（数学专业论文）计算光子晶体和衍射光栅折射和反射谱的几种新方法.pdf

摘要 摘要 由于光子晶体在应用中展现出非凡的光学性质和重要的潜在应用，它们 在理论和实际中被广泛研究。许多光子晶体器件是集成光路的重要组成元件， 例如波导拐弯器，波导分叉器，高频滤波器，波导耦合器等。在光波长范围内 具有全能带的三维( 3 d ) 光子晶体有重要的应用，例如超高质量因子腔和零阈 值激光器。w o o d p i l e 材料由相互交错的圆柱组成，由于它与其他3 d 光子晶体比 较起来制作简单，因此人们对其产生广泛注意和研究兴趣。衍射光栅材料被 深入研究了许多年，它在许多实际领域得到广泛应用，例如单色器，光谱仪， 激光器，光波分开耦合器，光脉冲压缩器等。 数值方法在设计，分析和优化光子晶体和衍射光栅器件方面卜分重要。其 巾一些方法为- 般的方法，例如时域有限差分法( f d t d ) ，它可应用于各种各 样的光子晶体和衍射光栅器件巾，但它的精度和有效性经常受到限制。f d t d 方法需要用小尺寸网格来处理曲面边界并且对处理无界区域上的周期材料经 常会遇到困难。傅里叶模方法( f m m ) 对分层齐次材料构成的衍射光栅很适 用，但对有倾斜界面的一般光栅或由圆柱组成的光子晶体材料，该方法并不 有效并且可能会出现收敛性上的问题。边界积分方程( b 1 e ) 方法在某种程度 上说实现起来较为复杂，这由于该方法的积分算子与拟周期g r e e n s 函数相关， 需要用复杂的格子叠加技术来实现。有限元方法( f e m ) 是很般的方法，用 该方法会产生线性方程组，其系数矩阵为大型，复和非正定的，较难求解。 在本论文中，基于d i r i c h l e t t o n e u m a n n ( d t n ) 或n e u m a n n - t o d i r i c h l e t ( n t d ) 映射( 单位元或齐次介质构成的子区域) 的数值方法被研制出来用于计算二 维和三维光子晶体及衍射光栅材料的反射谱和折射谱。对由半径较大圆柱组 成的光子晶体材料，也就是说其圆柱的半径大于格子常数的怕4 倍，。个有 效的d t n 映射方法被研制出来计算其反射谱和折射谱。我们的方法中用到定 义在系列曲线上的算子。由于不需要计算单元内部的波场，该方法显得很 有效。该方法通过使用d t n 映射完成，其在单元边界上将波场映射到其法向导 数。我们将该d t n 映射方法推广到用倾斜平面波照射二维光子晶体的情形。在 这种情形下，d t n 算子在单元边界上将波场的两个纵向分量映射到其法向导 i 摘要 数。对于由交错圆柱组成的三维光子晶体，以w o o d p i l e 材料作为其特例，我们 研制了一个十分有效和精确的计算方法。该方法依赖于将一系列算子从材料 的_ 端推进到另一端。推进步骤中包括在每一排圆柱轴不变层上使用二维单 元上的d t n 映射。进一步的简化方法可以通过t a n g e n t i a l t o t a n g e n t i a l ( t 2 t ) 算 子来实现，其在2 d 单元上，将波场的两个横向分量映射为另外两个横向分量。 这些算子通过柱面波展开方法来逼近成矩阵。 ，对衍射光栅，一个新的方法被研制出来，它将一个周期上的衍射光栅区域 分隔成一系列齐次子区域并在子区域上通过边界积分方程方法来计算n t d 映 射。对每一个子区域，n t d 算子在区域边界上将波场法向导数映射为波场本 身。该方法保留已有的边界积分方程方法优点，但它避免了较难计算的拟周 期g r e e n s 函数。对用倾斜平面波照射在衍射光栅材料上的情形，n t d 算子在子 区域边界上将波场的两个纵向分量映射为另外两个纵向分量。边界面处需要 对微分算子合理逼近来满足边界面上的条件。该方法对绝缘和金属构成的衍 射光栅均有效。 关键字：光子晶体，衍射光栅，d i r i c h l e t t o n e u m a n n 映射，算子推进，n e u m a n n t o - d i r i c h l e t 映射，边界积分方程 a b s t r a c t a b s t r a c t d u et ot h e i ru n u s u a lo p t i c a lp r o p e r t i e sa n ds i g n i f i c a n tp o t e n t i a l si na p p l i c a t i o n s ， p h o t o n i cc r y s t a l s ( p h c s ) h a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e db o t ht h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i - m e n t a l l y m a n yp h c sd e v i c e s ，s u c ha sw a v e g u i d eb e n d s ，b r a n c h e s ，f r e q u e n c yf i l t e r s a n dw a v e g u i d ec o u p l e r s ，a r ei m p o r t a n tb u i l d i n gb l o c k so fi n t e g r a t e do p t i c a lc i r c u i t s t h r e e - d i m e n s i o n a l ( 3 d ) p h c sw i t hac o m p l e t eb a n d g a pi nt h eo p t i c a lw a v e l e n g t hr e g i o nh a v ep o t e n t i a la p p l i c a t i o n s ，s u c ha su l t r a h ig hq u a l i t y f a c t o rc a v i t i e sa n dz e r o t h r e s h o l dl a s e r s t h ew o o d p i l es t r u c t u r e sc o m p o s e do fa l t e r n a t i n gl a y e r so fr o d sh a v e a t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o nd u et ot h e i rr e l a t i v e l ys i m p l ef a b r i c a t i o np r o c e s sc o m p a r e d w i t ho t h e r3 dp h c s d i f f r a c t i o ng r a t i n g sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e df o rm a n y y e a r s ，a n dt h e ya r ei m p o r t a n ti np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，s u c ha sm o n o c h r o m a t o r s ，s p e c t r o m e t e r s ，l a s e r s ，w a v e l e n g t hd i v i s i o nm u l t i p l e x i n gd e v i c e s ，o p t i c a lp u l s ec o m p r e s s i n g d e v i c e s ，e t c n u m e r i c a lm e t h o d sa r ee s s e n t i a li nt h ed e s i g n ，a n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o no fp h o t o n i cc r y s t a l sa n dd i f f r a c t i o ng r a t i n g s s o m eo ft h e s em e t h o d s ，s u c ha st h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( f d t d ) m e t h o d ，a r eg e n e r a lm e t h o d st h a tc a nb eu s e dt os t u d y v a r i o u sa s p e c t so fp h c sa n dd i f f r a c t i o ng r a t i n g s ，b u tt h e i ra c c u r a c ya n de f f i c i e n c ya r e o f t e nl i m i t e d f d t dr e q u i r e sas m a l lm e s hs i z et or e s o l v ec u r v e dm a t e r i a li n t e r f a c e s a n do f t e nh a sd i f f i c u l t i e st r u n c a t i n gp e r i o d i cs t r u c t u r e st h a te x t e n dt oi n f i n i t y t h e f o u r i e rm o d a lm e t h o d ( f m m ) i ss u i t a b l ef o rd i f f r a c t i o ng r a t i n g sw i t hu n i f o r ml a y e r s ， b u tt h e ya r en o ts oe f f i c i e n ta n dm a yh a v ec o n v e r g e n c ep r o b l e m sw h e nag e n e r a lg r a t i n g w i t hs l o p i n gi n t e r f a c e so rap h o t o n i cc r y s t a lc o m p o s e do fc y l i n d e r sm u s tb ea p p r o x i m a t e d t h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ( a t e ) m e t h o di ss o m e w h a tc o m p l i c a t e dt oi m - p l e m e n t ，s i n c et h ei n t e g r a lo p e r a t o r sa r er e l a t e dt ot h eq u a s i p e r i o d i cg r e e n sf u n c t i o n w h i c hr e q u i r e ss o p h i s t i c a t e dl a t t i c es u m st e c h n i q u e st oe v a l u a t e t h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) i sv e r yg e n e r a l ，b u ti tg i v e sr i s et ol a r g e ，c o m p l e xa n di n d e f i n i t el i n e a r s y s t e m st h a ta r ee x p e n s i v et os o l v e i nt h i st h e s i s ，e f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d sb a s e do nt h ed i r i c h l e t t o n e u m a n n m a b s t r a c t ( d t n ) o rn e u m a n n t o d i r i c h l e t ( n t d ) m a p s ( o fu n i tc e l l so rh o m o g e n e o u ss u b - d o m a i n s ) a r ed e v e l o p e df o ra c c u r a t es i m u l a t i o n so ft w o - a n dt h r e e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s a n dd i f f r a c t i o ng r a t i n g s f o rp h o t o n i cc r y s t a l sc o m p o s e do fi n t e r p e n e t r a t i n gc y l i n d e r s ， i e w h e nt h er a d i u so ft h ec y l i n d e r si sl a r g e rt h a n0 3 渔o ft h el a t t i c ec o n s t a n t ，a n e f f i c i e n td t n m a p m e t h o di sd e v e l o p e df o rc o m p u t i n gt h er e f l e c t i o na n dt r a n s m i s s i o n s p e c t r a o u rm e t h o dm a n i p u l a t e sap a i ro fo p e r a t o r sd e f i n e do nas e to fc u r v e s i t i se 衔c i e n ts i n c et h ew a v ef i e l di nt h ei n t e r i o r so ft h eu n i tc e l l sa r en e v e rc a l c u l a t e d t h i si sa c h i e v e db yu s i n gt h ed t n m a p sw h i c hm a pt h ew a v ef i e l do nt h eb o u n d a r i e s o ft h eu n i tc e l l st oi t sn o r m a ld e r i v a t i v e t h ed t nm a pm e t h o di sa l s od e v e l o p e df o r t w o - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l sw i t ho b l i q u ei n c i d e n tw a v e s i nt h a tc a s e ，t h ed t n o p e r a t o rm a p st h et w ol o n g i t u d i n a lf i e l dc o m p o n e n t st ot h e i rn o r m a ld e r i v a t i v e so nt h e b o u n d a r yo f t h eu n i tc e l l f o rt h r e e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l sc o m p o s e do f c r o s s e d a r r a y so fc i r c u l a rc y l i n d e r s ，i n c l u d i n gw o o d p i l es t r u c t u r e sa ss p e c i a lc a s e s ，w ed e v e l o p a ne f f i c i e n ta n da c c u r a t ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d t h em e t h o dr e l i e so nm a r c h i n gaf e w o p e r a t o r sf r o mo 1 es i d eo ft h es t r u c t u r et oa n o t h e r t h em a r c h i n gs t e pm a k e su s e o ft h e d t nm a p sf o rt w o - d i m e n s i o n a lu n i tc e l l si ne a c hl a y e rw h e r et h es t r u c t u r ei si n v a r i a n t i nt h ed i r e c t i o no ft h ec y l i n d e ra x e s 。af u r t h e rs i m p l i f i c a t i o ni sd e v e l o p e db a s e do n t h es o - c a l l e dt a n g e n t i a l - t o - t a n g e n t i a l ( t 2 t ) o p e r a t o rw h i c hm a p st w ot r a n s v e r s ef i e l d c o m p o n e n t st ot w od i f f e r e n tt r a n s v e r s ef i e l dc o m p o n e n t so nt h eb o u n d a r yo fa2 du n i t c e l l t h e s eo p e r a t o r sa r ea p p r o x i m a t e d b ym a t r i c e sb a s e do ne x p a n s i o n si nc y l i n d r i c a l w a v e s f o ra n a l y z i n gd i f f r a c t i o ng r a t i n g s ，an e wm e t h o di sd e v e l o p e db a s e do nd i v i d i n g o n ep e r i o do ft h eg r a t i n gi n t oh o m o g e n e o u ss u b d o m a i n sa n dc o m p u t i n gt h en t dm a p s f o rt h e s es u b d o m a i n sb yb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s f o ras u b - d o m a i n ，t h en t d o p e r a t o rm a p st h e n o r m a ld e r i v a t i v eo ft h ew a v ef i e l dt ot h ew a v ef i e l do ni t sb o u r i d a r y t h em e t h o dr e t a i n st h ea d v a n t a g e so fe x i s t i n gb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d sf o r d i f f r a c t i o ng r a t i n g s ，b u ta v o i d st h eq u a s i p e r i o d i cg r e e n sf u n c t i o n st h a ta r ee x p e n s i v e t oe v a l u a t e f o rd i f f r a c t i o np r o b l e m si nc o n i c a lm o u n t i n g ，t h en t do p e r a t o rm a p s t h en o r m a ld e r i v a t i v e so ft w ol o n g i t u d i n a lc o m p o n e n t so ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i 弓l dt o t h e s et w oc o m p o n e n t so nt h eb o u n d a r yo ft h es u b d o m a i n ad i f f e r e n t i a t i o no p e r a t o r a l o n gt h eb o u n d a r yi sa l s on e e d e dt oi m p o s ep r o p e ri n t e r f a c ec o n d i t i o n s t h em e t h o d a b s t r a c t p e r f o r m se q u a l l yw e l lf o rd i e l e c t r i co rm e t a l l i cg r a t i n g s k e y w o r d s p h o t o n i cc r y s t a l ，d i f f r a c t i o ng r a t i n g ，d i r i c h l e t - t o n e u m a n nm a p ，o p e r a t o r m a r c h i n g ，n e u m a n n - t o d i r i c h l e tm a p ，b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n v 插图 插图 1 1 一维光子晶体的周期多层结构。 1 2 二维光子晶体的周期圆柱结构。 1 3 由交错圆柱组成的三维w o o d p i l e 材料。 1 4 一个典型衍射光栅。 2 1 一个有限的由5 层圆柱构成的二维光子晶体。圆柱，背面介质， 光子晶体上部，光子晶体下部均匀介质的相对电导率和磁导率 分别为 l ，p l ， e 2 ，p 2 ，【( ，肛( 1 ) ) 和 e ( 2 1 ，肛( 2 ) 。水平方向的一 个周期内区域s 在竖直方向上被分成5 个单元。 1 2 2 2 三角形格子的六边形单元( 左边) ，五边形单元( 中间和右边) ， 每个单元包含一个圆柱，单位法向在每个单元上给出。 1 7 2 3 与六边形和五边形( 图2 2 ) 对应的平移单元，每个单元包含两 个半形圆柱 2 0 2 4 。个包含两个半形圆柱的平移的六边形单元q i 和规则的单 元q ，这里，q ，可以通过将q ，的左半部分水平向右移动距离l 得 到。 2 0 2 5 4 层空洞位于绝缘均匀介质的二维光子晶体材料，材料的相对电 导率为9 2 = 2 7 2 。光子晶体外部为空气。在水平方向上一个周 期的区域s 竖直方向被分割成6 个单元。 2 1 2 6 由1 4 层空洞位于绝缘均匀介质的二维光子晶体材料，用改进 的d t n 映射方法计算得到折射谱。这里，死表示定义在式( 2 2 ) 的 折射系数。图中的。表示l ，下文相同。2 2 2 7 e 极化情形下，1 5 层绝缘圆柱材料的折射光谱图。竖直的黄色片 表示能带。若b l o c h 波向量限制在第一个b r i l l o u i n 区域f m 的边 上，竖直虚线的横坐标表示开始出现第一个部分能带的波频点。 2 3 插图 2 8 在e 极化下，对位于空气中的1 5 层半径b = 0 4 5 l 的绝缘圆柱组 成的二维光子晶体材料，随着变化时，反射系数凰相对误差 图。波频w l ( 2 7 r c ) = 0 3 ( 左侧) ，o j l ( 2 7 r c ) = 0 8 ( 右侧) 。 。 2 9 e 极化情形下，由位于空气中的1 5 层半径b = 0 5 l 的绝缘圆柱组 成的二维光子晶体材料的折射谱。 2 1 0 由1 5 层位于空气中的绝缘圆柱材料，随增加时，o c t 反射系 数凰相对误差图。左侧：e 极化，b = 0 5 l ；右侧：h 极化，b = 0 4 9 l 。 2 1 1e 极化下，1 层由超导圆柱组成材料的反射光谱图，考虑不同的 圆柱半径b 。 2 1 2h 极化下，由1 5 层超导三角格子圆柱排列组成的光子晶体材料 的折射光谱图，圆柱半径b = 0 4 5 l 。 3 1 5 层由正方形排列圆柱组成的二维光子晶体材料。在水平方向 上，一个周期上的区域s 被分割成5 个单元q f ，j = 1 ，2 ，5 。 3 2 包含一个圆柱的正方形，六边形和五边形单元。 3 3 9 层由呈三角形格子排列的绝缘柱组成的光子晶体材料，折射能 量t 的对数随归化波长a 己和角度o o 变化的平面图。 3 49 层由呈三角形格子排列的绝空洞位于绝缘材料的光子晶体，折 射能量t 的对数随归化波长入l 和角度日。变化平面图。 3 。5 对e 极化( 项部) 或日极化( 底部) ，斜平面波照射n 9 层由相互 碰到圆柱位于空气中的材料的折射光谱图( 算例3 ) 。 3 6 对e 极化( 顶部) 或日极化( 底部) ，斜平面波照射到7 层呈j 角 形排列的大半径空洞位于绝缘介质的光子晶体材料的折射光谱 图( 算例4 ) 。 4 1 用d t n 映射方法来计算一个由4 层规则交错圆柱组成材料( 顶部 图) 和一个4 层w o o d p i l e 材料( 底部图) 的折射光谱图。 4 2 用d t n 映射方法来计算一个1 主t 3 2 层规则交错圆柱组成材料( 顶部 图) 和一个3 2 层w o o d p i l e 材料( 底部匿t ) f f 3 反射光谱图。 x 2 7 2 8 3 2 3 5 3 7 3 8 3 9 6 3 插图 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 用d t n 方法对交错圆柱组成材料( 左边两幅图) 和w o o d p i l e 材 料( 右边两幅图) 计算，随着离散点数增加的反射能量o 相 对误差图。 6 5 用t 2 t 方法计算3 2 层规则交错圆柱结构( 顶部图) 和3 2 层w o o d p i l e 结构( 底部图) 的反射能量谱。6 6 用t 2 t 方法来计算8 层( 顶部图) 和3 2 层( 底部图) 由空洞组成 的w o o d p i l e 材料的折射谱。 6 7 用t 2 t 方法计算8 层( 顶部图) 和3 2 层( 底部图) 由空洞组成 的w o o d p i l e 材料的折射光谱图。 6 8 用t 2 t 方法来计算1 6 层w o o d p i l e 材料的折射光谱图，项部图：e 极化，底部图：日极化。6 8 用t 2 t 方法来计算1 6 层w o o d p i l e 材料的折射光谱图，顶部图：e 极化，底部图：日极化。 6 9 用t 2 t 方法来计算随离散点数n 变化的折射能量图，左图：e 极 化，w l ( 2 丌c ) = o 9 ，右图：何极化，归化波频w l ( 2 7 r c ) = 1 。 6 9 衍射光栅个周期上的矩形区域。7 2 通过在五边形巾用t = 叫( s ) 得到的离散点图，p = 8 7 8 五边形巾的t = w ( s ) ，p = 8 7 9 v 和a p p u 在五边形区域边界上的比较图，这里u = ( 七。竹l r l ) 。8 0 ( a ) 具有绝缘底层的s i n u s o i d a l 衍射光栅；( b ) 涂层的三角形衍射 光栅；( c ) 具有空气底层的s i n u s o i d a l 衍射光栅。 8 3 随波长变化的带涂层三角形衍射光栅0 阶反射能量图。 8 4 一个绝缘的s i n u s o i d a l 衍射光栅材料。 9 l 一个金属介质组成的分层衍射光栅材料。 9 3 南金属介质组成的e c h e l e t t e 衍射光栅材料。9 4 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名： 罢叠燕 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为中请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电了版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制于段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 留公开口保密( 年) 作者签名：塞i 查蓝 签字日期l 垫坦! 生：墨 导师签名 签字日期 第1 章m a x w e l l s 方程和光学器件介绍 第1 章m a x w e l l s 方程和光学器件介绍 1 1m a x w e i l s 方程 考虑线性电磁波( 包括光) 在各向同性，没有电荷和电流的非导电材料下 传播，那么电场影和磁场形满足如下的m a x w e l l s 方程 v 汐圳筹， v x 形= 圪箬， v ( k ) = 0 ， v ( 秽形) = 0 ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 这里岔和彤是3 d 向量，它是空间变量。，可和z 及时间变量t 的函数，( z ，y ，z ) 为 笛卡尔坐标系。系数移和圪为材料的物理参数，其与空间变量z ，y ，z 有关。这 里毋= 弘。舻，加= 4 1 r 1 0 7 n s 2 i c 2 为真空介质的磁导率。弘为介质的相对电导 率。与此同时，斤为材料的电导率，其形式为 k = 6 0 = e 0 1 , 2 ， 这里 e o ：8 8 5 4 1 9 1 0 1 2 c 2 稆 为真空的电导率，e 为介质的相对电导率，竹为介质的折射率，其通过 c 0真空中的光速 犯2 一c2 稀雨而蕊制科甲删尢理 来定义。真空中的光速c o 与p q 和e o 联系： c o = - = 2 9 9 7 9 2 5 1 0 8 m 5 、p o o 考虑时间调和波，它与时间有关的变量为 参= r e e e 粕，形= r e h e 嘞， 第1 章m a x w e l l s 方程和光学器件介绍 这里。为角频率，= 2 7 r ，为频率， e 旧h = 阿 m a x w e l l s 方程( 1 1 ) 一( 1 4 ) 可改写为 v e = i k o # h ， v ( e e ) = 0 ， v ( 肛h ) = 0 ， ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 称为频域上的m a x w e l l s 方程。这里a = v 面oh 为归化的磁场。注意到在 式( 1 6 ) 和( 1 7 ) 中，( v ) 作用于 e ，a ) 后，我们将其展开，该两方程可分别写作 和 豢一誓：帅鼠， a ua z ”。 警一豢蛾p 岛， a za z ”，可 豢一豢瑚。皿， a ： a 掣 ”p 一。 a h z o y 8 h z o z o n y o x ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 我们可以从式( 1 1 0 1 1 5 ) 中分别消去 e ，a ) 的z ，y ，z 变量并得到如下三个方 程组： 丕阼a ua 1 2 ：恫， 峋 2 南降黼帽， 毫罔：瞄2 1c 2 2 2 ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) b 岛 历 加 肋 肪 一 一 一 l = i i ，呱瓦咀瓦啦一曲 这里w ，v 和u 为 e ，a ) 的z ，可和z 分量： w = 阿v = 阱u = 阱 4 口( 对而，q = l ，2 ) 为涉及到z 和导数的2 2 矩阵算子： 1 么1 12 _ i c o 。1 月1 22 _ z c o 1 a 2 1 = _ i k o 1 a 2 22i 一 童定0 f - 0以( e q 岛) 卜以( 肛。1 岛) 0i ， l j l 0 一瑶弘一以( - 1 巩u ，_ 一山、 一山 l 瑶+ 包( 肛1 包) 0 1 0 瑶肛+ 吨( e _ 1 岛 i 一七3 e 一岛( 肛一1 岛) 0 l 0 一岛( e _ 1 以) l l 如( 弘- 1 如) 0l ( 对而，q = i ，2 ) 为涉及到z 和z 导数的2x2 矩阵算子： 筋= 去b 三也，一岛i 1 包。 ， 召z = 去 一七。e 一芝。p 一- 包，是3 弘+ g 一1 如。 ， 岛，= 蕊1 碚+ 晓：肛一t 允，一瑶p 一名一1 以。 ， 岛：= 瓦1 一以c 0 以，侥。：包。 0 口( 对p ，q = 1 ，2 ) 为涉及到可和z 导数的2x2 矩阵算子： c - = 瓦1 一岛。皇。晓，岛 ：晓 z - p 1 ( j 1 22i 一 2 尼0 岛1 = c 2 2 = 。 1 0 一是3 弘一岛( 一1 屯 l 墙e + 岛( p _ 1 岛) 0 1 0 瑶p + 包( _ 1 允 l 一七3 一包( p 一1 允) 0 l 0 一晚( _ 1 吼) i l 以( 弘_ 1 钆) 0l ( 1 1 9 ) 3 订1门“lj 门川l-1门叫ij 1一，一 一0 一t ：笙! 童丝坚! ! ! 坐查堡塑堂堂矍堡坌塑 假定电磁场( e ，h ) 与z 有关的部3 n v 为e x p ( i z ) ，这里7 0 是一个实常数，相 对电导率e 和相对磁导率p 仅为r = ( x ，y ) 的函数( 与z 无关) ，那么矩阵算 子岛q ，c 姐( 对p ，口= 1 ，2 ) 中与z 导数有关的元素作用于电磁场 e ，且) 后变 为i 7 0e x p ( i r o z ) ，进而z 变量可以从式( 1 1 7 ) 和( 1 1 s ) e o 分离出来。由( 1 1 7 ) 的第二 个方程，也就是未u = b 2 1 w + b 2 2 u ，我们可以通过u 表示出w ： w卜。爱+kol7k o l 卦 2 。， 一一r 。瓦面j ( 1 卫u ) 叩：k 0 2 e # - - 镌，l ：f 三钥 ( 1 2 1 ) 进一步，如果将( 1 2 0 ) 和( 1 1 7 ) 1 艨一个方程组合起来，也就是南w = b i i w + b 1 2 u ，那么u 的两个z 分量满足如下方程： v ( 号v b ) 丹( 焉加鼠) + e o ， 2 2 ， v ( 等v 或) 一v ( 焉j v 邑) + p 也= 。， c ， 这里v 为2 d 散度算子，并且 j = 跚 由i 1 1 8 ) 的第一个方程，可类似地将v 通过u 表示如下： v = 寺卜嚣- k o l 瓦0 u k o l ， ( 1 2 4 ) 丫2 石卜面瓦j u z 4 j 将( 1 2 4 ) 幂1 ( 1 1 8 ) 的第一个方程结合，我们同样得到关于u 的方程( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 。 一般而言，当加o 时，乜和也耦合。然而，在一个齐次介质区域中， 和p ( i ! l i l 是7 7 ) 为常数，方程( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 可退化为 + 叩= 0 ， ( 1 2 5 ) 这里是2 dl a p l a c i a n4 j g t ：，西为邑或或。 我们重新将( 1 2 0 ) ( 1 1 ( 1 2 4 ) 写作： 圈= 孙v e + k o , j v f - ： ， 2 6 ， 慝卜寺卜v 盈- k o e j v e ： 2 7 ， 第1 章m a x w e l l s 方程和光学器件介绍 假设i 、为z 可平面上材料的分界面，1 = ( 屹，) 为r 的单位法向，7 = ( 一吻，屹) 为r 的 单位切向，那么由( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) ， 研：三乱邑+ 善屏鼠，鼠：兰乱鼠一善辞及( 1 2 8 ) r ，c 0 7 7rxoq 注意到日和r 在穿过r 时一定连续。e h 于见和就为r 切向分量，它们在穿过 材料界面时也一定连续。但一般而言，兄和也的法向导数不连续。 如果波场与z 无关，也就是说， 7 0 = 0 ，那么方程( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 退化为两个 独立的h e l m h o l t z 方程，分别对应于e ( t e ) 和( ) 极化： v ( 去v 尻) 博忍一o ， v ( 圭v 鼠) + 瑶肛鼠_ o ( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) i 主1 ( 1 2 8 ) ，我们可以得到p 一1 乱忍和e 一1 乱或在穿过z y 平面上材料界面r 时连 续。由a 的定义，我们得知见也满足( 1 3 0 ) 。 1 2 光子晶体 光子晶体由周期的绝缘或金属介质构成，其周期与光波长在同一数量级， 会产生一些波频区间，也就是能带结构，在该区间内不存在传输的电磁波。这 会导致一些光学现象，例如抑制自发辐射，高全方位反射镜，低损耗波导等。 由于其非凡的光学特性和重要的潜在应用，近二十年来，光子晶体已经在理 论和实际中得到广泛研究。 最简单的一维( 1 d ) 光子晶体由周期的多层绝缘板组成( 图1 1 ) ，它在一 个方向上有周期性并在另两个方向上不变。1 8 8 7 年，l o r dr a y l e i g h 说明该材料 有一个一维的光能带结构，也就是光谱范围内的高反射现象，也称其为阻带。 这样的一维光子晶体可用来做高反射镜( b r a g g 镜) 。当今，该材料用作反射涂 层来提高l e d s 设备的反射效率和激光腔中的高反射镜。 二维( 2 d ) 光子晶体在两个方向上有周期性并且在第三个方向上不变。典 型的2 d 光子晶体由无穷无尽的管子位于空气中( 图1 2 ) 或空洞位于齐次介质 中组成。由于二维光子晶体有2 d 格子，其周期也称作格子常数。典型的2 d 光 子晶体由正方形或三角形格子组成。由于在这些材料中的绝缘物理参数的周 期性，光带结构可能会出现。当波频位于光能带中时，光波无法在光子晶体任 气 筇i 章m a x w e l l 。s 方程和光学器件介绍 鼹1 2 二维此下晶体的周期圆拄结构 篱一黼 第1 章m a x w e l l s 方程和光学器件介绍 何方向上传播。1 9 9 6 年，个蒯期与光波长尺度一致的二维光子晶体被k r a u s s 等【1 1 首先研制出，这开拓了如同半导体控制电子一样，用光于晶体控制光波的 道路， 一个3 d 光予晶体在三个方向上均具有周期性。如果波额位于光能带中， 光波在3 d 光予晶体中将无法传播。在1 9 9 1 年，y a b l o n o v i t c h t 2 1 首次研制了周期 与微波尺度一致的三维光予晶体。研究人员利用j 维光了晶体的特性来构造 许多有用的光学器件，例如超高质量因予腔和低阈值激光器。然而，由于三维 光予晶体较难韦4 造，研究三维光了晶体的进程i l - - - - 维光于晶体慢许多。一个 三维光予晶体的特倒为w o o d p i l e 材料，它由交错圆柱组成，由中间层隔开的上 下两层平行圆柱间有半个周期的位移。在图1 坤，我们绘出由交错圆柱组成 的三维w o o d p i l e 材料图。 豳