（概率论与数理统计专业论文）定时截尾缺失数据下指数分布的统计推断.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 随着科学技术的发展，产品的可靠性愈来愈受到人们的重视。由于产品的寿命是 一个随机现象，所以确定一种产品的可靠性指标最后都归结为一个统计推断问题。为 了弄清被测试产品的寿命分布，求出各项可靠性指标，研究产品失效机理以便对提高 产品可靠性提出建议，常常需要进行寿命试验，而寿命试验按样品的失效情况又分为 完全寿命试验和截尾寿命试验，而后者运用最广泛。 在用这些统计方法处理实际问题时，常会遇到数据缺失问题，譬如在产品寿命试 验中，由于试验设备、观测手段或有其他方面的困难造成某些试验数据丢失或未观测 到的现象等。这样我们得到的是“缺失数据”。若由于部分数据缺失就重作试验一般 是不值得的，有的甚至是不可能的。 如何对“缺失数据”后的现有数据进行统计分析，是一个特殊的、有较大难度的问 题。因此，寻找在缺失数据条件下对不完全数据的处理进行科学、有效的可靠性分析 方法，现已成为可靠分析的一个新的十分重要领域。 鉴于目前对“缺失数据”后样本的研究主要集中在定数截尾试验上，本文试图用其 基本的理论和方法研究定时截尾缺失场合下指数分布的一些统计推断问题。 在定时截尾试验数据丢失场合下，若仅根据所剩数据提供的信息，人们对产品可 靠性指标的推断结果的可信性会受到影响。因此应在充分利用己有信息的情况下，给 出平均寿命目的b a y e s 估计，但计算很是困难。原因就是“缺失数据”后样本的似然函 数的形式很复杂，为了计算上的简便，本文试图给出此样本的似然函数的近似，从而 简化计算，然后讨论此样本分布参数的点估计及区间估计。最后再讨论恒定应力加速 寿命试验中，此样本的加速模型参数的极大似然估计( mle ) 的存在性与唯一性。 关键词：指数分布定时截尾数据缺失 似然函数t a y l o r 展开 柯西定理 恒定应力加速寿命试验极大似然估计 i 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a e t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h ep e o p l ea t t a c hm o r ea n dm o l l i m p o r t a n c e t ot h er e l i a b i l i t yo f p r o d u c t i o n b c c a u s ct h el i f eo f t h ep r o d u c t i o n i sas t o c h a s t i c p h e n o m e n o n , i tc o m e st o as t a t i s t i c a li n f e r e n c ep r o b l e mt h a tw et r yt od e t e r m i n et h e r e l i a b i l i t yi n d e x e so ft h ep r o d u c t i o n i no r d e rt o i n a k ec l e a rt h el i f ed i s t r i b u t i o no ft h e p r o d u c t i o nm e a s u r e da n d s o l v et h ei n d e x e so f m l i a b i l i t ya n ds t u d y t h ei n v a l i dm e c h a n i s m o ft h cp r o d u c t i o nt o g i v es o m ep i e c e so fa d v i c ea b o u ti m p r o v i n gt h er e l i a b i l i t y o ft h e p r o d u c t i o n , w e o f e nh a v et om a k et h el i f ee x p e d m e m t h el i f ee x p e r i m e mi ss e p a r a t e di n t o t w ok i n d s ：c o m p l e t el i f ee x p e r i m e n ta n d “c u t t i n gt a i l ”e x p e r i m e n t ，b u tt h el a t e ro n ei su s e d w i d e l y w h e nw cd e a l 、i t i lt h e p r a c t i c a lp r o b l e mb yt h e s t a t i s t i c a lm e t h o d s w eo f t e n e n c o u n t e rt h et r o u b l ea b o u tm i s s i n gd a t a f o re x a m p l e ，d u r i n gt h ee x p e r i m e n to nt h el i f eo f p r o d u c t i o n ，s o m ed a t ao fe x p e r i m e n ta r em i s s e do ru n o b s e r v e do w i n gt ot h ee q m p m e n t o f e x p e r i m e n ta m io b s e r v a t i o nm e a n s o ro t h e rd i f f i c u l t i e s s ow e g e t m i s s i n gd a t a i ti sn o t w o r t ha n du n a b l et om a k et h ee x p e r i m e n ta g a i na st h er e s u l to f t h ep a r t so f m i s s i n g d a t a i ti sas p e c i a la n dm o l ld i f f i c u l tq u e s t i o nh o wt oa n a l y s es t a t i s t i c a l l ya b o u tt h ee x i s t i n g d a t aa f t e r “m i s s i n gd a t a s oi ti sb e c o m i n gan e wa n di m p o r t a n tf i e l do nt h er e l i a b i l i t y a n a l y s i sh o wt o r e s e a r c has c i e n t i f i ca n de f f e c t i v es t a t i s t i c a la n a l y s i st od e a lw i t ht h e u n c o m p l e t e d a t au n d e rt h ec o n d i t i o no f m i s s i n gd a t a o w i n g t os t u d yt h es a m p l ea f t e r m i s s i n gd a t a p r i m a r i l yi nt h ea s p e c t so ft y p e - i i c e n s o r i n g t h ep a p e rt r i e st o u s ei t sb a s i ct h e o r i e sa n dm e t h o d st o s t u d yt h es t a t i s t i c a l i n f e r e n c ef o re x p e n e n t i a ld i s t r i b u t i o nu n d e r t y p e - ic e n s o r i n g u n d e rt h ec o n d i t i o no f m u l t i p l et y p e c e n s o r i n g ，t h et r u s tt h a tp e o p l ei n f e rt h ei n d e x o fr e l i a b i l i t yo fp r o d u c t i o ni fo n l y a c c o r d i n g t ot h ei n f o r m a t i o no ft h el e f td a t ai s i n f l u e n c e d s ow ec a nd e r i v et h eb a y e s i a ne s t i m a t i o nf o rt h ea v e r a g el i f e0a f t e rm a k i n g i i 华中科技大学硕士学位论文 u s eo fap f i o di n f o r r n m i o n ，b u ti ti sd i f f i c u l tb e c a u s et h el i k e l i h o o dr u n i o no fe x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o nu n d e rm u l 石p l et y p e ic e n s o r i n g i st o o c o m p l e x f o r t h e s i m p l i c i t y o f c o m p u t a t i o n ，t h i sp a p e rt r i e st od e r i v ea l la p p r o x i m a t i o n f o rt h el i k e l i h o o df u n c t i o n t h e n d i s c u s s e st h ep o i n te s t i m a t i o na n di n t e r v a le s t i m a t i o nf o rt h ep a r a m e t e ro ft h es a m p l e d i s t r i b u t i o n a tl a s td i s c u s s e st h ee x i s t a n c ea n du n i q u e n e s so fm l e o ft h ep a r a m e t e ru n d e r t h ec o n d i t i 0 1 1o f t h ec o n s t a n ts t r e s sa c c e l e r a t e dl i f et e s t i n g k e yw o r d s ：e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n m u l t i p l yt y p e - ic e n s o r i n g l i k e l i h o o df u n t i o n t a y l o re x p a n s i o nc a u c h y t h e o r e m c o n s t a n ts t r e s sa c c e l e r a t e dl i f et e s t i n gm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n 1 1 i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承 担。 学位论文作者签名“刁l i 芝一 日期：鹕年2 月b 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口。在年解密后适用本授权书。 本论文属于不保密口。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：田驻 日期：潍1 1 月五日 指导教师签名：i 刎，欠牟 日期：口歹年j 2 月柏 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 截尾试验概述 可靠性是产品寿命指标的总称，故产品的寿命指标又称为产品的可靠性指标，它 反映了一个产品在规定时间内和规定条件下。完成规定功能的能力。现在从一个电子 元器件、一台电视机到一台设备、一个系统都在研究可靠性指标。随着科学技术的发 展，产品的可靠性愈来愈受到人们的重视。由于产品的寿命是一个随机现象，所以确 定一种产品的可靠性指标最后都归结为一个统计推断问题。从本世纪四十年代末人们 就开始研究这类从生产实际中提炼出来的统计问题，这类统计问题在经典的数理统计 学中很少被研究，但在近几十年来已成功地解决了一批这类统计问题，并在实际中收 到了良好的效果，总结出一些具有特色的基本概念和基本方法。可是随着科学技术的 发展，一些新的问题又不断地提出，就在这样的环境中，一个新的数理统计分支一可 靠性统计已逐步成熟起来。 为了弄清被试产品的寿命，求出各项可靠性指标，研究产品的失效机理以便对提 离产品可靠性提出建议，常常需要进行寿命试验，因为只有暴露故障才能了解产品的 寿命和失效原因。寿命试验常常有一定的破坏性，因而寿命试验只能从产品中抽取部 分样品进行。- 寿命试验的样品必须在经过筛选试验和例行试验后的合格品中抽取。样 品的数量应考虑到统计分析的需要和试验的代价。 寿命试验按样品的失效情况又分为两类：( 1 ) 完全寿命试验这种试验要进行到 投试样品全部失效为止。这种试验可以获得较完整的数据，统计也比较可靠。但是这 种试验常常需要较长时间。譬如；晶体管的工作寿命是很长的，假如把投试的糟个元 件做到全部失效为止，那需要很长时间，甚至几年、几十年的时间等它全部失效， 新的元件可能又设计出来了。所以在一般情况下，完全寿命试验难于采用。( 2 ) 截尾 寿命。这种试验是只要求进行到投试样品中有部分失效就停止的试验。譬如有5 0 或 7 0 投试样品失效就中止的试验就是截尾寿命试验。虽然这种试验只能获得部分数据。 但若能充分运用寿命分布给我们的信息，统计分析的结果也仍然是较好的。截尾数据 华中科技大学硕士学位论文 的特征是：被试单元的精确的失效时间是未知的，然而却有它们失效时间的部分信息： 大于某一己知值，小于某一已知值或位于两个已知值之间等。 截尾寿命试验又可分为二类：一类是试验到事先规定的时间f 就停止试验，这叫 做定时截尾寿命试验( 或称为t y p e i 截尾) 。令e 是失效了的单元集合，g 是一个未 失效的单元的集合。则对于e 中的元素，单元的失效时间t 量f 。而在g 中的元素在 经历了时间跨度f 之后幸存下来了。显然在这样的截尾方式下，e 集合中的单元个数 是一个随机变量；另一类是失效数达到规定的失效数r ( 0 由( 1 2 4 ) 和( 1 2 3 ) 可分别得到密度函数和生存函数 厂( f ) = 2 e “和s o ) = 。一( 2 1 2 ) 该分布也可用参数0 = z - 1 写出，此时密度函数为 厂( f ) ：o - , e - ，r 0( 2 1 3 ) 该分布的均值和方差分别为口和口2 ，p 分位数为r 。= - o l 0 9 0 - p ) ，3o = 1 时的分 布称为标准指数分布，其密度函数如图2 1 所示，显然，当r 有密度函数( 2 1 2 ) 时，3 , t 就服从标准指数分布。 华中科技大学硕士学位论文 图2 1 标准指数分布的密度函数 从历史上看，指数分布是首先得到广泛应用的寿命分布模型，部分原因是对它容 易得到简单的统计方法( 如，e p s t e i n t 和s o b e l ，1 9 5 3 ) ，另部分原因是指数分布适用来 描述许多对象的寿命，铡如各类产品的寿命( d a v i s ，1 9 5 2 ) 。危险函数是常数的假定是 比较苛刻的，最近的事实也说明了从指数分布出发所作的推断对实际分布与指数分布 的偏离是敏感的，因而使用指数分布要特别小心。无论如何，指数分布在相当广泛的 情形都适用。下面两节我们主要综述定数截尾( 完全、有缺失数据) 场合下指数分布 的一些统计推断性质。 2 。2 定数截尾( 完全数据) 指数分布的统计推断 ( 一) 平均寿命0 的n i l e 设产品寿命t 服从指数分布，其分布函数为 f ( t ；0 ) = 1 一p 。”，t 0 ( 2 2 1 ) 其中0 0 是平均寿命，2 = i 0 为失效率，取t i 个产品同时参加定数截尾试验，当 产品失效数达到事先给定的正整数r ( 1 r ，z ) 时，试验停止。已相应的失效时间为 t l s t 2 s t ，总试验时间r = t ，+ ( n - r ) t ，。可得 ，f ，的联合密度函数 南曝e 1 ”p ”7 i 。 2 南嘉e x p 一( 扣小 z 固 6 华中科技大学硕士学位论文 假如令 r = t j + ( n r ) t ， 再剔去( 2 2 2 ) 中的常数项n ! l ( n 一，l 后，似然函数可取如下形式 p ) = 古e 容易看出，t 是0 的充分统计量，0 的m l e 是o = t i ，。 r 的分布容易找到：作如下变量替换 职= n t t 彤= ( - i + l x t ，一f h ) ，i = 2 ，r ( 2 2 3 ) 因为 丁= t ，+ ( n r ) t ，= 彬 其雅可比是 案署= 南- r ) 。 a 乜，f ，)如 于是，彬的联合密度函数可从( 2 2 2 ) 获得如下 古e x 一言计 岭。 于是我们证明了下面的结果： 定理2 2 1 令f l ，f ，是从指数分布( 2 2 1 ) 取出容量为，l 的随机样本的前r 个次 序观察值，那么用( 2 2 3 ) 给出的诸量磁，形是独立同分布随机变量，其密度函数 如( 2 2 1 ) 所示。即：彬r ( 1 ，i 0 ) ，i = 1 ， 利用r 分布的卷积公式可得 7 华中科技大学硕士学位论文 r = t ，+ ( n - r ) t ，= 彬- r ( r ，1 8 ) j i i，一l 于是乘以2 后，可得 2 t 0 z 2 ( 2 ，) ( 二) 0 的检验和置信区间 0 的检验和置信区间容易用枢轴量2 t 0 获得。例如，为了得到0 的1 一口等尾双 侧置信区间，我们可取 尸( 庇防) 等踞。( 2 r ) 斗口 这里z ；( 2 ，) 是z 2 ( 2 ，) 的p 分位数。于是 勰2 t 占石2 厕t 是p 的1 一口的置信区间。 其它分布特征的检验或置信区间可以类似找到，因为它们都是0 的简单函数。特 别置信区间和检验在如下几种情况很容易获得：( 1 ) 常数危险数五= i 0 ，( 2 ) “时 刻的生存( 即可靠度) 函数s 也) = e x p ( - t 。0 ) ，和( 3 ) 分布的p 分位数 f 。= e - l o p ) 】 特别地，假如 a p ) 蔓0 b ( r ) 是口的口的置信区间那么 1 1 b ( t ) 五a ( r ) 是五= 0 一的口置信区间。 2 e x p - t 。a p ) 】s ( r 0 ) e x p - t 。曰仃) 】是s 也) 的岱置信区间。 3 - l n ( 1 一p 批仃) f ， - l n ( 1 一p ) 忙仃) 是r ，的a 置信区间。 华中科技大学硕士学位论文 2 3 定数截尾( 缺失数据) 指数分布的统计推断 m u l t i p l et y p e i i 截尾( 或称为带有缺失的定数截尾或多重定截尾) 样本，在实际 经常遇到。如，寿命试验中，于机理或试验的困难，有些样品的失效时间无法观察到。 许多情况是不知道某些样品的确切的失效时间，知道它们在某两个观察值之间。u l t i p l e t y p e - i i 截尾是t y p e i i 截尾的一种推广，中双边定数截尾是其特殊情况。设r 个产品 进行寿命试验，仅观察到第1 ，2 ，_ 个失效产品的失效时间： f n ， sr 也 兰f 噜，t ( 2 3 o ) 其中1 ，2 0 利用指数分布次序统计量的性质，可将( 2 3 5 1 ) 的g 定义为 g ：捶一坐筹掣 其中_ ”x 是独立( o ，1 ) 变量，取肼k = u k 2 , 则j o 瓦k 是2 咯个f i d ( o ，1 ) 变量的平 方的加权和，权为： ；生丛生一，f - l ，女，=rt_id,j + l ， 2 2 m k ( n - j + 1 ) 3 1 2 + 1 由引理1 ，可知轰有近似概率密度函数 g a 0 ) = r 埘 n 碱 、1互珥，l 。 ，一2 撕 吖p 嘞 、三 j， 。 。“ 华中科技大学硕士学位论文 假设扎。为蛊的l 一口分位数，于是口的l 一口置信下哆为 ( 3 ) 精确方法 k a m p s ( 1 9 9 0 ) 【3 0 】证明了下列结果 引理2 z i , - z 。i i d e x p ( 8 ) ，q ，为h 个不同的正数，则r = z ，a 。的分布函数为 t = i 令轨i 譬= 竞t - l 吾= 喜，喜。等， 二口 j t l ，- 一1 “，i j 1 _ 1 其中z ，i i d e x p o ) ，= 1 ，厂i ，也，唯，定义 d j = n j + 1 ) k ( n 一，+ 1 ) ( k l l 由引理2 ，仇的分布函数为 j = 1 ，一， = + 1 ，吃 ，= 0 1 + 1 ， g 。o ) = l 一( 一1 ) n q 意町1n h 一口，) - t e - a d t o i - i h u l j - i j t 记f h 为g 4 的1 一a 分位数， q l j o f l c j l - a 置信下限为 f 0 = o l r l 一。 1 4 0 日 啡 已 卜 口一 lp。 。n 蜘 口 。 口 。n r 一一 = o g 华中科技大学硕士学位论文 2 3 6 二参数指数分布的参数的区间估计 ( 1 ) 参数0 的区间估计 令 g ：掣：掣 q k , l = 2 孕= 穆如h f f 4z j z t ，一f ，f a ，一r 1 。来自样本大小为疗一的e x p p ) 的第，2 一，l ，一_ 的次 序统计量，g 。与参数无关，用于单参数指数分布的三种方法得到目的区间估计。 方法1 ，近似f 分布的方法。 记= e q i = 2 嘉i 弓可，“= 砌，国) = 。窑石南， 。= 2 萎k ，善r , 。崭= 4 妻，言踹， z = 簪， = 等 从下列近似分布 肚等，鲁廿 得到位置参数”的区间估计，例如“的1 一口置信下限 ”k 。一景协。叫， 方法2 ，由引理1 ，可导出q 。2 m 。和g 1 2 m 的近1 i ；【分布，进一步可获得它们的商 的分布。 定理 设x l - x k ，e ，l i d ( o ，1 ) ，c o ，i = i ，n ，d 0 ，：1 ，且 1 5 华中科技大学硕士擘位论文 艺q ：l ，艺彳，：l ，当x ：艺q x ? ，y ：d ，j ，；时，则z = x r 的概率密度函数为 | f f i l ) f f i l i l lj l 北) = 三窆妻 - r i - ij l ( 扩赤 b b l 刳 丌，z o b 爿商 现在，令= 瓦m k , l q l ，由定理1 ，可得其概率密度并由此获得“的置信区间。 方法3 精确方法，由引理2 ，我们定义研= q i 2 ，残 l = a k i 2 ，设z = q j 娥”则z 的分布函数为 g ( ：) = 1 - ( _ p 冉q 枣? ，言耋m r f ：i 。| 口t a j h - f i) - 1 ，。鹿g 一一岛) _ i 磊k 去， g e ) = ( _ 1 p n q 兀6 ，( 口。一) - i 兀( 6 一一岛) 。去， f i l，t n + li 1 十i ，- 1 ，tj t + l ，f t “ 其中q = 疗一“l ，f = l ，- ，q = 鼍；斜，“j s r , ，f = 2 ，七，若。是g o ) 的 1 一口的分位数，则u 的1 一口置信下限为 。：，。一，。，。f 圭r 。一幻， l 一1 i 上面介绍的方法，涉及加权z2 变量之和的分布问题，方法1 是用中- i i , z 2 分布去近 似，使其一、。二阶矩与加权z2 分布的一、二阶矩相等，方法2 的近似分布从理论上 来说比方法l 要好一些，但计算复杂，方法3 给出精确解，但计算更为复杂。 ( 四) m u t i p l e 定数截尾样本m l e 的极限定理 对于定数截尾和双边定数载尾样本下的m l e 的渐近性质可见h a l p e r i n ( 1 9 5 2 ) 3 lj ，b h a t t a c h a r y y a ( 1 9 8 5 ) 3 2 等文章。对于一般的m u t i p l et y p e i i 截尾样本的m l e 的极限定理，f e i 和k o n g ( 1 9 9 6 ) 给出了m l e 的一致性，渐近正态性和有效性的条件， 具体条件见 1 7 1 。 ( 五) 两个指数分布位景参数有顺序约束的估计 6 华中科技大学硕士学位论文 设e x p ( u 。，q ) ，密度函数为 胞引；怯e d 一寻) ，。守。一 。 l 0 芏 。 l0 ，y o ，o “ 这里( 。) 是第一个失效时间，5 c ：j o - l ，盯：已知时，0 ，“：) 先验分布为 9 0 。：) * ! ，c 为某常数 对于m 曲i t i p l et y p e - i i 截尾样本，令f = m i n b ( l ，y ( b ) j ，记先验信息z 。因为 “i “2 托) ，0 0 是平均寿命，a = l 8 为失效率，取n 个产品同时参加定时截尾试验，试 验进行到f ( r 是预先给定的正数) 时刻停止。设在f 时刻以前有r 个产品失效，记相 r 应的失效时间为t l t 2 s t ，r ，总试验时间r = t j + ( n - r ) r ( 3 1 1 ) j l 若由于某种原因造成数据丢失，不妨设剩下的数据为： 0 t r t + l _ s t h + s ls t 也+ l t h + t q + l t 飞+ 轧r 其中 _ + l ，r t + j l ，r 2 + 1 ，2 + s 2 + 1 - - + j t ) c 1 ，2 - r ( 3 1 2 ) 对于试验数据( 3 1 2 ) 的统计分析己有一些文献作了研究，【1 3 】给出了平均寿命0 的b a y e s 估计、近似极大似然估计与无偏估计。但上面的方法均没有利用己有先验信 息，在试验数据丢失场合下，若仅根据所剩数据提供的信息，人们对产品可靠性指标 的推断结果的可信性会受到影响。因此应在充分利用己有信息的情况下，给出平均寿 命目的b a y e s 估计，但计算很是困难。原因就是样本( 3 1 2 ) 的似然函数的形式很复 杂，为了计算上的简便，本文预给出样本( 3 1 2 ) 的似然函数的近似。之前，我参见 3 5 把定时截尾( 完全数据) 场合下指数分布( 3 1 1 ) 的一些统计推断结果加以综述。 1 9 华中科技大学硕士学位论文 3 2 定时截尾( 完全数据) 指数分布的统计推断 ( 一) 平均寿命0 和失效率i 0 的m l e 下面我们用极大似然法来寻求样本( 3 1 1 ) 的平均寿命口和失效率i 0 的m l e 。 为了确定似然函数，需要知道上述观察结果出现的概率。大家知道，一个产品在 【，f ，+ 击，】内失效的概率为，o ，净，i = 1 , 2 ，r 其余h r 个产品的寿命超过r 的概率为 - t - 】1 一。所以上述观察结果出现的概率近似为 k ( 1 t a , - t l o d t ，) o i o , - , ：o d t ，- r o - ， 其中k 是某一个常数因为忽略一个常数因予对求m l e 无影响，故取似然函数 l ( o ) = l o o x p - r ，+ - f ，+ 0 一r ) r 】臼 令五= i 0 则上式可化为 以) = e x p _ 【f l + f ，+ 0 一r 弦p ) 对数似然函数为 l n l ( 2 ) = r l n 五一五【f ，+ + + ( h r ) r 】 对z 求导，可得似然方程 ；一【f l + l + t ，+ 如一，) r 】- 0 于是得失效率兄( 1 口) 和平均寿命1 兄p ) 的m l e 为 ；：盟l ；：去 s 【r ) 其中s ( f ) = f l4 - t ，+ o r ) r 称为n 个产品的总试验时间，它表示到时刻f ，”个 产品的试验时间的总和。 ( 二) 目的检验和置信区问 上已求得占：跑，其中，是( 0 ，) 内的产品失效数，是一个随机变量，总试验时间 ， s ( - c ) 一t + ，+ g r ) f 是截尾子样的函数，也是一个随机变量因此求置信区间比较复 华中科技大学硕士学位论父 杂。常常用一种近似的方法，把( 一，无，时) 试验一取n 个产品进行无替换定时截尾寿命 试验近似着作( n ，有，时) 一取疗个产品进行有替换定时截尾寿命试验。其中，l 满足 n 。f * s p ) 。由于在( 一。，有，时) 试验下，所得的置信上、下限与疗。无关，只与s ( f ) 有 关，所以仍可用( n ，有，时) 试验下的结果作为( h ，无，时) 试验下的置信区间现把( 甩，有，时) 试验下的结果得以综述。 ( 一，有，时) 试验下口的m l e 为占：型其中s ( ) ：h f 是一个常数，而，是( 0 ，f ) 内 产品的失效数，是一个随机变量( 记为( f ) ) 的取值。在一定的假定下，( f ) 的分布是 服从参数为刀a f ( 兄= l 目) 的普哇松分布的，即 p ( ( 岫七) = 掣e “f ，1 ，：， 如今晃的m l e 为尝学，由于一r 是一个常数，故只须考虑g ) 即可现把r 看作 ”f ( r ) 的一个观察值，于是可以列出两个方程 妻掣。一r 一， 怎翮 2 窆蝉。一n 一， 盘女! + 2 连续使用分部积分法，可以证明下面二个等式 丽ip e 。出= 蓑掣产， 而1 肛= 毫掣e 利用这二等式，可把所列方程改写为 南驴k “加卜詈， 华中科技大学硕士学位论文 ：= = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = 南肛“出2 詈 为了使上述左端的积分与z 2 分布产生联系，特作变换 x = 专， 可得 丽1 n y r - l e - y 1 2 删一詈， 衍函，y r e _ y 2 出2 詈 记k ，( y ) 是自由度为厂的z 2 分布的密度函数，则有 i ：。，如c y 阿斗詈， ，b + ：( y 协2 詈 从z 2 分布的上侧分位数表可以查得z 蔫( 2 ，) 和z ；( 2 厂+ 2 ) ，使得 2 n 五f _ z ：o ：( 2 r ) 2 n 五r = z i ( 2 ，+ 2 ) z ? 。2 r ) z 2 ( 2 r + 2 ) 因此有九= 寺，毛= 。 这就是参数五的置信水平为1 一打的置信上限和下限 所以( 疗，无，时) 试验下的口的置信区间为 ( 反，珏( 蒜岛，习2 s 厕( r ) ) j2 ( 在这里了拧，使，l r a s ( ) 把( 一，无，时) 试验近似看作( ，+ ，有，时) 试验) 华中科技大学硕士学位论文 3 3 样本( 3 1 2 ) 的似然函数的近似 下面用概率元方法【3 6 】求出样本( 3 1 2 ) 的似然函数l ( 0 it )：以 r 州f ， 十1 f m ，州f q + 分别表示l “+ + i ，t “的观察 值( z 表示第i 个产品的失效时间) 。这时就把数轴分为如下区间 卜m ，f 。) 【i 】 。+ + 叱+ ，j i i 】， f 。+ d t + a , t r , o t * i 1 i i i ，【r ，。+ 出，】 i v 】，( r ，一) v l ( i 1 kj = 1 “) 其中d t 例都充分小，这样一来有，1 个观察值落在第 田个区间，有个落在第 i l 】个区间， l l 一1 有。一一墨落在第 i i q 个区间，有 f = l ，一( + & ) 个落在第【】个区间，有胛一r 个落在第 v + x e n 。 记s = s i ，m l2 + l i s i ，t 1 。r ，r 02s o = t o = 0 ， k ，2 ， ，据多项分布，l + 1 。l 。，。t 。t + 。的概率元则为： l ( f f 叫f 。f 叫+ 。) d t 叫西 。= c 【f ( + ，) n 兀 ，( r 。) 】 r t l ，一i 付 f h 。) 一即，) r p ( 小f 心+ 。) 卜一【l 一删一 d t 叫d t + 。+ o 恤川) + o 杠。+ 。j ( 其中c 是与目无关的常数) ，两边约去击。d t 。后，再让出叫d t 。都趋于零 最后得到- i ，。_ f 矗。的联合密度为： l 。( 07 ，) = c p 卜一p 叫州8 鼻k - i p t , ( + , , e 下n + 1 i 净e r l “阿一，而 2 3 k ；h 。m = )吣 华中科技大学硕士学位论文 卜e i - - s e 立o - e 地。卜妒e - ；- 一- eo 出卜u 上式可化为： “巾m 一州9 珥k e 血- e 导p p 1 h c c m 3 - ， 两种特殊情形：1 无丢失数据：相应的o ( 口i t ) = c p l e x 叫一卫r i ”0 一r ) r ( 2 ) 完全丢失数据：相应眠( ) _ c ( h 弓) r e d 一学) 显然这两种情形的似然函数为指数分布形，相应的后验分布函数很容易求得。这 里不再讨论。 下面着重分析有丢失数据的情形。取口的先验分布为逆伽玛分布i f ( a ，卢) 础；哪) = 1 e 号加。 则口的后验分布为： kt q + i 1 + 1 “ 石( 曰it ) 。cg ( o ；a ，) 三。( 口l ) 芘州州e 榔川曰兀( e 彳一e r ) “- 1 1 0 珂) c - i ) + 川9 卉i = o 善( 抄叫一啦普盛讣；r * 一叫e 巾m 卵m 羔艺 j o - ok - o m j t 4 + + ，( f “一f 2 4 r 字 一p一 虹。 陋 。兀 叶 p xe 叶 口c = 一 ，j、【 p xe k ) 一 ( 、m ，。 。兀m ，l 华中科技大学硕士学位论文 0 一恤+ 1 + 。) 蝌柚钆十型k 掣 可以看出厅( 0l t ) 是逆伽玛分布的加权和。其结果很复杂，会给以后求口的b a y e s 估计带来不便，下面考虑对似然函数进行近似简化计算( 3 3 2 ) 令x w = r w 0 ，( j = 1 ，j 。，i = l ，) - 则似然函数( 3 - 3 1 ) 变为： i rf ” 。( 口1t ) 2 c o e x p 一_ + ， ( 1 - e 飞“) 1 兀( p 1 q 一口、 1 ) 1 lp 百l ( 3 3 3 ) 1 4 ij - lt = l ll 相应的对数似然函数为： i n l 。= nc - s n0 - _ + ， + ，l n ( 1 - e ) + m n ( p “一p 飞) 一 f h r ) v 0 考虑它的一种较简单的近似，记： g ( x r l + 1 ) = 如( 1 一e h “) h ( x m ，x + 1 ) 2 i n ( e ”一p 一) = 熹 q 。= 1 - p r , + jk j 叫j 则最+ ，是标准指数分布的既+ ，的分位数( 1 n q * l e - x d ) 【= 一e “一絮= 1 - - q 、+ j 。p ) - 把函数g ( 工州) 与h ( x ，工“) 分别在点六+ ，与点( 氕q ，矗一。) 处t a y l o r 展开得： g ( x 1 + i ) = 口o + ，ox “民x 2 r j + i + r o( 3 3 4 ) 华中科技大学硕士学位论文 h ( x + ，工1 。“) = 口一层x _ + + ，x “- t ( x + 目一x “) 2 + r ( 3 3 5 ) 其中 旷r 扩型等老墼告嵩c 加等，2 ；b t = q 4 + 日吼+ l + i q 5 + 4 p “一p + ( p + i p + * ) 2 ，。= - 1 + 点2 面q i r j 1 + 1 瓦q r j + s 1 2 ( p + l 一以+ ) 2 ，q r , + i + l 、 【打j 吼+ 余项r 。，r ，分别由下列两式给出 r 。= 酉1 ( x 叫一) 3 ( 1 + e q e q ( 1 一e q 3 r 。2 击m ，c cx 。一厶。，+ c x 。+ 。一掌。，3 1 兰! ! ：j i ! ；筹 忽略( 3 3 4 ) ，( 3 3 5 ) 两式中的余项，并代入( 3 3 3 ) 式中可得近似对数函数 女s t i n l 。z i nl 。r - z c - s l u o - ( _ + j ) + r d a o + _ r 6 0x 2 ，j + t ) f = l ，l 女