) 【屈( o ) = 五层一。p ) + 五r o ，屈一。( s ) ) 凼+ c ， 显然，由引理2 2 ，2 3 得方程( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) 都有解，因此上面的定义满足 我们通过四个步骤来完成证明 步骤1 我们证明_ l q 和屈层1 ，i = 1 ，2 ，m 通过上面的过程，我们知道满足 r i ( f ) + m o ) q o ) + ( 善磁) o ) = ( q ) ( f ) + m ( f ) o ) + ( f ) o ) ，t 气，f j ， 呸纯) = - - l k a l 纯) + 厶( 瓴) ) + 厶纯) ，k = l ，2 ，m ， ( 2 - 1 4 ) 【a 6 0 ) = 五p ) + 五r o ，a o ( s ) ) 凼+ c ， 令p ( t ) = c t o ( t ) - 口l ( t ) ，则， p 。o ) + m p ) p ( ，) + ( f p ) ( ，) = 玩( f ) + m ( f ) 嘞( d + 昏o ) 一m o ) o ) 一备( ，) = ( r ) 一( 瓯) ( r ) 0 。 易证 卸也) 一厶p 也) ，k = 1 ，2 ，m ，p ( o ) 0 ， 然后由引理2 1 ，我们得到p ( t ) 0 ，即a o ( t ) a f i ( t ) 也就是 由数学归纳法，我们得到序列 ) 是非减序列同样我们也可以证明 屈) 是非减序 列 步骤2 假设层，我们证明 - a 。令p = 呸一层，则对于f t k , v t ，及( 马) 有 p o ) + 订o ) p o ) + ( f p ) o ) = 西o ) + m ( f ) q 9 ) + g 碥( f ) 一( f ) 一 ，( f ) 屈( f ) 一礴( f ) = ( q a o ) ( t ) + m ( t ) c t o ( t ) + ( 昏) o ) 一( q 属) ( f ) 一m ( t ) f l o o ) 一( 臼) o ) 0 由( 马) 和( 风) 易证 卸( ) 一厶p ( 乓) ，k = 1 ，2 ，m ， p ( o ) 0 ， 则p ( f ) 0 ， d z 臣p 嘶- a 再由数学归纳法得q 屈，i = 1 ，2 ，刀 9 第二章带有c a u s a l 算子的积分边值问题 步骤3 继续前面两个步骤，有 q 屈届p o ， 且对每一个，屈q 都满足( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) 显然，存在只，使得j i mc t , ( t ) = 只， l i mf l j ( t ) = ，显然，只，y 满足( 2 - 1 ) 步骤4 我们证明儿，y 。是【，p 0 1 4 ( 2 - 1 ) 极值解 令y ( t ) 是( 2 - 1 ) 的解，满足c t o ( t ) y ( f ) 屁( f ) ，f j 设p ( t ) = 呸+ l ( t ) - y ( t ) ，则对于 f t k ，f j ， p ( f ) = z + l - y 一m ( f ) p ( f ) 一( f p ) ( r ) ， 且 卸( ) 一l k p ( q ) ，k = 1 ，2 ，m ，p ( o ) 0 。 由引理2 1 ，可得对v t j 有p ( t ) 0 ，即呸+ l y 。类似的可得y 层+ l ，f j 因此 对v t j 有+ l y ( t ) 屈+ l ，o = o ，l ，2 ，) ，即只( f ) y ( t ) y ( f ) 定理得证 例2 1 考虑下面的方程： y = 一m y + m s i n ( y ) 一f f s 2 y ( s ) 凼三( 9 ) ，云1 ，f - 厂， 缈一去y 3 c 参( 2 - 1 5 ) y ( o ) = 一i 1m ) 一f ( j 一如) ) 西+ ；， 这里m c ( j ， o ，佃) ) 且j = 【o ，1 】 易证( r ) = o ，j 是( 2 - 1 5 ) 的- r 解，属( r ) 是其上解，形式如下： 且a o 属 易得 属( f ) = 扣肛 0 尹1 ， 2三，1-t-i-t332 ，l 】， 一，一，1 1 ， 、，j7 厶( 巩) ) 一厶( j ，( 伽一去( x 3 瓴) ( 锄 一寺( x 纯) 叫棚 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 这里( 气) j ，( ) x ( ) 属( 气) ，厶= 寺 显然， = 一1 1 ( x ( t d y ( 气” 五( - ( f ) 一y ( f ) ) + 五r ( s ，- ( j ) ) 一( s ，y ( s ) ) 凼o ， 这里( f ) 石l ， o ) ， 0 ，g c ( j x r 4 , r ) ，c o c ( j ，j + ) ，f 一，- c o ( t ) t ，并 且气 缈( f ) f ，f ( t k ，t k + l 】，f ( o ，丁】，c ( j x r ，r ) ，五，五，k r ，0 乞 乙 t ， 山= 【o ，f l 】，以= ( t k ，t k + 。】，k = 1 ，2 ，m ，乙+ 1 = t ，厶c ( r ，r ) ，a y ( 气) = y ( e ) 一j ，( ) ， k = 1 ，2 ，m ，并且 ( 砂) ( r ) = r 七( f ，s ) y ( 7 ( j ) ) 出，( 妙) ( f ) = fh ( t , s ) y ( 万( s ) ) 西， 这里，y ，万c ( j ，) ，k ( t ，j ) c ( d ，r + ) ，h ( t ，s ) c ( d o ，r + ) d = o ，s ) r 2 l o s o ) ，) ，d o = o ，j ) r 2 l o ，粥( ，+ ，r ) = y ：j + 专月陟( ，) 是连续的，除了气，y 甑) = y ( 气) ， 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 k = 1 ，2 ，m ) ，p c l ( ，+ ，r ) = y ，l c ( 1 厂+ ，只) i y 是连续的在厂，k y 7 ( o + ) ，少( 丁一) ，y ( 譬) 矛吵( ) 存在， k = 1 ，2 ，脚) 设毛= 秒p c ( ，+ ，r ) l y ( t ) = y ( o ) ，r - r ，o 】) ，定义范数： 昂2 s u p l y ( f ) i ， 则磊是b a n a c h 空间，并且设e = p c i ( 厂，r ) r 、p c ( j + ，r ) 如果满足方程( 3 - 1 ) 函数y e 就称为方程( 3 - 1 ) 的一个解 下面的比较定理和引理在本章中具有重要的作用 引理3 1 ( 比较定理) 设，厂，万c ( 以刀，o ) ，7 0 ) ，8 ( t ) ，r ，令y c 1 ，r ) 满 足 y 7 0 ) + 订o ) y ( f ) + m ( f ) y ( 国( f ) ) + m 2 0 ) 砂( f ) + 乜( t ) s y ( t ) 0 ，t t k ，f j ， 警譬l k ( y ( t k ) ) 一。1 ，2 ，川，( 3 - 2 ) y ( 0 ) 0 ， y ( f ) y ( o ) ，f 一，0 】， 其中0 厶 0 令i n f 。y ( f ) = - b ，则6 0 u g s f 情形1 若b = 0 ，则y ( t ) o ，v t 【o ，t 】由条件( 3 2 ) 知，y ( f ) o ，v t 【o ，门并且 a y ( t k ) - - l y ( t k ) o ，0 0 ，则存在，( m ) ，使得y 瓴) = _ 6 1 ， 与( 3 - 3 ) 矛盾因此我们有y ( f ) o ，v t ，且y ) y ( o ) - 0 ，f 卜，0 】 综上可知y ( f ) o ，v t j + 引理3 1 得证 我们现在考虑线性方程： i y ( ，) + m ( ，) 少+ m ( 缈( 国( ，) ) + 鸩( 力砂+ 蝎o ) 砂( 力= 仃( 力，r 以 i a y ( t k ) = 一厶y ( k ) + 厶( ，7 ( ) ) + l w ( t i ) ，k = 1 ，2 ，m ， 1 j ，( o ) ：五刁( f ) + 五f ( s ，刁( s ) ) 凼+ 七， ( 3 。4 ) 【j ，o ) ：y ( o ) ，f 一f o 】， 这里，0 厶s 】，后= 1 ，2 ，朋，且m ( n m ( ，) ，鸩( ，) ，坞( ，) ，是非负可积函数，且