（无线电物理专业论文）光束在非线性电介质中的调制不稳定现象.pdf

2 0 0 4 年上海史学硕士生毕业论文 摘要 调制不稳定性是普遍存在于非线性系统中的一种现象。孤予的产生和调制不 稳定性之间有着密切的联系，后者通常被认为是孤子产生的前兆，因此关于光束 传播稳定性的探讨对研究孤子具有很好的指导意义本文主要在理论上研究了相 干和非相干光束在线性和非线性介质中以及非傍轴光束在非线性自聚焦克尔介 质中传播时产生的调制不稳定性。具体内容包括以下两个方面： 一、傍轴近似下光束调制不稳定性理论的一般描述：( 1 ) 相干和非相干光束在 线性介质串传播时不会产生调制不稳定现象；( 2 ) 相干光束在非线性自聚焦介质 中传播时，整个系统对微扰的变化呈现不稳定性，沿传播方向以指数形式增长， 会产生调制不稳定现象；( 3 ) 非相干光束在非线性自聚焦介质中传播时，调制不 稳定性受非线性自聚焦和光束非相干效应的共同制约，存在一个阄值。只有当非 线性自聚焦效应大于光束的非相干效应时才会产生调制不稳定性。 二、非傍轴光束在非线性自聚焦克尔类电介质中传播时的调制不稳定性。 将非傍轴效应等效为四阶空间色散、五阶非线性效应和自陡峭效应加以处理。利 用线性稳定法研究非傍轴光束在非线性克尔介质中的传播稳定性理论分析和数 值模拟均表明：入射功率p 。和非傍轴参量a 决定非傍轴光束调制非稳增益谱呈现 出三种不同的分布规律，并给出相应判据以区分三种不同分布。 关键词：调制不稳定性，非相干光束，非傍轴光束，非线性介质，增益谱 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 a b s t r a c t m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t y ( m i ) i sau n i v e r s a lp r o c e s st h a ta p p e a r si nm o s tn o n l i n e a r w a v es y s t e m si nn a t u r e i ti so f g r e a ts i g n i f i c a n c ef o rs o l i t o n s s t u d yt oi n v e s t i g a t et h e p r o p a g a t i o ns t a b i l i t y o fo p t i c a lb e a m sb e c a u s eo fc l o s er e l a t i o nb e t w e e nm ia n d s o l i t o n s ，w h i c hi sc o n s i d e r e dt ob eap r e c u r s o rt os o l i t o n i nt h i sp a p e r , i h es t a b i l i t yo f c o h e r e n t ，i n c o h e r e n ta n dn o n p a r a x i a lb e a m sp r o p a g a t i n g i nl i n e a ro rn o n l i n e a rm e d i a i si n v e s t i g a t e d ，r e s p e c t i v e l y t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) m i o fc o h e r e n ta n di n c o h e r e n tb e a m p r o p a g a t i n g i nl i n e a ro rn o n l i n e a rm e d i a i sd i s c u s s e d ( a ) m iw o n to c c u rw h e nap e r i o d i cp e r t u r b a t i o n s u p e r i m p o s e do na u n i f o r m - i n t e n s i t yb e a mp r o p a g a t ei nac o h e r e n ta n dl i n e a ro rai n c o h e r e n ta n dl i n e a r s y s t e m ( b ) i f t h es e l f - f o c u s i n gn o n l i n e a r i t yi sa d d e d t ot h ec o h e r e n ta n dl i n e a rs y s t e m ， n om a t t e rh o ww e a k ，m io c c u r sc o h e r e n tm ih a sn ot h r e s h o l df o ri t se x i s t e n c e b e c a u s et h e r ei sn om e c h a n i s mt h a tc a ns u p p r e s st h em i g r o w t h ( c ) w h e n a p e r i o d i c p e r t u r b a t i o ns u p e r i m p o s e d o nau n i f o r m i n t e n s i t yb e a m p r o p a g a t ei nai n c o h e r e n ta n d n o n l i n e a rs y s t e m ，w h e t h e ro rn o tm 1w i l lo c c u rd e p e n d s u p o nt h er e l a t i v er a t e so f t h e s e l f - f o c u s i n ge f f e c t sa n dt h ei n c o h e r e n c ew h e n t h et w oe f f e c t se x a c t l yb a l a n c e ，t h e r e e x i s t sat h r e s h o l dp o i n ti ft h es e l f - f o c u s i n gt e n d e n c yi s s t r o n g e rt h a nt h ee f f e c to f i n c o h e r e n c e ，t h e nm 1o c c u r s ( 2 ) p r o p a g a t i o ns t a b i l i t yo fn o n - p a r a x i “b e a mi nn o n l i n e a rk e r rm e d i ab yu s i n g t h el i n e a r s t a b i l i t ym e t h o di si n v e s t i g a t e d b o t ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a l s i m u l a t i o ns h o wt h a tm o d u l a t i o n i n s t a b i l i t yg a i ns p e c t r u m h a st h r e ed i f f e r e n t d i s t r i b u t i o nf e a t u r e s ，w h i c hi sd e t e r m i n e db y a p o ，w h e r e aa n d p or e p r e s e n tt h e n o n - p a r a x i a lp a r a m e t e r a n dt h ei n c i d e n t p o w e r ，r e s p e c t i v e l y f u r t h e r m o r e ，t h e c o r r e s p o n d i n gc r i t e r i o ni sg i v e n t od i s t i n g u i s hf r o mt h r e ed i f f e r e n td i s t r i b u t i o n s k e y w o r d s ：m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t y , i n c o h e r e n tb e a m ，n o n - p a r a x i a lb e a m ， n o n l i n e a rm e d i a ，g a i n s p e c t r u m 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有j 殴保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：日期： 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 1 1 引言 第一章绪论 渡的不稳定性是一种非常普遍的非线性现象 ”，调制不稳定性是最早发现的 不稳定现象之一，它与波的非线性传输具有非常密切的联系在非线性光学2 】 领域，此种不稳定性是将连续波分裂成孤立波的一种有效的物理机制，同时从某 种程度上也可以看成是孤子产生的前兆因此对于研究孤子而言，调制不稳定性 具有非常重要的意义。近几十年来，人们围绕着这一现象展开了深入而广泛的研 究，具体内容涉及从时间不稳定性到空间不稳定性、从相干光束不稳定性到非相 干光束不稳定性、从傍轴光束不稳定性到非傍轴光束不稳定性等诸多领域，发展 了一系列的理论分析和实验研究手段，在理论和应用研究上都取得了重要的进 展 目前，调制不稳定性已经成为光通信系统研究中的一个重要领域。早在1 9 9 0 年，计算机模拟表明0 1 ：调制不稳定性会影响用光放大器对光纤损耗进行周期性 补偿的长距离光通信系统，对于数据传输系统是一个限制因素。近年来随着波分 复用技术的进展1 4 1 ，色散管理技术被普遍采用这种系统受到调制不稳定性作用 而引起噪声放大，有可能造成系统性能明显劣化”。另外，在一定条件下调制不 稳定性可以用于测量沿光纤的零色散波长分布k 1 。所以对调制不稳定性的研究对 于光通信具有重大意义 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 1 2 研究的背景、国内外现状及进展 调制不稳定性是普遍存在于非线性系统中的一种现象，它会导致传播在非 线性系统的连续( c 、v ) 或准连续波在遭遇到小的振幅或相位扰动时发生破碎，使 得一个相对较宽的光束或脉冲发生破裂进而演化成不连续的光丝或脉冲序列 1 7 , 8 1 。另外，产生调制不稳定洼的参数区间往往同实验观察到的亮孤子的参数区 间相吻合，而且调制不稳定性过程中产生的光丝或脉冲序列也会演化成相应的孤 子阵列，因此调制不稳定性总是被人们认为是孤子产生的前兆【”。 在非线性光学中已经发现了三种调制不稳定性：时间不稳定性、空问不稳 定性和时空不稳定性时间不稳定性的产生是由于群速度色散和自相位调制之间 的相互作用，这种通常在光纤中出现的不稳定性可将一个脉冲分裂成一串脉冲很 短的子脉冲【l o l 。空间不稳定性是空间衍射效应和非线性自聚焦效应共同作用的 结果 2 , 1 1 l 。时空不稳定性则是衍射、群速度色散和自相位调制三者之间的相互作 用导致的“1 ，这种不稳定性的重要性在于它不仅显示了衍射和群速度色散如何 共同参与时间和空间的耦合，而且还可将一连续或准连续光束转变成一串超高速 率超短脉冲或光弹【”】。 近年来，国际上对调制不稳定现象的研究方兴未艾，大量关于光束在非线 性介质中传播稳定性的研究报告不断涌现，研究的重点主要集中于以下几点： ( 1 ) 非相干光束调制不稳定性的理论研究。其主要成果表现在：该调制不稳 定性受非线性自聚焦效应和光束非相干效应的共同制约，存在一个阀值。当光束 的自聚焦效应大于光束的非相干效应时会产生调制不稳定性；反之，则不会产生 调制不稳定性。 ( 2 ) 相干光束在非线性材料中的调制不稳定性的特性研究。近年来，人们先 后在多种非线性材料观察到了孤子的存在，包括各种原子气体1 4 、c s 2 溶液 l 、 半导体材料【1 6 1 、聚合物材料【1 7 1 以及液晶材料”1 我们已经知道，孤子的产生和 2 0 0 4 弃上海大学硕士生毕业论文 调制不稳定性之间有着密切的联系，故对光束在新型材料中的传播稳定性的研究 对现有孤子理论的拓展具有很好的指导意义 ( 3 ) 非傍轴光束调制不稳定性的特性研究。早期理论对非傍轴光束调制不稳 定性问题的研究是建立在标量近似下导出的非傍轴演化方程，且均侧重于对非傍 轴光束整体自聚焦的探讨随着人们对非傍轴光束传播稳定性内在机制的认识日 趋清晰，逐步发现该理论模型存在诸多局限故现阶段对此工作的研究致力于在 矢量效应的框架下，对其在非线性介质中的传播稳定性给予分析，由此揭示非傍 轴孤子存在的可能性。 2 0 0 4 年上海太学硕士生毕业论文 1 3 本文的主要工作 本文着重研究了傍轴和非傍轴光束的空间调制不稳定性，主要工作主要集中 在以下两个方面： ( 1 ) 傍轴近似下，相干和非相干光束调制不稳定性理论的一般描述对于完 全相干的线性系统，当一周期性扰动强加于该系统上，微扰调制深度在传播过程 中保持不变。但在该系统中施加了非线性自聚焦作用后，其在微扰最大值的临近 区域产生正折射率指数变化，使得迭加扰动后形成的光束破碎成一系列不连续的 光丝序列同时，微扰调制深度呈现不断增长的趋势，系统将无法维持稳定状态。 对于相干的非线性自聚焦系统，无任何机制可以用来抑制调制不稳定性的增长， 因此相干调制不稳定性不存在阈值。然而对于非相干的线性系统来说，当一周期 性扰动强加于该系统上，微扰调制深度在传播过程中会衰减。在该系统中施加了 非线性自聚焦效应后，为调制深度的增加提供了可能性。光束在传播过程中，调 制深度是否增加取决于两个完全不同效应的相对太小：非线性自聚焦效应引起的 微扰的增大和光束的非相干性引起的徽扰的减小。当两者达到平衡时，微扰就会 保持原有的调制深度，即我们常说的闽值。当自聚焦效应大于光束的非相干性时， 微扰就会增大，调制不稳定性就会产生。 ( 2 ) 非傍轴光束在非线性克零类介质中传播时的调制不稳定性。利用多重尺 度扰动理论法得出的关于非傍轴项的描述形式，在标量近似下，采用线性稳定法 研究了非傍轴光束在非线性克尔介质中的传播稳定性，指出非傍轴光束的调制不 稳定性增益谱在条件o a p o 0 5 下呈现出三种不 同的分布规律，且每种分布规律所表现出来的物理图象均于入射功率p 。和非傍 轴参量口密切相关，其相关特性可通过对调制不稳定性的截止微扰频率、最快增 长微扰频率和增益峰值的描述具体反映出来。 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 第二章傍轴光束传输中的调制不稳定性 2 1 引言 波的不稳定性可能是自然界中最引人注目的非线性现象。调制不稳定性是 最先发现的不稳定现象之一，也是与波的非线性传输相关的重要问题之一。大量 非线性系统都存在调制不稳定性，在非线性光学中调制不稳定性是非线性效应和 衍射( 色散) 效应共同作用的结果由于它的存在，小的噪声信号会被迅速 放大，使得一个相对较宽的光束和连续波( c w ) 脉冲发生破裂进而演化成不连 续的光丝或脉冲序列1 7 1 8 】。产生调制不稳定性的参数区间往往同实验观察到的亮 孤子的参数区间相吻合，而且调制不稳定性过程中产生的光丝或脉对序列也会演 化成相应的孤子阵列，因此调制不稳定性总是被人们认为是孤子产生的前兆【9 1 。 人们对于调制不稳定性已经进行了系统的研究，早期所有有关调制不稳定 性的研究都认为其是一个相干的过程，只有在时间和空间上相干度都很好的光源 才能产生。直到1 9 9 6 年，普林斯顿大学的研究小组首次在实验上成功地利用空 间非相干光束激发了空间亮孤子【2 “，为探讨利用普通光源产生光孤子提供了可 能。1 9 9 7 年，上述研究小组利用波长范围为3 8 0 - - 7 2 0 n m 的白炽灯作为光源，在 s b n 光折交晶体中首次实现了非相干白光孤子的自陷一一时间和空间均不相干 的光束的自陷伫1 1 。这些实验使得现有光孤子理论从相干光范畴迈向了非相干光 的领域，但是对于时空非相干孤子的研究还尚未成熟，对其理论上的阐述仍处于 起步阶段1 2 ”。 非相干孤子的形成机理相对相干孤子而言非常复杂：一、非相干孤子的形 成要求介质具有非瞬时的非线性特性【2 3 l ，原因将在本章第三节中给予说明：二、 相干光束在非线性自聚焦系统中传播对，整个系统对于微扰的交化呈现不稳定 2 0 0 4 年上海史学硕士生毕业论文 性，可以产生调制不稳定现象；非相干光束在非线性自聚焦介质中传播时，调制 不稳定性受非线性自聚焦效应和光束非相干效应的共同制约，存在一个阀值。只 有当非线性效应超过该阚值时才可以产生调制不稳定现象非相干光束具有与光 束自身相干度有关的阆值是相干调制不稳定性和非相干调制不稳定性最为重要 的区别。对于闽值的存在我们可做如下解释：当一周期性扰动强加于由相干线性 系统所决定的均匀强度的光束上时，微扰调制深度在传播过程中既不增长也不衰 减。但是在该系统中施加了非线性自聚焦作用后，其在微扰最大值的临近区域产 生正折射率指数的改变，使得迭加扰动后形成的光束破碎成一系列不连续的光丝 序列。同时，微扰的调制深度呈现不断增长的趋势，系统将无法再维持原先的稳 定状态。从上述分析亦可看出，在相干的非线性自聚焦系统中，无任何机制可以 用来抑制调带j 不稳定性的增长，因此相干调制不稳定性不存在闽值；当一周期性 扰动强加于由非相干线性系统所决定的均匀强度的光束上时，微扰调制深度在传 播过程中会衰减在该系统中施加了非线性自聚焦效应后，为调制深度的增加提 供了可能性。光束在传播过程中，调制深度是否增加取决于两个完全不同效应的 相对大小：非线性自聚焦效应引起的微扰的增大和光束的非相干性引起的微扰的 减小。当两者达到平衡时，微扰就会保持原有的调制深度，这也就是我们所说的 阀值。只有当自聚焦效应大于光束的非相干性时，调制不稳定性才会产生。事实 上非线性系统中的许多物理机制都会对调制不稳定性产生影响，如：高阶色散效 应2 ”，材料的饱和非线性和非局域效应以及光束的相干度p 1 1 等，在下面各 章节中我们会对上述结论在理论上给予详细的分析 调制不稳定性不仅仅存在于非线性光学中，在非线性流体力学，经典粒 子引力系统2 副和玻色爱因斯坦凝聚【2 6 1 中也都存在调制不稳定性。尤其是非相干 调制不稳定性的发现，它说明微扰施加于有弱相关的一维和二维离子组成的非线 性系统时，当非线性效应超过某一闽值时，模式也会形成。而且它可以用和波动 方程相似的非线性方程进行描述。这样对非相干调制不稳定性的探讨为其他非线 6 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 性系统的研究提供了一种方法【2 7 1 下面我们将在微扰近似下，采用线性稳定分析法【3 2 】，对相干和非相干光束 在线性和非线性介质中传播时产生的调制不稳定性进行分析 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 2 2 相干光束的调制不稳定性 我们先来分析相干光束在线性和非线性系统中传播时产生的调制不稳定现 象。首先推导相干光束在这两种介质内传播时满足的方程。 2 2 1 基本方程 假设一束相干光在非线性介质内传播，其电场分量一般满足波动方程 v 2 置专等占= 。 ( 2 ：。) 其中d = 疗；十2 n 。抽( 删e ，为材料固有的线性折射率指数，翻( ，) 是由非线性 效应引起的折射率指数的改变，其具体数学表述形式一般取决于非线性材料本身 的性质。 约定入射相干光沿z 轴正向传播，在z 方向上发生偏振和衍射，则其电场分 量可表示为 e = x e ( x ，z ) e x p i ( k z - c o t ) ( 2 2 2 ) 将( 2 22 ) 式代入波动方程( 221 ) 中，利用傍轴近似条件可得电场分量的慢变化包 络所满足的动态演化方程 警拖t 警+ 警 2 。，舐。出仃 。 ( 23 ) 这里选取克尔类电介质作为研究对象，即却( ，) = 。注意：该项前的正 负号是由非线性材料的性质决定的：正号代表白聚焦；负号代表自散焦。引入无 量纲变量孝= z 七x g 、s = , 2 x x 。、“= 缸。，塑e ，为光束的任意空间宽度将 v 聆。 其代入( 223 ) 式中，可得 2 0 0 4 弃上海文学硕士生毕业论文 罢：妄娶咖i i 2 甜 ( 2 24 ) 琵2 i 萨扪p 甜 ” 方程( 224 ) 右端第一项表示光束的线性衍射效应；第二项则表征光束和材料相互 作用所引起的非线性作用项。下面我们就以该方程为出发点，来分别分析相干光 束在线性和非线性介质内传播时所产生的调制不稳定性。 2 2 2 相干光束在线性介质中传播时的调制不稳定性 当一束相干光在线性介质内传播时，其满足的动态演化方程可由方程( 224 ) 简化成： 罢：三姿( 225 ) a f2 加2 、 。 假设方程( 2 25 ) 具有如下形式的稳态平面波解吲： z 忙风e x p ( i m ) ( 226 ) ( 2 26 ) 式中p 。表示光束在z = 0 处的入射功率，丸是光束空间非线性的相位频移。 由于此处考虑的是线性介质，故丸，= 0 。于是方程( 22 6 ) 表示连续光束在线性介 质中传播时，其形状始终保持不变。 在( 226 ) 式稳态解的基础上施加一微扰： z f ( 舌，s ) = p o + 黜( 考，s ) 】e x p ( f 以j )( 227 ) 其中s 是一实任意小量。将( 2 27 ) 式代入方程( 22 5 ) 中，忽略小量占的高次项，得 到与g 一次项相关联的方程： 繁= 考等 ( 2zs ) 瓦2 i 可 5 我们发现在线性系统中，外加微扰项满足的演化方程( 2 28 ) 和方程( 225 ) 具有相 同的形式，由此预示着在上述系统中施加一微小扰动不会影响整个系统自身的演 化规律。假设微扰解具有如下形式： 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 “( 孝，s ) = c c o s ( k # 一d s ) + i ds i n ( k 吾一f b )( 2 29 ) 其中k 是空间微扰波数，q 为横向空间微扰频率。将上武代入方程( 2 ，2 ，8 ) 9 ，分 离实部和虚部，得到关于参量c 和d 的两元齐次线性方程组： 船一嬖d ：o ( 221 0 a ) 譬c k d = ” ( 2 2 1 0 b ) 要使上述两元齐次线性方程组有非平庸解，要求其系数矩阵的行列式为零，进而 得色散关系： j z ：盟 ( 22 1 1 ) 4 。 ( 2 21 1 ) 式表明，无论横向微扰频率n 取何值，空间微扰波数k 均为实数， 显然微扰在演化过程中并没有打破原来周期性的振荡特性，此时整个系统不受外 部微扰的影响，始终处于稳定状态，并没有象调制不稳定性中出现的微扰在演化 过程中呈现无限增长或不断衰减的情况。故综上所述，对于完全相干的线性系统， 当一周期性扰动强加于由该系统所决定的均匀强度的光束上时，由于光束波阵面 上各点相互关联且空间分布呈现一致性，微扰调制深度在传播过程中既不增长也 不衰减，调制不稳定性难以产生。 2 2 3 相干光束在非线性介质中传播时的调制不稳定性 从方程( 224 ) 出发，对相干光束在非线性自聚焦和自救焦介质中传播时的调 制不稳定现象展开讨论 假设方程( 224 ) 具有如下稳态平面波解 甜( 亭，5 ) = 4 p oe x p ( i 庐f ) ( 2 21 2 ) p 。和丸，表示的物理意义和前面一致。将其代入到方程( 2 24 ) 9 ，得到 2 0 0 4 耳上海大学硕士生毕业论文 丸f = p o 孝 ( 2 2 1 3 ) 由( 221 3 ) l g 以看出，相干的连续光束在非线性介质中传播时，除了获得一个 与功率有关的正( 负) 相移外，其形状始终保持不变而在线性系统中则不存在这 样一个和功率有关昀相移。现在分析在( 2 21 2 ) 式所描述的平面波解的振幅上施 加一微扰后其保持稳定传播的条件，假设光束在任意传播距离上受微扰作用后连 续平面波解的形式为： 甜( 亭，s ) = 【p o + 翻( 善，s ) e x p ( f 以j ) ( 221 4 ) 这同上面假设一致下面来检验微扰项的演化规律，将方程( 2 2 1 4 ) 代入方程 ( 2 24 ) ，并使s 线性化，得到： 等：委尝概( “+ ) ( 221 5 ) 瓦2 j 可垆。心+ “j ( 2 2 同样假设微扰具有( 22 9 ) 式的形式。将( 2 29 ) 式代入方程( 2 21 5 ) 中，可得关于c 和 d 的两元齐次线性方程组： 如+ 霉d ：o 7 ( 22 1 6 a ) ( 2 风干罢) c 干m ：o ( 221 6 b ) 进而计算求得色散关畚 艮耐( p o 睾 ( 22 1 7 ) 在( 221 7 ) a 中，负号和正号分别代表非线性自聚焦和自散焦介质中所满足的色 散关系。进一步分析可知，调制不稳定性是否存在主要取决于光束在非线性自聚 焦还是自散焦材料中传播：对于自散焦材料，波数 对所有的q 均为实数，光束 在微扰作用下始终保持稳定传播；在自聚焦介质中，对应i 剑 丽的微扰频率 q ，微扰波数女为虚数，这时微扰沿传播方向以指数形式增加，光束不能稳定传 播。结果，连续波解( 2 21 2 ) 在自聚焦介质中具有固有的不稳定性，因为它导致 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 稳态的自发调制，所以称这种不稳定性为调制不稳定性。 上面提及光束在自聚焦材料中传播时存在调制不稳定性。故在该处引入调 制不稳定性增益谱函数g ( o ) = 2 i m ( k ) 加以分析，其中因子2 为功率增益。 g ( q ) = 2 d 蛎p 。1 ) 2 4 一( 2 2 1 8 ) 图2 - 1 给出了在三种功率水平下调制不稳定性增益谱g ( q ) 随q 的变化曲 线。由图可见，增益谱g ( n ) 关于q = o 对称，在n = 0 处为零，且随入射功率的 增加而不断增大。由( 2 ，21 8 ) 式可求得产生调制不稳定性的增益频率区间为 卜2 i ，2 i ，由此得增益带宽为4 以i ，该结论在图2 1 中亦可清晰地反映出 来。 图2 - 1 不同功率水平下的调制不稳定性增益谱曲线 在调制不稳定性理论中，最快增长微扰频率和最大增益峰值是考察增益谱 特性的两个重要特征量。将增益谱表达式( 22 1 8 ) 关于微扰频率q 求一阶导数， 并令其为零，得到 壁2 ：o ( 22 1 9 ) 由此可得最快增长微扰频率q 。 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 q 一= 4 2 p 。 ( 2 2 2 0 ) 将( 222 0 ) 式代入( 2 21 8 ) 式中，得到由q 一所确定的增益峰值的表达式 g 一( q ) = 2 p o ( 2 22 1 ) 由( 2 ，22 1 ) 式可见最大增益峰值完全由入射功率p 。决定，且随入射功率p 。的增加 而增大 由此我们可认为，在一完全相干的线性系统中施加了非线性自聚焦作用后， 原先对于外部徽扰能保持稳定状态的性质被打破，此时无论扰动如何微弱，其均 在微扰最大值的临近区域产生正折射率指数的改变，使得迭加扰动后形成的光束 破碎成一系列不连续的光丝序列。同时，微扰的调制深度呈现不断增长的趋势， 系统将无法维持原先的稳定状态另外，上述分析亦可指出，在相干的非线性自 聚焦系统中，无任何机制可以抑制调制不稳定性的增长，由此回答了相干调制不 稳定性为何无阈值存在的事实。 然而在相干的非线性自散焦系统中，微扰作用后在介质内部将产生负折射率 指数的改变，这样在稳态连续光束上迭加扰动后形成的光束会变宽，微扰在演化 过程中既不增长也不衰减，调制不稳定性难以产生。另外，虽然在线性相干和非 线性相干自散焦系统中都不存在调制不稳定性，但两者的物理起源却具有差异： 对于后者，微扰在演化过程中会获得一个与入射功率相关的相移，而前者却没有。 于是可得下列结论：在非线性自聚焦介质内，由于存在调制不稳定性，可以 形成亮孤子；在自散焦介质内光束在微扰作用下始终保持稳定传播，不会产生调 制不稳定性，因而不会产生亮孤子。 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 2 3 非相干光束的调制不稳定性 非相干孤子的形成机理非常复杂，要求介质具有非瞬时的非线性响应特性。 通常，在非相干光的横截面上会出现一些亮点分布，这是因为横截面上各点相位 随机分布，各点光波相互作用产生干涉，在某些点处会出现光强最大值，形成亮 点。亮点处的折射率大，使部分光束会聚在多个亮点共同作用下，整个光束就 会被分裂、破碎，无法形成稳定自陷。如果非线性介质对光强的响应远慢干光束 横截面上相位的变化，介质的非线性效应不会对亮点的瞬时变化发生响应，而是 对一段时间内光强的平均强度产生响应，而这种平均强度随时问和空间的变化一 般是连续的平滑的，这样在介质中就形成了一个平滑的波导状结构，使光束自陷， 形成孤子。 对非相干准单色光束在非瞬时非线性介质中的研究，通常使用以下几种理论 分析方法：相干密度法【33 1 ，自洽多模分解法【2 9 1 和互相干函数法【”1 下面，我们 将使用互相干函数法分析非相干光束在线性和非线性介质中传播时所产生的调 制不稳定性 23 1 基本方程 首先推导一束准单色的非相干光束在非线性介质内传播时所满足的方程。 和前面所述情况相类似，此处所讨论问题的出发点还是波动方程( 2 2 1 ) ，其中 d = 一j + 2 n 。翻u ) ，参量和翻( ，) 的意义和前面的一致。同样选取克尔类电 介质作为研究对象。 对于准单色非相干光的研究可以仅限于讨论光束的空间非相干性，对于时间 上则认为是相干的。此时，假设非相干光束沿z 向传播，在x y 平面内发生衍 射，沿r 方向偏振，则其电场分量可表示为 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 e = x e ( x ，y ，z ) e x p i ( k z 一耐) ( 2 31 ) 将( 231 ) 式代入波动方程( 2 2 1 ) 中，利用傍轴近似条件可得电场分量的慢变化包 络所满足的动态演化方程 m 孽峭2 c 3 ze + 竿脚 ( 2 3 2 ) 一 门 - 。， 其中v ：代表横向拉普拉斯算子。 方程( 2 32 ) 中第一项表示光束沿z 向传播，第二项表示光束在x y 平面发生 衍射，而第三项则表征光束和材料相互作用所引起的非线性作用下面我们就以 该方程为出发点，来分别分析非相干光束在线性和非线性介质内传播时所产生的 调制不稳定性 2 3 2 非相干光束在线性介质中传播时的调制不稳定性 非相干光束在线性介质内传播时满足的动态演化方程可由方程( 232 ) 得到： v i e + i 2 ka e ：o( 23 3 ) ( 尼 引入互相干函数b ，b 用来描述空间非相干光束波前任意两点场强的关联程度， 在数学上可表示成 b = ( 2 3 4 ) 上式中尖括号表示对系统的时间平均。由其定义式可以知道，( ，z ) = b ( r ，p = o ，z ) 为入射光强的平均值；b ( b z ) = b + ( r , - p ，z ) 。其中f = 量善，乃= i 一五。 下面从方程( 2 33 ) 出发，来推导互相干函数b 所满足的方程。根据方程 ( 233 ) ，空间非相干光束波前任意两点场强满足 v l ，e 饭) + m 掣：o( 2 3 5 a ) 2 0 0 4 年上海史学硕士生毕业论文 v 似五) + f 2 七掣：o ( 235 b ) o z 将( 235 a ) 式乘以e + 扩2 ) ，( 235 b ) 式取共轭后乘以e ( i ) ，再将两式相减，且对时 间t 积分，可得 旱一三祟：o ( 2 36 ) 0 zk 静8 d 、 假设入射光是均匀入射且伴有徽扰： b ( r ，p ，z ) = b 。( 力+ e ( r ，bz )( 237 ) 其中b 。( p ) 表示均匀的入射光束，b ( ，p ，z ) 为微扰项，b 。 b 。将( 2 37 ) 式代 入( 2 36 ) 式，并将b i 作线性化处理，可以推出： 要一三娶：o ( 2 38 ) 砬k 静a d 、 设微扰具有如下形式： e ( ，尸，= ) = e x p ( g z ) l ( p ) e x p i ( a r + ) + e x p ( g + z ) l * ( - p ) e x p - i ( a r + ) ( 2 39 ) 其中：a 为横向微扰波数；为任意实位相；g 为非相干调制增益，即在给定横 向徽扰波数a 处的调制不稳定性的增长率；l ( p ) 代表光源的角功率谱函数，是 一与光源统计特性相关的参量 3 劓。根据( 23 9 ) 式的定义，易知 b i ( ，p ，z ) = b i * ( ，一p ，z ) 将( 239 ) 式代入到( 238 ) 式，得到 g m ( p ) + 。a _ d m - ( p ) ：o ( 23 10)kd 口 、 即： g ：一未去1 d m _ ( p ) ( 23 1 1 ) 6 盘m ( p ) 咖 卜“ 其中m ( p ) = “哆( p ：o ) ，并且满足边界条件m ( p = o ) = 1 。 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 由( 2 3 1 1 ) 式可以看到非相干调制增益g 的取值始终为负，这说明微扰在线 性介质中传播时将不断衰减，因此非相干光束在线性介质中传播时不会产生调制 不稳定性。另外，该式还反映出在线性介质中调制增益g 与非相干光源波阵面上 各点的位置分布有关。 综上所述，非相干光束在线性系统中传播时，外加一周期性扰动，由于非相 干光束波阵面上各点互不关联( 即各点均类似于独立的点光源) ，各点的微扰调制 深度在传播过程中会呈现出不断衰减的趋势，因而非相干光束在线性系统中所起 的仅是减小外加微扰的作用，对传输信号不会产生负面影响。 2 33 非相干光束在非线性介质中传播时的调制不稳定性 下面我们开始分析非相干光束在非线性介质中传播时产生的调制不稳定性 以方程( 23 2 ) 作为分析1 , - 3 题的出发点 m 竽叫2 0 z e + 鼍警脚( 2 。：)肝、o 山， 同样我们引入互相干函数b = ，采用上述方法推导出其满 足的方程为： 堡一吾吴黑：盟(詈)z勘(，1力一，：)徊(23120)z k o h ( r 2 一一i 面历2 一了jt 铆( ，1 纠一 ，。j f 和芦所表7 7 , 的意义和前面的一致。假设入射光是均匀入射且伴有微小扰动，其 形式和( 2 37 ) 式一样： b ( r ，p ，z ) = b o ( p ) + 鼠( r ，p ，= )( 237 ) 其中b ： ( 昙) 2 ，这表明同相干情况一样，微扰波数也存在着一个调制不稳定性带 仃z 七 宽，通过化简易得h 2 k i ，当k 。_ 0 时，就变成了我们所讨论的相干光情 况下的调制不稳定性。 下面给出非相干调制不稳定性增益g 随参量的变化曲线 图2 - 2 不同非线性折射率指数翻下非相干调制不稳定性增益谱曲线 在这里选取克尔类电介质作为我们的研究对象，对于克尔类电介质有 面2 ，y 为非线性系数，因此r = y ，则翻= d 。图2 - 2 给出了当五：5 0 0 ”m ， 2 0 0 4 年上海文学硕士生毕业论文 n 0 = 2 3 ，o o = 0 0 0 9 6 ，不同的非线性折射率指数翻下的增益谱从图2 - 2 中可 以看出非相干调制不稳定性增益g ( n ) 随着非线性折射率的增大而增大。当 渤一0 时，调制不稳定性完全受到抑制这和我们讨论的非相干光束在线性介 质中传播时不会产生调制不稳定性的结论是一致的。 图2 - 3 给出了非相干调制不稳定性随光束相干度的变化趋势其中见和的 取值和图2 2 中的取值相同，痢= o0 0 0 5 从该图中容易看出随着光束相干度酿 的增大，增益宽度逐渐减少，调制不稳定性受到的抑制作用相应增强。可以预知 当8 0 增大到某值时，增益带宽将最终消失，调制不稳定性完全被抑制，这个值 被成为调制不稳定性的闽值。下面我们就来推导这个阐值在该闽值点，g ( 口) 满 足( 1 ) g ( a = 0 ) = 0 ；( 2 ) 幽= o ) a a = 0 将方程( 2 3 1 4 ) 在a = 0 点进行泰勒展 开，忽略高阶小量的作用，且利用条件( 1 ) 和( 2 ) 可以得到： 图2 - 3 不同角功率谱宽度o o 下非相干调制不稳定性增益谱曲线 一鲁略筹 f 231 9 ) 2 0 2 0 0 4 年上海大学硕士生毕业论文 利用上式可以求得不同线型功率频谱的阈值。对于洛伦兹线型来说，其闽值为 d 。n 。对于高斯线型来说，其雪。( ；) = 。k ：。协) 1 ” e x p 一( 厅。k ：。) 2 】，将其代 入到( 2 3 1 9 ) 中可以求得阚值为2 t c 。n 。 到现在为止我们都是以克尔类电介质作为讨论的对象，满足r = y 。但是在 饱和非线性介质里面，k = y 【1 + ，。i i 。r 。将其代入到方程( 2 31 6 ) 中，得到 詈叫k 坝i 州枷而一( 却；( 2 3 2 0 ) 下面就以该方程为出发点，通过数值模拟的方法来讨论饱和非线性对调制不 稳定性的影响。 ； 图2 - 4 ：饱和非线性介质中的非相干调制不稳定性增益谱曲线 图2 - 4 给出了非相干调制不稳定性在饱和非线性介质中的增益谱g ( q ) 。 图中参量的取值为：五= 5 0 0 n m ，o = 2 3 ，o o = 0 0 0 9 6 ，一。= 0 0 0 1 。从图中可 以看出：饱和非线性对调制不稳定性有抑制作用。这说明当非线性达到深度饱和 时，调制不稳定性就可以被完全抑制。 通过以上的分析我们知道非相干调制不稳定性存在一个与光束自身相于度 相关的闽值，且该闽值随着光束相干度的减小而增大。这说明只要非相干光束的 相干度足够差，就可以完全抑制调制不稳定性的产生。 2 0 0 4 鼻上海大学硕士生毕业论文 2 4 结论 在自然界中，很多非线性系统中都存在调制不稳定性。故在非线性光学中， 在理论上对调制不稳定性的探讨可以对其他非线性系统的研究提供有力的借鉴。 调制不稳定性主要具有以下几种描述形式： ( 1 ) 由于调制不稳定性的存在，小噪声信号会被迅速放大，使得一个相对较 宽的光束和连续波( c w ) 脉冲发生破裂进而演化成不连续的光丝或脉冲序列： f 2 ) 调制不稳定性是非线性自聚焦效应和空间衍射效应共同作用的结果： ( 3 ) 产生调制不稳定性的参数区间往往同实验观察到的亮孤子的参数区间 相吻合，因此调制不稳定性总是被人们认为是孤子产生的前兆。 本章中我们在微扰近似下，利用线性稳定分析法，对相干和非相干光束在 线性和菲线性介质中的调制不稳定性给予了分析，其主要结论如下： ( 1 ) 相干光束在线性系统中传播时，整个系统不受外部微扰影响始终处于稳 定状态，不会产生调制不稳定现象。 ( 2 ) 非相干光束在线性系统中传播时，微扰在介质内部传播时将不断衰减， 故可以认为其所起的仅是减小外部徽扰的作用，不会产生调制不稳定现象。 ( 3 ) 相干光束在非线性自聚焦系统中传播时，整个系统对于微扰的变化呈现 不稳定性，其沿传播方向以指数的形式增长，进而产生了调制不稳定现象。 ( 4 ) 非相干光束在非线性自聚焦系统中传播时，调制不稳定性受非线性自 聚焦效应和光束非相干效应的共同制约，存在一个阎值。当光束的自聚焦效应大 于光束的非相干效应时产生调制不稳定性；反之，则不会产生调制不稳定性。 2 0 0 4 耳上海太学硕士生毕业论文 3 1 引言 第三章自聚焦克尔类电介质中非傍轴 光束调制不稳定性的研究 一般而言，一束强光入射到非线性介质中，引起介质折射率的变化通常与 入射光强成正比。此折射率变化反过来叉会影响入射光束的波面，当折射率的感 应变化导致入射光束产生会聚效应时，就产生了自聚焦现象。当自聚焦效应与衍 射效应达到动态平衡时，光束将在自感应波导中无衍射地传输，称之为光束自陷 【”】。现有理论表明，光束自陷是一种非稳定状态，当光束功率超出某一特定闽 值时，光束将发生灾难性的塌陷，并最终聚焦于一点f ”】然而，对光束自聚焦 现象的研究多数是以在傍轴近似下导出的非线性薛定谔方程作为理论基础，但它 给出的物理模型存在若干不足乏处：一，傍轴近似过高估计了非线性相移的波导 修正【”1 ，已有结果表明，在某些情况下这种近似将给出错误的物理结果4 0 1 ；二， 傍轴近似预示光束经过一段有限的距离传播后将崩塌于自聚焦点【”】，此时光强 趋向于无穷而光束半径则降为零，显然与实际问题相悖：三，傍轴近似通常仅对 衍射方向为横向的物理模型适用，但在实际两维介质中，衍射效应在横向和纵向 均发生，此时傍轴近似将打破这两个方向上空间坐标的对称性4 ”。鉴于傍轴近 似在处理实际问题中存在诸多局限性，故近年来关于非傍轴光束非线性传输的理 论研究蓬勃发展起来1 4 2 “”。 近年来，ba m a l o m e d 等人尝试从原始的麦克斯伟方程( m a n v e l l ) 出发，推 导出了非傍轴光束在非线性介质内的传输演化方程，发现了一类新型空间孤子 “亚波长空间孤子”。他们