（概率论与数理统计专业论文）双险种风险模型的破产概率研究.pdf

r u i np r o b a l i l i t yi nt h ed o u b l er i s km o d e lr e s e a r c h l vw r e i c h u n b s ( j i s h o uu n i v e r s i t y ) 2 0 0 7 a t h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r a s s o c i a t ep r o f e s s o rc h e nx i n m e i m a r c h ，2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：易岛挣 日期：y 。f 年【月刁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：占陪乡争 日期：p ，f 年f 月7 日 导师签名：。日期：沙年f 月- 7 日 摘要 本文在经典风险模型的基础上，围绕着保费收取过程、理赔额发生过程 及理赔额序列进行了推广，并把通胀率、利率及带干扰等因素考虑进去，讨 论了几类双险种风险模型的破产概率。 第一部分首先给出破产理论的简介及系统的介绍经典风险模型 本部分分二章，第一章主要介绍破产理论的产生及发展，对破产理论有 一个初步的了解。然后给出经典风险模型，给出了破产概率的定义及l u n d b e r g 不等式，对经典风险模型的研究成果及推广方向做了一定的介绍。第二章主 要介绍了点过程、鞅论及布朗运动的一些知识。第一部分从整体上给出了经 典风险理论的大概轮廓，为下面的研究打下基础。 第二部分几类双险种风险模型的讨论 本部分由三章组成，考虑到现实情况，通过对经典模型的改进，首先第 三章主要讨论了在引入常利率带干扰情况下的双险种风险模型，建立新的模 型后求出其破产概率并给出一些重要的结论。第四章在考虑离散时间模型的 基础上，研究了一类双险种的复合二项风险模型，把保费到达过程推广到与 时间相关的复合二项过程，由此得到了最终破产概率的一般公式和上界估计 等。第五章主要是建立在稀疏过程下带干扰的c o x 双险种风险模型，然后应 用鞅论的方法研究其破产概率，得出最终破产概率。 关键词：破产概率；c o x 过程；p o i s s o n 过程；l u n d b e r g 不等式；复合二 项风险模型 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，o nt h eb a s i so ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，a r o u n dt h ep r e m i u m i n c o m ep r o c e s s ，m a n a g ec o m p e n s a t ef r o n t a lh a p p e np r o c e s sa n dc l a i me x t e n d s ， f o r e h e a ds e q u e n c ea n di n f l a t i o n ，i n t e r e s tr a t e s ，a n dt a k ei n t e r f e r e n c ef a c t o r si n t o c o n s i d e r a t i o n d i s c u s s e ss e v e r a lk i n d so fc l a s s i c a lr i s km o d e lf o r t h er u i n p r o b a b i l i t y t h ef i s tp a r ti sf i r s tt h ep r o f i l ea n dt h es y s t e mt h e o r yo fb a n k r u p t c yo f c l a s s i c a lr i s km o d e li si n t r o d u c e d p a r tt w oc h a p t e r s ，t h ef i s tc h a p t e rc o m p o n e n tm a i n l yi n t r o d u c e db a n k r u p t c y t h e o r y t h e g e n e r a t i o n a n d d e v e l o p m e n t o f b a n k r u p t c y ，ap r e l i m i n a r y u n d e r s t a n d i n go ft h e o r y t h e ng i v et h ec l a s s i c a l r i s km o d e l ，a n dg i v e st h e d e f i n i t i o na n dt h er u i np r o b a b i l i t yo fc l a s s i c a lr i s km o d e li n e q u a t i o n ，t h er e s e a r c h a c h i e v e m e n ta n dp r o m o t i o nd i r e c t i o n sc e r t a i ni n t r o d u c t i o n t h es e c o n dc h a p t e r b a s i c a l l yi n t r o d u c e sm a r t i n g a l ed e a l sw i t hap r o c e s s ，s o m ek n o w l e d g eb r o w n i a n m o t i o n t h ef i r s tp a r tf r o mw h o l eg i v e st h ec l a s s i cr i s kt h e o r ya b o u tt h eo u t l i n e ， l a yaf o u n d a t i o nf o rt h er e s e a r c h t h es e c o n dp a r to faf e wc l a s sd i s c u s s i o no fd o u b l er i s km o d e l t h i sp a r tc o m p o s e db yt h r e ec h a p t e r s ，c o n s i d e r i n gt h er e a l i t yo ft h ec l a s s i c a l m o d e l ，t h r o u g ht h ei m p r o v e m e n t f i r s to fa l l ，t h et l l i r dc h a p t e rb a s i c a l l yd i s c u s s e d 、析t 1 1i n t e r f e r e n c ei ni n t r o d u c i n gac o n s t a n ti n t e r e s tu n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo f d o u b l er i s km o d e lt oe s t a b l i s hn e wm o d e lc a l c u l a t et h er u i np r o b a b i l i t ya n dg i v e n s o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n s t h ef o u r t hc h a p t e ri nc o n s i d e r i n gt h ed i s c r e t e - t i m e m o d e lo nt h e b a s i so fr e s e a r c h ，ak i n do fd o u b l et y p e - i n s u r a n c ec o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e l ，w i t hp r e m i u ma r r i v a lp r o c e s sr e l a t e dt ot i m eg e n e r a l i z e dt o c o m p o u n db i n o m i a lp r o c e s s ，t h u st h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t ya r eo b t a i n e dt h e g e n e r a lf o r m u l aa n du p p e rb o u n de s t i m a t e ，e t c t h ef i f t hc h a p t e rb a s i c a l l yi sb u i l t o ns p a r s ew i t hi n t e r f e r e n c eu n d e rc o xp r o c e s so fd o u b l er i s km o d e l ，a n dt h e o r yo f m a r t i n g a l em e t h o d s ，i ti sc o n c l u d e dt h a tt h er u i np r o b a b i l i t ya r et h eu l t i m a t er u i n p r o b a b i l i t y k e yw o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y ；c o xp r o c e s s ；p o i s s o np r o c e s s ；l u n d b e r g s i n e q u a l i t y ；c o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l 目录 第一章绪论 1 1 风险理论简介1 1 2 经典风险模型简介”2 1 3 经典风险模型的推广4 第二章预备知识 2 1 点过程7 2 1 1 齐次泊松过程7 2 1 2 广义非齐次泊松过程”9 2 1 3 复合p o i s s o n 过程1 0 2 2 鞅论1 1 2 3b r o w n 运动1 1 第三章常利率下带干扰的双险种风险模型 3 1 模型的引入一1 2 3 2 主要结果”1 3 第四章双复合二项风险模型的破产概率 4 1 模型定义与实际背景“1 7 4 2 模型的主要结果”1 9 第五章稀疏过程在带干扰的c o x 风险模型中的应用 5 1 模型的建立一2 6 5 2 主要结果“2 7 结论3l 参考文献3 2 致谢”一“3 4 附录a ：( 攻读学位期间发表论文目录) 3 5 1 1 风险理论简介 第一章绪论 风险大致有两种定义：一种定义强调了风险表现为不确定性；而另一种 定义则强调风险表现为损失的不确定性。若风险表现为不确定性，说明风险 只能表现出损失，没有从风险中获利的可能性，属于狭义风险。而风险表现 为损失的不确定性，说明风险产生的结果可能带来损失、获利或是无损失也 无获利，属于广义风险，金融风险属于此类。人们对风险系统的研究是在概 率与数理统计学科出来之后。概率统计是以不确定性或随机性为研究对象的 学科。风险理论以概率统计为研究工具对现实保险经营中的损失风险和经营 风险进地定量的刻画、建立模型和研究模型的性质，并为现实的保险经营中 进行有效的风险分析和控制提供技术支持。 风险理论与保险精算紧密相关，而破产理论是保险风险理论乃至保险精 算中最核心内容，对它的研究既有保险实务的应用背景，又有概率论上的兴 趣。国内外学者对破产理论的研究已取得了丰硕的成果，自从e h a u y 于1 6 9 3 年编辑世界上第一个生命表开始，风险理论已经发展了一个非常长的时期。 而破产理论作为风险理论的核心部分，破产理论开始于瑞典精算师f i l i p l u n d b e r g 于19 0 3 年发表的博士论文a p p r o x i m e r a df r a m s t a l l n i n g a v s a n n o l i k h e t s f u n k t i o n e n 中首次提出破产理论中一类最重要的随机过程，即 p o i s s o n 过程。之后，c r a m e r h 与l u n d b e r g 发展了严格的随机过程理论【1 】， 并创立了经典破产论。它的发展从2 0 世纪初l u n d b e r g 的工作直到今天从未 间断过，人们对它抱有持续的兴趣。这个领域每年都有大量的文章问世，可 以说现在的破产理论已经演变成纯粹概率论的一个分支了。 g e r b e r 和s h i u 在8 0 年代未期对这经典模型做了详细的研究 2 ，3 ，4 】， h u g e r b e r 用鞅方法得出了l u n d b e r g 不等式证明，s h i u 研究了破产时、破产 前瞬时盈余、破产时的赤字的联合分布情况，并证明了罚金折线函数满足一 瑕疵更新过程。w i l l i a n f e l l e r 用更新论理论证明了函数的极限的应用 5 】。更 新理论跟鞅方法引入到破产理论研究中，深化了经典破产理论的研究内容。 国内成世学，伍彪等对完全离散经典风险模型进行了深入研究 6 ，7 】，得出了 最终破产概率、破产前瞬时盈余，还对任意的初始盈余值得出了最终破产概 率的一个l u n d b e r g 型上界。经典破产模型其完美的性质是现实情况下难以达 到的，为此许多学者对经典模型进行了改进，比如加入常利率、随机利率、 通货膨胀率、干扰等 8 ，9 ，1 0 ，因而得出一系列新的模型并进行了研究。对常 利率的经典风险模型有比较系统的研究其中s u n d t ，t e u g e l s 解决了破产概率满 足的积分微分方程【1 1 】。对带干扰的经典风险模型的研究的主要成果其中 d u f r e s u e ，g e r b e r 解决了生存概率满足的积分微分方程 1 2 】，及生存概率满足 的卷积公式。 1 2 经典风险模型简介 保险公司的盈余在一段比较长的时间内变化的数学模型。所谓盈余，就 是指原始资金加上所收取的保险费超出赔付的一部分。或者说，公司的资产 大于负债的差额就是盈余。 经典破产概率模型为 r t 、 u o ) = 甜+ 甜一置，o ；“- o , c o ( 2 1 1 ) f = l 其中u ( t ) 表示保险公司在f 时刻的盈余，u ( o ) = u ，即t = 0 时刻的盈余被称为 初始盈余或初始资本，其中甜o ，c 为常值的保费收入率，( r ) 表示【o ，r 】内 的总理赔次数，取值非负整数，且( o ) = 0 ，墨表示 o ，f 】内第f 次理赔的金 额。 独立性假定： ( 1 ) ( ，) 是时间段【o ，f 】内险种i 的赔付总次数服从参数为五的泊松分布。 ( 2 ) 索赔额序列 五；i 1 是恒正的，独立同分步的随机序列，它的分布函 数为y ( x ) ，期望为= 叫五】 ( 3 ) ( f ) ；r o ， 五；f l 相互独立。 令 2 假设( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 有 为保证公司稳定经营，要求e s ( f ) 】= c t - 2 t t o , t 0 ，这就意味着要求单位 时间内平均保费大于平均理赔额。为此经典模型还需要下面的假设。相对安 全负荷假设： ( 4 ) 令c = ( 1 + p ) 舡，其中护 0 ，显然 乡= 三一1 ； 人 被称为相对安全负荷系数。 由泊松过程的独立增量性及前面的独立性假定，知 c t - s ( t ) ；t 0 ) 为平稳 独立增量过程。这样，由强大数定律可知， l i m u ( t ) = + 0 0 ，a s 从盈余模型来看，一方面是连续不断保费收入以速度c 进程积累，另一 方面则不断地会有理赔需要支付，形成跳跃的支出，因此盈余过程也是一个 跳跃过程。在两次理赔之间，盈余按照比例c 线性增长，如果遇到理赔发生 时，盈余瞬时按理赔额水平降低。而且，如果某一时刻发生了数额很大的理 赔，就有可能马上出现盈余小于零的情况，形象有点夸张地称这个事件为“破 产 。 定义1 2 1 经典模型( 2 1 1 ) 中的随机变量丁= i n f t ：r o ，u ( f ) o 为该盈 余过程的破产时刻。丁为盈余首次出现非正实值的时刻。 定义1 2 2 对于经典模型( 2 1 1 ) 定义如下的概率： v ( “) = e r o o ) = p 3 t o ，u ( r ) o ) ( 2 1 2 ) 称为该模型的破产概率。 由于( 2 1 2 ) 中定义的破产概率没有时间上限，也称为无限时间破产概 率。但现实中由于保险公司往往关注的是在某一段确定时期内的经营状况， 所以也可以考虑有限时间内的破产概率。 3 定义1 2 3 有限时间破产概率： w ( u ，丁) = p r r = p 3 t o ，u ( r ) 0 使得： l i m 掣：1 1 8 - - 0 0c e 一础 1 3 经典风险模型的推广 经典风险模型的重要研究成果为破产理论的发展打下了坚实的基础，但 其性质太具完美性了，在面对保险公司经营的现实情况下，往往是很难已达 到的。为此，许多学者对经典模型的主要三个随机过程：保费收入过程，理 赔额发生过程及理赔额序列，做了大量的改进和推广，使得模型更加能结合 实际情况，结果显然更具有现实指导意义。对于经典风险模型的推广和改进， 主要有以下几个方面。 ( 1 ) 对理赔额过程的推广 在经典风险模型中，理赔到达过程( r ) 是为泊松过程，泊松过程的平稳 增量性，理赔发生次数的强度五为常数，尽管为我们在数学处理上提供了方 4 iilii】ijll 便，但在实际应用中，很多理赔发生次数的强度是随机的，故具有很大的局 限性。为了解决这一问题，可用其它的点过程来代替泊松过程，如将理赔到 达过程n ( t ) 推广为非齐次泊松过程、广义泊松过程、c o x 过程等更一般的更 新过程 1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 。 ( 2 ) 对保费率的推广 在经典风险模型中，保费收入按照固定的比例c 线性增长，这样的保费 收入过程太过于简单化，而现实情况中，保费收取在不同的单位时间内往往 是不一样的，为了更加贴近实际情况，可将其常数推广为非齐次泊松过程、 广义泊松过程、c o x 过程、一般的马氏过程等 1 7 ，1 8 ，从而得到变保率的风 险模型。 ( 3 ) 险种的推广 经典风险模型是单险种风险模型，在现实情况中，保险公司经营险种的 不断多元化及险种的不断开发，显然用双险种或多险种来描述风险过程更为 客观实际的风险模型。基于这种情况，蒋志明、王汉兴，龚日朝等讨论了双 险种风险模型 2 0 ，2 4 ，沈爱婷研究了多险种风险模型下破产概率问题【1 0 】。 ( 4 ) 通胀率和利息率 经典风险模型中没有考虑通胀率和利息率，宏观经济环境的变化，包括 利率、通货膨胀率等因素直接影响着保险人的资产和负债，而随着经济的发 展及实际生活的需要，通胀率和利息率的波动会给保险公司带来一定的风险。 因此在风险模型中考虑通胀率跟利息率是有必要的。如s u n d t 和t e u g e l 提出 了利率模型，研究了其破产概型【1 1 】。r u im rc a r d o s o n ，h a r w a r d r w a t e r s 则研究了带利率破产概率的递推关系式【2 1 】。y a n g 利用鞅方法对利率模型进 行了讨论。吴荣和杜勇宏对常利率下的风险模型进行了研究【2 2 】。 ( 5 ) 带干扰的模型 实际运营中，由于保险公司一部分收支的不确定性，随机因素影响越来 越大，因此在经典风险模型中把干扰因素考虑进去是有必要的。最早在经典 风险模型中增加w i n n e r 过程是由g e r b e r 提出来的 2 3 】。d u f r e n s n e 和g e r b e r 研究了破产概率满足的瑕疵更新过程 1 2 】，得出了最终破产概率的一般公式 各上界估计。w i l l m o t 和x l i n 和t e u g e l s 讨论了带干扰情况下的风险模型 2 5 ，并给出了一些重要结论。 ( 6 ) 离散型风险模型 在经典风险模型中，保险事业的处理主要为随机风险模型，但随机风险 模型依时间可分为连续时间模型跟离散时间模型，而经典模型中主要考虑的 是连续时间模型，显然不够全面科学的反映保险公司的现实情况。为此许多 学者做了大量的研究，如成世学和伍彪研究了生存到固定时刻以( 以0 ) 在些 时刻刀为某数x ( x 0 ) 的概率 2 6 】。柳向东讨论了两类离散风险模型的等价 性。 近年来对古典风险模型以上方面的推广研究 2 7 ，2 8 ，2 9 1 ，取得一系列重要 成果，进一步的推展和完善了破产理论。对经典模型的推广更具现实意义， 同时更好的对保险公司的运营及决策分析更具指导意义。 本论文基于经典风险模型以上推广方面考虑，把单险种推广为双险种风 险模型模型，把理赔发生泊松过程推广为c o x 过程，把通胀率、利率及带干 扰等因素考虑进去，模型更加全面符合实际情况。其中也对离散型风险模型 做了一定的研究，并得出了最终破产概率和一些重要结果。 6 lllilijlj 2 1 点过程 第二章预备知识 描述随机点分布的随机过程。很多随机现象发生的时刻、地点、状态等 往往可以用某一空间上的点来表示。2 0 世纪6 0 年代以前，点过程的研究着 重于一维情形，即实轴上的点过程，方法是比较初等的，内容多为考虑泊松 过程的种种推广。以后逐渐扩充到多维及更一般的空间，并与迅速发展的随 机测度论及鞅论相结合，无论在内容或方法方面都有了根本性的进展。在风 险理论中，常常用随机点过程来描述索赔到达计数过程或者保费到达计数过 程。 下面介绍几种在风险理论中经常用到的随机点过程。 2 1 1 齐次泊松过程 定义2 1 1 如果o ) 表示到时刻r 为止某一事件a 发生的总数，则称 ( f ) ；f 0 为计数过程，它是一个状态取非负整数、时间连续的随机过程。 计数过程满足以下条件： ( 1 ) n ( t ) 0 ，是一个正整数； ( 2 ) 如果有两个时刻j 和r ，且s f ，则o ) n ( t ) ； ( 3 ) 对于s r ，( s ) 一( r ) 代表在时间区间【s ，r 】内事件a 出现的次数。 定义2 1 2 计数过程 ( r ) ；f 0 称为齐次泊松过程，如果它满足以下条件： ( 1 ) p ( n o = 0 ) = 1 ( 2 ) 对于任意o s ，增量m j = | 一m 有参数为旯o s ) 的泊松分布，即 对k = 0 ，1 ，2 ，有 她j 叫= 峄e 嘶_ 这里五0 为常数，称作过程的强度； ( 3 ) 具有独立增量。 7 在以上定义中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，它不是实质性的限 制。条件( 2 ) 蕴含过程具有平稳增量，即m 。，的分布只依赖于差数卜s 的具 体值无关。此外，由 尸( - k ) = l k = o 推知泊松过程是局部有限的。条件( 3 ) 表示过程是无后效的。对任意正整数 以和任意实数o 矗 乞 0 ，当h 0 时 p ( m 2 ) = d ( ) 。 ( 4 ) 有独立增量。 条件2 1 2 ( 1 ) j p ( n o = 0 ) = 1 。 ( 2 ) 有平稳增量。 ( 3 ) 几乎处处有序。 ( 4 ) 有独立增量。 条件2 1 3 ( 1 ) 尸( o = 0 ) = 1 。 ( 2 ) 对任意t 0 和h 0 ，当h 专0 时 p ( m ，m = 1 ) = a h + o ( h ) 和尸( m j + 2 ) = o ( h ) ( 3 ) 有独立增量。 条件2 1 4 ( 1 ) p ( n o = 0 ) = 1 。 ( 2 ) 对任意正整数七，实数0 乞 气和非负整数m t h ， 当h 专0 时 8 尸( f i 。k + 2 1 1 5 ，勺，l j f 七) = 力办+ d ( 办) 和p ( k 。k 柏2i f ，2 吩，1 七) = d ( 办) 。 2 1 2 广义非齐次泊松过程 当泊松过程的强度见不再是常数，而与时间t 有关时，泊松过程被推广为 非齐次泊松过程。一般来说非齐次泊松过程是不具备平稳增量的，也在实际 情况中比较常用的。 定义2 1 3 若计数过程 ( f ) ；r 0 它满足以下条件 ( 1 ) 尸( o = 0 ) = 1 。 ( 2 ) ( f ) ；f 0 是独立增量过程。 ( 3 ) 尸( m 2 ) = o ( h ) ( 4 ) p ( f h = 1 ) = 2 ( t ) h + o ( h ) 则称 ( f ) ；f o 是强度为力( f ) 的非齐次泊松过程。 若记人( ，) = p ( x ) 出，则人( f ) 称作过程的累积强度函数。 0 性质2 1 3 ( r ) ；f 0 是强度为名( r ) 的非齐次泊松过程，则对任意 0 凡f - 0 ) 独立，令 n s ( f ) = 五，f o k = l 则称 s ( r ) ；f o ) 为复合泊松过程。 定理2 1 1 设s ( f ) ：兰鼍，f o 是复合泊松过程，则 七皇l ( 1 ) s ( f ) ；r o 是独立增量过程。 ( 2 ) s ( f ) 的特征函数( ，) ) = p 知k 卜1 1 ，其中 鲰( “) 是随机变数五的特征函数，五是事件到达率。 ( 3 ) 若e 矸 ，则 e 【s ( f ) 】= 施【置】，d 【s ( ，) 】= a 坦 砰 1 0 鞅理论不仅在随机过程及其它 题中，诸如金融、保险和医学 法已成为了一种很重要的研究 f 中的递增子仃一域流， 域f y = ( p ；，o ) ，其中 若满足以下条件： ( 1 ) 对于任意的r 0 ，m ( t ) 为e 一司测a ( 2 ) 对于任意的，0 ，e ll x ( r ) il o o 。 ( 3 ) 对t - o o ，a o ，7 0 ，r o 给定概率空间( q ，f ，p ) ，令 n f t )n ，i t ) u ( t ) = ( u + c o o + i ) - 艺x ，一y + r w ( t ) ， m ( f )2 ( ，) s ( t ) = c t ( 1 + i ) - x ，一v + r w ( t ) 。 1 = 1 j = l ( 1 ) u 是保险公司的初始资本，c 为单位时间内收取的保费，i 为投资利率 ( 常利率) 。 ( 2 ) x 。表示险种i 索陪额，l ( f ) 表示时间段( o ，r 】内险种i 的赔付总次数服 从参数为办的泊松分布。 ( 3 ) y ：，表示险种i i 的索陪额，n 2 ( t ) 表示时间段( o ，r 】内险种i i 的赔付总次 数服从参数为( f ，p ) 的负二项分布。 ( 4 ) w ( t ) 是一个标准的w i n n e r 过程，它表示不确定收益和付款，其中r 为 干扰因子。 为讨论方面，有如下假设。 x ，f 1 ) ， y ：，_ ，1 ) ， l ( f ) ，r o ， 2 ( r ) ，f o ) ， w ( r ) ，t o ) 相互独立。 为了保证公司稳定经营，假设单位时间内平均保费收入大于平均理赔额。 假设 x ， ， 一 它们的一二阶矩都存在，且e x ，】= h ，e 一】- 鲍， e 【x 力= 砰，研2 】_ 霹 1 2 模型的性质： 性质3 。1 1 s ( ，) ，r o 是一平稳独立增量过程。 性质3 1 2 由上述假设有 研s ( ，) 】= e c t ( 1 + i ) - x ，一+ ，7 w ( r ) 】 t ( f ) 0 ( f ) i - l j = l = 甜( 1 + f ) 一彳朋f 一旦“乞 o ， g 得相对安全负荷系数秒：箜生一1 o 。 他+ 夕鲍 g 定义3 1 2 破产时刻为t = i n f t ：u ( f ) o ) ，破产概率为 y ( 甜) = p 丁 t ) = e x p ( - r ( u + c t ) ( 1 + i m ( 峨( r ) - 1 ) + t l n l 高l + 一r 1 2 r 2 t = e x p ( 一r ( 1 + i ) u + g ( ，) f ) 。 当，取调节系数r 时，有e p - r v ( o = p 嘣h 如。 e 式变为 1 4 e - r ( 1 + o u = e e p 一只u ( f l 丁f p ( 丁f ) + e e - r u ( t ) i t t p ( t f ) ， 定义x o ) ：竺墨， 又因为u ( t ) = 【厂( 丁) + ( u ( r ) 一u ( 丁) ) = u ( 丁) + c o 一丁) ( 1 + f ) 一( x o ) 一y ( z ) ) 一( 1 ，o ) 一l ，j 丁) ) + ，7 ( w o ) 一w ( 丁) ) 。 因此e p 洲i 丁f p ( 丁r ) = 扩叩瑚州m ”r x m s ( r ) - 1 ) + ( t - t ) i n l - q m r ( r ) + 争功陋】p 叮f ) = e 【e j 上，us f ， = e e r u ( r + 卜r g r it r 】p ( 丁f ) = e e 一只u r l t f 】尸( 丁，) ， 当f jo o 时，l i m e e r u ( r i t ，) = 0 ， t - - o o 印( f ) 】- ( “托吼1 + f ) - w 一暑鲍“ 断叭纠= 埘，+ 办砰+ 历等+ 等蠢， 扯( 掣) ；棚垆( 以) 一他f 一弘一缸；， 因为甜( 1 + f ) 一他r q a 2 t 0 ， p 故当r 充分大时，q ( f ) o 因此有 e e r u r i r t p ( t f ) = e e r u r lt r ，0 u ( r ) q o ) 】尸( 丁 r ，o u o ) 9 0 ) ) + e 一r c ，r it 厶u o ) q o ) 】p ( 丁 f ，u 0 ) q o ) ) 尸( u o ) q ( f ) ) + p 一扁q n 。 对上式中的第二项，显然有l i m e 一姒= 0 ， f - - o o 巧 竺一 1 1 0 y 对于第一项，由切比雪夫不等式 即刚驯m p 厅； 0 ) ，参数为a ( o ，1 ) 。假设x - x ；f l 和 m = m ( 刀) ；丹0 相互独立，令 m 细) y ( 刀) = 置，n = o ，1 2 一 则称y = v ( 以) ；刀0 为复合二项收取保费模型( 约定m ( 刀) = 0 时，v ( 刀) = 0 ) 。 在此模型中，只有离散时刻n 进行最多一次收取保费，即在连续时间段 ( n - 1 ， l 】内收取的保费视为在时刻刀进行。且保险公司在时刻刀进行收取保费 的次数为仉，有二点分布： 尸 巩= 1 ) = a ，p 仉- 0 ) = q l ，v n = 1 ，2 ， 其中，a + 吼= 1 ，0 a 1 ) 为独立同分布的随机变量。 ( 2 ) 设 n ( 力) ；刀0 是具有参数为矗2 的二项随机序列，矗。( o ，1 ) ，i = 1 ，2 ， z ；f 1 和 巧2 ；j f 1 ) 为独立同分布的随机变量。 ( 3 ) 所涉及到的4 个随机序列和4 个随机变量彼此之间均相互独立。 令尺( 刀) = k + k s 一是= v - s 。 ( 4 2 ) 1 8 模型( 4 1 ) 中u ( u 0 ) 为保险公司的初始资本，恒设 硝1 = e x m o o