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文档简介

3广义函数大意,定义1（基本空间）设是上无限次可微且在某有限区间以外为0的函数全体.按照通常的加法和数乘，它成为线性空间，在其中定义极限概念如下：设若（1）存在一个与n无关的公共有限区间，使在外为0，n=1,2,;（2）在对每一非负整数q，函数列一致收敛于。则称在中收敛于,记为,称为基本空间.空间的这种收敛性不能容纳在距离空间的收敛性之中，即我们无法定义一个距离d使等价于.定义2（广义函数）上的连续线性泛函称为广义函数.记为,或,或简记为.例1局部可积函数是广义函数.我们把在任何区间上都L可积的函数称为局部可积函数，其全体记为.设则可用定义一个上的连续线性泛函：对任何，对应，由于,在某有限区间外为0,故上述积分有意义.它显然是上连续线性泛函.我们还可以证明，对,对应广义函数是一对一地，即如果且对一切成立，则a.e.于R。这样，局部可积函数就可以一对一地嵌入上连续线性泛函空间，作为它的一部分，即是广义函数.,例2现在我们可以给本节开始时引进的一个严格的数学定义。如果上的连续线性泛函由下式给定：对一切，对应数值，称这一泛函为，换句话说，对一切，有。这一定义正是的严格化。为上连续线性泛函是不难验证的：；当时，这意味着在任何有限区间上各阶导数（包括零阶导数）一致收敛，当然更有，即。这样一来，我们确实得到了一个新的概念，它包括通常的局部L可积函数在内，又包含超出通常函数概念的在内。最后，让我们介绍广义函数的导数。按照分部积分法，对通常的一阶连续可导函数，在外为0，所以=，则有：,于是受此启发可定义广义函数的导数为下述的广义函数：.由于是无限次可微的，有意义，而且意味着各阶导数都一致收敛于的相应导数，自然也有，所以由是连续线性泛函知也是连续线性泛函。同样可定义二阶以至任意阶的导数。这样一来，基本空间中函数的优良性质就能够转移到广义函数上了。例3设在x0时为0，在x0时恒为1，这时，作为广义函数有导数，这是因为同样可验证。,=-,=-,假若我们定义
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