（应用数学专业论文）非对称基本区域网格的buffon问题研究.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 b u f f o n 投针问题是最早的一个几何概率问题，也是一个影响最大、最具有代表性的的 几何概率问题，b u f f o n 问题问世二百余年以来，已有各种推广研究，其中最重要的推广是： 将小针随机地投掷于布有以某凸域为基本区域的网格的平面上，求小针与网格相遇的概 率 在积分几何中，运动公式是一些定义在定区域与动区域交集上的几何函数的积分公式 这些公式能够被看作是各种交集测度的积分公式，它们对于解决几何概率问题是很有用 的 本论文以一角为3 0 。的直角三角形为基本区域组成的复杂网格为研究对象，在上述推 广的基础之上，做了进一步研究由于此基本区域的非对称性，使得其几何概率问题复杂的 多，本文通过利用广义支持函数和限弦函数求得定长线段的运动测度的方法，给出了此复 杂网格的几何概率公式。 关键词：几何概率：网格：广义支持函数：限弦函数：运动测度 a b s t r a e t b u f f o nt h r o w st h en e e d l ep r o b l e mi sae a r l i e s tg e o m e t r yp r o b a b i l i t yp r o b l e m ，s a y si ti sa l s o t h a to n eh a st h et y p i c a lm a x i m a le f f e c tg e o m e t r yp r o b a b i l i t yp r o b l e mi nac e r t a i ns e n s e b u f f o n p r o b l 锄c o m e so u ta l r e a d yh a v i n gv a r i o u se x t e n s i o n i s ：t h es m a l ln e e d l ei st h r o w n r a n d o m l yt h e p r o b a b i l i t ya s k i n gt h es m a l ln e e d l et om e e tw i t hg r i do nt h ef l a ts u r f a c eh a v i n g t h e l a t t i c et a k i n g s o m ec o n v e xd o m a i n sa sb a s i ca r e ai nc l o t h k i n 锄a t i cf o r m u l a si ni n t e g r a lg e o m e t r ya r ei n t e g r a lf o r m u l a st h a tr e p r e s e n ti n t e g r a l so f g e o m e t r i cf u n c t i o n so nt h ei n t e r s e c t i o no ff i x e da n dm o v i n gd o m a i n s t h e s ef o r m u l a sc a nb e v i e w e da si n t e g r a lf o r m u l a sf o rv a r i o u si n t e r s e c t i o nm e a s u r e s t h e ya reu s e f u l f o rs o l v i n g p r o b l e m si ng e o m e t r i cp r o b a b i l i t i e s c o m p l e xl a t t i c ew h i c hh a st h e f u n d a m e n t a lc e l lc o m p o s e db yt h eu n i o no ft r i a n g l ew i t h t h ea n g l e s3 0 。6 0 。a n d9 0 。a r et h er e s e a r c ho b j e c t si nt h ep a p e r t h ep a p e ri n c l u d e sm o r e r e s e a r c hi nt h eb a s i so ft h ep r o m o t i o no ft h ea b o v e g e o m e t r yp r o b a b i l i t yp r o b l e mb e c o m e s m o r ec o m p l e xb e c a u s eo ft r i a n g l e sa s y m m e t r y i nt h i sp a p e r , b yu s i n gt h em e t h o d s o fk i n e m a t i c m e a s u r ew i t hg e n e r a l i z e ds u p p o r tf u n c t i o na n dr e s t r i c t e dc h o r d f u n c t i o n ，w eo b t a i nt h eg e o m e t r y p r o b a b i l i t yf o r m u l ao f t h ec o m p l e xl a t t i c e k e yw o r d s ：g e o m e t r i cp r o b a b i l i t y ；l a t t i c e ； c h o r d f u n c t i o n ；k i n e m a t i cm e a s u r e g e n e r a l i z e ds u p p o r t f u n c t i o n ；r e s t r i c t e d 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进 行研究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共 同完成的工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：鱼亟塑t 日期：。星。! f ：趁 研究生学位论文版权使用授权书 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它 单位的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研 究生学位论文收录工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本， 允许论文被查阅和借阅，同意学校将本论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索。 论文作者签名：冱道盟 指导教师签名：乏经硅 日 期： 丝：f l 堑 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章引言 1 1 综述 数学，这门古老而常新的科学，己阔步迈进了2 l 世纪，被誉为科学的皇后的她，以其抽 象性、对称性和广泛的应用性享此美誉是当之无愧的回顾过去的个世纪，数学科学的巨大 发展，比以往任何时候都更牢固地确立了她作为整个科学技术的基础地位数学正突破传 统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，并越来越直接地为人类物质生产与日常生 活做出贡献，同时数学作为一种文化，已成为人类文明进步的标志因此，对于当今社会的 每气个有文化的人而言，不论他从事何种职业，都需要学习数学，了解数学和运用数学，现 代社会对数学的这种需要，在未来的世纪中无疑将更加与日俱增另方面，世纪数学思想的 深刻变革，已将这门科学的核心部分引向高度抽象化的道路 几何学是一门古老而又保持着旺盛生命力的数学学科，追溯历史，它是分析、代数等许 多数学分支产生和发展的基础和背景又是数学联系实际应用的重要桥梁，它体现了形与数 的结合、演绎法与解析法的结合，它的直观性、实验性的特点启示了许多新思想，新原理的 诞生 积分几何起源于几何概率，由于w b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的系统工作， 在2 0 世纪3 0 年代积分几何正式成为独立的分支积分几何的研究与几何概率的问题始终 密切相关，而积分几何的研究成果运用到凸的对象中特别有效。因而积分几何方法在凸几 何与几何概率中的应用具有十分重要的作用【4 】【5 】【8 】【9 】【4 0 1 凸几何所研究的内容涉及面广泛 它既是一门基础理论，又与实际应用密切联系，极具应用价值它与许多其它的重要数学 分支有着密切的联系积分几何与凸性的关系尤为密切积分几何是探讨凸性的有力工具， 而凸性恰好又是积分几何的有效性的实证领域 凸几何是以凸集或凸性作为研究对象的几何学分支1 9 世纪下半叶 h e r m a n n b r u n n h e r m a n nm i n k o w s k i 对凸几何的早期发展做了大量开创性的工作 b r u n n m i n k o w s k i 理论是凸几何学的经典内容，其核心部分是b r u n n m i n k o w s k i 基本不等 式和混合体积理沦它与许多重要数学分支都有深刻联系2 0 世3 0 年代，前苏联数学家 a d a l e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 独立地引入了混合面积测度的概念2 0 世纪8 0 年代，e l u t w a k 引入了对偶混合体积的概念，这些都进一步丰富了凸体理论，并 由此解决了许多长期未能取得进展的重要课题目前它依然是凸几何中最为活跃的研究 方向 我国自i 辈数学家苏步青在凸几何研究领域作出卓越贡献，他于1 9 2 7 年关于s t e i n e r 曲 率重心的成果至今仍被国外凸几何方面的著作所引用苏步青先生所著微分几何五讲 中的第一讲和第二讲所论述的正是凸几何中最精彩的内容陈省身、吴大任、严志达、吴 光磊等前辈数学家对凸几何的发展也都有重要贡献【2 】【3 l 【2 6 ”们1 9 4 0 年前后，陈省身教授 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 和a w e l l 教授将局部紧群上不变测度的观念引入积分几何，从而形成齐性空间积分 几何【2 4 】【2 5 】1 2 6 1 ，对这门学科的进一步发展作出了极其卓越的贡献 1 2 复杂网格的b u f f o n 概率问题的研究现状 b u f f o n 概率问题是几何概率中的经典问题，1 7 3 3 年，b u f f o n 在他的一份研究报告的 附录中讨论了著名的b u f f o n 投针问题，研究的是在画有等距离的平行线簇的平面上，向平 面任意投掷长针，针与直线相交的概率凸体理论与积分几何的关系极为密切用积分几何 中许多普遍性公式处理凸的对象时可以获得许多重要的结果例如：凸体的包含测度问题 便是积分几何中相当重要的课题之一但是关于凸体的包含测度问题很长时期内一直未能 突破一种最简单的情形是：含于平面上凸域内定长线段的运动测度如何表达和计算? 直到 八十年代以前，这个问题的答案是不知道的，任德麟教授在这方面做出了开创性的工作对 2 维欧氏空间的情形，任德麟引入凸域的广义支持函数和限弦函数两个新概念，利用它们 建立了凸域内定长线段的运动测度( 即包含测度) 的一般公式，并对矩形区域进行了 讨论4 1 1 5 】【8 1 对高维情形，当k 为凸柱体时，导出了计算包含测度的递推公式【4 2 1 针对2 维 情况，黎荣泽、张高勇i l l l 等讨论了平行四边形、三角形和正六边形- s b 区域，找出它们的广 义支持函数和限弦函数，计算出了这些凸多边形内定长线段的运动测度的具体表达式，并 将其运用于几何概率问题中得到一系列结果此问题的研究，不仅能够为等周不等式的证 明提供一种有力的工具，而且还可以应用到一区域包含另一区域的充分条件中，这对于积 分几何学的理沦研究具有重要意义同时，通过研究这一问题，可以得到一系列的运动测度 公式，而这些公式应用到几何概率问题中，使得人们能够以一种全新的角度对搜索问 题，b u f f o n 问题及g u f f o n 问题的推广等此类问题进行认识和研究 1 3 本论文所作的工作及其研究目标 本文主要研究特殊网格的b u f f o n 概率问题，通过利用凸域内定长线段的运动测度，给 出了不同凸域为基本区域的网格的b u f f o n 概率公式，具体计算了特殊的以一角为3 0 。 的直角三角形为基本区域的网格的b u f f o n 概率 1 4 本研究的创新之处 利用包含测度方法推广b u f f o n 问题已有不少成果，但基本区域一般具有很强的对称 性，如矩形、平行四边形、正六边形等等，本文讨论非对称基本区域构成的复杂网格的 b u f f o n 问题，由于其非对称性，使得计算广义支持函数与限弦函数变得困难与复杂，本文突 破难关得出了教好的结果 武汉科技大学硕士学位论文 第3 页 1 5 本论文的内容安排 本论文分为四章： 第一章为引言 第二章主要主要研究复杂网格的b u f f o n 概率问题，给出了凸域的些定义，得到了 不同凸域为基本区域的网格的b u f f o n 概率公式。 第三章利用得到的b u f f o n 概率公式推广并计算出特殊非对称复杂网格的b u f f o n 概率 公式 第四章对所研究的两个问题作了简略的说明和展望 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 第二章定长线段与网格的相遇概率问题 弦函数，所以要了解这一概念，必须先了解相关的背景知识 定义1 e ”中的点x ，j ，连接工和y 的线段x y 是指： _ i 万= 口工+ z y ，口 o o 口+ = 1 ) 定义2 如果对于集合彳中的任意两点x ，y ，其连线x yc 彳，即：如果对 v xc 么，砂c 彳，v 五1 ，都有( 1 一兄) x + 2 y = 1 ，则称a 为凸集 文献 1 3 1 4 给出了下述结论：设是一个面积为圪周长为厶的凸多边形，k 是一个 无向线段，假定k 的长，限定它不能同两条不相邻的边都相交 m o 为在k o 内的一切k 的 位置的测度，4 为k o 的顶角，则 m o = z 磊一厶，+ 等； 1 + ( 万一4 ) c 。t 4 】 k 在k o 内的概率为 昂2 丽m o 从而k 与k 。的边界相交的概率是 万r + 3 厶z 一三【1 + 仞一4 ) c o t 4 】 肚卜耻1 磊可矿一 q - 2 d 上述结论对针长有限制，当针长超过多边行较短边时上述结论就不再适用，而文献 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 8 1 2 给出的结论就不受此限制 定理l 设d 为平面上有界闭凸域，周长为，面积为f 为长度等于常数，的线段含 于d 内的的运动测度记为m ( t ) 则有 聊( ，) = 万f 一圮+ l n 。( ，一o ) d g ( 2 2 2 ) ( 口s ，) 其中盯表示d 被g 截出的弦长 公式( 2 2 2 ) 虽然表达出运动测度m ( 1 ) ，但公式中所含积分项不便于实际计算，因此， 我们希望将这一公式转化为另一种形式为此， 8 1 2 引入了广义支持函数和限弦函数概 念 定义3 以盯表示凸域d 被直线g 截出的弦长，当g 仅与劬相交包括gn0 1 9 是线段情 形，约定盯= 0 ，g 的广义法式，对任意给定的仃及( o 2 刀) 置 p ( 仃，矽) 一u p p ：m g n ( i n t d ) = 口) ， 我们称二元函数p ( 仃，) 为凸域d 的广义支持函数 显然，取盯= 0 ，则p ( o ，痧) 便是通常的支持函数，从而有 r ”p ( o ，矽矽= ， 定义4 以o m ( 矽) 表示垂直于矽；h - i 句的直线g 与凸域d 截出的弦长最大值，即 o m ( 矽) = s u p 盯：仃= m g n ( i n t d ) ， 对任意给定的，( 0 ) 及( o 2 x ) ，置 r ( 1 ，) = m i n ，o m ( ) ， 我们称二元函数，( ，矽) 为凸域d 的限弦函数 显然，f f i f f 可l 0 ，支持函数p ( 仃，矽) 在区域( e ) ：o 盯，( ，矽) 上有定义 定理2 设p ( 盯，矽) 和，( ，矽) 分别为凸域d 的广义支持函数和限弦函数，m ( 1 ) 的定义 同前，则有 聊( 垆万f r p ( 盯，矽矽盯， ( 2 2 3 ) 其中f 为d 的面积 公式( 2 2 3 ) 对平面上任意凸域皆成立，从原则上说，它提供了计算任意凸域的m ( ，) 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 的一般程序：先找出凸域的广义支持函数和限弦函数，然后按公式( 2 2 3 ) 作初等运算即 可 作为举例， 8 1 2 应用( 2 2 3 ) 计算了矩形域的m ( t ) 于平面上取好直角坐标系x o y 设矩形为( 图2 1 ) ( 尺) 一i a x 兰，一兰y 兰 。 、 d 爿 图2 1 不失一般性，n - - j - 设：b 口，矩形的直径( a 2 + 6 2 ) 2 简记为d 由对称性，仅需考虑由。到詈的积 分对于o 三，矩形域r 的限弦函数r ( z ，矽) 为 r ( 1 ，矽) = 厶 当o 7 破0 5 号， 6 c o s ，当b l a f f ( 。a f c c 。s 7 b ， ， 当b ， 极a r c c 。s 7 b 三， b c o s ，当a ，d 及o 矽 a r c c 。s 7 b ， 厶 当a 姚d ) j 乏a r e c 。s 亨 删n 号， 口s i n 矽，当a ，d ) 及a r c s i n 予矽三 r 的广义支持函数为 加，舻三( s + b s i n 矽- o - s i n 2 妣。詈，。仃纠埘) 利用公式( 2 2 3 ) 可得 m ( o = ：r a b - 2 ( a + 6 ) ，+ ，2 ， 刀口6 2 口6 a r c c o s b ，一2 口，+ 2 乜( ，2 6 2 ) 1 ，2 6 2 ， ， 、 。 7 。 2 a ( 1 2 - b 2 ) “2 + 2 b ( 1 2 一a 2 ) 1 胆一a 2 一b 2 一，2 + 2 a b a r c s i n a 一2 口6 a r c c o s b 1 l 2 3 运动测度胁( ，) 在几何概率问题中的应用 当0 ，6 ，( 2 2 4 ) 5 6 ，a ，( 2 2 5 ) 当a ，d ，( 2 2 6 ) 上一节导出的运动测度m ( 1 ) 的一般公式有许多应用本节主要介绍如何利用测度 m ( t ) 对b u f f o n 问题作一系列推广 2 3 1b u f f o n 问题的l a p l a c e 推广 所谓区域网格是指满足下列条件的一种全等区域序列口。，o r 。 ( 1 ) 平面上任一点p 属于且仅属于某一个区域： ( 2 ) 对于任意指定的吼，存在运动掰到重合与，与此同时使得序列中每 个区域重合于序列中另外的区域 诸q 称为此区域格的基本区域，这些基本区域的边界组成的图形称为此区域格的网 格 设平面上有两组互相正交的平行线网，一组的间隔为口，另一组的间隔为b ，如此形成 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 的网格称为矩形网格以a 和b 为边的矩形叫做此网格的基本区域设b 口，一小针，其 长度，不超过矩形较短边之长，随机地投掷于平面上我们希望求与该矩形网格相遇的 概率p 的问题为b u f f o n 问题的l a p l a c e 推广这一问题的经典解法是( 见u s p e n s k y 汹1 ) ： 以( x ，y ) 表示小针的中点坐标，0 x a ，0 j ，6 ，缈表示与o x 轴之间的 角，一号矽三，从而，小针的一切可能的位置，对应于边长为口，6 及万的长方体中均 匀分布的点( 工，y ，缈) 此长方体的体积为y = z a b 含于长方形内的小针的位置集的测 度矿可按照下述步骤求出：y 也可看作是( z ，y ，妒) 空间一立体的体积固定伊， 一三伊三，此立体的截面面积为 f ( 缈) = ( 口一，c o s 妒) ( 6 一，l s i n 伊f ) = 口6 6 ，c 。s 伊一口，l s i n 伊l + 丢，2 i s i n 2 伊1 于是有 矿= f ( c p ) d c p = 口b - 2 ( 口+ 6 ) z + z 2 最后得到n 与矩形网格相遇的概率p p ：l 一三：l 一z a b - 2 ( a + b ) l + l z ：型! 垒! 二生( 2 3 1 ) vz a bz a b 此解法中最关键的一步是求体积v ，v + 即为运动测度m ( t ) ，在刚才的问题中，网格的 基本区域是矩形，且限制针长不超过矩形的较短边，因而上述解法并不显得十分复杂 倘若基本区域是另外的多边形，且针长不受限制( 即允许针长取不超过基本区域直径的一 切正值) ，此时如果利用类似刚才求v 办法去解决相应的推广的b u f f o n 问题，其繁复的 程度将令人难以忍受而上一节所述的求运动测度m ( z ) 普遍公式，为解决这一类问题提供 了统一而有效的方法 2 3 2 利用m ( t ) 讨论推广的b u f f o n 问题 考虑这样的区域格，假定其基本区域全等于某凸域k ( 有时称此区域格是以足作为基 本区域所形成的) 对于这样的区域格的网格，可讨论相应的b u f f o n 问题：将长度为，的 小针随机地投掷于平面上，试求n 与该网格相遇的概率p 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 设k 的面积为f ，又含于k 内的定长线段n 的运动测度为m ( 1 ) ，则参照上一段的讨 论，不难看出 川一等 ( 2 3 2 ) 仍以上一段讨论过的矩形网格为例，此时f = a b ，而m ( 1 ) 由( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 及( 2 2 6 ) 给出 情形1 设0 ，b 利用( 2 2 4 ) 式，有 2 1 ( a + 6 ) 一，2 p2 一 万口d ( 2 3 3 ) 自然，此式即i j 面的( 2 3 1 ) 式在( 2 3 3 ) 式中，若令a 专，则得到与间隔为b 的 平行线网相遇的概率( 仍以p 记之) ： p ：_ _ 2 1 ( 2 3 4 ) 这是经典的b u f f o n 问题的解 情形2 b ，a 利用( 2 2 5 ) 式，有 2 a b a r c c o s _ b + 2 如一2 口( ，2 一b e ) i 2 + b 2 p ：j l _ 二二一 ( 2 3 5 ) 值得一提的是，我们在前面曾经提到过的长针b u f f o n 问题的解，实际上是( 2 3 5 ) 式的极 限情形：在上式中令ajo 。，则有 =昙s了b+爿，一(12-bp 2 ) ” ( 2 3 6 ) 2 i 撤s 了+ 磊【卜 ) j 心一 情形3 a ，( a 2 + 6 2 ) 2 这时m ( z ) 由( 2 2 6 ) 式给出，由公式( 2 3 2 ) ，有 p ：! _ x a b 一2 口( 1 2 - b 2 ) 1 ，2 2 b ( 1 = - b 2 ) ，2 + 口2 + 6 2 + ，2 2 a b a r c s i n 竺+ 2 以b a r c c o s 刍 ( 2 3 7 ) li 。 以上简短的讨论，显示了测度m ( t ) 在处理几何概率问题中的作用，与经典的l a p l a c e 推 广不同，在刚才的讨论中，对小针n 的长度不必加以限制对于任意满足 a ，( a 2 + 6 2 ) “2 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 的，我们都得到了解答( ( 2 3 3 ) ，( 2 3 5 ) 及( 2 3 7 ) 三式) 并且经典的b u f f o n 问题的解都 做为极限情形被此解答所包含 从应用的观点看，也许有限网格模型更有意义，因为无限网格在物理上是不可实现的 2 3 3 某些凸多边形域的m ( z ) 及其应用 图2 2 上一段详细地讨论了矩形网格的b u f f o n 问题讨论的方法，同样适用于其它各种凸多 边形网格的场合高勇和黎荣泽对特殊的网格进行了讨论，如平行四边形( 图2 3 ) ，正三角 形( 图2 4 ) ，正六边形( 图2 5 ) ，得到一系列结果，结果见 11 1 2 武汉科技大学硕士学位论文 第11 页 图2 3 图2 4 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 图2 5 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 第三章非对称基本区域网格的几何概率 3 1 引言 复杂网格的基本区域可以是各种各样的凸域，比如三角形，矩形，五边形当基本区域 为正多边形时，于其对称性不难求出其几何概率 1 2 当复杂网格为以下图形的时候( 图 3 1 ) ，我们研究其几何概率 3 2 特殊直角三角形的几何概率 图3 1 以p 表示有一角为3 0 。的直角三角形，设边长分别为口，五，2 口如图3 2 ： 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 b a 0 图3 2 建立适当的坐标系( 图3 3 ) ，求出其广义支持函数和限弦函数 y 。i b 0 a x 图3 3 一角为3 0 。的直角三角形尸的广义支持函数是： 武汉科技大学硕士学位论文 第1 5 页 p ( 盯，伊) = 佤c o s o - 2 0 - c o s 鲫n ( ；一伊 ， 础n 一知s i n o s i n ( 缈一手) ， a s i 。n 缈一竽盯s i n 缈c o s ( 丝6 一妒) ， 矽一盯矽i 一pi ， 。 3 l厂 一盯s i n 伊c o s 矽， 届c o s 伊一j 3 0 - c o s 2 + 1 2 盯s i n 2 缈， 一角为3 0 。的直角三角形p 的限弦函数如下： ( 1 ) 凯， 孚小 r ( t ，伊) = ， ( 2 ) 当孚删 小 r ( 1 ，矽) = ， r ( 1 ，妒) = 历 口 2 c o s ( 言万一妒) r ( ，伊) = ， r ( 1 ，缈) = 一 r ( 1 ，缈) = z ， 压 口 2 c 。s ( 苔5 万一缈) ( 3 ) 当口， 也时： 当0 p 2 万时 当o 伊 詈， 当号缈 詈， 当三妒 万， 当万缈 了3 7 ， 当等删万 当嘞 s 鲁时： 当一s 鲁娜扣鲁时： 当s 鲁娜咎? s 鲁时： 当1 6 1a r c c o s , f 2 3 ，a 缈 詈万+ a r c c 。s 百4 3 a 时： 当詈万c o s 鲁 6 p 2 7 r 时62 ， 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论文 厂( ，矽) ：上， c o s 够 r ( t ，妒) = ， r ( t ，缈) = c o s ( 吾万一缈) r ( ，缈) ：一旦， c o s 够 r ( 1 ，9 ) = ， r ( t ，缈) = 一 c o s ( 矽) ， ( 4 ) 当弘，2 口时： ，( ，缈) ：j l c o s 够 r ( 1 ，缈) = ， 川纠：兽， s i n 缈 r ( 1 ，伊) = c o s ( 吾万一缈) ，( ，妒) ：一j l ， c o s 矽 r ( 1 ，缈) = ， 当o 伊 a r c c 。s 詈时： a r c c o s 净 一s 鲁时： 当三万一arccos4到3a_cox6 时： 到 当万缈 万+ a r c c 。s 詈时： 当万+ s 净 詈万一一s 鲁时： 当旦万一a r c c o s 鱼够 2 万 62 1 7 当怄妒 一。s 詈时： a r c c o s 孚时： 当a r c s i n 堑1 垫矽 兰2 时： ， 。 当三2 妒 万时： 当万妒 万+ a r c c 。s 詈时： 7 + a r c c o s 净 一s 孚时； 口 丁 口 万丁 口 压丁 武汉科技大学硕士学位论文第1 7 页 川：一兽， s i n 驴 r ( 1 ，缈) = 一 压 口 2 c o s ( 言万一缈) 当a r c c o s 孚娜三砒2， 。 2 当兰刀矿 2 万时 写出p 的广义支持函数和限弦函数后，根据公式( 2 2 3 ) 可以算出各种情况下m ( 1 ) 的 表达式我们有 朋( f ) = 譬柑一r ”d 妒r 出神盯 ( 3 2 1 ) 将上式右方出现的积分记为j ，即 在各种情况下，1 的计算结果如下： ( 1 ) 挑， 孚小 ，= r 厅d 伊r “p ( 仃，o ) d c r ，= ( 3 + 打) 卅悟百7 , 5 万卜 ( 2 ) 当乎删 卅 h 毪s i n s 鲁幽舢c 譬鲁一尝万一手一驴 + ( 三+ 丝a r c c o s 鱼) a 2 + 鱼a r c c o s 垒： + i + _ 二一) + 二_ 二一： 、1 682 l 7 42 l ( 3 ) 当口， 佤时： ( 3 2 2 ) t ： 塑 c竺+ 堂鱼一三+ 4 3 + 3 1 ( 一3 a 11a r co sa r c c o sy t n s l n a r c c o s 垒) 】a 2 = l c一+ 一一+ + ( 一j l 。2，82 181 68、4 l2 2 l + ( 争压一竽咖詈+ 下2 q r 3 - 3 5 s i n a r c c o s 届m + ( 一堕+ 鱼一坐万+ 鱼a r c c o s 旦+ 坐a r c c o s 鱼) ，2 ： 、1 61 62 4411 22 l 第18 页 武汉科技大学硕士学位论文 ( 4 ) 当五，2 a 时： ，：萍躺c 。s 导+ 笪剩n 阜+ 三l n 订+ k 鱼一! + 堑) 口： 、2，2，4 2，4 。4 ，。 + ( 2 - 3 x 3s i n a r c c o s 旦+ ! c o s a r c s i n 鱼、口， 4l2l 。 小，一q 压- a 吲n 孚+ 等s 妒 利用( 3 2 1 ) 可得 聊( ，) = 历- - 。3 ；r a 2 - ( 3 + 压) 舢悟百7 x 3 万卜 c孚万一杀一堑arccos鸟a682 l 2 卜一万一c l 。 、2l 一(三一型s1narccos鱼+压)a121 62 l 一i 一一+ 、，ji 、， 一(鱼cc鱼17x3ar o sy 鱼一刍l z i c c 一一一l 3x 3 a a r c c o s， 42 l ，3 a 5 4 3 x 3 a37 4 3 i 一a r c c o s a r c c o s + 一十y - 2，8 2 l81 6 一三8l n ( 丝4 l 一1 2 s i n a r c c o s 鱼2 1 ) 】口2 一( 三2 + 压 、 ，j、 3 4 3 ：a 2 4 3 3 5 x 3 a 、， 一s l n a r c c o s 一+ 一s l n a r c c o s l 以， 4，16 9 i 7 一f 一堕+ 鱼一坐万+ 鱼a r c c o s a + 5 4 _ _ 2 3a l - c c o s 垒1 l 疙，+ ) 。， 鱼万一鱼a r c c o s 旦一鱼a r c s l n 鱼一三l n 压3一万一一i 、， 一鱼+ ! 一坐) 口：一( 2 一_ 3 x 3s 1 na r c c o s 导+ ! c o sa r c s l n 鱼) a l + 一r - 一l c 一- 一手a r c s i n 孚+ 等a r c c 。s 詈矿， 当。， 笪2 尉 当垂矧 口时 2 当口， 弘时 当届，2 a 时 武汉科技大学硕士学位论文 第1 9 页 有= 以上的一角为3 0 。的亘角二角形的，l ( ，) 以后，我们立即能够将b u f f o ni 司越推j 剑二角 形的网格情形 用边长分别为口，五，2 a 的直角三角形域作为基本区域构成三角形网格将长度等于， 的小针随机的投掷于平面上，则由( 2 3 2 ) 式可得出n 于该三角形网格相遇的概率为： ( 1 ) 当o ， 害口时 p = 2 + 万2 x 3 1 ：1 一( 砉；+ 云 箬： ( 2 ) 当牟口， 口时： 4 3 31 4 3 a ，37 4 3 4 3 a2 、， p2 + a r c c o s + i 一s l n a r c c o s + 一l 一 1 d r4 耳2 l兀8 x2 1兀? a ，14 3 a1 7 1 4 3 、，2 1 4 3 a1 + a r c c o s 一一一 7 + a r c c o s 7 、3 刀2 13 62 x4 刀7a 22 x2 1a 2 ( 3 ) 当口， 五时： p ：f 三+ 土a r c c o s 竺+ 三a r c c o s 鱼一鱼t - 鱼l n ( 丝一! s 1 n a r c c o s 垒) = i 一十一一+ l 【_ 一j ll 87 1 4 瓦2 14 兀4 耳、4 l22 1 。 ，5 4 3 23 a6 3 5 , 4 3 4 3 a 、， + 卜+ s 1 n a r c c o s 一十s l n a r c c o s ) 一 3 耳巧2万l2 4 n 2 1 。a ，5 1 4 3 151a5 1 4 3 a 、，2 + ( 一+ 一+ a r c c o s 一+ a r c c o s ) 了： 、d r8 7 r1 22 趸 l6 巧 2 1a 。 ( 4 ) 当也，2 a 时， p = ( 丢a r c c 。s 号+ 去a u r c s i n 鱼l + 鱼2 7 rm 历+ 鱼7 ，n 鱼l 一等+ 丢) ，4 1 4 3 3 a4 3 4 3 a 、， +【一sinarccos一+icosarcsln了一)一3、n 2 n -13 万，7a ，1 口14 9 a 2 3 、，2 + a r c c o s a r c s l n 一二) 、2 万，2 x，3 万7a 2 第2 0 页武汉科技大学硕士学位论文 第四章结论与展望 通过本文第一章和第二章的介绍，我们对凸域的广义支持函数，限弦函数和运动测度 有了一定的了解，通过第三章的推倒得到了相应的结果 纵观全文得到了以下结论： 把运动测度的方法引入到了求几何概率问题中，这一方法具有普遍的意义 具体推导出了复杂网格一以一角为3 0 。的直角三角形为基本区域的几何概率 虽然本文对上述问题进行了一些探讨，但这只是一个小小的部分，真正的研究可以 说浩如烟海，有许多问题还需要我们花大量的精力去研究，这些问题包括了以下几个方面： 对以其他凸域为基本区域的网格的几何来率的研究： 对以多个凸域的并为基本区域的网格的几何概率的研究 当然以上考虑的只是一部分，事实上，对网格的研究远远不只这些，我们还要继续 不断的努力 武汉科技大学硕士学位论文 第2 1 页 参考文献 1 陈省身，陈维恒微分几何讲义 m 北京大学出版社，1 9 8 3 2 陈省身，陈维恒微分几何讲义 m 附录1 北京大学出版社，1 9 8 3 3 吴大任微分几何讲义 m 人民教育出版社，1 9 8 1 ，第四版 4 r e nd e - l i n t h eg e n e r a l i z e ds u p p o r tf u n c t i o na n di t sa p p l i c a t i o n s a p r o c e e d i n g so ft h e l 9 8 0b e i j i n gs y m p o s i u mo nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c ，1 3 6 7 1 3 7 8 5 r e nd e - i i n t w ot o p i c si ni n t e g r a lg e o m e t r ya n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j p r o c s y m p ，s h a n g h a i ，1 9 8 1 ，3 0 9 3 3 3 ( 1 9 8 4 ) 6 r e nd e li na n dz h a n gg a o y o n g o nat y p eo fi n t e g r a lg e o m e t r i cm e t h o di nt h e s t u d yo f g e o m e t r i cp r o b a b i1i t y j d d6 s y m p o s i u m ，1 9 8 5 7 j m r o b e r t s o n ，g r w o o d ，i n f o r m a t i o ni nb u f f o ne x p e r i m e n t ，j o u r n a lo f s t a t i s t i c a lp l a n n i n ga n d i n f e r e n c e6 6 ( 1 9 9 8 ) 2 1 3 7 8 r e nd e l i n t o p i c si ni n t e g r a lg e o m e t r y m s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c ， 1 9 9 4 9 r j g a r d n e r ，g e o m e t r yt o m o g r a p h y ，c a m b r i d g eu n i v e r s it yp r e s s ，1 9 9 5 1 0 d a k l a i n i n t r o d u c t i o nt og e o m e t r i cp r o b a b i l i t y m c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，1 9 9 7 1 1 黎荣泽，张高勇某些凸多边形内定长线段运动测度公式及其在几何概率中的应用 j 武汉钢铁学院学报，1 9 8 4 ，1 ：1 0 6 - 1 2 8 1 2 任德麟积分几何引论 m 上海：上海科学技术出版社，1 9 9 8 1 3 l a s a n t a l 6 i n t e g r a lg e o m e t r ya n dg e o m e t r i cp r o b a b i l i t y m a d d i s o n w e s l e y p u b li s h i n g c o m p a n y ，1 9 7 6 1 4 l a s a n t a l 6 著，吴大任译积分几何与几何概率 m 天津：南开大学出版社， 1 9 9 1 1 5 j i a z uz h o u w h e nc a no n ed o m a i ne n c l o s ea n o t h e r j j o u r n a lo fa u s t r a lm a t h s o c ( s e r ie sa ) ，1 9 9 5 ，5 9 ：2 6 6 2 7 2 1 6 j i a z uz h o u k i n e m a t i cf o r m u l a sf o rm e a nc u r v a t u r ep o w e r so fh y p e r s u r f a c e s a n dh a d w i g e r st h e o r e mi nr 2 n j t r a n s a c t i o n so fa m e r m a t h s o c ，1 9 9 4 ，、 3 4 5 ：2 4 3 - 2 6 2 1 7 j i a z uz h o u t h es u