长沙理工理论力学A课件第15章碰撞及碰撞的特点

15-1碰撞与碰撞的特点,1.碰撞：,2.碰撞的特点:,两个或两个以上有相对运动的物体在瞬间接触，速度发生突然改变的力学现象称为碰撞。,碰撞时间短；速度突变；加速度变化极大；碰撞力极大。,如鸟与飞行中的飞机相撞时，碰撞力可达鸟重的2万倍。,3.碰撞实例,锤锻、打桩、各种球类活动中的弹射与反跳、火车车厢挂钩的联接；飞机着陆；飞船对接与溅落等。,15-1碰撞与碰撞的特点,15-1碰撞与碰撞的特点,15-1碰撞与碰撞的特点,15-1碰撞与碰撞的特点,15-2碰撞的分类与简化,1.碰撞的分类,对心碰撞偏心碰撞,1)按其相处位置,(a),碰撞力：碰撞时物体之间的相互作用力。,：碰撞力的作用线过两物体的质心,正碰撞斜碰撞,(b),：碰撞时各自的质心速度沿公法线方向,2)按其接触处是否有摩擦,光滑碰撞非光滑碰撞,完全弹性碰撞弹性碰撞塑性碰撞,3)按碰撞后变形的恢复程度(或能量有无损耗),2.碰撞的简化,1)不计非碰撞力以及非碰撞冲量；,2)不计碰撞过程的位移。,15-2碰撞的分类与简化,15-3用于碰撞过程的基本定理,由于碰撞时间极短而碰撞力的变化规律复杂，因此不宜用力来度量碰撞，也不宜用运动微分方程来描述每一瞬时力与运动的关系，通常用分析的方法研究碰撞前后的变化。,又因为碰撞过程中物体伴有发热、发声、变形等现象，因此碰撞过程有机械能的损失，一般也不便应用动能定理。,所以通常采用动量定理和动量矩定理的积分形式，来确定力的作用和运动量变化的关系。,1.用于碰撞过程的动量定理冲量定理,质点系：,刚体：,冲量定理：质点系在碰撞开始和碰撞结束时动量的变化等于作用在质点系的外碰撞冲量的主矢。,15-3用于碰撞过程的基本定理,投影式,2.用于碰撞过程的动量矩定理冲量矩定理,质点系的动量矩定理(O点为定点)：,上式两边积分：,因为在碰撞过程中，各质点的位置都不变，因此。,15-3用于碰撞过程的基本定理,因为在碰撞过程中，各质点的位置都不变，因此。,冲量量矩定理：质点系在碰撞开始和结束时对固定点(质心)的动量矩变化等于作用在质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。,15-3用于碰撞过程的基本定理,3.刚体平面运动的碰撞方程,刚体的平面运动(动量矩可看成代数量),刚体碰撞前后的角速度。,15-3用于碰撞过程的基本定理,(1)挤压变形,(2)弹性恢复,1.两个阶段,2.恢复因数,(1)正碰:,v沿法向。,15-4质点对固定面的碰撞恢复因数,设一小球铅直落到固定面为正碰撞。,e=0完全非弹性碰撞或塑性碰撞,e=1完全弹性碰撞,0e1弹性碰撞,为恢复因数，是一种材料常数。,(2)斜碰:v不沿法向(不计摩擦),定义,15-4质点对固定面的碰撞恢复因数,(3)一般情形:两物体斜碰,15-4质点对固定面的碰撞恢复因数,15-4质点对固定面的碰撞恢复因数,由冲量定理有：,设碰后速度大小为,(1),(2),联立(1)式和(2)式求解得：,1.如图所示，两小球质量分别为m1和m2，速度分别为v1和v2，恢复因数为e，试求对心正碰后两球的质心速度和系统的动能损耗。,15-4质点对固定面的碰撞恢复因数,讨论：,(1)当e=0时，塑性碰撞,15-4质点对固定面的碰撞恢复因数,(2)当e=1时，完全弹性碰撞,15-4质点对固定面的碰撞恢复因数,(3)锻压与打桩的能量损失,故“重锤打桩，大砧打铁”。,要大大铁砧，,1)锻压:,2)打桩:,可设,则,15-4质点对固定面的碰撞恢复因数,15-5碰撞冲量对定轴转动刚体的作用撞击中心,1.定轴转动刚体碰撞前后角速度的变化,2.支座的反碰撞冲量撞击中心,由冲量定理:,如图所示，刚体具有质量对称面，绕定轴O转动，刚体质量为m，C为质心，OCd，起始静止，受外碰撞冲量I，试求反碰撞冲量Iox、Ioy?并求Iox=Ioy=0的条件？,1.建立如图坐标系，冲击后的角速度记为,若轴承没有撞坏，则,15-5碰撞冲量对定轴转动刚体的作用撞击中心,由冲量定理:,若轴承没有撞坏，则,2.若则轴承反碰撞冲量等于零。,15-5碰撞冲量对定轴转动刚体的作用撞击中心,设质心C到轴承的距离为d,则,K点为撞击中心。,结论：当外碰撞冲量作用于物体质量对称面内的撞击中心且垂直轴承中心与质心的连线时，则在轴承处不引起碰撞冲量。,15-5碰撞冲量对定轴转动刚体的作用撞击中心,(1)摆式撞击机，冲击点正好位于摆的撞击中心，以免引起轴承的碰撞力；,(2)用锄头，挥大锤，击棒球，若打击点与撞击中心接近，则手感轻松，否则手会疼痛。,撞击中心的应用,15-5碰撞冲量对定轴转动刚体的作用撞击中心,何时不可避免约束冲量?,试求图示对称刚体撞击中心。,问题1,问题2,15-5碰撞冲量对定轴转动刚体的作用撞击中心,15-5碰撞冲量对定轴转动刚体的作用撞击中心,2.均质杆质量为m，长为2a，其上端由圆柱铰链固定，如图所示。杆由水平位置无初速落下，撞上一固定物块。设恢复系数为e，求(1)轴承的碰撞冲量；(2)撞击中心的位置。,15-6碰撞问题举例,设碰撞开始和结束时，杆的角速度分别为1和2，并作受力分析图。,撞击点碰撞前后的速度为v和v，由恢复系数,在碰撞前，杆自水平位置自由落下，应用动能定理：,解得：,15-6碰撞问题举例,对O点的冲量矩定理为,即：,根据冲量定理，有,15-6碰撞问题举例,解得：,当时，IOx=0,所以：,15-6碰撞问题举例,15-6碰撞问题举例,作业：P1171（填空题）；P1182,3.一均质圆柱体，质量为m，半径为r，其质心以匀速vC沿水平面作无滑动的滚动，突然与一高度为h（hr)的平台障碍碰撞，如图所示。设碰撞是塑性的。求圆柱体碰撞后质心的速度、圆柱体的角速度和碰撞冲量。,15-6碰撞问题举例,这是一个突加约束的问题。,15-6碰撞问题举例,设碰撞前的角速度为，则有,对碰撞前的圆柱体进行受力分析，,可知圆柱碰撞前没有外碰撞冲量。,碰撞后瞬时，圆柱体突然变成绕固定轴O的转动，设其角速度为，质心的速度为uC，则,15-6碰撞问题举例,设圆柱体与平台凸缘碰撞冲量为I，因碰撞接触面并非光滑的，故I有公法线和公切线分量In和，如图所示。,碰撞前柱体对O轴的动量矩为,碰撞后柱体对O轴的动量矩为,15-6碰撞问题举例,由冲量定理：,其中：,解得：,如果在碰撞过程中用相对质心动量矩定理是否可以求解这个问题？,15-6碰撞问题举例,15-6碰撞问题举例,4.两个质量和直径都相同的钢球A和B，由不计质量的刚性杆相连。自高度h处自由下落，同时分别与铜板和钢板碰撞。已知球与钢板和铜板碰撞的恢复系数分别为e1=0.6和e2=0.4。求碰撞后刚性杆的角速度。,15-6碰撞问题举例,设A，B球的质量均为m，碰撞前的速度为v1，碰撞后的速度分别为vA和vB，碰撞冲量分别为IA和IB。碰撞前球与刚性杆组成的系统作平动，碰撞后作平面运动。设碰撞前、后的角速度分别为10和2。并作运动图和受力图,15-6碰撞问题举例,由球A和B的恢复系数得,将式(d)与(e)分别代入式(a)与(b)，再利用式(c)得,15-6碰撞问题举例,5.均质杆AB长为l，质量为m，如图所示。设杆在铅直面内保持水平下降，杆与固定支点E碰撞，碰撞前其质心的速度为v1，恢复系数为e。求碰撞后杆的质心速度和杆的角速度。已知E点到杆左端的距离为。,不考虑碰撞时杆的弹性振动，可看成是刚体碰撞的突加约束问题。E为固定障碍，碰撞前杆作平动，碰撞后杆作平面运动。建立图示坐标系。,15-6碰撞问题举例,设碰撞后的质心速度为v2，杆的角速度为，碰撞冲量为I。并作运动图和受力图,15-6碰撞问题举例,注意，碰撞前E点的速度为v1(方向向下)，碰撞后点E速度是质心速度v2(方向向下)与杆绕质心转动的速度(方向向上)的代数和，根据恢复因数的定义得,联立求解得,15-6碰撞问题举例,若为弹性碰撞，e=1，此时求得,若为塑性碰撞，e=0，则,负号表示碰撞后质心C的速度向上，与碰撞前速度v1的方向相反。,讨论：,15-6碰撞问题举例,1.图示一质量为m半径为R的匀质圆柱体静止地放在光滑的水平面上，受冲量为I的水平碰撞力作用，问当力作用线与水平面距离h为多少时，圆柱纯滚动。,C,15-6碰撞问题举例,2.一长为L质量为M的匀质杆AB，其A端与一可在光滑的水平滑道上滑动的不计质量滑块相铰接。当静止时，在B端给予一水平冲量I。求当I为多大时，AB杆可转至水平位置。,若考虑滑块的质量，如何求解？,15-6碰撞问题举例,3.作平面运动的匀质杆AB=l，与铅垂线成600夹角。杆下端A落到水平面时具有铅直速度v0，假设碰撞是塑性的，如图所示。(1)假设接触点A处有足够的摩擦，求碰撞后杆的角速度；(2)假设接触点A处光滑的，求碰撞后杆的角速度。,(1),(2),C,15-6碰撞问题举例,4.质量为m、长为l4m的匀质细杆AB，在与杆垂直的方向v=20m/s的速度运动。AB杆与一质量亦为m的静止小球D发生碰撞，恢复系数e0。试求碰撞结束时，杆AB的角速度及杆质心的速度。(练习册题6),对质心冲量矩定理,恢复因数e0;,冲量定理:,15-6碰撞问题举例,4.质量为m、长为l4m的匀质细杆AB，在与杆垂直的方向v=20m/s的速度运动。AB杆与一质量亦为m的静止小球D发生碰撞，恢复系数e0。试求碰撞结束时，杆AB的角速度及杆质心的速度。(此方法仅作了解),对D点的冲量矩定理,恢复因数e0;,对冲量定理:,15-6碰撞问题举例,作业：P1183；P1195；教材P503-8,第十五章完,提醒1、本周四交最后一次作业；2、注意本课程考试时间和地点；3、考试答疑：16周二下午两点整。（工科2号楼A-424）,1.如图(a)所示，半径为R的均质薄圆盘水平静止于光滑平面上，轮心O处用铰链连接一根长为2R的水平均质杆，它们的质量均为m，一质量为m/4的小球速度v沿水平面从垂直于杆的方向与杆端A发生完全弹性碰撞，试求碰撞后三者的运动状态及O处的约束力。,15-6碰撞问题举例,设碰撞结束的瞬时，速度如图(b)，由整体动量守恒有,由e=1，有,(2),由整个系统对固定点O动量矩守恒有,15-6碰撞问题举例,则,将(4)代入得,(),由(1)，(2)，(3)式求得,(4),此后，小球以速度作匀速直线运动，杆与圆盘系统保持碰撞结束时的动量不变。设其质心速度为vC。,15-6碰撞问题举例,杆与圆盘系统的质心作匀速直线运动，在这个质心惯性参考系中观察，轮心O相对于质心