（概率论与数理统计专业论文）一些极小极大定理及其在非光滑分析中的应用.pdf

摘要 摘要 极小极大原理最早起源于上个世纪初v o nn e u m a n n 对博弈论的研究。第一个极小 极大定理是v o nn e u m a n n 在1 9 2 8 年建立的。随后，人们对极小极大定理的研究非常 活跃，1 9 6 4 年，k yf a n 建立了第一个两个函数极小极大定理极小极大不等式作为 极小极大原理的另一种形式，是由k yf a n 在1 9 7 2 年首次给出的。k yf 、蛆极小极大 不等式在很多领域都有应用，并且它还与b r o u w e r 不动点定理、k k m 定理、b r o w d e r 变分不等式、k a k u t a n i 不动点定理、k yf 抽g 1 i d 曲e r g 不动点定理、n a s h 经济平 衡原理等都是等价命题。在早期的工作中，极小极大原理一般都涉及某种线性结构，或 者说大都是建立在拓扑线性空间上的随着极小极大原理的发展，不带任何线性结构 的极小极大原理成为研究的热点。1 9 5 3 年，k yf 缸建立了第一个纯拓扑空间上的极 小极大定理，随后，k 6 n 蛾s i m o n ，m n e u m a n n 等都分别给出了纯拓扑空间上的极小 极大定理1 9 8 7 年，h o r v a t h 用可缩性代替凸性建立了一个纯拓扑空间一一h 一空间 上的k k m 型定理作为h 一空间的推广形式，b e n e 1 m e c h a i e l d l ，c h e b b i ，f l o n z a n e 与l l i n e r e s 在1 9 9 8 年给出了l 一凸空间的概念，随后出现了大量建立在l 凸空间上 的极小极大不等式、k k m 型定理，不动点定理、截口定理等定理。另外，随着极小极 大原理的不断发展，人们对它的应用问题也变得越来越感兴趣。1 9 9 9 年，k a 8 s a y 与 p a l e s 应用k yf h1 9 7 2 年的极小极大不等式证明了一个关于上部连续的集值映射与 c l 盯k e 推广的上半方向导数的变分不等式，2 0 0 2 年，i s a c 与l i 应用k yf a n1 9 6 1 年 的一k k m 定理重新证明了上述变分不等式。极小极大原理还被广泛的应用在博弈 论、数量经济学、最优化理论、变分不等式、微分方程、不动点定理、位势论、截口定 理等不同的领域中 本文分为四章。 北京工业大学理学博士学位论文 在第一章中，我们将介绍一些有关极小极大原理的背景及本文中涉及的一些记号 与概念。 在第：灌中，我稍褥遴立见个混合溅鹩两个函数檄霸、摄大定理。在2 1 节中，搬摄 a s t e f a n e s c u 在2 0 0 1 年前次提出的弱凸函数与弱凹蛹数的概念，给出了关于9 弱凸 与关于9 弱鞭懿概念，建囊了一个包含骥鹫与关于g 弱凸鳃两个蘧数极小极大定瑷与 一个包含弱凹与关于g 弱取一仿射连通的两个函数极小极大定理在22 节中，建立 了两个包含荧于函数值严格单调变换的两个函数极小极大定理。 在筹兰器孛，我髓主骚硪囊l 蕊枣间上酶壤小檄大覆理。建立l 一凸空鬻主的 k k m 定理，截口定理与黧合定理，并应用这些定理得到一些新的两个函数极小极大定 理与两个黼数极小极大不簿式 在第蹿章中，我们主骚讨论极小极大原理的应用问题，将极小极大原理应用到非 光滑分析中，得到一些关予c l 盯k e 广义梯废与推广的二阶方向导数，”( ；1 l ，) 的变分 不等式。 关键谶。两个函数极小极大定理；l 一凸空间；发分不等式；c l 划k e 广义梯度 攫广豹二狳方怒导数 1 i k b s t r a c t t 强eo r l g i n a lm o t i v a t i o nf o rt h es t u d yo fm i n i m 8 xp r i n c i p l ew 8 sv 。nn e u m 8 n s w o r ko ng a m e so fs t r 越e g ya tt 1 1 eb e g i n n i n go f2 0 t hc e n t u r yt h e 矗r 啦m i n i m a xt h e 。l e m w a 8e s t a b l i 8 h e db yv o nn e u m a n ni 1 11 9 2 8 n 。mt 1 1 e no n ，t h es t u d yo nm i n i m a x 协e o _ r e mi sw r yb 基s 盘。i nl 6 4 ，k yf a 珏档t 曲l i 矗e 矗强e 蠡r s tt w 。一& 箍e 乞i o 矗蛙曲强a xt 艇o r e m a 8a n o t h e rf o r mo f 嘣n i m a xp r i n e i p l e ，m i n i m a xi n e q u a l i t yw a sn r 8 te 8 t a b l i s h e db yk y f a ni i l1 9 7 2 ，a n dt h i 8r e s u l th a sm a n yi n t e r e s t i n ga p p l i e a t i o n s k yf a n sm i i l i m a xi - e q 珏8 王i t y 呈so 珏e t h e8 e v 8 r 畦s t 越e 搬e n 蜒姐i c h 甜ee q 试v 8 l e n tt oe a c ho 专h e r ：b r 。惭内 矗x e dp o 妣tt h e o r e m t h el e m m ao fk n a s t e r _ k u r a t o w 8 k i m a z u r k i e w i c z ，t h et h e 。r e mo f b r 。w d 鼹c 。n c e r n i n gv 淤i 8 t o n 越i n e q u a l 城e s ，t h e 瓢融p 。i n tt h r e mo fk a k u t 嬲i ，强e 壬i ) 【e dp o i n tt h e o r 哪o fk yf a n - g u c k 南er 9 7t h en 赫le q u i l i b r i u mp r i n c i p l e ，e 乇c i nt h e e 盯l ys t 鲻e ，t h e r ew e r ea l w a y ss o m e1 i n e a r8 t r u c t u r e si n v o l v i n gi nm i n i m a xp r i n c i p l e b 穗弼巍拯ed e v 。p 擞鞠lo ft h es t 娃d 孔t h em i 珏i m 觚p 正珏c i p l ew i l 巍。贰醐yl 叠e 猷s t r u e t u r eb e c o m e sah o t s p o t i n1 9 5 3 ，k yf a ne s t a b l i s h e dt h e6 r s tl n i n i m a xt h e o r e mo n t o p o l o g i c a l8 p a c e n o mt h e no n ，al 。to fm i n 弧a x t h e o r e m so nt o p 。l o 垂c a ls p a c e 唧r e g i v 鼬，8 u c h8 sk # n i g 8m 醴m a xt 沁。r e m ，s i m 。n 8 戚n 主m a xt b e 。r e m ，m n e u m a n n s m i n i m a xt h e o r e m ，e t c 1 n1 9 8 7 ，h o r v a t he a t a b l i 8 h e dak k m t y p et h e o r e m 。nh 一8 p a c e w h i c hi sat 。p o l o 垂c 越s p a c ew i t h o 峨l 猿8 a rs 亡r u c t u r e 。a st h eg e n e f 赫i z 戤l o no f 鞋一8 p 8 e e ， b e n - e 1 “m e c h a i e k h ，g h e b b i ，f 王o n z a n ea n dl l i n e r e sg a v et h ec o n c e p to fo s p a c ei n1 9 9 8 ， a n dt h e n ，al 。to fm m i m a xi n e q u a l i t i e s ，k k mt y p et h e o r e m s ，f i x e 小p o i n tt h e o r e m sa n d s e c t 童。致t 魏e 。r e m sw e f ee s t 8 b 珏矗 a $ t i m e 誊o e 8o 轻，p 簦s 。珏s 耗琏疆o e8 箍dm o ei t e r e 8 t e di nt h e 印p l i c 雠i o n s0 fm i n i m a xp r i n c i p l e i n1 9 9 9 ，k a s s 呵a dp d l e s 印p l i e d k yf h n si 工l i n t m a xi n e q u 献i 七yo “9 7 2p r 口v e dav 甜i 她至o n a li n e q u 靠i t yo na nu p p e rd e m i i i i 北京工业大学理学博士学位论文 c o n t i n u o u ss e t v “u e dm a p p i n ga n dc l 龇k eg e n e r “i z e du p p e rd i r e c 七i o n a ld e r i v a r i v e i n 2 2 ，l s a c 锄dl ia 蹦e d 一王 o ，d 兄与任意的r ，c ，令 ，墨( h ) 2 如x ：，( z ，口) a ) ；，五( y ，) = n ，托0 ) ； ，褪j “2 如x ：z ，( z ，1 ) + ( 1 一f ) ，9 2 ) n 1 ； 豫x 驰= z x ：t m ，1 ) + ( 1 一坝z ，址) 。使得对v 。i ，。2 x ，j 。3 定义l l l 4 ，被称作x 上向上的，如果对v e 。，j d 。使得对v 现，功x ，j 。3 北泉工业大学理学博士学位论文 义使得 r j 对vv y i ，( 9 ) sm a x ，( 钆) ，( 现) ) ，并且 l ：，( 。l ，p ) 一罗( # 2 ，# ) ： ，( s 3 ，g ) m a x ，( 。l ，# ) ，嚣2 ：# ) d 。 ，被称作x 上向下的，如果一，是x 上向 的。 寇义1 1 ，5 对卞菜个y y ， ，( 。，y7 ) 被称作x 上弱凸的，如果对v 。1 ，。2 x ，羚，l 】，零鸯 籀船m ，”) 晋肛m 删) + ( 1 一。) m 。胁 ，嚣，y 7 ) 授称终x 土褒馨妁，如装一，氲y 7 ) 建x 土弱西甄 寇义1 1 6 对于某个r ，( y ) ，涵y ) 被称作x 上弱仿射连通的，如果对 v 。f o ，1 与任意的，1 ，抛y 7 ，只要j 襄“溅 ，( 。，) ，( 甜，抛) ) 2 。，就有下面的 两个裳合； ，霹”n ，墨( 虢) ，岳= j ，磐至多窍一个是 空的 设x ，y 悬两个拓扑空间，2 x 与2 分别寝尔x 的幂集与非空耱集“液示 舒的糍准绦攀黪。g ：忑一2 y 楚一个集值映射。 定义1 1 7 ，被称作在y 弱一上半连臻闻一下半连续，如果对v ”y 与任意满 足妇x ：，( 瓤奶 秘；谚) 的嚣，零存在。x 使碍筝i 喇 岩y ：，( 。7 ，掌) ) 土的手巢dc x 妁五_ 凸包记锥l 一。d ， 楚指 玉一。一n 蠢c x ：a ) 移且蠢是五一叠镑 t 建义1 1 1 9 。五凸蜜灞( x ，甄， 段 ) 土辩乎聚d c x 被称砖有隈己十灞( 评) 集， 如暴砖v a 芦( x ) ，d n 蛾a ) 是h 。( 囟中的闭【骨) 鬟。 定义l + l 。2 0 x 暂予集d 被称锋紧闭的，如暴移在x 的任憨紧子桑中闭。 定义1 1 2 1 五。凸磐问( x ，以， 段) ) 上的函数，：x r 被称作厶h 伪凸( 二_ 伪 簿；够，如果辩v 娃霆，袋台囊x ：，( g ) n ( 茹x ：，( 嚣) 盘 ) 是五一穗 的。 定义1 1 2 2 设x 是一个非堂集合， 掰， 如) ) 匙一个上一凸露间，集值映射 r ：x 。2 7 被称作g 五茁搿w 映射，如聚对v 蜘，茹- ， 芦江) ，j 踟，蛳t ) ，( y ) 使襻靖v 弧。，轨一，隗 c ，p l t ，鲰 都布 女 爵( # 培，辫。，软。 ) cu ? ( 镌，x j = o 定义1 1 2 3 ，设x 建一个非塑集会，。风， 巩 ) 是一个二m 凸空问谖s ：x 一2 y 建一个裳撞硗熟。袭经映射：x 一2 y 被拣嚣孓g l 一鬏髹嫩姨罄，知激对v 警。，z h ， 乒( x ) ，誊辍s ( 趣) a o ，l ，一，嚣) 毽祷对v ，球一，轨。) c 洳，f l ，一， 都有 j 毛( 勰。，冁，- 一，虢。) ) cu ，( 藏，) 。 1 2 譬i 言 令x ，y 是两个非空集合，p 魑x y 到r 的两个函数盛农x y 上满戆 ，董9 令曲是爿到y 的映射。极小极犬原理是指在一定条件下，下简不等式某一个 一垂 第1 章引言及预备知识 戚立， ，+ ：。；磐：裴，( z ，) ：段：醇目( 。，g ) ：弘 ( 1 ) ， 藩：罂m ，彭) 曼鬻9 ( 甄荆) = ：坞) 渤 我们通常称不等式( 1 ) 为两个函数极小极大定理，称不等式( 2 ) 为两个函数极小 投大不等式。祷鄹的，当，= 口时，不簿式2 ) 遥化为投，j 、极大不等式，蔼不簿式 ( 1 ) 翊蘸含着，+ = 矗，帮极小极大态淫成立， 鑫上霹壤小极大纛理豹定义苓难看墩，投小投大联理变簧涉及爨越戆性质与勰荚 函数的性质，具髂的说款魁空间鲍性质与函数的凸凹娥与逡续性。j # 线性极小极大原 理疑指所涉致的搬间没有任何线性结构的极小极大原理。 单赣酶被，l 、极大定理夫部分都是建立在拓扑线像蹙阉上鲍v 。nn e 娃m a n n 瓣在 l 2 8 年给穗了第一个极小极大定理，就定瑗楚建立纛欧氏空闯酶蠢隈缀单影上瓣。 1 9 3 7 年，v o nn e u m a n n f 2 】将上避定理由有限维单形推广到了欧氏空闯的非空紧凸子集 上，给出了个建立在欧鹰空闽的非空紧凸子集上的檄小极大定理。1 9 5 2 年，f a n 料 将极小极大定理推广到了无限维空间，建立了一个无限维局部凸空间的紧凸子集上的 极夺爱大囊璎。1 9 5 4 冬，n l 甄撼。弼建立了个菸卦逡燕蜜楚懿繁熬予袋上懿扳，l 、缀 大定理。1 9 鹬每，s i 嗡婀也绘礁了一个糖癸淀量空嬲上戆摄小援夫定理，睾期戆王馋 还可参见文献 6 1 0 等 早期的辍小檄犬不簿茂欠部分都聂建立在拓扑线悭空间上的，第一个校小较大不 等式是k yf 锄在1 9 7 2 年建立的，宗是建立在拓 p 线性空间的紧凸予集上静。随 后，不断蠢人褴广了上述定理，见文敲【l 各l 馥等。 随着缀，j 、壤大藏瑷鲍发鼹，椴，l 、极大原理中所涉及的条件不断媲狡辩讫，船谶数 懿凸翟煌、空淘螅性壤蛰，蘸之如瑷了建立亵辈线性塞瓣上戆极小板大溅壤。 北京工业大学理学博士学位论文 1 9 5 3 年，f a n 【1 q 建立了第一个纯拓扑空间上的极小极大定理 1 9 6 8 年，k 6 n i g 【1 8 】将上述定理进行推广，给出了一个具有j 拟凸与 - 拟凹性质的函数的极小极大 定理。 定理1 2 1 【1 8 】设x 是一个非空集合，y 是肾的拓扑空间。设，：x y 一只满足； 例vz x ，( z ，) 在y 上下半连续； 一t j ，在x 上j 一拟凹； 一划，在y 上 一拟凸。 则 | = 凡。 两个函数的极小极大定理是极小极大定理的推广下面我们看s i m o n 【19 】给出的一 个纯拓扑空间上的两个函数的极小极大定理的例子 定理1 2 2 【1 q 设x 是一个非空集合，y 是紧拓扑空间设，9 ：x y r 满足： v ( z ，f ) x ，( z ，p ) 9 ( 。，) ； 一砂vz x ，( 。，一) 在y 上下半连续； 一脚9 在x 上 一拟凹； 一训，在y 上 - 拟凸 则 ，+ 玑 在g h o r v a t h 提出h 一空间【2 0 2 2 的概念之前，大部分的极小极大不等式都是建 立在拓扑线性空间上的，正是h 一空间与其推广形式的出现，才有大量的非线性的极 小极大不等式随之涌现。下面给出一个h 一空间上极小极大不等式的例子( 相关的概念 一一局部凸的h 一空间、弱h - 凸子集、零调，请参见文献【2 3 】) 第1 章引言及预备知识 定壤l 。2 。3 。设( r “) 建一个沲 s d d 晒局部凸的脚- 空阈，x 是y 的紧的弱一 穗予集。设j + ：x x y 一踅是x y 上辑一夸上孚连续秘蕊敷，并豆跨v 封e 翁， 袅会缸x ：，( ，蓟 t 楚零调的t 最孝空) + 贝q ，+ 兰a 矗( 。) 。 数学 筝为一个蒸琏篓学蛰，在謇邑发展的瓣e 孝迄要冀其链学礴魏发旋挺供王英，这 就使得数学在发展的过程中还要考虑刘实际的需求。拓扑线性空间具有很好的性质， 毽辍实际中貔们所涉及的空间却不一定也有如此好盼烛质，这簸不得不考虑使奄间更 加般化，令其符台更多的瑷实实际，麓够更广泛的被波用，邋也正是搬小极大缀理向 非缭隆发展的原因所在 极，j 、扳大原理簸早超源予博弈论，现在蠢经发震成为菲线性分橱领域酌一个独立 的研究方向。随着极小极大原理的发黢，投小极大原理的应熙问题已缀成为极小极大 原理研究中的一个热点2 0 0 2 年，1 8 a c 与l “矧将文献 2 5 中的极小极大不等式应用 予嚣蠢蒲努折，褥裂了一个关于e i 鑫l k e 推广戆上半方淹导数( ，琵第疆塞) 静交努不等 式另外，极小极火原理还为博弈论、数量经济学、最优化理论、变分不等式、微分方 程、不动点定理、 藏势论、截口定理问题等不同的数学领域提供工具。 j 塞王簸大学理学薅学疰论文 第2 章鼍# 线性两个函数极小极大寇理 两个函数极小极大定理是一个随数极小极大定理的种推广形式，这种推广主要 毒璐下三狰方畿： ( a ) ，在x 上被赋予莱秽孵性，9 农y 上技赋予慕种凸性； ( b ) ，在y 上被赋予某种髓性，9 在x 上被赋予莱种凹性； ( g ) 矗9 翼有关于f g 的混合凸凹能条件 2 1 包含弱翻与关予9 弱凸条侔的混合型两个函数极小极大定避 1 9 6 4 年，k yf a n i 2 6 j 推广了s i o n 溯1 9 5 8 年的极小檄大定理，得到了第一个两个函 数鬏小极大定溪， 定理2 1 4 【2 6 】设x ，y 是拓扑线性空问的紧凸子集设 9 ：爿y 一咒满足 矗jv ( 。，f ) x y ，( f ) 9 ( # ，f ) ； 隧 ￥嚣x ，( 。，) 在y 土下亭连续，v 掣y ，g 乳) 丧x 土土亭连续； ( 墩) ；耪xi 钠嘲l 惭) g 氟y1 钠曲 翻 ，+ m 。 定理2 1 4 是( a ) 型的两个函数极小极大寇理。定理1 2 2 是定理1 2 1 关于形式 ( b ) 的推广，简时，定疆1 。2 2 也是第一个( b ) 毽的两个嫡数极小极大定理。 i 9 7 7 竽，n e u 搬籼爨经意懿，s o ，1 ) 代替褥到了定理l ，2 1 戆接广形 式： 一8 第2 激非线性两个函数极小极大定理 定理2 。1 5 鲫设x 是一个非空集合，y 是紧的拓扑窘问设，：x y 一月满足 则 m v 搿x ，( $ ，) 在y 上下半连续 蓐印，廖x 上荧圣某夸s o ，l 】是s 一拟强蟹； r 圳，在y 上荧于某个t 【o 1 是_ 拟凸的。 r = l 。 1 9 9 6 簪c h e n 分l i n 将定理2 1 5 推广为( b ) 型的两个函数极小极大定理。 定理2 1 8 i 2 8 】设x 是一个非空集合，y 是一个拓扑露闻。设，g ：x y 一矗满足 则 矧v # x ，辫舾，彩 一。； 一印v ( ，g ) x y ，( ，g ) 口( 。，口) ； 一刚v 茹x ，( z ，t ) 在y 上下半连续； 露面，在y 土燕于某令t 【o ，l 是一耘舀蟹； 扣) 9 彝x 上荧于某个s o ，1 】是s 一拟凹的； 阳口薹r 冗 g + 使得耐v 。x ，b y ：，( z ，w ) r ) 韪y 中的紧集。 ，+ m 。 显然定理2 1 6 推广了定理1 22 虽然( a ) 型与( b ) 型的两个函数极小极大定理 鼍淡透遘箍广基寿戆一令嚣毅戆摄枣绞大定疆箨餮，麓是，并不薤辨毒戆禳枣锻六定理 都隧被推广为( a ) 戮与( b ) 猎的两个函数极小极大定理。下磷的定理是s l m o n s 在 1 9 9 0 年给出的极小极大定理。 定瑗2 。l 。7 。口9 l 设x 是一令l 空集合，y 是紧拓扑堂翊。设，：x y 一置满足 v x ，( 嚣，) 在y 上下半连续； 北京工业大学理学博士学位论文 则 惭) f 枉x 工向1 t 阳 j ，在y 上向上 f 4 = | 。 由文献 3 0 我们知道，即使当空间x 与y 都是欧氏空间中的闭凸集，与g 都 是连续函数，定理2 1 7 也不能被推广为( b ) 型的两个函数极小极大定理；由文献 3 1 】 中的例3 4 可知，即使当空间x 与y 都是欧氏空间中的闭凸集， ，是连续函数，9 是下半连续函数，定理2 1 7 也不能被推广为( a ) 型的两个函数极小极大定理实际 上，能够被推广为( a ) 型与( b ) 型两个函数极小极大定理的一个函数极小极大定理并 不多例如：文献 1 8 ，2 9 ，3 0 】中的极小极大定理不能被推广为( a ) 型的两个数极小极大 定理；文献【1 8 ，2 9 ，3 0 ，3 2 ，3 3 ，3 4 中的极小极大定理不能被推广为( b ) 型的两个函数极小 极大定理但是定理2 1 7 却可以被推广为( c ) 型的两个函数极小极大定理。 定理2 1 8 【3 q 设x 是紧的拓扑空间，】，是一个非空集合设，g ：x y r 满足 以v ( 。，可) x y ，( z ，掣) sg ( 。，y ) ； 一1 ) v y ，( ，p ) 与9 ( ，) 在x 上上半连续； 一i 砂vs o ， d o 使得v 。l ，。2 x 与任意的y 的有限子集f ，j 。o x 使得 ，( 。o ，9 ) m i n ，( z l ，) ，g ( 。2 y ) ) ，v f 1 并且对vy ( 9 f ：l ，( 。1 ，口) 一9 ( z 2 ，y ) ) ，( z o ，y ) m i n ，( z l ，) ，9 ( 。2 ，g ) + d ； 一ve o ，| 6 o 使得vg l ，掣2 y ，j 蜘y 使得 9 ( 茁，o ) m a x ，( 。，y 1 ) ，g ( 。，2 ) ) ，v 。x ， 1 0 第2 章非线性两个函数极小极大定理 并且对vz z x ：i ，( z ，9 1 ) 一9 ( z ，y 2 ) | e 9 ( 。，g o ) m “( ，( z ，玑) ，g ( 。，2 ) 一d 。 ，+ 皿。 实际上， ( c ) 型的两个函数极小极大定理有很多，见文献 3 6 3 9 】等 下面，给出本节的主要结论一些非线性的两个函数极小极大定理。在介绍这 些结论之前，首先介绍些新的定义 定义2 1 2 4 对于某个x cx ，( x ，9 ) 被称作y 上关于9 弱t 一凸的，如果对 干某个t 0 ，1 ，任意的y 1 ，驰y 与任意的z x ，有 嚣墨价，9 ) ，9 ( 训) ) 。魁：) m y ) + ( 1 一s ) m 。，) ，( 。，y ) 被称作x 上关于g 弱凹的，如果对vs o ，1 ，( z ，y ) 是x 上关于g 弱 s - 凹的 定义2 1 2 6 对于某个x ，瞵) ，( x ，) 被称作y 上关于g 弱o 仿射连通 的，如果对v 。 o ，1 ，v 。1 ，。2 x 7 ，只要j 蕃“a x ，( 。1 ，口) ，9 ( z 2 ，g ) ) a ，则集合 ，圪( 。- ) n 磁r 2 与集合。圪( 如) n 圪扩2 至少有一个是空集 北京工业大学理学博士学位论文 显然，当9 = ，时，关于9 弱凸函数一定是弱凸函数，关于9 弱凹函数一定是弱 凹函数，关于9 弱“一仿射连通函数一定是弱“一仿射连通函数 定理2 1 - 9 设y 是一个紧的e k “s d 0 7 拓扑空间，x 是一个非空集合。如果，g x y 只满足下面的条件 贝1 j f 砂v ( 。，) x ，( ，) g ( 。，y ) 一t j v 。x ，( z ，) 在y 上下半连续 r 圳v x ，( x ) ，( x ，y ) 在y 上关于g 弱凸 一叫vx 7 ，( x ) ，9 ( 。，k ( x ，) ) 在x 上弱凹。 ，+ 西 为了证明定理2 1 9 ，我们需要下列引理 引理2 1 1 设x ，y 是两个非空集合如果，9 ：x y r 满足下面的条件 v ( z ，) x ，( z ，口) 9 ( g ，9 ) 一t jvx ，( x ) ，( x ，) 在y 上关于g 弱凸 r i 圳vx 7 f ( x ) ， jz l ，。2 x ，a 兄使得 ，。感州m 觚 m 删) ，9 ( 9 ) 口 那么一定存在t o o ，1 使得 ( 3 ) t o ，( 。l ，g ) + ( 1 一如) g ( 。2 ，剪) q ，v 可，圪( x 7 ) 。( 4 ) 证明对vx 7 f 畔) ，令y = ，k ( x 7 ) 定义 乃( x7 ) = 0 o ，1 ：y 磁pn ，砭( z 1 ) 1 2 第2 章非线性两个函数极小极大定理 显然 疋( x ) = t o1 】：y 善；2n gy ：( z 2 ) ) 。 y 苫_ 2 2c ，圪( 1 ) u g 砭( z 2 ) ，vt 【o ，1 当，圪( z ) = d 时，取t o = 1 ；当。圪( z 2 ) = d 时，取如= 0 。 显然，当，砭( z 1 ) 与9 圪( 现) 皆非空时，噩( x7 ) 与乃僻7 ) 都是 o ，1 的非空开子 集下面验证对v x 7 ，( x ) ，n ( x7 ) n 乃( x 7 ) = 0 。 假设存在某个x ，) 使得一乃( x ) n 咒( 叉) 令f = ，k ( x ) ，则存在 y - ，f 。( z - ) n 磁尹，2 。_ 口( 。2 ) n 圪护由( 3 ) 可知 我们不妨假设q = 0 。则 因此有 ，y 。( z 1 ) n gy 。( 茁2 ) = d 7 ，( z l ，9 1 ) + ( 1 一t 7 ) 9 ( z 2 ，可1 ) o ，( 。l ，剪1 ) 0 ，9 ( z 2 ，可1 ) o t 7 ，( 。1 ，讹) + ( 1 一t 7 ) 9 ( z 2 ，可2 ) o ，( 。1 ，可2 ) o ，9 ( z 2 ，妇) 0 ，( z - ，z ) 9 ( 嚣。，- ) ! ! 兰! ；掣 ，( z ，y 。) 9 ( z 。，。) 进而有 t = 而鲁甓丽 磊 取( t 1 ，。) 则我们有 与 t ”，( 。1 ，9 1 ) + ( 1 一，( z 1 ，) o ( 5 ) 北京工业大学理举博士学位论文 由臻，圪露) ，我髓有 t “，( m ，9 1 ) + ( 1 一”) ，( z ，2 ) o ，v 。x 。 令叉= x u 。l ，凝 。校摆辩v x ，浮) ，( x 7 ，) 在y 上关于口蔫疆，我j 膏 j 酵。群。) t ，( 茹，9 ) ，9 ( 强) ) 器矿，( 。，玑) + ( 1 一。”) ，( 。，抛) a 。a 鳃果y # ，爨蠹( 6 ) 我襄l 蠢i 造雩碜，( 壤，蓟鼬。遴嚣蠹| 盥绣啜设我# 】毒 j # yi t ( g i 爿x 矿) + = 8 u pi l 琏9 ( 。可) 。o 2 x 口y 第2 章非线性两个函数极小极大定理 于是对ve o ，j x 使得i 延9 ( 孔，g ) 。o e 。则 y 瓣“ m ，) ，g ( ) ) d 。一。 再由引理211 知，存在t o 【o ，1 使得 t o ，( z 。+ l ，) + ( 1 一t o ) g ( 。，y ) a o 一，v ，圪。一。( 牙) 。 由( 7 ) 与定理2 1 9 的条件( i v ) 有 ：装蚂忠! 。( 蜀9 ( 。，g ) 蛹毒! 肛) g ( 。州，) + ( 1 一f 。) g ( )。x ”6 ，台。一c ( x )，1 0 0 一# ( 工) ，；n f 一【如，( 。+ l ，9 ) + ( 1 一亡0 ) 9 ( 。，) 6 ，k o 一( x ) ( 8 ) 因为，k 。一s ( 又) = 哩 y y ：，( z ，) 乳与任意的有限子集x ，畔) ， a 髫搿他，) 当g 。”4 x 7 = 1 时，i 薛，( 。，p ) 出，( 1 0 ) 不成立，即 i 塞糙毯，缸，j 矗。 g 7 * 萤一 。 于是由引瑷2 。l + 2 ，我们有m o 。矛盾。一 令，一9 ，则有下面的推论： 推论2 1 1 设y 是一个紧的h “s 幽彬拓扑空间，x 是一个非定集合。如果， x y _ r 满足下馥的条件 倒v 。x ， ，- ) 在y 上下半连续； 冀移vx f ( x ) ，( x 7 ，蓼) 在y 土弱凸； 曩印v x 7 ，( x ) ，歹( 。，k ( x ) ) 在x 土弱獬。 酃么 1 = 。 我f f 】知道，如皋，谯y 上燕于浆个t o ，1 】是tm 拟凸的，那么一定存在玲，1 l 您 硬黪子集p ，捷褥辩v a p ，褒y 上盘攒凸。又灏为慰予殛懑蜂x ，c x 与经 意的辨，抛y ，s u p 降，( 嚣，班) + ( 1 一曲，( 。，张) 】是关予t 的连续函数，搿鞋女l 皋，在 = a y 上t 一拟凸，那么对于任意躲x cx ，厂溶，黟) 一定是y 上弱殛鳃。弱榉选考鲤 果，在x 土荧于某个s o ，朝是s 一 霎 潮的，鄂么慰v y cy ，( $ ，y 0 一定是x 上弱凹的。另羚由文献 4 0 】与a s t e f a n e 8 c u 最近的一篇警穗中给出鲍铡予我弱知道； 褒凸函数珂以不是t l 薹 照瓣；弱鹜遮数霹班不是s * 拭瓣黪。予麓凌 臻薤得蹬送撵 的续论；鼹凸烂t 一拟凸灼摆广，弱疆是s 一拟四黪撩广。嚣默矬论2 1 + l 撬广了定溪 2 1 5 与寇瑗l ，2 。l 。 。1 6 第2 章非线性两个函数极小极大定理 回顾文献【2 9 1 中的引理2 ：如果，在x 上向下，在y 上向上，并且对vz x ， 蕃，( 2 ，p ) 一。搿么对v 斑，。2 专x ，s u p * x i n f 嬷y ，( 。，g ) 1 “f y m “ ，( 瓤t ) ， ，忙。，目) 。魏祭，在y 上向上，那么对予任意的x 7 ，) 与任意的a r ，一寇在 ，k ( x 7 ) 上向上。我们不妨假谶对v x ，i n f 嘏，( x ，) ，( z ，) 一，于是对于任意的 孔，茹2 f 与任意的。f o 1 l ，：裴，。籍列， ，# ) 。感硼m a x ，。t ，# ) ，( $ 2 ，) ，。，蝶x ，) i 。，( 茹1 ，) 十( 1 一。) ，( 茹2 ，f ) t 即对于任意的x 7 芦( x ) 与任意的d r ， ，( 戈，k ( x ，) ) 在x 上弱凹；如果，在x 上向下，在y 上向上，那么对v x ，( x ) ， 一，一定程x 上向上，程y 上向下。我们不妨 聚设对v f es u p 。即，( 瓤g ) 0 ，| 6 0 使得v 掣l ，沈y ，刍珈y 使得vz x ， 妒( 9 ( 。，v o ) ) m a x ，( 。，1 ) ，妒( 9 ( z ，y 2 ) ) ， 并且v 。 z x ：i ，0 ，9 1 ) 一妒( g 扣，抛) ) i e ) ， 妒( g ( z ，g o ) ) m a x ，( 。，1 ) ，妒( 9 ( z ，妇) ) ) 一5 则 ，+ 叽。 为了证明定理2 2 1 3 ，我们需要一些引理。 引理2 2 3 设x 是一个紧的拓扑空间，y 是一个非空集合。设函数，：x y r 在x 上上半连续则对v “，+ ，6 1 0 与1 y ，3 。l y 使得 俐 ，x 。( z 1 ) ，墨( 1 ) ， 并且 俐 对v 口y ，( y ) ) ，五( 2 1 ) 蕴含着y a l ，z 1 ) 。 一2 0 第2 章非线性两个函数极小极大定理 证明对于任意滤慰( a ) 静元素z 1 y ，女i 巢对vf y ，都霄，恐。( 9 ) ) ，溉( # 1 ) 净 ，a ，掩，。1 ) ，瓣敬魏= 。著不然捌一定存糍。2 y 使得，溉( z 2 ) 3 ，溉( ) 并强 。2 藿a 撑i ，# 1 ) 巍然，五汐) 3 ，墨( p 1 ) 。菪对v # y ，都有f 墨( ) ) ，墨净 a ，( 6 1 ，# 2 ) ，则取# l = z 2 。若不然则一定襻谯；3 y 使得，x 。( z 3 ) ) ，x 。( 9 2 ) 并 且9 3 譬如溉，# 2 ) ， 继续上面的步骤，则其一定在某个n 处停止如糟不然，即对v n ，都眷扩 醐螂”1 ；，予楚瓣雉，护) 墨搿鼬，。”1 m9 裂施，。1 ) 融又 嚣鸯x 是繁瓣并基，_ ) 在x 上上攀连续，掰瓣鬻歹( 罱z 1 ) 一每一1 ) 6 - 一一。溆一+ + 。) ，矛嚣。凌戴必要取瓤= 扩 引瑗2 + 2 4 设x 是一个紧的拓扑空问，y 是一个非空集合设函数一口：x y r 在x y 上涟足，擘= 且，( ，蓟在x 上土半连续。如果定理磐+ 2 。j s