（应用数学专业论文）概率框架和平均框架下的熵数.pdf

西华大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：韩司c 套 日期：砂j j ， 西华大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于西华大学，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，西 华大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 学位论文作者签名：郭永盎指导教师签名：降歹萋 日期：7 勺l i 6 、日期，、 j 数的定义 j 已有结果 j 定义 j 熵数 架下的熵数 概率框架和平均框架下的熵数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p t i o no ft h ee n t r o p yn u m b e r si np r o b a b i s e t t i n ga n da v e r a g es e t t i n g l e t 万( 0 , 1 】b ea l la r b i t r a r yn u m b e r t h ec o r r e s p o n d i n g n u m b e ri np r o b a b i l i s t i cs e t t i n ga n da v e r a g es e t t i n g ，a r ed e f i n e d b y 占脚( w ，x ) = i n f 占。( 矿g ，x ) ， 占磐( 形，z ) ，= 簪也g ( 工，m ) ，舡( zl i p o p o 。， w h e r egr u n st h r o u g ha l lp o s s i b l es u b s e ti nbw i 廿1m e a s u r e a ( g ) 万，a n d mc x ，l o g l m i ：= l 0 9 2 阻怿，z ，弦| d e n o t ec a r d i n a l i t yo f m n e x t ，w ed e t e r m i n et h ee x a c to r d e ro f t h ee n t r o p yn u m b e r si np r o b a b i l i s t i cs e t t i n a v e r a g es e t t i n go ft h ef i n i t e - d i m e n s i o n a ls p a c er ”e q u i p p e d w i t ht h es t a n d a r dg a u s s i m e a s u r ei n ，：i - m e t r i c ，1 q 2 巳，j ( r ”，y ，譬) m l l q - 1 1 2 历鬲丽，0 玎聊 2 - n m m l q - - l 2 、m + l n ( 1 6 ) ，l m 占( r ”，y ，譬) p m l l q - 1 1 2 0 ”小 m o r e o v e r , w ea l s oc a l c u l a t et h ee n t r o p yn u m b e r si np r o b a b i l i s t i cs e t t i n ga n da v e r a g es e m u l t i v a r i a t es o b o l e vs p a c ew i t hm i x e dd e r i v a t i v em i f 2 r ( t d ) ，= p ，吃) ， 1 2 ，i = = + l r d ，e q u i p p e dw i t h ag a u s s i a nm e a s u r ei n l q ( r 4 ) 一m e t r i c ， 1 q 2 知，d ( 删( 丁d ) ，厶( 丁。) ) ( - 1i n ”1 加州川m ( i n v - 1 m 扛丽丽 砖( 删( 丁4 ) ，卢，l q ( t d ) ) p ( _ 1i n ”1 ) 1 h 川m ( i n ”1 m ) t h e s et w o c o n c e p t i o ng e n e r a l i s et h ec o n c e p t i o no fe n t r o p yn u m b e r si nt h ew o r e s t s e t t i n g ，f r o mo b t a i n e dr e s u l t sw ek n o wt h a te n t r o p yn u m b e r sa n dw i d t h si nw o r e s tc a s e h a v et h es a m e a s y p t o t i co r d e r ，a n dn o ww eh a v et h es a l l l er e l a t i o nb e t w e e ne n t r o p yn u i a n dw i d t h si np r o b a b i l i s t i cs e t t i n ga n d a v e r a g es e t t i n g k e yw o r d s ：e n t r o p yn u m b e r s ；p r o b a b i l i s t i cs e t t i n g ；a v e r a g es e t t i n g ；g a u s s i a nm s o b o l e vs p a c ew i t hm i x e dd e r i v a t i v e i i 摘要 本文首先引入概率框架和平均框架下熵数的概念：对任意万( 0 , 1 】，我们定义赋予 高斯测度的一个集合形在空间x 中的概率框架和平均框架下的熵数分别为： 占柑( 形，x ) = i n f 占。( 形g ，x ) ， 占磐( 形，x ) ，= i n f 幢e ( 工，m ) ，咖( x ) 7 ，o p 其中g 是取遍域b 中符合条件l ( g ) 万的集合，mcx ，l o g l m i ：= 1 0 9 ：m l 忍，阻i 表 示集合m 中元素的个数。 然后我们计算出赋予标准高斯测度的有限维空间r ”在譬空间中概率框架和平均框 架下的熵数渐进阶，其中1 g 2 ， 占柑( r ”，f 7 ) m l l q - l 2 而i 五丽，0 雅m 2 - n mm l q - 1 2 而i i 而， m ：4 ( r ”，y ，z ，) ，m 1 q - 1 1 20 以，l ， 以及计算了赋予高斯测度的带有混合导数的多元s o b o l e v 空间明( 丁4 ) ，= r ，屹) ， 1 12 = = 0 0 “白在，( 丁4 ) 空间中概率框架和平均框架下的熵数， 1 q 2 ， s 脚( 叫( n ，三，( ( 一11n州n)rt+(p-1)2(1n(v-1)12忉正可丽。 占? ( 柳巧( 丁d ) ，g ( z 一) ) ，( 一1 i n ”1i f ) 1 q 删坨( 1 n v - 1 ) 。 引入概率框架和平均框架下熵数的概念是一致框架下熵数概念的推广，从已有结果 可以知道一致框架下的熵数和一致框架下的宽度的渐进阶是相同的，而从本文的结果可 以看出概率框架和平均框架下熵数和概率框架和平均框架下宽度的渐进阶也是相同的。 关键词：熵数；概率框架；平均框架；高斯测度；带有混合导数的s o b o l e v 空间 西华大学：硕士学位论文 己i吉 ji 目 逼近论是现代数学中一门经典的学科。熵数( 熵) 是逼近论研究的一个重要内容， 其所研究的主要对象是基于在现代分析及计算数学中广泛应用的基本函数类，包括 s o b o l e v 、h o l d e r n i k o l s k i i 、b e s o v 及某些解析函数类等，主要目的是寻找函数类在一定 意义下的最佳逼近集和最佳逼近方法，并对最佳逼近阶进行估计。这些年来对这一方向 的研究已经积累了十分丰硕的成果，诸如在此基础上完成了对一些重要函数类熵数的定 量估计，其中也包括一些细致而深刻的精确常数估计。 同时，随着计算机在工作学习中的广泛应用，计算机技术已经渗透到社会生活和科 学技术的各个领域，在众多解决问题的算法中寻求最小计算成本的算法成为计算复杂性 要解决的问题之一，在这里某个问题的计算复杂性是指在给定误差范围内对求解问题利 用其信息解决该问题所消耗的最小计算机资源，即计算复杂性是指求解问题的众多算法 中最经济的算法，也称为最优算法。求解问题的已知条件即为信息。科学技术和工程领 域( 如经济、物理、人工智能、科学和工程计算、信号处理和控制论) 中的大多数问题， 其信息都具有“p a r t i a l ”、“n o i s y ”、“p r i c e d ”的性质。对于这类问题，我们只能求其近似解， 这种复杂性称为信息基的复杂性。 通过算法的误差和成本的不同定义导致了不同的框架：一致框架( w o r s te a s es e t t i n g ， 即最坏情形的框架) 、概率框架( p r o b a b i l i s t i cs e t t i n g ) 和平均框架( a v e r a g ec a s es e t t i n g ) 。在 一致框架下，成本和误差是通过函数类中的“最坏”元素的特征来刻画的。因此，在综 合计算成本的条件下，最佳误差算法对于“最坏 元素产生的最优逼近，但对于大多数 元素，这种最佳误差算法所产生的逼近误差可能不是最优的。为了解决这一问题，考虑 在函数集合上定义一个概率测度，研究其概率误差和平均误差。概率误差是在去掉概率 至多为6 的集合后的一致误差，它所导出的框架称为概率框架，它进一步给出了达到某 个误差阶的元素在给定测度下的分布，比较全面地刻画了函数类的内在结构特征；平均 误差即误差在该概率测度下的积分，由这种平均误差所导致的框架称为平均框架，平均 误差给出了函数类在给定的测度下逼近度的平均逼近程度，反映了在一定的计算成本下 “大多数元素”的最小误差，更为深刻地反映了函数类结构的本质特征。 k o l m o g o r o v 彪一宽度是k o l m o g o r o v 在1 9 3 6 年引入的一个概念，它刻画了集合k 在 一个b a n a c h 空间中的有限维集合对集合k 的逼近程度，如果很小，那么我们就可以认 为集合k “几乎是n 维的”， k o l m o g o r o vp 一平均宽度刻画了集合k 在一个b a n a c h 空间中的有限维集合对集合k 中“最多 元素的逼近程度。k o l m o g o r o v 在2 0 世纪3 0 年代还引入了另一个几何概念：集合k 的熵，它刻画了有限个元素构成的集合对集合k 概率框架和平均框架下的熵数 的逼近程度。熵数是和k o l m o g o r o v 发明的熵紧密联系在一起的，因为有些有关熵的结 果用熵数来重新陈述可以有更好的形式。另外，从某种意义上熵数可以看成是熵的逆运 算。简单地说，集合k 的熵数刻画了集合k 的紧致程度。 熵数理论最早出现在p i e t s c h 【1 】。熵数的基本性质可以在p i e t s c h ，c a r l 和s t e p h a n i 【2 1 ，e d m u n d s 和t r i e b e l 【3 】 以及l o r e n t z 等【4 1 等人的专著中找到。s c h u t t 5 1 ，t r i e b e la n d e d m u n d s 【3 1 ，t r i e b e l 【6 】，k u h n 7 1 已经得到了单位算子和对角算子在产生序列符合一定正 则和衰减条件时的逼近结果。d i n hd u n g i s 研究了具有光滑导数的多元周期函数的最优熵 数。e s b e l i n s k y 9 】得到了在一致范数和平均范数下带有混合导数条件的函数类的熵数的 估计。 随着一种称作概率标准的逼近标准【lo 】的出现，人们开始考虑用相对给定的测度为最 好的逼近泛函去构造分布函数，在此基础上m a i o r o v p l i 入概念：k o l mo g o r o v ( n ，万) 一宽 度和p 一平均k o l m o g o r o v n 宽度，即：概率框架下的k o l m o g o r o v 以一宽度和平均框架 下的k o l m o g o r o v7 一宽度，而且还深入研究了赋予g a u s s i a n 测度的一元s o b o l e v 空 间彤( 丁) 的k o l m o g o r o v ( ，z ，万) 宽度和p 一平均k o l m o g o r o v ，l - 宽度。特别他给出了关于 赋予标准g a u s s i a n 测度的有限维空间尺”的一些k o l m o g o r o v ( 咒，艿) 一宽度和p 一平均 k o l m o g o r o v n 一宽度的优美结果。后来，陈广贵【1 2 】给出了带有混合导数多元s o b o l e v 空 间m 晖( 丁4 ) 在空间厶( t d ) ，1 q o 。，中的k o l m o g o r o v ( ，z ，万) - 宽度和p 一平均 k o l m o g o r o v7 宽度的逼近阶。 受到以上结果的启发，在这篇文章里我们引入( 咒，回一熵数和p 一平均熵数这个概 念，即：概率框架下的熵数和平均框架下的熵数。一方面这个概念类似于k o l m o g o r o v 伽，万) 一宽度和p 一平均k o l m o g o r o v 甩一宽度，另一方面它推广了熵数这个概念。然后 我们给出赋予标准g a u s s i a n 测度的有限维空间r ”在嚣距离空间，1 q 2 ，中的概率 框架下的熵数和平均框架下的熵数的逼近阶。事实上，这两个逼近量和k o l m o g o r o v ( 咒，万) 一宽度和p 一平均k o l m o g o r o v ，z 一宽度在有限维空间上有着相同的渐进阶。还有 我们使用陈广贵【1 2 】中的离散化方法，研究了赋予一个g a u s s i a n 测度并具有混合导数 的多元s o b o l e v 空间删( t 4 ) ，= ( 1 - 1 ，厂d ) ，1 2 = = s 都成立，其中j = 1 ，d ， 4 西华大学硕士学位论文 ( 4 ) ( y ，f ) = 知，尤其( y ，s ) - 一d y j s 。 考虑2 z 一周期函数x 构成的h i l b e r t 空间：( 丁d ) ，其中x 是定义在 t d ：= 0 ，2 万) ( 丁= t 1 ) 上，其中内积为 ( 训) 2 两1 m 劢，训三：( 丁d ) ， 定义x 的f o u r i e r 级数为 工( f ) = c te x p ( i ( k ，f ) ) = c ( f ) ， 七e z 4七e z 4 其中e i ( t ) ：= e x p ( i ( k ，f ) ) 。 对任意向量，= ( ，r a ) r d ，在w e y l 意义下定义x 的，阶偏导数为 工p ( f ) ：= ( d 7 x ) ( f ) = ( 浓) 7q e c p ( i ( k ，f ) ) ， 其中后= ( k l , - - - , k d ) z d ，q k ) 7 = 兀：扪kl 。e x p ( ( z i r j 2 ) s g n k 小 下面开始研究具有混合偏导的多元s o b o l e v 空间m w ；( r d ) ，= ( ，i ，乃) ，记 m w ；( t d ) = 长l 2 ( t ，砸) l 2 ( t 飞r ”m ) 叱= o ，= ”，d j ，其中 j o x ( t ) d t j20 ，_ ，= , - - - , d 表示如果k = ( 七1 ，一，k 。) ，毛乞吒= 0 时有c 。= 0 ，我们对竹町口d ) 赋予内积 ( x ，y ) ，：= ( x p ，y p ) ，v x ，y 叫( 丁4 ) 和范数 k 。n = ( ，) ， 那么空间m 啄仃j ) 是h i l b e r t 空间。 设厂= c ，屹，r + d ，i2 2 ，：， m a x 。，三一吉) ( 1 q o o ， 贝0 m w ；( r d ) 能连续地嵌入三。仃d ) ( 1 q 0 0 ) 。 我们记b 巧是空间嘭( r ) 中的单位球，b w ( t d ) 是空间m 时( 丁d ) 中的单位球。 我们假设c ，c ，c ；，i = o ，l ，1 是和参数p ，q ，厂，p 有关的非负常数。对两个正函数口( 少) 和 6 ( 夕) ，y d ，如果存在正常数c ，c l ，c 2 分别满足条件c l a ( y ) b ( y ) c ：和口( y ) c b ( y ) ， 5 概率框架和平均框架下的熵数 我们分别记a ( y ) b ( y ) 和a ( y ) b ( y ) ，特别当a ( y ) b ( y ) 时，称a ( y ) 和b ( y ) 是渐进等 价的。 函数类的经典k o l m o g o r o vn 一宽度刻画了最坏元素在一致框架下的最优误差，发 展到现在已经得到了很多优美的结果。下面是有限维和无限维空间上的一些结果。 定理1 1 1 【1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 1 ( 1 )令l q p 0 0 ，那么有 d 。孑，譬) = ( m 一，z ) 叮m 。 ( 2 ) 令1 q 0 0 ，我们有如下表达式： 式( 召嘭，厶) n 。 ( 3 ) 令1 q 0 0 ，r j ，j = 1 ，d ，是按如- fj i i 页序排列的：1 2 吒= 0 + 1 r d 。 我们有如下渐进表达式： d n ( b 晖( r d ) ，l 。( 丁d ) ) ( n - 1i n - 1 ) 1 。 注( 1 ) ：对于k o l m o g o r o vn 一宽度d 晖，z q ) ，k o l m o g o r o v ( 参看t i k h o m i n o v u 6 1 ) 得到了了q = 2 时的结果；t i k h o m i n o v 16 】和m a k o v o z t l 7 】得到了当1 q 2 时的结果；最 后k a s h i n t l8 】得到了当2 1 2 时的结果。 注( 2 ) ：有关一元s o b o l e v 空间中的集合召町在b a n a c h 空间厶中的k o l m o g o r o v 一宽 度的一些结果可以在t i k h o m i n o v t l 6 1 和p i n k u s 1 3 1 中找到。 注( 3 ) ：第一个给出赋予混合导数的多元s o b o l e v 空间m 晖( 丁d ) 中的函数类b 晖( ) 在 b a n a c h 空间l q ( t d ) ，q = 2 中的经典的k o l m o g o r o vn 一宽度结果的是b a b o o 1 9 1 ，然 后g a l e e v 2 0 1 研究了1 q 2 的情况；t e m l y a k o v 2 1 1 研究了2 q 时的情况。 类似于宽度理论，一致框架下的熵数理论也有如下结果。 定理1 1 2 2 2 , 8 2 3 , 9 ( 1 ) 设0 p , q o o ，令由元素工= ( x l ，x 2 ，) ，以r ，k n ，构 成的空间i v 是赋拟范线性空间，其中拟范数为： 肛k 艘掣，0 p o o 【s u p x i l p 卸 对角算子c r = ( g 。) 满足如下条件：( 吼) 是非递增序列，并且满足条件仃：。和 恶毒。 m a x l q 1 p 0 ) 那么有表达式 6 西华大学硕士学位论文 & p ：，p _ z g ) = q ( o - ( t ，) ：l q ) n v q - i p t 7 。 ( 2 ) 令1 p ，q ( 1 p - 1 q ) + ，召孵( ，) 是多元s o b o l e v 空间m t v ；( t d ) 中的单位 球，那么我们有表达式 e n ( b 嘭( 丁d ) ，厶( ) ) ( n - 1i n 扛1 ) 7 。 注( 1 ) ：在( 1 ) 中令1 p 0 0 ，算子为d i a g 1 1 ，1 ，0 ，) ，其中1 的个数为m 个，那么 此时( 1 ) 中表达式和有限维空间中的k o l m o g o r o vn 一宽度具有相同的渐进阶。 注( 2 ) ：若p = 2 ，d = 1 ，显然( 2 ) 中表达式和在一元s o b o l e v 空间中的集合b 孵在b a n a c h 空间l 。( 丁) 中的k o l m o g o r o v 一宽度具有相同的渐进阶；若p = 2 ，d 2 ，( 2 ) 中表 达式和多元s o b o l e v 空间m w ；( r d ) 中的单位球b 昭( 严) 在b a n a c h 空间l q ( 丁d ) 中的经典 的k o l m o g o r o vn 一宽度存在着紧密的联系。 注( 3 ) ：具体有关赋予混合导数的多元s o b o l e v 空间m w ；( r 4 ) 中的单位球召嘭( 丁d ) 在 b a n a c h 空间l q ( r 4 ) 中的经典的熵数理论可参看d i n hd u n g 8 1 、t e m l y a k o v 2 3 1 和 b e l i n s k y 9 。 对比定理1 1 1 和定理1 1 2 我们可以看出，经典的k o l m o g o r o vn 一宽度和一致框 架下的熵数存在着紧密的联系。 1 2 概率框架下和平均框架下的宽度理论 我们假设存在一个集合形，其中矽的开子集构成一个b o r e l 域并赋予概率测度。 其中是定义在这个域上的概率测度，即：是定义在域圆上非负、仃可加的函数， 并且4 w ) = 1 。 对任意万( o ，1 ，我们定义赋予高斯测度的一个集合形在空间x 中的概率框架下 的k o l m o g o r o v ，l 一宽度为 d 柑( w ，x ) = i n f 以( 形g ，彳) ， 其中g 是取遍域国中符合条件( g ) 万的集合。 我们定义赋予高斯测度的一个集合矽在空间x 中的p 一平均k o l m o g o r o v 万一宽 度为 d ( 矿，a ，x ) ，= i 翟f 心口( x ，c ) p 舡( 工) ，o n 和5 ( 0 ，l 2 有 d 。j ( r “，y ，：) c ( 1 + ( 1 n ) l n ( 1 万) ) l n ( e m n ) ， 其中c 是绝对常数。 ( 3 ) 令， 1 2 ，1 g ，s l ，o r 0 。则对任意的厅= o ，l ，和任意的万( 0 , 1 2 有 下述渐进表达式成立： d 。d ( 乃z ，l 。) n - t - ( s - 1 ) 2 4 ( 1 + ( 1 l n ) l n ( 1 万) 。 ( 4 ) 令r 1 2 ，1 q ，0 0 。则有下述渐进表达式成立： d ：4 ) ( 晖，l g ) p 万一，一”1 ) ，2 。 陈广贵【1 2 】在m a i o r o v l l1 】基础之上进一步给出了赋予高斯测度的多元s o b o l e v 空间 m 嘭( 丁4 ) 在三。口。) 范空间中的k o l m o g o r o v ( ，z ，万) 一宽度和p 一平均k o l m o g o r o v 万一 宽度的渐进阶。 定理1 2 2 1 2 】 ( 1 ) 令，= ( ，屹) r d ，1 2 _ = + l r e ，1 g 1 和占( 0 ，1 2 】。那么带有g a u s s i a n 测度的空间删仃d ) 在l 。( r d ) 空间中的( n ，万) 熵 数满足下面的渐进关系 d ，艿( 删( 丁d ) ，a ，。( 丁d ) ) ( 一1i n 一1 ) n “川m ( 1 n ( v - 1 m ) 、j 了百万巧丽。 ( 2 ) 令，= ( ，r a ) r d ，1 2 = 0 + 1 r e ，1 g 1 。那么下面 的渐进关系成立： d 譬( 叫( 丁d ) ，三g ( 丁d ) ) p ( - 1i n ”1 加，1 “p - 1 心( 1 n ”1 佗忉。 1 3 概率框架下的熵数和平均框架下的熵数的定义 有了以上预备知识，接下来我们就可以给出本文的主要结果之一：引入概率框架下 的熵数和平均框架下的熵数的定义。 定义1 3 1对任意5 ( o ，1 】，我们定义赋予高斯测度的一个集合形在空间x 中的概 率框架下的熵数为 概率框架和平均框架下的熵数 占蚶( 形，x ) = 醇s 。( 形g ，x ) ， 其中g 是取遍域圆中符合条件( g ) 万的集合。 定义1 3 2 我们定义赋予高斯测度的一个集合矽在空间x 中平均框架下的熵数为 占? ( 形，x ) p = i n f 也p ( z ，m ) p 咖( x ) 7 细，o p e 0 4 m + l n o 5 ) 0 ，定义子集kc r ”在鬈范数空间的占势为： m 瞄，譬) ：= m i n ：z l 一，z r ”，p 伍， z l ，z ) ) 占) 其中 p 皿，n ，知) ) = s 斌u p 纠i n 。f ，x - - z i 忆 叫做集合k 从笞空间中集合 z i ，一，z ) 的偏离。 定义2 2 2 对任意艿( o ，1 】，我们定义赋予高斯测度的空间r ”在譬范数空间中的概 率框架下的占势为 m ，j ( 尺“，v ，譬) = i n f m ( r ”g ，z 7 ) 其中m ( 尺”g ，笞) 是集合r ”g 在譬一范数空间中的占一势，下确界是取遍所有可能的满 足y ( g ) 万条件的b o r e l 子集gcr ”的值。 下面是一些有用的记号和不等式。 我们记集合k 的e u c l i d e a n 体积为y ( k ) 。单位球b ：，1 p 0 0 ，满足下面不等式： ( c ：，1 ) 17 p m a x f m ，5 丽多 万 汶样转们就能得到 怂m a x 临，厮j 亟巫2 。 ( 4 ) 令d = g r 、g f t ，d 1 = g d ，d 2 = g ，d 。因为尺“g ，是有界集合，所以一定存 在一个1 使得 m ( r ”g f ，譬) n i 成立。 假设d 2 是无界的，则一定存在足够大的n ，使得n 。( d 2 ，譬) n n l 。又因为 d 2 = q d = g ，tr 、( g 。ug ；) = g f ng 。= q gc r ”g ，所以 西华大学硕士学位论文 0 ( r ”g ，譬) 1 n 0 ( r ”g ，z g m ) 。 现在考虑d ：是有界集，根据d ，和d ：的定义我们有 叫i ：t 矿工b 1 i i x 0 ：f i f x d ：。 因为v ( d ，) = v ( d 2 ) ，即： c 压广j d le x p ( 一扣i = c 压) _ m j d ：e 文一扣i i ) 出 上式和( 6 ) 式一起有 e x p ( 一譬垮州吲1 硎；) 出 = 扣( 刊1 归d 一譬峥 即： v ( d 。) v ( d 2 ) ， 因为 v ( r ”g ) = v ( d 2 ) + y ( b ，o ) ) 一矿( d 1 ) v ( r ”g ，) = y ( b ，( f ) ) ( 5 ) ( 6 ) 所以我们有 v ( r ”g ) v ( r “g ，) ， 这样就有 m ( r ”g ，譬) m ( 月”g 一鬈) 。 ( 7 ) ( 5 ) 式和( 7 ) 式一起我们有m ( r ”g ，管) 的下界估计，即，对任意的g c b ， v ( g ) 万，存在g f l ， ，( g f ) = y ( g ) 使得 m 俾”g ，z 孑) n 。( 尺”g 譬) 札( 曰? ( r ) g 一圮m ) 故竿) m ， 根据( 4 ) 式和札，占( 尺m ，y ，譬) 的定义，得到 m ，6 ( r m ，y ，缯m ) 其中c 2 = c l 6 。 引理2 2 2 证毕。 甄 概率框架和平均框架下的熵数 c l t m l ，口一1 2 c l r 珑1 7 9 17 2 3 e m 朋 c ：聊1 删2 ( 压+ 厕) 定理2 1 1 的证明。首先证明上界，根据引理2 1 1 ，有 令气= c o 扫i 面酉，因此 因为1 q 2 ，我们有 因此 朋 s 。c 召孑，譬， c 2 三，。 。主兰三所 c n , 6 ( 尺m ，y ，譬) 8 n , 8 ( r ”，y ，7 ) 根据( 8 ) 和( 9 ) ，有 占。占( r ”，y ， 现在开始证明下界。 令( 譬) 6 n ( 霹( ) ，鬈m ) 2 t o 占。( 霹，7 ) 硝cm 一坨b ? t o 占。( b ? ，z 孑) t o ，z 17 州2s 。( b 7 ，z 了) ，im l l q - 1 1 2 4 7 7 t + i n ( 1 5 ) 2一。m，。l聊q-，l，2一s坦m厕+ln(15)。主兰三m， c ， 根据( 1 0 ) 和( 1 1 ) ，就证明了定理2 1 1 。 定理2 1 1 证毕。 根据( ，z ，万) 一熵数的定义和引理2 1 1 、2 1 2 ，我们有下面的命题，其中省略了具体 的证明过程。 命题2 2 1 令1 g 0 0 。 毛石俾”，y ，譬) 那么对任意的万( 0 , 1 2 有 、：m + l n ( 1 f i ) ，0 咒l o g ( m 一1 ) ， ；_ i 五i r 7 万，l o g ( m 一1 ) ，z m 一1 ，。 n m 一1 定理2 1 2 的证明。首先，我们给出占( r ”，v ，7 ) p ，1 q 2 ，z m 时的上界估计的 证明。 根据( 孢，万) 一熵数的定义和定理2 1 1 ，对任意万( 0 ，1 2 ，存在集合g 5c r ”以及等 中一个元素个数不超过2 ”的子集l ，满足v ( g j ) 万，且 p ( 尺”g 占，? ) m 9 - 1 坨聊+ l n ( 1 6 ) 。 考虑集合序列 g ，一。) 函，其中k = 0 时，g 1 = r ”，则 脾础，公) ，e v ( 矿篆k 啊e ( 吼d r ( x ) e ( r “g ，。一，三，? ) v v ( g 2 一。)j 、一。一2 “1 一 7 m p l q ( 1 + 瓜i 磊) ，2 以j m l q - 1 1 2 4 m + l n ( 1 8 ) 川9 + 扰l q ( 1 m ) l i l ( 1 6 ) m “g + 、i ；忑 m l ，口， 这样我们就得到了定理2 1 2 的下界估计。 综上所述，我们完成了定理2 1 2 的证明。 命题2 2 2 令2 g ，0 p 0 0 ，m n 。那么有 砰( r ”，y ，i g ) p m 17 9 ( 所，z ) 2 ； 证明：根据( ，z ，万) 一熵数的定义和命题2 2 i ，对任意万( 0 , 1 2 ，存在集合g jc r ”以及 譬中一个元素个数不超过2 ”的子集，满足1 ，( g ) 万，且 e ( r “g 6 ，l ，西) m l q 行一心m + l n ( 1 5 ) 。 考虑序列 g 一) 函，其中k = 0 时g i = r ”，则 l p ( 五三，l q ) ，咖( 工) 2 荟g 2 。咚。2 ( 五，z ，) p 咖( x ) - e e ( r ”g ：士，厶譬) p v ( g ：一。) ( 所，7 9 ( m 力) 加1 + ( 1 + 后) m ) p 2 _ 肌，7 q ( r r t n ) p 坨。 这样我们就完成了命题2 2 2 的证明。 1 8 西华大学硕士学位论文 3 多元s o b o l e v 空间在概率框架下的熵数和平均框架下的熵数 本苹分为三部分：第一部分给出本苹的主要结果，第二部分给出并证明两个离散化 定理，目的是建立起有限维空间的熵数和无限维空间的熵数之间的关系。第三部分是本 章主要结果的证明。 3 1多元s o b ole v 空间上的结果 为了给出本节的主要结果，我们还需要如下的预备知识。 在很多情况下为了方便我们都会把一个函数的f o u r i e r 级数分割成块状。 j = 0 1 ，j d ) n d ，令 人，= 乜= ( ，咒d ) z ；：2 1 川 2 s j , j = l ，d 令x ，( f ) 表示x ( f ) 的f o u r i e r 级数的“块”，即： 瓯x ( f ) _ x s ( f ) - c 。沙d 月e a 下面的两个引理对建立离散化定理非常重要。 引理3 1 1 2 0 】 令s 是d 的一个子集，口= l ，口d ) r d ，1 q 2 ， 工- 瑚瓯工f s 。那么有 i s1 ，2 1 ，9 ( ，。s0 2 ( j 口t 叫i 乙) 17 9 o x ( 口0 ( 冲吲甜9 ， 其中蚓表示集合s 的势，f s = s p a 玎# “：，z 人，s s j 。 引理3 1 2 2 0 1 令s d 。那么三角多项式张成的空间印口，z 砌 ) 行人，) 到空间尺2 “1 存 在同构映射： 工( f ) k 州( f ，) l 其中_ ，。( f ) = 巳少， n 。 s g n n = s g n ，住 m = ( 耽1 ，m d ) = ( 1 ，1 ) r d ，t ，= ( x 2 2 咱j f l ，x 2 2 一d ) r d ， j f = , - - - , 2 5 ，f = 1 ，d 。 还有，以下关系也是成立的： 1 9 概率框架和平均框架下的熵数 2 - t , a q ) 敝。( 训。儿m ，1 q 2 其中渐进等式中的常数和s 无关。 王见在我们给出多元s o b o l e v 空间上的主要结果。 定理3 1 1 令，= ( _ ，r d ) r 4 ，1 2 _ = 0 + 1 屹，1 1 和 万( 0 , 1 2 。那么带有g a u s s i a n 测度的空间肘巧( 丁d ) 在三。仃d ) 空间中的( ，万) 熵数 满