（概率论与数理统计专业论文）关于纪录值之和的渐近分布族的一些讨论.pdf

摘要 本论文讨论了纪录值之和的可能的渐近分布族关于纪录值之和的极限理论是近两 年才提出的一个研究方向它所研究的不是单纯的独立随机变量部分和的极限定理，而 是它的延伸和拓展，它不仅具有极限理论上的研究价值，而且在实际应用，例如金融保 险，中都有很强的背景 关于什么样的分布可以成为记录值之和的极限分布，目前只有一些零星的结果，除 了正态分布，对数正态分布和某些特殊的具有无穷阶矩的无穷可分分布之外，人们还未 发现其它的分布类型在第二章中我们将从一类特殊分布入手来证明，对任何0 a 2 ， 都有相应的指数为。的稳定律是某种分布的纪录值之和的渐近分布从一个角度展示了 记录值之和的极限分布类型的丰富多样性第三章和第四章中我们将进一步延伸第二章 的结果第三章中我们将证明对皿( 。) = c x - q ( x ) ，0 z o 。，0 7 ；，相应的纪录 值之和服从中心极限定理第四章我们给出了v ( z ) = c x - z ( z ) ，0 。 o 。相应的纪 录值之和服从中心极限定理的充要条件 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e dt h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o nc l a s sf o rs u m s o fr e c o r dv a l u e s t h el i m i t t h e o r yf o rs u m s o fr e c o r dv a l u e si san e wr e s e a r c hf i e l dw h i c h w a sa d v a n c e d r e c e n t l y i t se x t e n t e d f r o mt h el i m i tt h e o r yo fp a r ts u m o fi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sa n dg r e a t l yv a l u e a b l ei nb o t h t h e o r i e sa n da p p l i e df i e l d s w h i c hd i s t r i b u t i o n sc a nb et a k e na st h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o n so ft h es u m so fr e c o r d v a l u e s ? t h ea n s w e ri so n l yp a r t i a lt i l ln o w e x c e p tn o r m a ld i s t r i b u t i o n ，l o g n o r m a ld i s t r i b u 。 t i o na n ds p e c i a li n f i n i t e l yd i v i s i b l ed i s t r i b u t i o n ，t h e r ei s n oo t h e rd i s t r i b u t i o nt h a th a sb e e n f o u n da st h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h es u m so fr e c o r dv a l u e sb e f o r e b yas p e c i a lc l a s s o fd i s t r i b u t i o n ，w ed i s c o v e ri nt h i sp a p e r ，f o ra n y o o t 2 ，t h e r ee x i s t sas t a b l ed i s t r i b u t i o nw i t ht h ei n d e xow h i c hi st h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h es u m so fr e c o r dv a l u e so f s o m ed i s t r i b u t i o nf t h i sf a c ts h o w st h ew i d e n e s so ft h ec l a s so ft h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u - t i o n s i nc h a p t e r3a n d4w ee x t e n dt h er e s u l ti nc h a p t e r2 i nc h a t e r3w ew i l lp r o v et h a tf o r 中( 。) = c x - 1 f ( z ) ，0 z ，0 ，y ，t h e s u m so fc o r r e s p o n d i n gr e c o r dv a l u ef o l l o w c e n t e rl i m i tl a w i nc h a p t e r4w ep r e s e n tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es u m so f r e c o r dv a l u e sw i t h 皿) = c x - i t ( x ) ，0 0 ) 族分布【6 】1w e ( a ) 型分布f 7 和三( 1 ) ( 7 2 ) 7 】型分布 纪录值之和的渐近正态性；证明了l n ( 7 ) ( 0 7 0 ) 族分布为轻尾分布外，其余三类分布都是 典型的重尾分布呲从上述结果中，我们看到一个有趣的现象：即对于三类典型的重尾 分布，它们的纪录值之和 矗) 都渐近于正态分布或对数正态分布；相反地，对于有界的 b e t a 分布，其纪录值之和 矗) 却渐近于某种无穷可分分布这种现象引起了我们讨 论纪录值之和f ) 的极限分布类的兴趣具体说来，我们希望弄清楚：哪些分布可以成 为某个分布的纪录值之和的渐近分布，纪录值之和渐近于不同分布的充分必要条件是什 么? 但是由于前面所说的原因，这种研究具有相当大的难度，所以作为第一步，我们将 在本文中证明，对于任何一个0 a 2 都有相应的指数为a 的稳定分布 9 】g 。( z ) ，为某 种分布f ( x ) 的纪录值之和 ) 的渐近分布 1 2 若干约定和预备知识 如下的一些概念和引理，为研究纪录值问题提供了必要的工具和手段( 参阅f 1 】一 3 j ) 为便于讨论问题，我们还将给出一些约定 本文中凡未指明之处，极限均对n 叶o 。而言对于随机变量x 的分布函数f ( z ) ，记 f ( z ) = l f ( z ) 以f _ 1 ( z ) 表示f ( 。) 的反函数，并令 皿0 ) = f 一1 ( 1 一e 。) ，。0 ， ( 1 1 ) 易知( z ) 是非降函数 将参数为l 的指数分布称为标准指数分布，在本文中始终假定km ，蚝，是i i d 的 标准指数分布随机变量序列，并且始终记 鼠= 氓，n ( 1 2 ) 因此，对于本文中所出现的晶，都成立强大数律和中心极限定理，即有 鲁斗- 一s ，萼马( 0 1 ) ( 1 3 ) 容易证明( 参阅【1 ， 2 】) ： x ( ，”) 兰f 雪( 晶) ，n ， 其中= d 表示同分布，意即对每个n 厂， x ( ，x ( n ) 都与 m ( s 1 ) 这样一来，我们便有： 兰x q 垒皿( 瓯) ，n 厂 皿( 晶) ) 同分布 ( 1 4 ) 第一章若干约定和预备知识 我们以u ( o ，1 ) 表示区间( o ，1 ) 上的均匀分布 分布u ( o ，1 ) 的随机变量序列，以u 1 ，n u 2 n 茎 量不难证明( 参阅 1 】 2 ) ，对每个n ，都有 3 并恒设阢巩，巩，是t 诎的服从均匀 。表示巩，觇，的顺序统计 ( 袅，爵，爵) 皇 矾。觇m ，n ) ， 并且( 爵，爵，爵) 与& + - 独立结合( 1 4 ) ，便知 r 皇耋皿 s n + 爵s 石k ) 兰k 壹= l 皿 晶+ 巩 n ) = k 壹= l 皿 品+ - 巩) ( - 5 ) ( 1 5 ) 式是我们讨论一系列问题的依据 首先，我们来通过一个引理展示纪录值之和渐近性状的复杂多样性 引理1 1 对于任何定义在区间( 0 ，0 ( 3 ) 上的非降函数( z ) ，都存在一个分布f ( z ) ，使得 ( 1 1 ) 式成立 证：令 ，= 皿( n 圭) ，0 x z ，0 t 1 ) ，一 z 茁，一o o t o o = g ( 口) ，0 z 0 ，即知有( 1 1 ) 式成立拌 这个引理告诉我们，皿( z ) 的形式有着极大的任意性，因此可以想象，f 的渐近 分布类有着丰富的内涵但是，无论是正态分布还是对数正态分布都是无穷可分分布， 更何况b e t a 分布的纪录值之和的渐近分布是除了它们之外的无穷可分分布，这不能不令 我们猜想，任何一个无穷可分分布都可能是某一种分布的 靠 序列的渐近分布在本文 中我们将要来证明，对于任何一个0 a oio o d v ( “) 。l ，”a v c u ， 。l 卢，1l d u z ) = e 一；，。 0 ，在命题i 1 中，令 巾，- 容易验证，此时亦有詹x d t , ( z ) o 。，并且有 鲋) e x 。e i t x - 1 渺) 一p 跚( 卅叫! 如) ( 1 。) 和 一1 d ( - z l ，。u ) 。l jsj 从而引理1 1 知，有一个满足如f 等式的分布f ： 吣) = l - h ( 扯，一p 卜詈) = f - l ( 1 - e - z ) ，o 删 于是由命题1 1 立得，对于该分布的纪录值之和，有 n 一矗= 薹c 一皿c 鼠，= k 壹= l nc鼠，=耋expk1 一詈) n 一矗= ( 1 一皿( 鼠) ) = ( 鼠) = 一警 i = lk =l y j 渐近于以( 1 9 ) 为特征函数的无穷可分分布 上述两个例子说明命题1 1 涵盖了一大批有用的结论但是这仅仅只是问题的一个 方面我们要来指出它所未能涵盖的方面 让我们来看命题1 1 中的特征函数9 ( t ) ：如果我们写7 = j 铲南咖( 。) ，那么由假设 厝。咖( z ) o 。我们有0 7 o 。，且 鲋) = e x p i t 7 + z 。( e i t 2 - 1 - 丽i t x 涉) ， ( 1 1 0 ) 而这刚好是无穷可分分布特征函数的l e v y 表达式众所周知，l e v y 表达式还有一种写 法： 坤，= 唧卜一譬+ f e e ( e i t 。_ 1 - 啬脚，) ， 仉l o s ，j、【 f = 、，j z l 咖 z ，“ 、j，r一声 f m ，i 譬 蠡 动 = 第一章若干约定和预备知识 6 其中，表示积分区域不包括0 点，l ( 。) 被称为l e v y 谱函数显然，命题1 1 并未包含所 有的无穷可分分布，甚至不包含所有的稳定率我们知道稳定率的谱函数满足： i ( x ) o ，或 拈。，且m ，= 要裂：，其中 。 而如果( 1 1 0 ) 式( 即( 1 6 ) 式) 中的特征函数是稳定律的特征函数的话，那么我们就应该有 ( 7 1 = 0 ，口2 = 0 ，0 o 1 因为，只有0 o t l 的稳定率满足条件詹x d l ( x ) ( d o 正由于如此，我们有必要进一步讨论纪录值之和的渐近分布类的问题我们要在本 文中证明对任意的0 0 ，令 f ( 。) ：卜印 却刊) ，z 1 ，( 2 1 ) l 0 ， z21 不难算得，对此类分布，有 毋( z ) = f 一1 ( 1 一e 一。) = 1 一z1 ，0 茁 。) = p ( v 1 ( 2 4 ) 由此容易求得此类分布的纪录值之和f 的渐近分布对此我们证明： 定理2 1 对于由( 2 1 ) 式所给出的分布f ( 。) ，当0 ；时， r 渐近于指数为o t = ；的稳定律g 。( z ) 由于任何稳定律的指数。都属于区间( o ，2 】f 9 j ，所以该定理蕴涵了如下结论： 定理2 2 对于任何o ( 0 ，2 ，都存在指数为。的稳定律g 。( z ) 是某种分布f ( 。) 的纪录值 之和的渐近分布 显然，为证明定理2 1 ，只需证呱存在常数序列 。，和非零数列 6 。) ，使得对一切 实数2 ，有 p ( 竿。) 斗g 如) ，n 一+ 。， ( 2 s ) 其中g 。( z ) 是某个指数为。的稳定律 2 。2 0 1 ：的情形 以圣( z ) 表示标准正态g ( 0 ，1 ) 的分布函数我们要证此时( 2 5 ) 式对g 2 ( 。) = 垂( z ) 成 立，由于0 7 ；，所以由( 2 4 ) 式知e v 2 i 的情形 1 0 我们要来证明，此时对于6 。= 一1 和恰当选择的a 。，有 t - a ：。一马g 。，( 2 1 3 ) 1 - “叫“。+ 。 。 其中g 。是指数为n = = i 的稳定律 由( 2 4 ) 知，随机变量y 的分布属于指数为o = i i 的稳定律g 。的正则吸引场吼亦 即存在实数序列 卢。 ，使得对任何x 冗，有 撬p ( 挈寸叫小 由( 2 4 ) 知， e y = f f o e ( v t ) 出垒p o 。，若。： 。 2 ，即； 1 l i0 0 ，若0 os1 ，即7 1 由 1 0 中命题2 2 1 4 知，当o 1 ( 即7 i ) 时，可将风取为： 阮= k1 纛臻嚣 当o = 1 = 1 时，由命题2 2 1 3 和2 2 1 4 知，可取 风= n “d p ( y = 一n z “t d 一l = nl o g n 一娟。e ! 。v * = - ( 考) 7 嘉k 妻= 1 u ) ， ：ll j ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 第二章渐近分布类：由一类特殊分布所得出的结论 1 1 由于此时风：0 ，故由( 13 ) 式，s l u t s k y 定理以及( 2 1 4 ) 式，知对。n = n ，b n = 一1 和任 何z 冗，有 。1 i m 。p t n 6 n - n 。) = 。l 。i m 。p ( 一靠剑 = 撬p ( 嘉薹k z ) 地 江 当； 7 1 ( 即1 a 2 ) 时，由( 2 - 1 5 ) 式知( 2 1 4 ) 式对艮2 n 肛成立我们写 一n 川兰一( 焘) 7 学) + n l - y # ，一( 东) 1 ) ：= j l ( n ) + 如) ( 2 1 8 ) 再写 孙，= n l - # s v + i - - n ? h ( 者) 1 ( 圹1 等古饥 其中。i n ( 岛+ 1 ，n ) 如m a x s 。+ i ，n 由( 1 3 ) 及 ，y ，立知如( n ) 马0 再由( 1 3 ) ， s l u t s k y 定理以及( 2 1 4 ) 式知，对n 。= n n 1 - v # ，k = - 1 和任何z 冗，有 撬p ( 坠等垫。) = 撬p ( - - n l - 7 # + n - - 矗剑 = 熙p ( 婆告型z ) = g 斟( 2 1 9 ) 最后，当，y = o = l 时，我们有风= n l o g n 写 t , 。- - n + l o g n 星一( 焘) 婆半) + 磁n ，一( 者) ) 由( 13 ) 式易见 蜥) = 丽n 等等马。 于是，由s l u t s k y 定理以及( 2 3 ) ，( 2 1 4 ) 式知，对a 。= n l o gn h = 一1 和任何z 冗，有 溉p ( 堑等坐z ) = 舰p ( _ l o g n + n 一矗剑n _ ” n n “- + o 。 一 ：j i 熙pp e 2 = iv k 。- n l o g n z 1 ：g i ( z ) ， ( 2 _ 2 1 ) n - + 、礼 其中g l ( 。) 是指数为a = l 的稳定律峁 第三章0 7 时的进一步结果 3 1 本章的任务 我们来对0 1 时的结果作进一步的推广现在设 皿( 。) = c z 1 ( 。) ， o z ，0 一l ，则还有 1im鱼学=而1x-，00 x g ( xp 1 ， ( 3 5 ) )+ 其中z o 0 回到( 3 1 ) 式，显然有o ( z ) = x - 7 f ( 。) n v ( - 7 ) ，并且由于0 7 ，所以( 3 5 ) 式 对函数g - r o ( x ) 成立 1 2 第三章0 7 时的进一步结果 1 3 易知，由( 3 3 ) 式所定义的函数皿o ( z ) ，对任何0 r 0 ，都有 ( 。) ：= 日皿5 ( c ，z ) = z 1 皿5 ( “z ) 如= ；z 。雪5 ( “) 如 ( 3 6 ) 并且由( 3 5 ) 式知( 以f 儿禾指明之处，o ( 1 ) 均对z _ 而言) ： 。( 。) ：= 1 1 ( z ) 2 ；五皿o ( u ) d u2 高m o ( 。) ( 1 + 。( 1 ) ) ， 纠小= 拟小a ( z ) = ：z 。皿3 ( u ) d u - a 2 ( z ) 2 f 面- 丽y 严皿( 1 + 。( 1 ) ) 由于0 7 ，故存在2 p i 1 ，使得 坳( 。) ：= b ( z ) = ；z 。媚( “) 如= r 与哪( z ) ( 1 + 。( 1 ) ) 由于o ( z ) 非升，故知 。怡) ：掣i 1 厂。皿。( 。) d u ：型一型o ，j o z 0zz 一 7 坝。) i 型：。l 型业型2 ： 另一方面，又有 咖抡* ( ( t 一圹。) 讪卜南掣， 所以j 。( z ) j 些垃巫必再结合( z ) 和n ( 。) 的非升性，并注意击 0 ，有 1 坝。) 一。) l 型型+ 业一型 崆2 1 里! ! ! ! ! 鲤卫+ f 竺! f ! ! 二里! 堕1 2 ! 皇f 竺! 二竺! 塑! z y y 3 ( y - x ) 霍o ( x ) 牟! ! 里! ! 兰2 二里! f 1 2 2 ! 【里! f 竺2 2 x y y 往估l 卢( z ) | 我们有 2 卢( z ) 卢( z ) = ( ；z 。皿3 ( u ) d u - a 2 ( 。) ) 7 = 抑( 小壶j ( 。m 3 ( u ) 也2 嘶) 州。) = 知圹i 0 x 如+ 掣一掣 2 亨1 a ( 。) 一电。( z ) ) 2 + ； 。2 ( z ) 三x , ，o 。皿3 ( “) 砒) = ( q ( z ) 一皿。( z ) ) 2 一卢2 ( z ) ) ( 3 1 2 ) 刃 耐 吣 于 甜 第三章0 7 ；时的进一步结果 由( 3 7 ) 和( 3 8 ) 知 ( 。( 。) 一。( z ) ) 2 一卢2 ( z ) = 币_ 二i - - 亨2 i 7 丁3 哥 m 3 【z ) ( 1 + o ( 1 ) ) 0 1 4 注意到d ( z ) 0 ，由上式中的第二步知 例z ) ( z ) i ；1 o 。皿如， 结合( 3 5 ) 知 咫去掣：高攀 b 记 占= p 一2 ，仃：= 卢2 ( n + 1 ) + n ( n + 1 ) ( a ( n + 1 ) ) 2 ( 3 1 4 ) 由于0 1 而通过计算则不难知 ( a 3 ) va 1 ， 熙磅1 卜郴s u p 。何粉= o ； ，；。型尘墨型竺型二型型! 竺：u 1 l m o ? = 。一= n 叶o 。 、n 口n 事实上，上式左端sc ( ，y ) _ 1 2 0 3 3 定理的证明 我们来证明：( 3 2 ) 式可对 a n = n o e ( n + 1 ) ，b n = 伍口n 第三章0 7 ；时的进一步结果 成立，即有 堑警业马( 0 1 ) 由标准正态分布n ( 0 ，1 ) 的对称性知，这等价于 竺丐警型马( o ，1 ) 结合( 3 4 ) 式，有 现在令 于是就有 其中 c n - t n - n ac n + 1 ) 垒垂! ! ! 兰型二：竺竺 、n a n n 风= n m o ( 巩晶+ 1 ) 一n q ( 岛+ 1 ) = l c n r n c e ( n + 1 ) 、n d h 以，1 + 风，2 凰i ：5 ( n + 1 ) h n + o n 面卢( 晶+ 1 ) ：粤趔风十亚( 。( 晶+ 。) 一。( 。+ 1 ) ) c r n 、 。 、“ ! ! 堕1 2 型互卿( s n + - 一+ 1 ) ) 凰。：垒! 坠! l 业1 2 4 由( 3 1 8 ) 知，为证( 31 5 ) ，只需证明 、厢 风+ 巫。nj ，n 5 + l ( ( t ) 一0 ，( n + 1 ) ) d t 风，l 马n ( 0 ，1 ) ； 2 30 由条件( a 1 ) 一( a 3 ) 知，存在一个数列a n 有0 。t 。，。乎，使得 ( m ) 瓤卜蜓s u p 。v 一n 酬2 o 悻一n l n np 、山， ( a 2 ) + l i r a 磊1 一s 踟u p 。何粉= 。 “_ + r i 盯盂z n l n 们石卢2 ( z ) 。 ( 删+ 撬型型萼等螋：。 1 5 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 第三章0 1 n n + 1 、n + 1 ) + m 叫2 e ( 嚣高川小+ 1 ) i a n + l 而) ) s v 蟊a r n _ 】! l + c n - 6 2 卜m 】胚s u 。p 、厢瑞札 ( 3 2 3 ) 一n ：+ li s 一( n + 1 ) l ! n n + l 而干t l s j 在给定n 1 的条件下，对粤先孚运用( 1 3 ) ，得到： s u p i p ( 掣m + 垫等掣学。) 一p f 塑业l + 业业圃2 。o ( 3 2 4 ) 由一。的定义，易知 塑业l + 业12 衄2 o n 服从标准正态分布综合( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ，即得巩，l 马n ( 0 ，1 ) 下证230 注意e ( 岛+ 1 一( n + 1 ) ) 2 = ( 仃+ 1 ) v a r y l = + 1 ) ，由( 3 1 1 ) 和( a 2 ) + ，知 口i 2 e ( f l ( s n + 1 ) 一卢( n + 1 ) ) 2 ， i 晶+ 1 一( n + 1 ) 1 o n + l 元+ 1 ) 日：j = 簖2 e ( 卢( 岛+ 1 ) 一卢( n + 1 ) ) 2 j i + t 一( n + 1 ) 1 。n + ，, g - 7 ) 曼d i 2 s u p( 卢( z ) ) 2 e ( s n + 1 一( n + 1 ) ) 2 l z 一( n + 1 ) i o n + l 、n + 1 蚓( 川r a n - 2 如州s u p 。丽嘉pi x )j z 一( n + 1 ) n n + i 、，而善。一 s 面4 c ( 7 ) 卜( n + 川s 鲰u p + 。丽粉训 ( 3 2 5 ) 田【3 1 2 ) 刘 j t 小+ 1 ) 胁州佩) 庶1 i 一( n + 1 ) l 出 ，“。= + n + 1 ) 一q ，( n + 1 ) l d t j o 。+ 1 ，n + 1 冬掣掣篇出+ ：c 。篇c t + n + l 咖删i 出 些塑些血+ ；严= ( + 。+ 1 ) 一吲n + 1 ) l d t ( 3 2 6 ) 一 nn j d n + l 何干t 。 ”。 ”。 第三章0 0 ，x - - f ( 。) 严格下降 1 0 如果 l i r a ，t 1 2 ( u ) d u ：。，( 4 2 ) z 叶j l “ 则标准化的纪录值之和t ) 仍然渐近于正态分布n ( o ，1 ) 亦即存在中心化常数列 如 和正则化常数列 鼠) ，使得2 b 争依分布收敛到标准正态n ( o ，1 ) j 2 。如果( 4 2 ) 不成立，则不存在中心化数列 a 。和正则化数列 岛，使! 正b n 血渐 近干正态分布 注4 1 由于m ( z ) ：c z jz ( z ) 一定是非降函数，所以x - f ( z ) 非升此处只是把啡升 ”加强为严格下降”。 4 2一些辅助函数及其性质 为证明定理4 1 中的结论l 。，需要引入一些辅助函数，并讨论它们的性质令 m ) = = 去z 。s - f d s ，。 。； 卢( l ，z 2 ) ：，。2s 一1 f 2 ( s ) d s ，o j ；1 z 2 j z l 容易看出如下的显然事实： n ( z ) 是z - o 。时的慢变化函数函数， 舰端扎 下面来证明一些引理 ( 4 3 ) ( 4 4 ) 且有 。l i _ + r a o o ( z ) = 2 + f ( o ) ( 4 5 ) 1 8 第四章7 = ；时的进一步结果 引理4 1 对充分大的z ，存在函数t ( ) ，满足条件0 t ( 。) 墨1 和等式 ! 1 11 ：坠1 些型三竺堕：1 0 z s - 1 1 2 ( s ) d s 证：考察对0 0 定义的函数 m ，小：! ! ! ：塾三掣：笔1 1 ：坠1 至竺堕 川一艺器产2 菊器器 显然e ( 。，y ) 连续，且有 ，= 揣= 揣p 一考x p 斋、o 卢l j z j、1 1 ，z jvl j ，z ， 由( 4 4 ) 和( 4 2 ) 式知， 。l i r a 。卢( 1 ，z ) 2 o 。， 所以只要z 充分大，就有 ，) o 和 ，l i + r a 。x8 - 1 1 2 ( s ) d s = ：学= ，l i + m 。y - f i 1 2 。( y ) = ，l i + m 。y 1 2 b ) = 。， 所以 溉e ( 啪) 2 0 0 以上事实表明，对一切充分大的。，方程( ( 。，y ) = 1 都有解y = t ( z ) ，并且0 t ( x ) 1 拌 注4 2 为方便起见，我们约定：当( ( z ，y ) = 1 的解存在时，t ( 。) 就是该方程的解；当解 不存在时，令( z ) = 1 ，于是t ( z ) 对一切z 0 有定义，并且都有0 。 ( 4 1 。) 易知，( z ，8 ) 连续，且由条件( 4 2 ) 易证对任何固定的8 0 ，函数，( z ，8 ) 对z 严格下 降，并且有 l i mf ( 叩) = 一潞 0 ，8 0( 4 1 1 ) 显然，函数9 ( 。，8 ) 0 ，并且对固定的8 0 ，9 ( z ，8 ) 是z 的下降函数，且满足条件 t 9 ( 。，8 ) = ，( “，s ) 。( 4 1 2 ) 第四章，y = 时的进一步结果 因此对服从均匀分布u ( o ，1 ) 的随机变量u ，有 p c ，c 以s ， 。扛，s ，= 由引理4 2 知 2 1 o ，如5 ) l ， 3 ) 1 一g ( z ，s ) ，0 0 充分大，由函数，( z ，s ) 对z 的严格下降陛即知 ，( s ) f ( 1 ，s ) i ， 亦即 p ( ，( 玑s ) ) = p ( ，( 矾s ) e ) = p ( u 0 ，有 。l 。i r a 。s 9 ( z ，s ) = 0 -( 4 1 5 ) 证：任给 0 ，我们有 代，s ) = 掣糕产= 湍1 一湍， 当s - o 。时，上式右端的两项均趋于0 由于函数，( z ，8 ) 对z 严格下降，所以对于满足 ( 41 1 ) 式的函数口( z ，s ) ，当s 充分大时，有 9 ( 叩) ；， ( 4 1 6 ) 即s g ( x ，s ) 由的任意性，知( 4 1 5 ) 式成立 社 引理4 4 由( 4 7 ) 式所定义的函数 ( z ) ，对s 。，一致地有舆恐踹= l ，即 熙恶f 糕一，卜 ( 4 1 7 ) 证：我们有 吣) 刊如如) 2 ) ”_ l f 2 咖2 辟u 1 2 ( 删砒 ( 4 】8 ) 第四章7 = ；时的进一步结果 一方面，在( 4 i i ) 中令$ = 1 ，结合( 4 1 0 ) 式可得 趣世器掣圳m ，吐s hv o ， 另一方面，由t ( s ) 的定义式( 4 6 ) 知 ，( 掣，s ) = 型等等型 比较上述二式，并由i ( x ，s ) 对z 的严格单调性，知当s 充分大时，有 盟：9 ( 1 ，。) s 代入( 4 1 8 ) 式，得 h ( s ) = u 一1 1 2 ( s u ) d u j 9 ( 1 ，s ) 由( 4 1 9 ) 式可知 f 9 一 ( 1 ，s ) l ( s g ( 1 ，s ) ) 一o ( s ) ) 2 h ( s ) 2 。i 一， 结合( 4 5 ) 和( 4 1 5 ) 式，知 。1 + i m 。h ( s ) sg ( 1 ，s ) 一s 9 ( 1 ，s ) ) ) = 觑 l _ 。( s ) s 一 s 9 ( 1 s ) f _ l ( s g ( 1 ，s ) ) ) 2 所以对s a 。，一致地有 瓤耥器= 概糕篇斋乩 而由( 4 2 0 ) 式知，当n 充分大时，对8 n ，有 h ( s ) h ( n ) 珐印) u - 1 1