（概率论与数理统计专业论文）两类风险模型的破产问题研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 两类风险模型的破产问题研究 摘要 随着保险业的蓬勃发展和它广阔的前景，正吸引着很多专家，学者在这一领域进行探讨、 研究其中，破产理论是风险理论的核心内容，是一个重要的研究方向；另外，由于保险业的 竞争日益激烈化和人们对保险产品的认知程度的逐渐提高，带利率的风险模型和保费随机化 风险模型开始引起了一些专家和学者的关注和研究本文第一章研究了保费随机化模型的生 存概率此类型的风险模型可参见d i c k s o n ，h i p p ( 1 9 9 8 ) ，c h e n g ，t a n g ( 2 0 0 3 ) ，g e r b e r ( 1 9 7 0 ) ，d u f r e s n e ，g e r b e r ( 1 9 9 1 ) ，王广华，吕玉华( 2 0 0 6 ) 等第二章研究了索赔来到间隔为某一类更新 模型的g e r b e r - s h i u 折现罚金函数 在第一章中，用无穷小量方法研究了带干扰的保费随机化风险模型的生存概率首先给 出了生存概率满足的积分微分方程： ，t 工 6 2 尺( “) 一j 2 r ( u y 汩( 可) 如= 2 6 a a l 爿( u ) + 2 6 ( d + 仃2 ) 一( 盯l2 入) 2 3 r ”( u ) ，0 2 ( d + a 2 a ) a a l 冗( 3 ) ( t ) 一( d + o 2 a ) 2 冗( 4 ) ( 豇) 然后利用l a p l a c e 变换的方法得到生存概率的形式解； 冗( 札) 5 言上b ( ? z - - x ) d a ( z ) + 赤b ( u ) 在第二章里，我们研究带利率的e r l a n g ( 几，) 风险过程的g e r b e r s h i u 折现罚金函数， 得到g e r b e r s h i u 折现罚金函数的积分方程和g e r b e r s h i u 折现罚金函数的无穷级数表达式， 推广了g e r b e r s h i u 的公式( g e r b e r ，s h i u ( 1 9 9 8 ，( 2 4 0 ) ) ) 关于g e r b e r s h i u 折现函数的研 究可参见g e r b e r ，l a n d r y ( 1 9 9 8 ) ，g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 5 ) ，以及t s a i ，w i l l m o t ( 2 0 0 2 ) 等 第二章我们研究了带利率的e r l a n g 风险模型，得到了g e r b e r s h i u 折现罚金函数满足的 方程，并且给出了精确表达式 曲阜师范大学硕士学位论文 对于t 芝0 ，6 0 ，我们得到 吣妒南( 知泓+ c ) 警z ( 6 y + c ) 一蛳( 流肫广1 厂 圣6 a ( 耖一x ) p ( x ) d x + a ( y ) d y ，0 f o op o 圣抽( u ) = d z 伽( z ，成，l ( q 幽z ，y ) d y ，t ，一 + m 妻= 2 厂0 如仁咖z 出t o 鼢仁2 ，厂锄， 。卯，m ( q ，u ，x l ，y l ，x m - 1 ，y m l ，z ，) 魄，m 一1 第二章第四节研究了最终破产概率皿6 ( 廿) ，我们得到 对于任意的6 0 ，扎0 喇= 厂妇蛳( o , u , x , y ) 句 + 耋z 如咖z 如o 朗虮一仁：出州o _ l 9 6 ，m ( o ，z 1 ，y l ，x m - - i ，珈7 l 一1 ，z ，y ) d y m 一1 蚓哪尚e 一， 畈啦s 喘蒜羔怒 关键词：保费随机化；生存概率；风险模型；利率；g e r b e r s h i u 折现罚金函数；e r l a n g 分布； 最终破产概率 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ev i g o r o u sd e v e l o p m e n to ft h ei n s u r a n c ei n d u s t r ya n di t sb r o a dp r o s p e c t s ，i sa t t r a c t i n gal o to fe x p e r t sa n ds c h o l a r si nt h i sf i e l do fs t u d y ，a m o n gt h e m ，t h er i s ko fi n s o l v e n c yt h e o r yi s t h ec o r ec o n t e n t ，i sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n ；m o r e o v e r a st h ei n s u r a n c ei n d u s t r ya n dt h e i n c r e a s i n g l yf i e r c ec o m p e t i t i v ep e o p l e o nt h ei n s u r a n c ea w a r e n e s so ft h ep r o d u c t si n c r e a s e s ，w i t h t h ei n t e r e s tr a t er i s kp r e m i u mm o d e la n dr a n d o mr i s km o d e lh a sb e g u nt oa t t r a c ts o m eo ft h ec o n c e r n so fe x p e r t sa n ds c h o l a r sa n dr e s e a r c h a tp r e s e n tt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lo fb a n k r u p t c yt h e o - r e t i c a lm o d e lh a sb e e nal o to fr e s e a r c hi nt h i ss i t u a t i o n ，t h er i s kt h e o r yt ob ee x p l o r e df u r t h e ro n t h i sf i r s tc h a p t e ro ft h ep r e m i u mm o d e lo fr a n d o mp r o b a b i l i t yo fs u r v i v a l ，s e ew a n g g u a n g h u a ，l u y u h u a ( 2 0 0 6 ) ，d i c k s o n ，h i p p ( 1 9 9 8 ) ，c h e n g ，t a n g ( 2 0 0 3 ) ，g e r b e r ( 1 9 7 0 ) ，d u f r e s n e ，g e r b e r ( 1 9 9 1 ) ， a n dt h e no nt h es e c o n dc h a p t e ro ft h ec l a i m a n tt ot h ei n t e r v a lf o ru p d a t i n gt h em o d e ld i s c o u n t g e r b e rs h i u - p e n a t t yf u n c t i o n i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w i t hi n f i n i t e s i m a ls t u d i e dw i t ht h ei n t e r f e r e n c e o ft h er i s kp r e m i u mr a n d o mm o d e lo fs u r v i v a lp r o b a b i l i t y s e c t i o n1i n t r o d u c e dt h eb a s i cm o d e l ， i nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e li sb a s e d0 nan e wm o d e l ；s e c t i o n2p r e s e n t st h es u r v i v a lp r o b a b i l i t y i n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： 广u 5 2 a ( u ) 一6 2 r ( u y ) p ( y ) d u = 2 5 a a l 爿( u ) + 【2 5 ( d + 仃2 ) 一( 盯1f a ) 2 】r ( 乱) ，o 一2 ( d + 仃2 a ) a 仃lr ( 3 ) ( 扎) 一( d + 仃2 a ) 2 兄( 4 ) ( t 正) ， t h e nl a p l a c et r a n s f o r mm e t h o ds u r v i v a lp r o b a b i l i t yi nt h ef o r mo f ： r ( u ) =三f 0 乜b ( 一z ) d a ) + 而1 b ( 让) i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h eg e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l yf u n c t i o nf o rt h er i s k p r o c e s sw i t hi n t e r e s tr a t e sa n dg e ta ni n f i n i t ys e r i e se x p r e s s i o n sf o rt h eg e r b e r s h i ud i s c o u n t e d p e n a l t yf u n c t i o n w eg e n e r a l i z et h eg e r b e r s h i u sf o r m u l a ( g e r b e r ，s h i u ( 1 9 9 8 ，( 2 4 0 ) ) ) ，s e e g e r b e r ，l a n d r y ( 1 9 9 8 ) ，g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 5 ) ，t s a i ，w i l l n m t ( 2 0 0 2 ) ，a n db a s e do nt h i s ，w eh a v e 曲阜师范大学硕士学位论文 f o o ( 5 y + c ) 一学一( f n 糍广1 z 暂圣如( 矽一z ) p ( z ) 如+ a ( 秒) ) 咖 = z 出吣川i 州a , u ，x , y ) 咖 + 耋卜伫匆z 0 0 出，o 期e 。酥t 加x m - l ? j 川， 卯，m ( 口，让，x l ，y l ，x m - i ，y m 一1 ，z ，可) d 可竹i 一1 t h es e c o n dc h a p t e r4o i lt h ef i n a lb a n k r u p t c yp r o b a b i l i t y , w eh a v e t h e o r e m4 1f o ra n y5 0 ，让0 喇= z 如蛳c o , u , x , y 胁 卜e 如、卜r z 一o 彩，m ( 0 ，铭，x t ，y l ，x m - 1 ，跏一1 ，z ，秽) d 跏一1 t h e o r e m4 2f o ra n yu 0 ，6 0 ， z 掣6 ( u ) 2 州尚e 一7 f d x l 9 6 ，1 ( a ，u ，钆y 1 ) d y l l r 如1 劈9 6 ，l ( q ，珏，x l , y 1 ) d y l 。 k e yw o r d s ：r a n d o m i z e dp r e m i u m s ；s u r v i v a lp r o b a b i l i t y ；r i s km o d e l ；i n t e r e s tr a t e s ：g e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ；e r l a n g ( n ) d i s t r i b u t i o n ；e v e n t u a l l yr u i np r o b a b i l i t y 一 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文两类风险模型的破产问题研究，是本人在导 师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注 明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者始柱蜘嗍沙吼够、8 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 两类风险模型的破产问题研究系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师指 导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得 以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅，本人授权曲 阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名： 撕日期：伽扩瓴 翩豁多乏笋魄胁c p 第一章带干扰的保费随机化风险模型的生存概率 1 1 预备知识 本文研究一类保费随机化风险模型，定义t 时刻保险公司的总盈余为： m ( )j v ( t ) ( ) = 心+ x 一k + ( ) ，t 0 ， ( 1 1 1 ) i = 1i = 1 其中让为初始盈余， m ( ) ，t o ) 是一个强度参数为入的p o i s s o n 过程，m ( t ) 表示在 f 0 ，t 】时间段内的保费来到次数，保费来到时间间隔为 7 r i ；i 1 ，是独立同分布的指数随机 变量序列； k ；主1 表示个体保费额，并假设e x 】= 仃l ，e x 2 】= 仃2 ； ( ) ，t 0 为 e r l a n g ( 2 ，6 ) 更新记数过程，即索赔来到时间间隔( 厶；i 1 是独立同分布的e r l a n g ( 2 ，6 ) 随机变量序列， a t ) p ( l n a t ) e r ( u + w ( a t ) ) + p ( r l a t ) p ( l n a t ) e r ( u + w ( a t ) ) ( 1 2 2 ) + 尸( 丌l t ) p ( l 1 1 a t ) e r ( u + x l + w ( a t ) ) + p ( r l a t ) p ( l n a t ) e r ( u + x l + w ( a t ) + d ( t ) ) ， 分析 u ( 亡) ，t o ) 过程： r ( u ) = p ( r l a t ) p ( l 1 2 a t ) e r ( u + w ( a t ) ) r u + w ( z 、t ) + 尸( 7 r l a t ) p ( l , 2 a t ) e 冗( u + w ( a t ) 一可) p ( ! ，) d 可 ，0 + p ( r l t ) p ( 己1 2 a t ) e r ( u + x 1 + w ( ) ) ( 1 2 3 ) + p ( ，r l a t ) p ( l , 2 a t ) f u + z l + w c a ( o ) ，、。 e r ( 札+ x 1 + w ( a t ) ) p ( y ) d y + o ( k t ) ， 2 曲阜师范大学硕士学位论文 又因为 尸( 丌l a t ) = 1 一a a t4 - o ( a t ) ， p ( l n ) = p ( l 1 2 a t ) = l 一6 a t + o ( a t ) ， p ( 7 r 1 a t ) = a a t + o ( a t ) ， p ( l n a t ) = p ( l , 2 a t ) = 6 4 - o ( a t ) 利用t a l o r 展开式，于是得到： 袁 器 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 口 2 6 入仃1 r ( v ) 4 - 【2 d 64 - 2 盯2 入6 一( 盯1 a ) 2 】一2 ( d4 - 0 2 入) ) 、口1 【爿7 ( ”) 一( o ) 】 一( d q - a 2 a ) 2 冗( 3 ( 移) 一r ( 3 ( 。) 】：6 2 冒r ( 甜一) ( 1 一f ( 秒) ) d 秒 q 2 _ 3 第一章带干扰的保费随机化风险模型的生存概率 令z ，_ o 。，因r ( ) = 1 ，兄7 ( o 。) = r ( ) = r ( 3 ) ( o 。) = 0 所以： 定义 跏= 2 一【2 6 ( d + a a 2 ) 一( w 帅) + 2 ( d + 入c r 2 州 ( 1 2 8 ) + ( d + a 2 a ) 2 冗( 3 ( o ) 将( 1 2 8 ) 式代入( 1 2 7 ) 式得式 2 6 a a lr ( v ) + 【2 5 ( d + a 仃2 ) 一( a a l ) 2 】兄7 ( u ) 一2 ( d + a a 2 ) a a lr ( 秒) 、， ( 1 2 9 ) 一( d + 入仃2 ) 2 r ( 3 ( 钞) = 5 2 兄( 仃一y ) ( 1 一f ( y ) ) d y + 2 巧a o - i 一6 2 # 、。 0 妒( 秽) = 2 ( d + a a 2 ) s r ( v ) 一( d + ) - a 2 ) a a lr ( v ) 一( d + 入口2 ) 2 7 ( 钞) ( 1 2 1 0 ) 由于( 1 2 6 ) 的第一式：妒( u ) = 0 ，因此( 1 2 9 ) 转化为 ( 可) + ( 。) d + 入r r a 2 a = ( 2 6 a a l - 5 2 # ) + 6 2z r ( 移一秒) ( 1 一f ( 可) ) d 可 ( 1 2 1 1 ) 令 a a 1 7 7 2 d + a 仃2 ( 1 2 1 1 ) 可等成 ( 秽) + 7 7 妒( 钉) = 兰三妄拿! 兰( 2 6 入盯- - 5 2 肛) r + 6 2 v r ( 移一可) ( 1 一f ( 秒) ) d 秒( 1 2 1 2 ) 上式两边同乘以积分因子e 删对u 在0 至z 上积分可得： e 够妒( z ) ：掣( 2 6 入盯1 6 2 肛) ( e 弘一1 ) + a 巧2 0 1z v e 删兄( 钞一可) ( 1 一f ( 可) ) d 可d u ，z 。 1 2 1 3 4 定义几个概率密度函数： 定义 所以( 1 2 1 3 ) 转化为： 妒( z ) = h i ( z ) = t i e 一班， h 2 ( x 、= l 而厕 h ( x ) = h i 木危2 0 ， ( ( z ) = l e 一班，z 0 鼍( 1 - e - t x ) + 砺5 2 1 t厂z 兄( z ) 尼l 木危2 ( x - - z ) d z ，z o t ，0 即： 2 5 r ( x ) 一a o ir 7 ( z ) 一( d + a 盯2 ) 2 尉7 ( z ) =攀m)+警。弘)hi*h2ao1 a o 1i ”圳。 n 、 ( 1 2 1 9 ) 两边求l a p l a c e 变换可得： 整理上式： 2 6 应( s ) 一a 盯l s 扈( s ) 一( d + a 仃2 ) 2 s 2 矗( s ) 一r ( o ) 】 = 竽铲f ( s ) + 髻晰l ( s 蜘 2 6 - a a l s - ( d + a 0 2 ) 2 - 名献s - ( d + a 0 2 ) 2 尺7 ( o ) + 因为2 a a x 一舡 0 ， 所以下列方程( 关于s 的) 有唯一正解设为p 掣潲 府1 ”。厂 2 6 一概s 一( 。+ 2 s 2 髻椰) - 0 将8 = p 代入( 1 2 2 1 ) 右边 尉( 0 ) = 2 a a l 6 6 2 弘 ( d + a 0 2 ) a l a 5 ( ( j d ) ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) ( 1 2 1 7 ) ( 1 2 ：1 8 ) ( 1 2 1 9 ) ( 1 2 2 0 ) ( 1 2 2 1 ) ( 1 2 2 2 ) ( 1 2 2 3 ) 这样r ( u ) 的l a p l a c e 变换： r ( s ) = 坐车丝一ao h 。 2 - - h a l s - ( d + h a 2 ) 2 s z 一是“ 以下推兄( 让) 满足的更新方程，为此定义： 6 = 丙再h o - 1 可+ p p ：孥 a o h 由于p 为方程( 1 2 2 2 ) 的解，( 1 2 2 4 ) 转化为； ( 1 2 2 4 ) ( 1 2 2 5 ) 掣一 取s 卜磊i 石丽象豪蒜羔蕊1 2 2 6 ) 一a 口1 ( s p ) 一( d + a 盯2 ) 2 s 2 ( s p ) 一上限l ( s ) 万2 ( s ) 一万1 p 一蓐2 ( p ) 上式转为 定义 ( d + a o 2 ) 2 5 2 + h a l s 一( d + h a 2 ) 2 p 2 一a 仃1 p = ( d + h a 2 ) 28 + 6 ) ( s p ) 卜商啬j r ( s ) 7 2 丽h a l e 一， 7 ( y ) = a 1 e - o ( x - z , ) h ( z ) 如， 拍) = 是z 0 。e 刊舢取喇z ， 小) = f 州u ) = 赤斋厶f 乜e 小) - f 州班高缸 6 矽k ( s ) 一 0 ，9 ( ) 可表示为 g ( y ) = a 木a 【l + l ，e 2 一p a ( c d f z + ，危) 、。a z 2 ，) d z + z 。0e p c z 一，九( x ) d x - e - t w 0 。e - p x h 。z ，d z 】( 1 2 2 9 )木【耖e 一6 ( 1 ，一z ) 危( z ) d z + z 。o e p ( z 一) 九 ( z ) d z 】 。1 。习 g ( y ) 的l a p l a c e 的变换 雪( s ) = z 0 0e-sy9(y)dy=：；粼3- ( ，2 3 。)雪( s ) = 9 ( y ) = 并若愁( 1 2 3 0 ) - ，o上l 【，o 八一o ， 引理2 若( d + a 0 2 ) 2 0 ，g c ( y ) 可表示为： 9 ( ( ) = a a l + 2 p ( a 二a 2 + d ) 木【e 一? l 一z ) e ( z ) d z + z 。e p ( z 一) ( ( z ) d xe - b 掣：0 0 。e - e x 6 2 肛有 g ( y ) d y 。， 其中死为正整数且p 0 关于这个模型的研究可参见d i k s o n ，h i p p ( 1 9 8 8 ，2 0 0 0 ，2 0 0 1 ) ，l i 和 g a r r i d o ( 2 0 0 3 ) ，c h e n ga n dt a n g ( 2 0 0 3 ) ，w i l l m o t ( 1 9 9 9 ) ，g e r b e r ，s h i u ( 1 9 9 7 ) ，l i n ，w i l l m o t ( 2 0 0 3 ) ，t s a i ，s u n ( 2 0 0 4 ) ，d i c k s o n ，h i p p ( 2 0 0 1 ) ，d i c k s o n ，h o w a r d ( 2 0 0 4 ) ，g e r b e r ，s h i u ( 1 9 9 8 ) ， l i n ，p a v l o v a ( 2 0 0 6 ) 等。 我们假设单个的索赔量z 1 ，汤，为i i d 随机变量并且分布函数为p ( z ) = p r ( 五 z ) 。设：e ( z ) = 铲- f i ( z ) d z = 厅p ( z ) d z = p o o 定义破产时刻乃= i n f t ：( ) o ) ；若u 6 ( ) 0 对任意时间t 0 成立，则乃= o o 9 第二章带利率的e r l a n g ( n ，) 风险模型的研究 破产概率为雪6 ( u ) = p r t 6 1 ( o ) = u ) 以下式子对全篇文章成立， r ( a ，也，z ，y ) = p r e 咄乃( ( 乃一) z ，u 6 ( t 6 ) y ) i ( t 6 0 时结论成立；当6 = 0 时，我们可以利用类似的 分析得到( 2 2 2 ) ， 口 r ，m ( a ，珏，z ，y ) = e 【乃= ，e 一。死( 巩( 乃一) z ，( 瓦) 芗) i ( o ) = 珏】， 厶，m ( ，u ，d x ，d y ) = 如，mo z ，u ，z ，y ) d x d y ， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 其中如，竹；( 口，牡，z ，y ) 是乃，m ( q ，u ，z ，y ) 的密度函数 引理2 2 对所有的理0 ，u 0 ，巧0 ，z 0 ，y 0 ，我们有 乃，l ( 口，牡，z ，y ) ：l u 2d z l r 分仍】( n , u , x l , y 1 ) d y l ， ( 2 2 6 ) ，“一 r ，m ( q ，让，z ，y ) = z 0 0 出厂( 一，如m 咖旭轧而川协2 刀 证明首先由( 2 1 1 ) ，我们有 ( ( o ) = u ) n ( 死= 置) = ( ( n 一) 札，欢( 五) o ，巩( o ) = “) 再由引理2 1 ，我们得到 其中m 2 ， r ，1 ( q ，t i ，z ，y ) = e u e q 死，u 阮( 正一) sz ，u 6 ( t 1 ) y ，j 扛2 u ) = 如z z 如t 蛳( 0 , u , x 1 , y l 胁一， ( ( o ) = 珏) n ( 乃= ) = ( 0 阮( s ，一) ，0 阮( s ，) ，0 ( 一1 ) ， 0 u 6 ( & ) ，k = 1 ，2 ，仇。 这样，由引理2 1 ，我们可以得到乃，m ( q ，缸，z ，芗) 的表达式为引理2 2 ( 2 2 7 ) 引理2 3 对任意m 2 ， ( 1 ) 当6 0 ， r ，m ( 口，u ，。，y ) ( 2 ) 当6 = 0 ，f o ，m ( a ，u ，z ，y ) = 譬d z t 露 证明应用引理2 1菇e 掣叫( x l - u ) n - l p ( z l - y i ) f o 肛- ( a , y l , x , y 和引理2 2 得到( 2 2 ，4 ) 和( 2 2 5 ) 口 口 注2 1 事实上，( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 给出一个关于r m ( ，珏，z ，y ) 的递推公式然后应用引理 2 3 可以得到关于 。m ( q ，u ，z ，y ) 的递推公式 于是对于任意的m 2 ， ( 1 ) 当6 0 ， 如。m ( q ，牡，z ，芗) ( 2 ) 当6 = 0 ，o ，m ( q ，u ，文y ) e 如、o 降c o , f =而e 一半 t ( x 1 - - ，) 州如 注2 2 厶，1 ( 口，牡，z ，y ) = 厶t 9 6 ，1 ( 口，“，z ，可) 1 4 ( 2 2 8 ) 一1 ) , f o , r n - - 1 ( 0 1 ，y l ，z ，y ) d y l ( 2 2 9 1 0 1 y ly ) a y l)一1j【，z ，i) 曲阜师范大学硕士学位论文 定理2 ：2 对任意的q 0 ，6 0 ，z 0 ，秒 0 在这种情 况下，可以得到关于破产概率矽( 铭) 和破产赤字的表达式 1 5 ( 1 ) 破产概率妒( 乱) ，其中6 = 0 ，口= 0 ，叫= 1 ，我们有矽( 让) = 6 ，口( “) = c n ( u ) ，其 n = 1 中饥( 仙) = 圣6 ，叩( u ) 从引理2 4 假设： 矽t ( t 正) = 如u ) = 如( 让) = 入 如c 鄢e 唰删切 入+ 口c e 一触 d x f o =( 饥u ) = ( 当，r 一( u ) 入+ 口c 1 a e a ( 警p e 一卢( 螂砂1 ( y ) d y ， ) 2 p ( t 正+ c 入+ 口c ) e 一阢， 出厂z 三扩a ( 半肚咧州蜘) d y i o c 入+ 口c 入+ 8 c ) 3 p 2 ( 互1 乱2 + 2 c a + 口c ) n 矿1 r 一1 ( 札) e 一肌， =口n ( n 一- 1 1 ) 矿一1 + u a n ( n 一- 2 x n ，。( c a + g c 入+ 8 c 札+ 2 ( c 入+ 口c 仳札一2 + n 等( ) n 一2 乱+ 口乎_ 1 ( 则讥+ l ( u ) = fd x 后：入e a ( 半p e 一口( z l ( 秒) 咖 a ) 、+ 8 c + ( 矽一t 警e 竽 型7 ,c c ) + 8 c广z 掣 c a + 口c ， e 一( + 口) z z n d z + e 一( + 口) z z 2 d x + ( 1 6 1 n c ) 2 ) e 一触 a + 口c n ( n - - ：1 ) l - “n 一2 a + 口cn 一1 c + 8 c ) 2 u n 一3 + + e 一( + 卢) z z n 一1 出 广1 掣z 。e 世+ 口) z x d x 】 曲阜师范大学硕士学位论文 由等式f 扩e d x = z o o e 一( 鲁+ 卢净z n d z 【：钆n + 暑u n 一1 + 丛豢坐u n 一2 + + 丛堡；盥u + 署* 】e 一伽，我f 门得到 e 一( + 口) z z n 一1 d z ： c 入+ 口c “n + ( c x + 8 c 【再c 瓦u n - 1 + ( e 一( ：+ p 扣 e 一( 鲁+ 卢) 2 x d x = c 入+ 口c u + ( c ) 2 n - u n - i 4 - ( 志) 州n ! 】e - ( 峒u a + 8 c c a + 口c ) 2 ( 礼一1 ) u t - 2 + x ；瓦) n ( 佗一1 ) ! 】 ) 2 】e 一( + 缈 所以帆+ 。( 让) ：( 东) n + - p 佗【兰f l n - d 让n + ( 。黔1 ) + 芋) 豇靠t t n ， + ( ( 礼一1 ) 。n h - 一1 、 4 - m - 1 、+ 兰g t - i 1 ) ( ，一 、 c 入+ 口c 1 2 u ，l 一2 + ( ( 礼一1 ) ( 仃一2 ) ( n - - 1 1 + n - - 2 ) 。n _ 2 ( n - 1 + 口n 舻- 3 1 + 篙1 ) ( ( n 一) c 入+ 8 c 1 3 u n 一3 + ( ( n 1 ) ( n 一2 ) 2 口s 1 + n 一2 ) ( 佗一3 ) 2 d n ( n 一- 2 1 + + o p 一1 + 凸驴一1 ) c a + 8 c 1 n 一1 u + ( ( 凡一1 ) ! 口袋j 1 + ( 佗一2 ) ! q 墨j + + 口( 1 7 1 1 + o 护一1 ) ( 注意我们有 其中 饥+ 1 ( 让) = ( a + 8 c ) n + 1 矿r ( 让) e 一肌， r ( u ) = 毋让n + 。罂，再c p 。u n 一1 + 。婴：( 靠) 2 u t l 一2 + 这样我们得到递归公式： + o ，( c a + 口c 。牿掣，