（无线电物理专业论文）基于长周期光纤光栅的理论及应用研究.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 自1 9 8 9 年gm c l t z 等人采用相位掩膜法成功写入光纤光栅以来，光纤光栅在 光纤通信及传感领域中获得了广泛的应用，成为光纤通信和传感中最重要的器件 之一。同为光纤光栅的重要分支，较光纤b r a g g 光栅而言，长周期光纤光栅以其 无后向散射和对外界物理量变化更敏感等优点，在诸如光纤放大器的增益平坦和 各种传感器领域有着更为重要的应用，近年来备受国内国际学者及企业的青睐。 本文涉及长周期光纤光栅的耦合机理分析、长周期光纤光栅的制作，在通信 和传感方面的应用等方面均做了相应的探讨。第一章首先对光纤光栅基本概念、 发展及分类等进行了简略的综述。第二章从麦克斯韦方程组出发，对模式耦合的 原因做出了解释。进而具体到两个模式耦合的分析，分别对光纤b r a g g 光栅和长 周期光纤光栅的幅度及相位做了理论推导。仿真分析了均匀、相移和级联长周期 光纤光栅，详细研究了各个参数变化对光栅光谱的影响，为后面的传感应用打下 理论基础。 论文第三章介绍长周期光纤光栅的制作方法，特别提出了一种基于紫外光写 入法的新的逐点写入方法，并总结了近年来比较常用的几种制作长周期光纤光栅 的方法，如紫外激光写入法、腐蚀刻槽法、电弧放电法、离子束注入法、c 0 2 激光 脉冲写入法、机械微弯变形写入法等。 论文第四章提出一种新的基于压力槽的机械感生写入法。该方法制作的长周 期光纤光栅，具有制作简单、价格低廉、可擦除，并且可同时生成多个谐振波长 不同的长周期光纤光栅的优点，这是现有的长周期光纤光栅制作方法所不能及的。 本章对基于压力槽的可调谐长周期光纤光栅滤波器进行了性能分析。针对各个参 数变化( 如光栅倾斜角度、压力变化等) 对光栅透射谱的影响做出了理论仿真及 实验验证，并得出了规律性的结论。 第五章研究了长周期光纤光栅在传感领域的应用。文章就折射率传感进行了 理论分析，并对影响灵敏度的因素做了探讨。另外，就级联长周期光纤光栅，特 别研究了m z 干涉仪，并对其进行了性能分析。 v i l 山东大学硕士学位论文 最后，论文进行了总结，并对后续工作进行了介绍和展望。 总之，本论文从耦合模理论出发，对长周期光纤光栅的各项特性进行了多方 面的仿真分析，同时进行了一些基本的实验研究。在长周期光纤光栅温度和应力 传感方面进行了讨论，并就仿真和实验结果分别做了分析。文章同时系统总结了 长周期光纤光栅在折射率传感的方面的应用。提出并实验研究了一种可同时生成 多个可调谐长周期光纤光栅的滤波器。 v i i i 关键词长周期光纤光栅；耦合模；机械感生法；传感；折射率 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t s i n c et h ef i r s tp r a c t i c a lf i b e rg r a t i n gw a sf a b r i c a t e d 谢t l lp h a s em a s kt e c h n o l o g yi n o p t i c a ls e n s i t i v ef i b e rb yqm e l t zi n19 8 9 t h es t u d yo ff i b e rg r a t i n gh a v ea t t r a c t e dm o r e a n dm o r ea t t e n t i o n sa r o u n dt h eg l o b e t h ef i b e rg r a t i n gb a s e dc o m p o n e n t sh a v ep l a y e d a n dw i l lp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h ef i b e rc o m m u n i c a t i o na n df i b e rs e n s i n gr e g i o n c o m p a r e dt of i b e rb r a g gg r a t i n g , l o n g - p e r i o df i b e rg r a t i n gh a ss u c ha d v a n t a g ea sn o b a c k - s c a t t e r i n ga n dm o r es e n s i t i v et ot h eo u t w a r dp h y s i c a lq u a n t i t yc h a n g e s ，aw i d e r a n g eo fa p p l i c a t i o n si no p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o na n ds e n s o rr e g i o nh a v eb e e n p r o p o s e d s ol o n gp e r i o df i b e rg r a t i n ga l s ob e c o m e so n eo ft h eb u r n i n gr e s e a r c hi s s u e s i nt h i st h e s i s ，t h ec o u p l i n gm e c h a n i s mo f l o n gp e r i o dg r a t i r t , f a b r i c a t i o nm e t h o d s a n di t sa p p l i c a t i o n si nc o m m u n i c a t i o n sa n ds e n s i n ga r ei n v o l v e d c h a p t e rig i v e sab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h eb a s i cc o n c e p t s ，d e v e l o p m e n ta n d c l a s s i f i c a t i o no fl o n gp e r i o df i b e rg r a t i n g s t a r t i n gf r o mm a x w e l l se q u a t i o n s ，c h a p t e ri i e x p l a i n st h er e a s o n sf o rm o d ec o u p l i n ga n dd e r i v e st h ee l e c t r i cf i e l da m p l i t u d e s t h e n t h em a g n i t u d ea n dp h a s eo ff i b e rb r a g gg r a t i n ga n d l o n gp e r i o df i b e rg r a t i n ga r ed e r i v e d w i t ht w om o d ec o u p l i n ga n a l y s i s ，r e s p e c t i v e l y as i m u l a t i o na n a l y s i so nt h ed i f f e r e n t t y p e so fl o n g - p e r i o dg r a t i n g sw a sm a d ea n dh o wt h ep a r a m e t e r sa f f e c t e dt h es p e c t r u m w a ss t u d i e d t h i sp a r to fw o r kw i l lb et h et 1 1 e o r e t i cb a s i sf o rs e n d i n ga p p l i c a t i o n s c a p t e ri i im a i n l yi n t r o d u c e st h ef a b r i c a t i o nm e t h o d so fl o n gp e r i o df i b e rg r a t i n g , s p e c i a l l y , an e wu l t r a v i o l e t ( u l a s e rp o i n t b y - p o i n te x p o s u r em e c h a n i s mi sp r o p o s e d s e v e r a lc o m m o n l yu s e dp r o d u c t i o nm e t h o d so fl o n g - p e r i o df i b e rg r a t i n gi nt h er e c e n t y e a r s ，s u c ha su l t r a v i o l e tl a s e re x p o s u r em e t h o d ，h y d r o f l u o r i ca c i ds o l u t i o ne t c h i n g c o r r u g a t e ds t r u c t u r em e t h o d ，r e s i d u a ls t r e s sr e l a x a t i o nb ye l e c t r i ca r cd i s c h a r g em e t h o d ， i o ni m p l a n t a t i o n , c 0 2l a s e r - i n d u c e dm e t h o da n dm e c h a n i c a l l yd e f o r m a t i o nm e t h o de ta 1 a r ei n t r o d u c e d t i f f st h e s i sp r e s e n t san e w m e c h a n i c a l l yd e f o r m a t i o nm e t h o db yp r e s s i n gap l a t e i x 山东大学硕士学位论文 w i t hp e r i o d i cg r o o v e sa g a i n s tas h o r tl e n g t ho ff i b e r t h el o n gp e r i o df i b e rg r a t i n g f a b r i c a t e db yt h i sm e t h o d ，p r e s e n t sm a n ya d v a n t a g e ss u c ha ss i m p l ef a b r i c a t i o n p r o c e d u r e ，i n e x p e n s i v e ，e r a s a b l e ，a n ds e v e r a ll p f g s o nd i f f e r e n tf i b e r ss i m u l t a n e o u s l y c h a p t e ri vg i v e sp e r f o r m a n c ea n a l y s i so ft h et u n a b l el o n g - p e r i o df i b e rg r a t i n gf i l t e r b a s e do nt h em e c h a n i c a l l yd e f o r m a t i o nm e t h o dm e n t i o n e da b o v e t h e o r e t i c a l s i m u l a t i o na n de x p e r i m e n t a lv e r i f i c a t i o na r ed o n et of i n dt h ei m p a c to ng r a t i n g t r a n s m i s s i o ns p e c t r u mw h e nc h a n g i n gp a r a m e t e r ss u c ha st h eg r a t i n gt i l ta n g l ea n dt h e p r e s s u r ec h a n g ee ta 1 s o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n s a r ed r a w n c h a p t e rv s t u d i e st h ea p p l i c a t i o n so fl o n g - p e r i o df i b e rg r a t i n gi nt h es e n s o rf i e l d s t h i sc h a p t e rp r e s e n t st h et h e o r e t i c a la n a l y s i sf o rr e f r a c t i v ei n d e xs e n s i n ga n df a c t o r s w h i c hw i l la f f e c tt h es e n s i t i v i t ya r ed i s c u s s e d i na d d i t i o n , f o rc a s c a d e dl o n g - p e r i o d f i b e rg r a t i n g , e 告l p gb a s e dm - zi n t e r f e r o m e t e rs t r u c t u r ea n di t sp e r f o r m a n c ei s a n a l y z e di np a r t i c u l a r f i n a l l y , t h i st h e s i ss u m m a r i z e st h ew o r kc a r r i e do u ta n dg i v e si n t r o d u c t i o na n d p r o s p e c t st ot h ew o r kf o l l o w u p i nc o n c l u s i o n ，c o m m e n c e dw i t ht h ec o u p l e d - m o d et h e o r y , t h i st h e s i sa n a l y z e st h e v a r i o u sw o r k i n gc h a r a c t e r i s t i c so fl o n g - p e r i o df i b e rg r a t i n g r e s e a r c hw o r kw a sd o n e b o t l lo nv a r i o u ss i m u l a t i o na n a l y s i sa n ds o m eb a s i ce x p e r i m e n t s f o rt e m p e r a t u r ea n d s t r e s ss e n s i n go fl o n g - p e r i o df i b e rg r a t i n g , s i m u l a t i o na n de x p e r i m e n t a lr e m f l t $ 玳 a n a l y z e ds e p a r a t e l y m e a n w h i l e , t h et h e s i ss u m su pt h ea p p l i c a t i o n si nt h er e f r a c t i v e i n d e xs e n s i n gs y s t e m a t i c a l l y at u n a b l el o n g - p e r i o df i b e rg r a t i n gf i l t e rb a s e d0 1 1 m e c h a n i c a l l yd e f o r m a t i o nm e t h o dw a sp r o p o s e da n de x p e r i m e n t a l l ys t u d i e d ，w h i c hc a n p r o d u c es e v e r a ll p g ss i m u l t a n e o u s l y k e yw o r d s ：l o n g - p e r i o df i b e rg r a t i n g ( l p g ) ；c o u p l e dm o d e ；m e c h a n i c a l l yd e f o r m a t i o n m e t h o d ；s e n s i n g ；r e f r a c t i v ei n d e x x 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盈鬓 e t论文作者签名： 囱! 蓬 期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：竣导师签名： 日期： 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 一位国际光纤通信权威人士曾经说过：光纤光栅的出现将迫使人们不得不重 新考虑光纤通信的每一个环节的设计。现代光通信中如果没有光纤光栅，就像传 统光学系统中没有镜片一样难以让人置信【l l 。自上世纪7 0 年代问世以来，光纤光 栅以其灵敏度高、抗电磁干扰、耐腐蚀、体积小等许多独特的优点，在光纤通信 和光纤传感领域受到青睐并得到广泛的应用。本章阐述了光纤光栅的基本概念、 发展和分类，并概括了论文的主要内容和工作安排。 1 1 光纤光栅基本概念 光纤光栅是利用光纤材料的光敏性【2 】( 外界入射光子和纤芯内锗离子相互作用 引起折射率的永久性变化) ，在纤芯内形成空间相位光栅，其作用实质上是在纤芯 内形成一个窄带的( 反射或透射) 滤波或反射镜。 本质上讲，光纤光栅是通过光波与波导的相互作用，将在光纤中传输的特定 频率的光波，从原来前向传输的限定在纤芯中的模式耦合到前向或后向传输的限 定在包层或纤芯中的模式，从而得到特定的透射和反射光谱特性。 光纤光栅的形成基于光敏性，不同的曝光条件、不同类型的光纤可产生多种 不同折射率分布的光纤光栅。下面是对于整个光纤曝光区域，针对三层阶跃模型 的折射率分布的一般描述【3 1 ： fn a 1 + f ( r ，缈，z ) 】川s 口l n ( r ，缈，z ) = ，乞口i i ， a 2 ( 1 1 1 ) 【吃h d ： 其中，a 。为纤芯半径；a ：为包层半径；1 1 ，为纤芯初始折射率；n ：涛包层折射率；n ， 为环境折射率：f c r ，j ，z ) 为光致折射率变化函数，在光纤曝光区，其最大值为折射 率变化最大值除以1 1 。 山东大学硕士学位论文 1 2 光纤光栅的发展 加拿大渥太华通信研究中心的h i l lko 等人【2 】于1 9 7 8 年首次在掺锗石英光纤 中发现光纤的光敏性，并采用驻波写入法制成世界上第一只光纤光栅。 1 9 8 9 年，美国联合技术研究中心的g m e l t z 等人f 4 】利用掺锗光纤的紫外光敏特 性，用2 4 4 n m 波长的紫外激光干涉条纹侧面照射纤芯掺锗的光纤，将任意工作波 长的位相光栅写进了纤芯，形成光纤芯内布拉格光栅( 光纤光栅) ，使光纤光栅的 制作技术实现了突破性进展。 之后，h i l lko 等人于19 9 3 年提出的相位掩膜制造法【5 】使光纤光栅的制造技 术得到重大发展，使光纤光栅的灵活的大批量的制造成为可能，光纤光栅器件逐 步走向实用化。 1 9 9 6 年，v e n g s a r k a r 【6 铡用长周期光纤光栅成功解决了掺铒光纤放大器增益均 衡和带阻滤波器设计方面的问题，标志着长周期光纤光栅的理论和技术的诞生 近年来，无论是在理论研究，还是制作及应用方面，长周期光纤光栅的研究 都获得了较大的发展。制作方面，1 9 9 8 年d a v i s 等人提出c 0 2 激光写入法f 7 1 ，1 9 9 9 年l i usy 等人提出微透镜阵列法【引，h w a n g 提出电弧放电法【9 1 ，2 0 0 0 年s a v i ns 等人提出机械感生写入法【l o 】，这些制作方法各有优缺点。为此，很多学者对这些 光栅制作方法进行了不同程度的改进，一定程度上提高了生成的长周期光纤光栅 的性能。理论研究方面，除了耦合模理论【1 1 1 和传输矩阵法1 1 2 1 这两种基本理论，还 有变量法理论【1 3 1 、w k b 法【1 4 】等较为复杂的长周期光纤光栅理论模型。长周期光纤 光栅在应用方面的进展是最令人瞩目的：在光通信领域有掺铒光纤放大器、光耦 合器、光分插复用器、色散补偿器等；在传感领域除能对温度、应变、折射率等 常规参量进行传感，而且能够实现多参量交叉互感。目前，长周期光纤光栅仍是 国内外学者研究的热点，将来必定会有更大的发展。 1 3 光纤光栅的类型 随着光纤光栅的迅速发展，光栅的种类层出不穷，对其分类方法也各异，下 面就光纤光栅的波导结构进行分类介绍。 2 山东大学硕士学位论文 1 3 1 均匀周期光纤布拉格光栅 均匀周期布拉格光栅是最常见的一种光纤光栅，其周期较小，一般不超过几 微米，而且周期和折射率调制都固定不变。目前生产的布拉格光栅大都是均匀周 期正弦型光栅。最早出现的全息相干法闸和广泛应用的相位模板法【5 , 1 5 1 等制作方法， 都是在光纤的曝光区利用紫外光形成均匀干涉条纹，在光纤纤芯上引起周期性的 折射率变化而制成的。布拉格光栅折射率分布一般可以表示为： ，) ” 以( z ) = 强+ 血。c o s ( 竿z ) ( 1 3 1 ) 、 其中，觚矿为有效折射率，人为周期。其反射光谱大致如下图： 蓥 乏 芑 旦 旨 芷 图1 1 均匀布拉格光栅反射谱 1 3 2 线性啁啾( c h ir p e d ) 光纤光栅 c h i r p e d 光栅是折射率调制幅度不变、周期沿光栅轴向变化的光栅。其折射率 分布函数为： 刀o ) = + 血。o ) 1 + v c o s ( 竿z + 伊( z ) ) ( 1 3 2 ) 其中，钰为有效折射率，v 为条纹可见度，人为周期，矽( z ) 为啁啾。其光谱特 性如图1 2 所示。 由图1 2 可以看到，啁啾光栅的反射峰比较平坦，根据这一点，可以利用啁啾 光纤光栅进行色散补偿1 6 】。啁啾光纤光栅色散补偿器具有体积小、成本低、无非 线性串扰、色散补偿量大等优点。 3 山东大学硕士学位论文 鲁 芝 艺 # 叱 反射率 二二#二-fii lrii ii i i i i l 一i 。：。i ：。i i i l_ -j _ r _ 。r 1 l， j l- 。 。o r o 。p r： ； ， ： 、： -， i 、一 ， 1 3 3 切趾光纤光栅 图1 2 啁啾布拉格光栅反射谱 从图1 1 布拉格光栅反射谱中可以看到反射峰两侧有一系列旁瓣。旁瓣的存 在会严重地影响光栅的滤波特性，使光栅不能满足通信系统要求。啁啾光纤光栅 的反射谱也存在旁瓣，反射带宽内反射谱不平坦，存在较大的振荡，这些都会影 响光栅的性能，进而限制了光栅器件在光通信中的应用。为了去除这些旁瓣，人 们提出了切趾光栅。 切趾光栅的周期是均匀的，折射率随一定的函数关系呈一个钟形包络变化， 典型的包络函数有高斯分布函数、超高斯分布函数、升余弦函数、帽型函数、哥 西函数等。如升余弦的函数包络可表示为： ( z ) = 三( 0 ) 【1 + c o “高舄) 】 ( 1 3 3 ) 其中，f w h m 为光栅的半高宽度( f u l lw i d t h - h a l f m a x i m u m ) 。其反射谱形如下： 反射率 4 兰 乏 一 u c 比 ! ；，弋： -|k rr 八 w a v e l e n g t h x1 0 6 图1 3 切趾布拉格光栅反射谱 山东大学硕士学位论文 1 3 4 闪耀光纤光栅 闪耀光栅也称为倾斜光栅。e r d o g a n 从模式耦合的观点，详细解释了闪耀光栅 可以增加耦合强度的原因【1 7 1 。在光栅制作时，紫外侧写光束与光纤轴不垂直，造 成折射率的空间分布与光纤轴有一个小角度，便形成闪耀光栅。其折射率分布为： 比) 2 _ + 瓴扣) 【1 懒s ( 筹) z c 0 s o 】 ( 1 3 “) 其中，0 为光栅倾斜角度。 图1 4 闪耀光栅中的折射率分布示意图 闪耀光栅最主要的应用是在掺铒光纤放大器中作增益平坦器【1 3 1 ，另外也可以 用作模式转化【1 9 1 。 1 3 5 长周期光纤光栅 长周期光栅【2 0 】指光栅周期远远大于普通布拉格光栅，可达几百微米( 一般布 拉格光栅的周期不到l u r e ) 。其光学性质也与布拉格光栅不同：布拉格光栅是基于 光纤反向模式之间的谐振耦合实现的，而长周期光纤光栅是基于光纤内满足相位 匹配条件的同向模式之间的谐振耦合。因此，长周期光纤光栅有许多与布拉格光 栅不同的特点。图1 5 是较宽光谱范围内的长周期光纤光栅透射谱仿真图。 量 益 暑 萎 卜 图1 5 长周期光栅反射谱 5 山东大学硕士学位论文 近年来，长周期光纤光栅发展迅速，备受国内外学者和商家的关注。长周期 光纤光栅以其插入损耗小、波长编码、无后向散射、不受电磁干扰、兼容于光纤 等优点，在光纤通信和光纤传感领域均具有重要的应用价值。 1 4 论文安排 本论文结合山东省中青年科学家奖励基金“利用大尺寸啁啾光纤光栅对短脉 冲激光的展宽和压缩( 2 0 0 6 b s 0 1 0 0 1 ) 和山东省自然科学基金“基于光纤光栅的 光学延迟线的研究( q 2 0 0 7 g 0 3 ) ，主要以长周期光纤光栅为研究对象，对光栅耦 合理论、制作方法以及传感应用进行了浅显的研究，主要内容包括： 1 模式理论分析。从麦克斯韦方程组出发，对模式耦合的原因做出了解释， 对布拉格光栅和长周期光纤光栅的耦合模式理论分别做了推导。针对长周期光纤 光栅，论文对均匀、级联及相移长周期光栅作了仿真，详细讨论了各个参数对光 谱的影响。 2 制作方法介绍。针对长周期光纤光栅的制作，总结了近年来比较常用的几 种制作长周期光纤光栅的方法，如紫外激光写入法、腐蚀刻槽法、电弧放电法、 离子束注入法、c 0 2 激光脉冲写入法、机械感生写入法等，并对比了各种制作方法 的优缺点。本章详细介绍了紫外激光逐点写入法制作长周期光纤光栅，并对实验 过程中的光栅变化情况做了相应的解释。 3 本文提出一种新的基于压力槽的应力感生写入法，并对基于压力槽的可调 谐长周期光纤光栅滤波器进行性能分析。针对各个参数变化( 如光栅倾斜角度、 压力变化等) 对光栅透射谱的影响做出了理论仿真及实验验证，并得出了规律性 的结论。 4 研究了长周期光纤光栅在传感领域的应用。文章对折射率传感做了较为系统 的总结。另外，就级联长周期光纤光栅，特别研究了m z 干涉仪，并对其进行了 的性能分析。 6 山东大学硕士学位论文 第二章光纤光栅模式耦合与仿真分析 对于光纤光栅的理论分析方法有很多种，如耦合模理论【1 1 1 、传输矩阵法【1 2 1 、 b l o c k 波动法【2 1 1 、哈密顿理论【捌等。不同的研究方法有各自的使用范围，但耦合模 理论是光在介质中传输的理论基础，是最基础也是最常用的研究方法。本章从麦 克斯韦方程组出发，对光纤光栅的耦合模理论进行推导，并对各种类型的长周期 光纤光栅进行仿真分析。 2 1 模式构造 光是可见的电磁波。在光波导中，能量的传播必须服从电磁场分布，一种模 式就是一种电磁波的场分布形式。电磁波的场分布取决于波长、边界条件和介质 性质。 模式是一个离散的概念。在均匀介质波导中，任何两个不同模式间不存在串扰。 理论上，正交传播的模式的能量都会被很好地控制，不会相互影响。但是，由于 波导的的微扰损耗，可能会在模式间引入串扰。拿最基本的均匀波导中的两个正 交模式来说，由于模式的传播常数不同，通常会在波导传播方向上存在周期性的 模式耦合【2 3 】。 像h 磊4 0 嚣， 汜) 【= ( 厂，缈) 唯 以上两式是光纤中介质波导电场、磁场分量的基本形式。为方便起见，采用柱坐 标系。这种表示形式在时间上和z 轴上是一致的、上式中，国是角频率，是沿z 轴的传播常数( 由纤芯和包层边界电磁场的边界条件决定) 。 将式( 2 1 1 ) 代入麦克斯韦旋度方程： f v x e ：一望 j 0 t ( 2 1 2 ) iv 日：望 7 山东大学硕士学位论文 得到： i f l h 伊+ 吾杀皿嘲占4 i f l i - i 一昙皿= f 彩占目 一歹1 历0 耳+ 吾昙( 暇) = 姚t t p e ，t 乞e ：- 砌咄 一f t i e r 一昙置叫掣以 一1 磊0 耳+ ! 昙( 呜) ：一i o ) , u - ： ro p r 馥 1 将该方程用置和t 表示： 巨= ( 哮t c o 瓦a l l , , ) 易一事c 孚嚣删警， 耳= 一事c 警一芋 q 一事c 等等争 其中，q 2 - - - - 0 ) 2 8 , u - d 2 = r 2 一声2 将( 2 1 4 ) 代入( 2 1 3 ) ，得到疋和皿方程： ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 7 1 百0 2 e 2 + 9 2 置= 。 吉吾删 心l5 如果置= o ，则称为t e 模；如果皿= o ，称为t m 模；如果置和皿均不为 零，则称为e h 模或h e 模，是混合模。中空金属波导就是t e 和t m 模的简单例 子。但是，光波导大多数是更加复杂的混合波导。 8 堡甜堡跏 1一，lr o 厂0 r等等 山东大学硕士学位论文 为了在阶跃光纤中解方程( 2 1 5 ) ，可以采用分量变量法，并将置表示成 最= a f i ( r ) f 2 ( q ) e 科一肛 ( 2 1 6 ) 其中，彳表示幅度。 因此，方程( 2 1 5 ) 中的丘和h - 可以表示成以下b e s s e l 函数的形式： 学+-1一aft(r)+(927v2r o r 坏，) - o ( 2 1 7 ) 西2 一 ，y ”7 此方程在纤芯和包层中的解分别为： 雠蒜笔搿 亿m ， 【皿( ， 口) = ( 钟) 咿一唯 其中，j 2 ：筋2 2 一z ，彩z ：z 一鬈一，k o ；孕( 真空中的传播常数) 。a 、b 、c 、 d 是由边界条件决定的常系数。 f ， 口：k 型b e s s e l 函数 要想纤芯中的光波能沿z 方向传播，2 须大于零。另外，国2 0 才能使包层 区域形成渐倏波。因此可以推出 其中，p = k o n 够，7 锄是有效折 射率，其值介于和之间。 在边界上，电场和磁场的垂直分量必须是相等的。用这些边界条件，纤芯和 包层中的丘和够就能求出来。每一个模式的场分布、传播常数、截止波长也能求 出来【2 4 1 。 j 型b e s s e l 函数揭示了刀实部的振动规律，对一个给定的y ，有m 个根。这 些根由尾。指定，对应的模式为t e 啪，t m 恤、e h 。、h e 恤。一般情况下，v 0 ， 解非常复杂2 5 1 。而且，在弱导单模光纤( s m f ) 中，一n e t 1 ，解的根可以适 度简化，而不影响解的精度【矧。特殊地，当y = 0 ，不存在角度因素的影响，也就 9 山东大学硕士学位论文 是善= 0 。所有场分量均径向对称。这种情况下，根据( 皿、皿、b ) 或 o ( 0 ( 耳、巨、) ，得到它们的解为t e 嘶矛1 1 t m 咖。 在用弱导近似解阶跃光纤中的模式时，我们可以发现，有些模式有很相似的 值。每一组相似值的t e 、t m 、和e h h e 模的线性组合可以构成线偏振模( l p 模) 。l p 概念可以近似理解为用功率阐释光纤中模式场分布的方法。线偏振模对分 析光纤器件的极化现象很有用。 在单模光纤的包层区域，有许多模式。最低的四层包层模为：t e 。、t m 。和 两个h e ：。模。两个正交的h e ：。模的电场分量旋转9 0 0 即可重合。所有这四个传统 的模式都有一个相似的传播常数。因此，它们的色散关系，一五，也很相近。 匕笠d c o = 羞= 上2 x c 差一上2 n c 嘉筹 ( 2 o ) 暑 一，2 万c一，l a 2d 名一 由上式可知，这些模式都有一个近似的群速度圪，即掣。 dco 在包层中，最低层模珥。模是四个基模的线性组合。 值得一说的是，h e 。是基模，也记作l l 。h e 。模不会截止或终止，除非光 纤半径为零设计s m f 时，“归一化频率一是一个重要参数，决定波长、纤芯半 径和n a ( 数值孔径) 。归一化频率由下式给定： y ：孚2i 2 ( 2 1 1 1 ) 对只支持h e 。模的单模光纤来说，归一化频率v 应该比2 4 0 5 小。 2 2 模式耦合分析 2 2 1 耦合原因 1 0 在均匀介质波导中，可以有很多模式。如单模光纤纤芯中的l p o 。模和包层中的 山东大学硕士学位论文 珥。、l b ：、l 等。这些模式都是正交而且互不耦合的。但是，如果周期性地加 入变化，这些模式就会相互作用，并发生能量交换。这种现象就是“耦合模理论 所要研究的【2 7 1 。这些变化可由波导弯曲、不完整或表面不平滑等因素引起。 讨论是基于受扰波导的各个新模式能用不受扰系统的模式的线性组合来表 示。这个假定是有效的，因为波导各正常模式的正交性。在耦合分析中，幅度在 波导传播中是允许变化的。这些幅度变化代表了波导模式间的能量转变。 微扰能够引起z 方向上介电常数的变化。假定s o ( x ，y ) 是受扰前沿z 方向均匀 的介质张量。c o ( x , y ，z ) 是引用的周期性微扰向量，则有【2 0 】： s ( 石，y ，z ) = a e ( x ，y ，z + 人) ( 2 2 1 ) 那么，空间波导的介质张量可以表示为岛和占的叠加： 2 2 2 电场分量的推导 s ( x , y ，z ) = 6 0 ( x , y ) + a s ( x , y ，z ) ( 2 2 2 ) 如果沿z 方向导波是各向同性的，则每个模式的传播常数的z 分量是常数。因 此，正常模式的电场分量可以写为：已( 工，y ) e 7 舭胙；其中，m 代表m 阶模式。 既然是各项同性介质，则电场必须满足m a x w e l l 方程和v d = 0 。因此，式( 2 4 ) 必须满足波动方程： 丽9 2 + 等+ 国2 眠c 训，一属卜c 毛y ，= 。 c 2 2 任意频率为缈的电场可以表示为普通模式的线性组合。， e = 以( z ) 或( x ，y ) e 删一岛。 ( 2 2 4 在不受干扰的介质中，4 ( z ) 沿z 方向不变；当引入的周期性变化时，4 ，l ( z ) 是 z 的函数。将占代入波动方程( 2 2 3 ) ，并且电场满足： v 2 + 彩2 【岛( 五y ) + 占( 工，y ，z ) b e = o ( 2 2 5 ) l t j 尔天羊曰贝工芋1 业化又 把( 2 2 4 ) 代入( 2 2 5 ) ，结合( 2 2 3 ) ，得到： 军 参4 锄孱丢4 最c 训e - i p k z = - 0 2 z z ，坝讪z 凇c 班嘲。2 6 ， 假定引入的变化相对很小，所以，相对一个模式的传播常数来说，该模式幅度4 ，l ( z ) 的变化很慢。由l 警l l 展i 得出： 酗i id i 刮 仫2 7 ， 对( 2 2 6 ) 做近似，忽略小项，得到： - 2 莓展( 丢4 ) 巨( 五y ) e - * a * = - 0 ) 2 军占( 而j ，力4 互似y 弦嵋 ( 2 2 8 ) 两边同乘e ( 石，y ) ，并在x 、y 上积分，利用模式正交性质，得到： ( 尼l 尼) 妄4 ( z ) = 毫军( 尼l 岔i ，江( z 压堋2 ( 2 2 9 ) 将( 七i 后) = 仁化y 以w ) 妫2 锗 ( 2 2 1 0 ) ( 七眦) = 佐( 训洫( w 力聃少) 蛐。锗 ( 2 2 代入( 2 2 9 ) ，得到： 【佐y ) 反“y ) 出咖】芝4 ( z ) = 皇2 塑i f l 。 佐( x ，y ) s ( x ，y ，z ) 互 ，y ) 出砂m ( z 矽羼一屏) ： 1 2 山东大学硕士学位论文 将占( 石，y ，z ) = a s ( x ，y ，z + a ) 写成f o u r i e r 形式： 占瓴少，z ) ：厶似y ) e w 。r 2 z ( 2 2 1 3 ) 将( 2 2 1 0 ) 、( 2 2 1 1 ) 、( 2 2 1 3 ) 代入( 2 2 9 ) ，得到： 丢纰卜z 南军矽似懈竹峥z 其中，耦合系数磴定义为： 礤k 等( 七l 岛l z ) = 詈皿( x ，y ) 气( x ，y ) 互( 工，y ) d x d y ( 2 2 1 5 ) 耦合系数决定k 阶与l 阶模式的耦合强度。 ( 2 2 1 4 ) 是无限个微分方程的集合，决定所有模式幅度的变化。事实上， 耦合只发生在两个模式之间，尤其靠近谐振耦合条件。 谐振耦合条件，模式是能量和动量应该守恒。光动量可以用壳表示，壳为普 朗克常量。因此，动量守恒可以写作： 屈一局一所警= o m 为整数，人为光栅周期。该式即光纤光栅相位匹配条件。 k 阶模幅度的增量：鲍叫南礤h l ! e i ( p i - j g l - m 警) z 出 2 2 3 两个模式的情况 事实上，只有两、三个模式能同时满足相位匹配条件，方程( 2 2 1 4 ) 可以 1 3 山东大学硕士学位论文 简为两三各线性微分方程而可解。 拿两个模式来说，由式( 2 2 1 4 ) 推出： 其中，= 屈一履一所等。g j ，z ) 是h e r m i t i a n 张量，礤= 硝j ” 。 岛和尚的符号决定耦厶方向。如果二者符号相同棚i j 耦厶为同向为传输 型，像长周期光纤光栅；如果二者符号相反，则耦合为反向，为反射型，如布拉 格光栅。 理想状态下，假设一个波导只包含一阶正弦微扰。即掰圳，则协：筹，。 2 3 光纤布拉格光栅 将耦合模方程简化，得到反向耦合模式的f b g 耦合模方程【2 8 】： 警蟛州加删亿3 。， 【警叫毗h ，+ ( z ) 其中，a + 0 ) = 彳( z ) e x p ( f 皖z 一伊2 ) ；b + o ) = b ( z ) e x p ( - i 6 a z + ( p 2 ) ；磊为模间失谐 量，表达式为：岛= 一吴22 万，。 三一丢】，这里乃= 2 ，锄人为有效折射率调制无 限小时( 一o ) 的谐振波长；r = 乞+ 孝一丢譬为直流自耦合系数，复数因 一 z韶 1 4 啦 邶 协 惦 略 舒 屏一懈屐一刚l = 一 4 k 知知 山东大学硕士学位论文 对单模b r a 韶反射，孝一2 a 7 t 8 - - n - 毋= ，r = 鬈= 三心瓦。 若为均匀周期，则f b g 耦合模方程为全部常数因子一阶模式耦合的普通差分 方程。设光栅长度为l ，在z = 0 0 处有前向传输的光注入【( - 争= 1 】，在z 詈时 没有反射光 矿( 鲁) = o1 t r 丌。则能量的反射系数 r = i p l 2 = f + s i n hj ( , c t ) 2 一( 善+ 三) 2 + f k 2 一善+ 2c o s hx ( t c l ) 2 一( 善+ ) 2 ： ! 些：型! 丝! ：二! 圭：墨! ： 声+ 2 ，一 一! l r + c o s h 2 ( 础) 2 一( 善+ 三) 2 g 当f = o 时，谐振波长k ：( 1 + 尘堑) 乃处，反射率最大： 7 k ( 2 3 2 ) = t a n h 2 ( 础) ( 2 3 3 ) 由此可知，折射率调制大小和光栅长度决定反射谱的深度。 f b g 光栅的带宽( 谐振波长两侧反射率第一次为零的波长间距) ： 丛：s s n w 名 由上式可知，若s 瓦鲁( 弱光栅) ，则等一鲁= 吾； s s n o , 鲁c 强删等一鲁，姚= 矢。 根据上面的分析，下面讨论各个参数变化对布拉格发射光谱的影响。 ( 2 3 4 ) 1 5 山东