（概率论与数理统计专业论文）关于相依风险中多维联合测度的研究.pdf

关于相依风险中多维联合测度的研究 摘要 在概率论与统计学中，为了简化要研究的问题，往往忽略了随机变量之间复杂的 相依关系( 尤其是多维随机变量之间常常存在更为复杂的相依关系) ，假定它们之间 相互独立，但这种忽略所得到的结论不符合实际情况鉴于实际中存在的这种问题， 对随机变量之间相依性的研究就显得更为重要本文就是从随机变量之间的相依关 系入手进行研究，在前人研究的基础上对测度k e n d a l l s 丁，s p e a r m a n sp ，b l o m q v i - s t s 厣，g i n i ：s ，y 在多维和谐概念的基础匕进行多维上的推广以及讨论了不同维度之 间的关系具体内容如下t 第章，介绍了本文的写作背景并简要介绍本文的主要研 究工作第二章，给出了必要的基础知识第三章主要讨论和谐性在多维下的定义及 基于多维和谐性下的联合测度的推广，并且分析推广后多维联合测度的性质第四章 中给出些具体的应用及有趣的结论 关键词：联合测度；和谐性；连接函数 关于相依风险中多维联合测度的研究 a b s t r a c t i nl i g h to fc o m p l e x i t yo fc o r r e l a t i o n sb e t w e e nr a n d o mv a r i a b l e s ( e s p e c i a l l ym u l t i - d i m e n s i o n a lr a n d o mv a r i a b l e s ) i np r o b a b i l i t yt h e o r ya n ds t a t i s t i c s ，i ti si n v a r i a b l yp o s - t u l a t e dt h a tr a n d o mv a r i a b l e sa r ei n d e p e n d e n tf r o mo n ea n o t h e r n e v e r t h e l e s s ，i n p r a c t i c ea b s o l u t ei n d e p e n d e n c ei sh a r dt ob es a t i s f i e d m o r e o v e r ，t h ec o n c l u s i o nw e r e a c h ，妇ri g n o r i n gd e p e n d e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e s ，c a nn o tc o n f o r mt ot h ef a c t t h ep a p e ri m p r o v e st h em e a s u r e m e n tw h i c hd e p i c tt h ec o n c o r d a n c ef r o mt h ed e p e n - d e n c ea m o n gt h er a n d o mv a r i a b l e s ，o nt h eb a s i so ft h ep r e v i o u ss t u d i e s ，w eg i v et h e e x t e n s i o n st ot h em u l t i v a r i a t em e a s u r e s ( i e k e n d a l l s 丁，s p e a r m a n s 矶b l o m q v i s t 8 p ，g i n i s7 ) o fa s s o c i a t i o nt h a tb a s eo nt h ec o n c e p to fm u l t i - c o n c o r d a n c eb e t w e e n t w o r a n d o mv e c t o r sa n dd i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i f f e r e n td i m e n s i o n sm e a s u r e so f a s s o c i a t i o n t h es t r u c t u r eo ft h ep a p e ri sa sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n tt h eb a c k g r o u n do ft h ep a p e ra n ds i m p l yi n t r o d u c et h e m a i nr e s e a r c h ；i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c cb a s i cd e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e su s e di nt h e s e q u e l ；i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fm u l t i - c o n c o r d a n c ea n dp r o v i d ee x t e n s i o n s o fk e n d a l l sr ，s p e a r m a n sp ，b l o m q v i s t sp ，g i n i s7b a s e do nm u l t i - c o n c o r d a n c e i n c h a p t e r4 ，w es t u d ya p p l i c a t i o n so fm u l t i - d i m e n s i o n a lm e a s u r e so fa s s o c i a t i o na n ds o m e e x a m p l e s k e yw o r d s ：m e a s u r e so fa s s o c i a t i o n ；c o n c o r d a n c e ；c o p u l a s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任 声明人( 签名) ：苍玉太 两q 年吞ase l 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打” ”) 作者签名玉狄 导师签名3 孵 日期：狐宕年月朔 日期：必彩年，月，日 关于相依风险中多维联合测度的研究 第一章引言 在概率论和统计学中，为了便利于研究和具体的计算，总是假定随机变量之间相 互独立实际上它们之间却往往存在着复杂的关系，我们把这种复杂的关系总称为随 机变量之间的相依关系在文献f l 】中给出了相依的概念由于相依关系会对我们的 研究及其计算结果造成影响，鉴于它的重要性，所以对它的研究直以来是个热点 问题有很多研究从不同角度对随机变量相依性度量指标进行刻画，用度量值来衡 量随机变量之间的相依性常用的有相关系数，协方差等，但是其中有些度量指标刻 画的过于粗糙例如相关系数只是用个数值来刻画总体的线性相关指标，若此指标 为零，说明随机变量之间没有线睫关系，对于是否存在其它的关系就没有刻画 随机变量相依幽盼研究较长时间没有大的进展，其中个重要的原因是没有好 的数学工具可以借助随着概率积分变换，c o p u l a 的出现，使得对随机变量的相依 性研究又迎来个新的春天，相依性研究向前迈进了大步本文主要是借助c o p - u l a 对随机变量的相依关系进行研究 利用c o p u l a 对随机变量相依性的最早文献是s c l i w e i e z r 和w o f l l 的文章，他 们讨论了两个随机变量之间的相依测度在随机变量严格单调变换下的c o p u l a 不变 性有很多利用c o p u l a 研究随机变量相依性的文献现在对相依关系的研究多在 建立新的相依性度量指标，利用这些指标从不同的侧面对随机变量之间的相依关系 进行刻画由这些数据来判定随机变量之间呈现哪种相依关系从二十世纪五十年 代至今，出现了下列的度量指标，主要是两个随机变量之间的和谐测度k e n d a l l s 丁， s p e a r m a n s ，) ，b l o m q v i s t sp ，g i n i s7 等但是这些相依性度量指标也有很多不完 善的地方，使得对随机变量相依性的较深层次的研究依然处于初级阶段多维随机 变量之问常常存在着复杂的相依关系，但大多数方法刻画其相依的方法都是用了两 两之间相依测度构成的矩阵，而忽视从整体匕用个相依值去刻画其相依的大小 因此有必要对e 述的四个和谐测度进行推广到n 个随机变量的情景本文就是在此 基础之上，对原有的相依性度量指标进行推广，更深步的挖掘随机变量之间的相 关于相依风险中多维联佥塑i 庭鲍研究 2 依性，对解决实际问题提供帮助 霹= 定主篓娶j 二作是：又中濒虹蔓k e n d a l l s7 ，s p e a r m a n sp ，b l o m q v i s t s ，g i n i s7 在多维和谐概念的基础上进行多维上的推广以及讨论了不同维度之间的关系在第 二章节中主要介绍了本文所需的c o p u l a 和和谐 生及其测度的些基础知识第三 章主要讨论和谐性在多维下的定义及基于多维和谐性下的和谐测度的推广，并且分 析推广后的多维联合测度生质第四章中给出些具体的应用及有趣的结论 关于相依风险中多维联合测度的研究 第二章预备知识 2 1 连接函数( c o p u l a ) 随机变量之间的相依关系主要蕴涵在联合分布函数中。由边缘分布无法唯一确 定联合分布，因此若想借助于边缘分布来讨论相依性很瞧联合分布的每个自变量的 取值为整个实数轴，使所要研究的问题更加显得复杂如何通过边缘分布函数来研究 相依关系呢? 并且把每个自变量的取值变为某个特定区间上的取值? 。c o p u l a 。 就可以解决这些问题，它可以把联合分布函数用其一维的边缘分布函数表示，把联 合分布的定义域，即整个平面转化为个边长为l 的正方形区域对随机变量的相 依性的研究就可以转化为对边际分布函数之间关系的研究，利用c o p u l a 对相依性 的研究就成为数学家关注的对象 。c o p u l a ”是个拉丁语名词意为“连接，系，捆绑”等含义它实质上就 是连接联合分布函数与边际分布函数的函数现在国内的很多文献把它称为连接函 数在本文中仍采用原文。c o p u l a ”来表示 对这个问题研究最早在1 9 4 0 和1 9 4 1 年，h o e d f f n i g 发现“标准化函数”及 其些结论1 9 5 1 年f r d c h e t 也取得了很多和h o c d f f n i g 相同的结论，还发现了 。f r 6 c h e t - h o e f f d i n g 界”等重要的性质在19 5 9 年s k l a r 第次把c o p u l a 这 个定义引入到数学中来，并耳证明了。c o p u l a ”的存在性二十世纪七十年代， k i m e l d o r f 和s m a p s o n ，g a l m a b o r 和d e h e u v e l s 1 9 7 8 】也找到了c o p u l a 函数，只 是名字不同s k l a r 和s c h w e z i e r 合作研究概率度量空间也得到很多关于c o p u l a 的 重要结论通过在二十世纪九十年代这十年四次著名的国际数学会议，4c o p u l a 。 在统计与概率的应用中得到发展n e l e s n 在19 9 9 年把c o p u l a 的定义及其重要的 结论做了系统总结，从而使c o p u l a 这个概念得以进步的推广现在c o p u l a 还用 在随机过程的研究中更多领域正在引入c o p u l a 并应用它，而它也越来越焕发出 勃勃2 k v t 3 关于相依风险中多维联合测度的研究 4 2 1 1c o p u l a 函数定义、性质 c o p u l a 被s k l a r ( 1 9 5 9 ) 首次引入，用于统计学，是表示将元分布函数。连接” 起来形成多元分布函数为了给出它的定义和基本性质，首先给出兀个预备概念 页表示扩展后的实轴【- o o ，+ o o 】，岛，岛，& 是再的非空子集，h 是定 义在d o m h = 岛& 上的实函数，向量a = ( a l ，a 2 ，n n ) ，b = ( b t ，b 2 ，k ) 并目对任意的k 有a k b k 令b = 【口1 ，b l 】，6 n 】，b 的所 有顶点都在d o m h 内c = ( c l ，c 2 ，) 表示b 的顶点，定义 v h ( b ) = es 9 礼( c ) 日( c ) ， 其中 s 州： l 棚蚧c k = a k l - 1 黼骱c k = a k ( 1 ) 如果( b ) 0 成立，其中b 的所有顶点都落在d o m h 内，则称h 是n 元 增函数 ( 2 ) i i 是定义在d o m h = s 岛& 上的实函数，假设每个& 都有个 最小的元素，对于任意的向量t = ( t l ，t 2 ，t n ) d o m h ，若存在个坟= 鲰 便有i r ( t ) = 0 成立，那么则称h 是基础的 ( 3 ) 若每个瓯是非空的和都有个最大元素k ，则函数日有边缘函数而且其维 的边缘函数风满足d o m h 七= 鼠以及矾( z ) = h ( b t ，b k 一1 ，z ，b k + 1 ，k ) 对任意的z 最都成立类似地，我们也可以定义更高维度的边缘函数 引理2 1若研，s 2 ，& 是页的非空子集，日是定义在d o m h = s t 岛s 上的实函数且是基础的1 1 元增函数则t l 是关于每个变量是递增的， 即对任意的( t l ，t i , 一1 ，z ，t 七十1 ，n ) ，( t 1 ，t k 一1 ，y ，t k + 1 ，t n ) d o m h 及 zs3 5 ，都有h ( h ，t k 一1 ，石，t k + 1 ，t n ) h ( h ，t k 一1 ，t 知+ 1 ，n ) 引理2 2若& ，岛，鼠是夏的非空子集，日是定义在d o m h = & x 岛又上的实函数且是基础的n 元增函数则对于任意的x = ( x l ，z n ) ，y = 关于相依风险中多维联合测度的研究 5 ( l ，y n ) s 岛s k ，都有 lh ( x ) 一日( y ) l i 玩( z 七) 一h k ( u k ) 1 k = l 其证明过程可查阅s c h w e i z e r ，s k l a r ( 1 9 8 3 ) 相关文献 定义2 1若h 是定义在d o m h = s l 岛s ne 基础的n 元增函 数且日( ，o 。) = 1 则称h 是n 维的分布函数 由引理2 1 可得；任n 维的分布函数其维的边缘函数也是分布函数，我们 在这把它f f 丁记为只，r 定义2 2 个n 维的c o p u l a 是定义在【0 ，1 】n 上的实函数，以符号c 表 示，并满足以下二个条件 ( b ) c 是基础的、n 元增函数； ( b ) c 的所有边缘分布g 满足：g ( t ) = c ( i ，1 ，t l ，1 ，1 ) = “，其中 t 【0 ，1 1 ，i = 1 ，2 ，礼 对于任个n - c o p u l ac ，礼3 ，其每一七维的边缘分布是k - c o p u l a 或者说一 个n - c o p u l ac 是【0 ，l r 一【0 ，1 】的函数且满足以下两个性质： 1 对任u 【0 ，i i n ，c ( u ) = 0 当u 至少有份量为0 时，c ( u ) = 嗽当 u 的所有的分量除u k 以外都为1 时 2 对于任意的a ，b 【0 ，1 1 n ，若满足啦b i ，vi ，有场( 【a b 】) 之0 因为n - c o p u l a 是【0 ，1 1 n 上的分布函数，所以其【0 ，1 p 在概率测度可由以下式 子确定t v 台( i o ，t l 】【0 ，】) = c ( u l ，乱n ) 这个概率测度就记为场 2 1 1s k l a x 定理 以下定理就是著名的s l d a r 定理，它是好c o p u l a 理抡中最重要的结论，也是 c o p u l a 在各个方面应用中最有意义的 关于相依风险中多维联合测度的研究 6 定理2 1若日聊n 维联厶分布函数，其边缘分布函数为只，r 那么一定存在个n - c o p u l a 函数c ，使得。对所有的x 序，有 h ( x l ，z n ) = c ( f 1 ( z 1 ) ，r ( z n ) ) ( 2 1 ) 如果边缘分布一，r 是连续的，那么c o p u l a 形式是唯的否则c 在r a n f l ， ，r a n f e 就不能唯确定反过来，如果e 是c o p u l a 函数，只，r 边 缘分布函数，那么h 就是边缘分布为f l ，r 的联合分布函数s k l a r 定理的 证明可查阅s k l a r ( 1 9 9 6 ) 文献 若f 单变量的分布函数，我们定义f 的广义逆函数为f - 1 ( t ) = i , f f x rl f ( 。) v t 【0 ，1 】，爿搬i n 谚= 一。o 引理2 3 若日是个n 维连续的联合分布函数，其边缘分布函数为f x ，r 及c o p u l ac ( 这时c 满足式( 2 1 ) ) 那么对v u 【0 ，1 】n ，有 c ( u l ，t ，1 ) = h ( 耳1 ( u 1 ) ，巧1 ( u n ) ) 若没有连续的条件，则结论就不定成立可查阅n e l s e n ( 1 9 9 9 ) 或m a r s h a l l ( 1 9 9 6 ) 文：献 例子2 1若垂表示标准的单变量正态分布函数，哪表示标准的n 变量正 态分布函数，而且它的线性相关矩阵为r 则 c ( m ，u n ) = 圣再( 垂一1 ( “1 ) ，垂一1 ( “n ) ) 是高斯或正态n - c o p u l a 2 1 3c o p u l a 函数的。f r d c h e t - h o e f f d i n g 界。 首先定义【0 ，1 p 上的三个函数m n ，n 和n 如下i m n ( u ) = m i n ( u l ，t ，1 ) ，驴( u ) = t l ，n ( u ) = m a x ( i t l + + 一n + 1 ，o ) 其中函数 p 和彤对v n 2 都是n - c o p u l a s ，而函数彤n 对v n 3 则刁乇是 个c o p u l a ，我们来看下面这个例子 关于相依风险中多维联合测度箩研究 7 例子2 2 考虑n - 体【v 2 ，1 】nc 【0 ，1 卜 v w nc 1 1 2 ，1 】n ) = m 凹( 1 - i - - i - 1 一n - 4 - 1 ，0 ) - n m a x ( 1 2 + 1 + + l 孔- t - 1 ，0 ) + ( ) ”l n z ( 1 2 - i - i 2 + 1 + + 1 一n + 1 ，0 ) + m a x ( 1 2 + + i 2 一n + 1 ，0 ) = l n 2 + 0 + + 0 因此n 不聊c o p u l a 当礼3 时 下面的定理是1 1 维c o p u l a 函数的f r 6 c h e t h o e f f d i n g 界的不等式 定理2 2如果c 是任个1 1 - c o p u l a ，那姗【0 ，1 p 中的任一向量u ，都有 n ( u ) sc ( u ) m n ( u ) 更多的细节。包括其兀何意义，可查阅m i k u s i n s k i ，s h e r w o o d ，t a y l o r ( 1 9 9 2 ) 等文 献尽管f r 6 c h e t h o e f f d i n g 的下界n 不是个c o p u l a 当n 3 时，但它却是在 以下意义下最好的下界 定理2 3 对于v u 【0 ，1 】n 且n 3 ，存在个n - c o p u l ac ( 其依赖于u ) ，使 得 c ( u ) = w n ( u ) 其证明过程可见n e l s e l l ( 1 9 9 9 ) p 4 2 我们记d 为1 1 个随机变量的联合生存函数，且这n 个随饥变量的联合分布 函数为c ，即若( 巩。，) r 的分布函数是c ，则有0 ( ( 让l ，) = p 巩 t l l ， t l f l ) 定义2 4 设a 和岛都是n 维c o p u l a 函数，如果对于【0 ，1 】n 中任意的u 都有 c l ( u ) q ( u ) ，西( u ) 岛( u ) 关于相依风险中多维联合测度的研究8 我们称g 小于q ( 或者说g 大于c x ) ，我们记傲q q ) 注意 对于双变量有如下结论， 西( l ，坳) 岛( 让l ，b 2 ) 铮1 一u l u 2 + c 1 ( 1 6 1 ，t 2 ) 1 一u l 一砌+ q ( u 1 ，u 2 ) 营c 1 ( u l ，u 2 ) sc 2 ( u l ，t 1 2 ) 因此，f r 6 c h e t - h o e f f d i n g 下界w n 小于任何个1 1 维c o p u l a 函数，而f r 6 c h e t - h o e f f d i n g 上界又大于任扫乎个n 维c o p u l a 函数。对于含参数的c o p u l a 函数，比 如单参数连接函数集o ，如果对于任何的0 t 0 5 ，有： 岛。 - 那么我们称c o p u l a 函数集岛是逆序的 2 1 4c o p u l a 函数和随机变量 因为x 1 1 相互独立当且仅当对于v x x ，z n 元，有h ( x l ，z n ) = 日( z 1 ) r ( z n ) ，则以下结论可从定理2 1 的得到 定理2 4若( x l ，) r 是由连续的随机变量构成的n 维向量，其c o p u l a 函数为c ，则x l ，相互独立当且仅当c = n c o p u l a 函数的个重要性质是对于随机变量的严格单调变换具有不变性或者以 简单形式改变注意到，如果随机变量x 的分布函数是连续的，并且函数o l 在r a n x 匕是严格单调函数，那么新的随机变量的q ( x ) 的分布函数也是连续的 定理2 5( x 1 ，) r 是由连续的随机变量构成的1 1 维向量，其c o p u l a 函数为c 若q l ，q n 分别在r a n x l ，r a n x n 是严格的单调递增函数，则 ( o e l ( x 1 ) ，a n ( 矗) ) t 的c o p u l a 函数也是c 关于相依风险中多维联合测度的研究 9 证明：设n ，r 分别表示x 1 ，的分布函数，g l ，g n 分别表示 函数q l ( x 1 ) ，口n ( ) 的分布函数c 是随机向量( x l ，x n ) t 的c o p u l a 函数。g 是( n 1 ( x 1 ) ，锄( k ) ) r 的c o p u l a 函数，由于每个q 七都是严格单 调增的，对j f i 中的任意x ，有g k ( x ) = p a 七( x k ) z ) = p x k o 1 ( 。) = r ( n i l ( z ) ) ，所以 以( g l ( 。1 ) ，g n ( z n ) ) = p a l ( 咒) z l ，x 2 z 2 = d ( r ( z 1 ) ，岛( z 2 ) ) 注意到，对于n 个在f 0 , i 】上服从均匀分布的随机变量，具有c o p u l a 函数c ， 那么其联合生存函数如下：o ( u 1 ，u n ) = 0 ( 1 一t l ，1 一t n ) 对任何的c o p u l a 函数c 。设 c ( u l ，) = a c ( u l ，) + ( u l ，t n ) 其中， 似) = z u , f o c ( s s n ) 撕， ( u l ，u n ) = c ( u l ，t 上n ) 一a c ( u 1 ，札n ) 如果在【0 ，l 】n 上c = a c ，那么c 被称为绝对连续的，在这个情况下，c 有 密度函数矗c ( u l ，牡n ) 如果在f 0 ，1 】n 上c = ，那么c 被称为是奇异的，且在【0 ，l 】n 中，几乎处处 椭彘c ( h l ，) = 0 2 2 1 和谐 我们首先给出和谐的定义【h o e f f d i n g ( 1 9 4 r ) 1 ：对于来自连续的随机向量( x ，y ) 的两个洋本值( z l ，y 1 ) 和( x 2 ，抛) ，若它们满足x l 珈， 我们称( z l ，暑，1 ) ，( z 2 ，耽) 是和谐的；若它们满足石l y 2 或x l t 2 ，y l 0 】一p f ( 墨一磁) ( k m ) 0 】一1 又 由于p ( x l 一配) ( m k ) o 】= p x 1 咒，m 圪】+ p x 1 m 】p 【磁 x l ，蚝 k 】 ， 尸【托 k 】= q ( u ，v ) d c l ( t ，u ) 类似地， p x i y d c l ( f ( z ) ，g ( 耖) ) j r z = f 1 一f ( 丁) 一g ( y ) + 岛( f 伍) ，g 白) ) 】承a ( f 0 ) ，g 白) ) ，兄2 2 r 1 - u - v - q ( u ，u ) d c l ( t ，t ，) 1 2 关于相依风险中多维联合测度的研究 由于q 是【0 ，1 】上均匀分布的随机变量( u ，v ) 的分布函数，e ( u ) = e ( v ) = 1 2 ， 因此； p x i 恐，m 0 】= 2 岛( v ) d c i ( u ，u ) ， j 1 2 则结果随之推出 关于和谐函数q 的些有用的性质归纳在如下推论 推论2 1设q ，岛，q 如定理2 7 中所述则有 1 q 关于镯倾虽别称的：q ( q ，c 2 ) = q ( q ，c 1 ) 2 q 关于撇量是非减的：若q _ c ，则有q ( a ，岛) q ( ，岛) 3 在q 中的c o p u l a 可以用其生存的c o p u l a 代替，即q ( c l ，c 2 ) = q ( q ，岛) 函数q 对于基本的双变量的c o p u l a s ：m ，w ，i i 是很容易算得； q ( m ，m ) = 11 7 ( 彬w ) = - 1 ，q ( m ，w ) = 0 ， q ( m ，) = 1 3 ，q ( 彬i i ) = - 1 3 ，q ( n ，i i ) = 0 设c 是任一c o p u l a ，则q ( c ，c ) 【- 1 ，1 】( 由于q 是两概率之差) ，又由推论 2 1 和上述的些特殊的q 的值，可以得到 q ( c ，m ) 【0 ，l 】，q ( c ，w ) 【- 1 ，o l ，q ( c ，) f - 1 3 ，1 3 】 以下的定义可以在s c a r s i n i ( 1 9 8 4 ) 文献中找到 定义2 3 设连续的随机变量x ，y 的c o p u l a 函数为g ，则其相依的个可 测的测度k 是和谐测度，咒( 也可记为k x y 或) 应满足以下七条性质： 1 k 是对于连续随机变量x ，y 而言的； 2 - 1 托x ，y l ，k x x = l ，c x 。一x = - i ； 1 3 关于相依风险中多维联合测度盟盟壅 3 k x ，y2k y ，x ； 4 若x ，y 是相互擞立的，则k 咒y = c 1 1 = o ； 5 托一x ，y2k x ，一y = 一尤x ，； 6 若a ，c 2 是c o p u l s 函数且满足q o 】一p 【( x 一贾) ( y 一矿) 0 】一p ( x 1 一托) ( k y s ) 0 】一尸f ( x x ) ( y y ) x 2 】+ p x 1 x 2 则 q ：l = q ：( q ，q ) = c 2 ( u ) d c l ( u ) + c l ( u ) d c 2 ( u ) j i njl “ = f q ( u ) + 岛( u ) 】d q ( u ) 类似定理2 7 中的q ，q ：也是对称的，是关于多维和谐序是非减的( g g 若满足c ( u ) ( u ) 和0 ( u ) d u ) v u p ) ，对于基本的c o p u l a s 如m n ， n ”( f r 6 c h e t - h o e f f d i n g 下界w n = m a x ( u l + 坳+ + t n 一死+ 1 ，0 ) 才考个 n - c o p u l a 建阡扎3 ) 司容易算得；q ：( m n ， f n ) = l ，q n ( m n ，i i n ) = 2 ( n + 1 ) ， q ：i ( 酽，r i 住) = 1 2 1 现在我们定义多维和谐函数( 记作q n ) ，对于连续的随机向 量x 1 ，x 2 的c o p u l a 函数分别为q ，岛，把q n 定义为q ：i 的线性函数： q n ( q ，岛) = 万 丁 2 n - 1 玩( q ，q ) 一l 】 1 9 关于相依风险中多维联合测度的研究 2 0 因此， q n ( f n ，i ，n ) = l ，q n ( n - , n - ) = 。，( n ( i f n ，n n ) = i ；j ；鹊 有多维和谐函数，我们可类似定义出多维的s p e a r m a n sp 和k e n d a l l sr 如 。万 定义3 1 若x 是连续的随机向量，其n - c o p u l a 函数为c 测度k e n d a l l 8 r ( 记作。c ) 和s p e a r m a n 8p ( 记作p n , c ) 为s 。c = q n ( ec ) ，p n ，g = 垒气料q n ( c ，n ) 显然地，我们可以得到 定理3 2 在定义3 1 中假设下， 耶= 南【2 n 厶) 蚓u ) 1 】， o e t t c 踹阿。1 ( 厶c ( u ) 扭n ( u ) + 厶n ( u ) 彬( u ) ) 一l 】 为了推出多维的b l o m q v i s t 相关系数p 和g i n i 相关系数7 ，我f f 了首先来介绍 些标记t 对于x ：- - ( x 1 ，k ) ，其边缘分布函数r ( z ) ，i = 1 ，n 设x 概率 分布为p ( x 1 = 耳1 ( 孰，= 巧1 ( ) ) = 1 ，根据s k l a r ( 1 9 5 9 ) 定理，存缸卟 c o p u l a 函数并记为c o ；若x 的概率分布为 p ( 蜀= 耳1 ( 钍1 ) ，瓦= 巧1 ( ) ) = p ( f x ( x , ) = t l l ，r ( ) = ) = 击 ， 其中u ： 卜t 涎最 ( 1 ，n ) ，sisis c 0ss 【暑【o ，1 0 】撕， 其中u = 。 ( 1 ，n ，ss 【暑】，u f ，l 】砻姒， lu 其它 存在个c o p u l a 函数并记为 关于多维的b l o m q v i s t 相关系数卢和g i n i 相关系数7 的可以推广如下， 定义3 2若x 是连续的随机向量，其m c o p u l a 函数为c 多维的b l o m q v i s t 相关系数风c 和g i n i 相关系数7 n c 定y - 如t , 风，c = q n ( c ，c o ) ，c = 2 q n ( a ) 关于相依风险中多维联合测度的研究 2 1 根据o n 和q ：的定义可推出关于风，c 和7 - 。c 的以下表达式 定理3 3在定义3 2 假设下， 风，。；南【2 n 以( g ( 丢) + e ( 三) ) 一1 】， m 。雨2 f 。s 赢0 1 ( 酬嘲叫 ，、l 1 一t l i s ， 其中( t 1 ) = c ( u l ，) ，地= 【t l 其它 3 2 多维相依测度的些性质 根据定理3 2 ，我们可以推出关于不同维度的k e n d a l l sr 测度之间有趣的关 系考虑个随机向量x 和个集合sc 1 ，扎) ，其基数满足2 l s l n 我们记c s 表示g 的i s l - 维边缘c o p u l a ，其对应的的随机变量为k ，t s ；记 1 s l ，c s 表示关于随机变量x ，i s 的 s l - 维的k e n d a l l s7 ，则有以下关系成立； 定理3 4设x ，c 如定义3 1 所述则 若n 为偶数， 江- 2 1 ( 一1 ) 车l s l ：i 气，铅= 0 若n 为奇数， c = 丽2 n - - | 渊n - 1 ( 一1 ) 专i s f f i 兀蕊 证明：结果由以下式子可随之推出， q ：l ( c ，g ) = j ! 。【c ( u ) + e ( u ) 】( f c ( u ) = 2j f 。c d c，村f 再 。肛一善地+ 丢( - 1 ) 琵吲犯 。驴仆1 ) c + l - 善蛳+ 萎( _ 1 ) 旧；c s 桕 = 厶f c + ( 一1 ) 吲d c + 蓑( 一1 ) i s l = i a 厂r 铅d 铅+ l 一善 当n 是偶数时，有 芝( 一1 ) 扣( 岱，铅) + 1 一詈= o i = 2 i s l = i 一 芝( - 1 ) t 掣 i = 2 【是q ：( 铅矧一南】 s l = i + ( 一1 ) 暖( 三) + 1 一詈= o i = 2 t l 一1 z i - , i i = 2 t 2 i 一1几铅+ s l ；ti = o暖( 一互1 ) 一1 一碟( 一丢) 一簖( 一互1 ) n + l 一三= o二l 当n 是奇数时，有 w , - - 1 e ( - , i i = 2 n l q ：( g ，g ) = i = 2 i2 i 一1r i , c s = 0 6 1 = i ( - 1 ) ；竽确+ 壹碟( 一互1 ) t l i s l ：t = o 。 一碟( 一互1 ) 一锘( 一矿1 + 1 一三 n l z ( - 1 ) i = 2 2 i 一1铂+ 击 s l = i 由于。c = q n ( c ，c ) = 两可1【2 n 一1 q ：( c ，c ) 一l 】，司儒 r n 口2 2 n 一1 2 一1 1 n 一1 ( 一1 ) i = 2 t 2 _ _ 一1 n 铅 s i = i 类似地，接下来的定理给出关于关于不同维度的s p e a r m a n sp 测度之间的关 定理3 5设x ，y 是相互独立的连续的随机向量，其c o p u l a 函数分别是 g ，n 竹并具有相同的维边缘分布则 若n 为偶数， 茸( 一1 ) 斋游l s | ：以p 铅= 0 关于相依风险中多维联合迥! 廛的 至窒 若n 为奇数，p n c = 踹葛( 一1 ) 番箍兽i s l 。胁白 ( ，) c ( u ) d n “( u ) = p ( x 1 m ， 碥) = 尸( z l 碥) j ，” ， = p ( x l 露1 ( 去) ) + p ( x t 耳1 ( 三) j 一， 矗 巧1 ( 去) ) = t 一兰+ 善( - 1 ) i s l = ；铅( 扣1 一詈+ 萎( 叫琵西( 争 一 i 霉2 _ i = 2 l s l = i = 2 一n + e ( - l i q ：( ，c o s ) + ( 一1 ) n q ：l ( g ，c o ) 如簪萎f 是瓶吲一南薄1 ) t 吣2 一 i = 2 。 l s i = t 。 。 i = 2 。 关于相依风险中多维联合测度的研究 因此 ( 一1 ) 屈，c s = 0 i = 2 一 i s l = i 若n 是奇数，我们得到 n 一1 o i - 111 2 m c o ) 2 石( _ 1 ) 爷品酏+ ( 扩， i = z i j i = i 因此 鼬：品董( - 1 ) t 窨 鼬2 南( - 1 ) i 等l 驴铅 定理3 , 9 设x ，y 是相互独立的连续随机向量，其c o p u l a 函数分别是c ， c o o ，并具有相同的维边缘分布则 若n 是偶数。 i n ：- 2 1 ( 一1 ) 下2 i - 1 - 1 i s l